1. O documento apresenta um modelo de programação linear para resolver um problema de alocação de recursos de uma marcenaria que produz cadeiras e armários.
2. São definidas as variáveis de decisão x1 (cadeiras) e x2 (armários), a função objetivo de maximizar lucro, e as restrições de disponibilidade de madeira e mão de obra.
3. O problema é resolvido graficamente e pelo método simplex no Excel, chegando à conclusão de que a solução ótima é produzir 2 armários por dia para maximizar lucro.
O documento apresenta um modelo de programação linear para resolver o problema de planejamento de encontros com duas mulheres, levando em conta restrições de tempo, dinheiro e preferências. O modelo formula o problema como uma função objetivo sujeita a restrições, e analisa três alternativas de solução de acordo com dois objetivos distintos: sair o máximo possível com as duas, ou sair mais vezes com uma delas.
1ª lista de exercícios de pesquisa operacional com gabaritoAntonio Rodrigues
Este documento apresenta 10 problemas de programação linear. Cada problema descreve as restrições e a função objetivo de um modelo matemático para otimização de recursos visando maximizar lucros ou minimizar custos.
1. Um fazendeiro precisa alocar seus recursos limitados de terra, mão-de-obra e dinheiro entre três culturas para maximizar seu lucro. Este problema é modelado como um programa linear.
2. O problema dual é minimizar o custo dos recursos sujeito às restrições de que o lucro de cada cultura deve ser maior que seu custo.
3. A análise de sensibilidade mostra que pequenas mudanças nos parâmetros não afetam a solução ótima.
A agroindústria possui capacidade excedente que pode ser dedicada à produção de três produtos. O lucro unitário estimado para cada produto é dado, assim como a capacidade de máquinas e o coeficiente de produtividade de cada produto. O objetivo é determinar a quantidade de cada produto a ser produzida para maximizar o lucro total.
O documento discute conceitos e aplicações da pesquisa operacional, incluindo: (1) a pesquisa operacional é um método científico para tomada de decisões que usa modelos matemáticos; (2) surgiu durante a Segunda Guerra Mundial para resolver problemas militares; (3) a programação linear é uma técnica de otimização usando funções lineares sujeitas a restrições.
1) O documento apresenta 9 questões de modelagem matemática de problemas de otimização combinatória. As questões envolvem maximizar lucro, minimizar custo e satisfazer restrições de demanda e capacidade.
O documento discute programação linear, apresentando exemplos de modelagem matemática para problemas de minimização de custo e maximização de lucro sob restrições de recursos e demanda. Nos exemplos, variáveis representam quantidades de itens a serem produzidos/comprados e a função objetivo e restrições definem o problema de otimização.
O documento apresenta um modelo de programação linear para resolver o problema de planejamento de encontros com duas mulheres, levando em conta restrições de tempo, dinheiro e preferências. O modelo formula o problema como uma função objetivo sujeita a restrições, e analisa três alternativas de solução de acordo com dois objetivos distintos: sair o máximo possível com as duas, ou sair mais vezes com uma delas.
1ª lista de exercícios de pesquisa operacional com gabaritoAntonio Rodrigues
Este documento apresenta 10 problemas de programação linear. Cada problema descreve as restrições e a função objetivo de um modelo matemático para otimização de recursos visando maximizar lucros ou minimizar custos.
1. Um fazendeiro precisa alocar seus recursos limitados de terra, mão-de-obra e dinheiro entre três culturas para maximizar seu lucro. Este problema é modelado como um programa linear.
2. O problema dual é minimizar o custo dos recursos sujeito às restrições de que o lucro de cada cultura deve ser maior que seu custo.
3. A análise de sensibilidade mostra que pequenas mudanças nos parâmetros não afetam a solução ótima.
A agroindústria possui capacidade excedente que pode ser dedicada à produção de três produtos. O lucro unitário estimado para cada produto é dado, assim como a capacidade de máquinas e o coeficiente de produtividade de cada produto. O objetivo é determinar a quantidade de cada produto a ser produzida para maximizar o lucro total.
O documento discute conceitos e aplicações da pesquisa operacional, incluindo: (1) a pesquisa operacional é um método científico para tomada de decisões que usa modelos matemáticos; (2) surgiu durante a Segunda Guerra Mundial para resolver problemas militares; (3) a programação linear é uma técnica de otimização usando funções lineares sujeitas a restrições.
1) O documento apresenta 9 questões de modelagem matemática de problemas de otimização combinatória. As questões envolvem maximizar lucro, minimizar custo e satisfazer restrições de demanda e capacidade.
O documento discute programação linear, apresentando exemplos de modelagem matemática para problemas de minimização de custo e maximização de lucro sob restrições de recursos e demanda. Nos exemplos, variáveis representam quantidades de itens a serem produzidos/comprados e a função objetivo e restrições definem o problema de otimização.
O documento apresenta um exemplo numérico de programação linear para maximizar o lucro de um agricultor cultivando dois tipos de cereais, sujeito a restrições de área, mão-de-obra e demanda do mercado. É formulado o modelo matemático para maximizar a função objetivo Z = Lucros, sujeito às restrições de área, mão-de-obra, produção e demanda. A solução é encontrada graficamente.
O documento descreve várias técnicas operatórias para as quatro operações matemáticas básicas com números naturais. Ele discute o sistema de numeração decimal, algoritmos para adição, subtração, multiplicação e divisão, e fornece exemplos para exercitar cada uma das operações.
1) O documento apresenta uma introdução ao curso de microeconomia para finanças, abordando tópicos como teoria da firma, equilíbrio parcial e geral, decisão em ambiente de incerteza, mercados não competitivos e teoria da informação.
2) A segunda parte do documento foca na teoria da firma, definindo conceitos como função de produção, produtividade marginal, taxa de substituição técnica e retornos de escala.
3) Propriedades como produtividade marginal decrescente e taxa de substituição té
O documento descreve o problema de transporte (PT) e fornece um exemplo protótipo. O PT envolve a distribuição ótima de produtos entre origens e destinos, considerando capacidades e custos de transporte. No exemplo, a distribuição ótima de leite entre fábricas e armazéns é modelada como um PT para minimizar custos totais. A formulação matemática do PT é apresentada.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações com conjuntos, sistemas de numeração e aplicações do máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Inclui definições de conjunto, pertinência, união, interseção e diferença. Aborda também subconjuntos, números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento descreve o problema de transporte (PT) e apresenta um exemplo prototípico para ilustrar sua formulação como um problema de programação linear. O exemplo trata da distribuição otimizada de leite de três fábricas para quatro armazéns, com o objetivo de minimizar os custos de transporte. Os dados do exemplo são usados para formular o PT como um modelo matemático de minimização sujeito a restrições de oferta e procura.
O documento apresenta uma atividade prática supervisionada de Comportamento Organizacional realizada por estudantes do curso de Administração. A atividade inclui duas etapas: a primeira analisa a personalidade e comportamento individual dos funcionários de uma empresa de serviços para animais de estimação, e a segunda avalia os processos motivacionais dos gestores da empresa e o impacto do estresse em seu comportamento.
O documento apresenta uma introdução sobre modelagem e análise de decisão para a disciplina de Pesquisa Operacional. Explica que modelos matemáticos implementados em planilhas eletrônicas podem ser usados para avaliar alternativas de decisão de forma eficaz. Também discute os benefícios da abordagem de modelagem para tomada de decisão.
Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovação no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduação em Tecnologia em Agronegócios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porém, lembre-se de realizar as devidas citações.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
A biomecânica estuda o movimento humano sob aspectos mecânicos, analisando as forças que atuam sobre o corpo e os efeitos produzidos. Ela investiga os princípios mecânicos aplicados ao movimento humano, como força, torque, centro de gravidade entre outros, utilizando métodos como cinemática, cinética, eletromiografia e dinamometria.
Este documento fornece um resumo sobre gestão da qualidade, abordando conceitos como:
1) A qualidade deve satisfazer as necessidades dos clientes;
2) A melhoria contínua é essencial para manter a qualidade e competitividade;
3) Métodos como PDCA/MASP e ferramentas como 5S ajudam a melhorar processos e resolver problemas.
A programação linear é uma técnica de otimização que usa expressões lineares para modelar problemas e encontrar soluções ótimas. Ela surgiu em 1947 para resolver problemas logísticos durante a Segunda Guerra Mundial. Problemas de programação linear definem variáveis de decisão, uma função objetivo a ser otimizada e restrições a serem satisfeitas.
O capítulo descreve problemas de programação inteira e mista. Apresenta um exemplo ilustrativo sobre escolha de produção que maximiza lucro, resolvido por enumeração. Explica que soluções de problemas relaxados podem não ser inteiras, requerendo métodos específicos.
O documento discute o método Simplex para resolver problemas de programação linear. Ele apresenta um exemplo de maximização de lucro de uma empresa que produz mesas e armários de alumínio, sujeita a restrições de matéria-prima e mão de obra. A solução ótima é produzir 4 mesas utilizando todos os recursos disponíveis, gerando um lucro total de R$16.
O seminário apresentou introdução à otimização convexa e resolução de problemas utilizando CVX. Foi discutido breve histórico da otimização, conceitos de funções e conjuntos convexos, problemas de otimização convexa e métodos de resolução como o método de pontos interiores. O software CVX foi apresentado como ferramenta para modelagem e resolução de problemas de otimização convexa.
O documento apresenta exemplos de resolução de problemas de programação linear utilizando softwares como Lindo, QM for Windows e o Solver do Excel. São resolvidos problemas como o de Giapetto e um problema de orçamento de capital maximizando o valor presente líquido total. Softwares como esses auxiliam na resolução de problemas que envolvem muitas etapas de cálculo manual.
A pesquisa operacional é um método científico de tomada de decisões que utiliza modelos matemáticos para otimizar sistemas. O modelo apresentado utiliza programação linear para maximizar o lucro de um sapateiro, sujeito a restrições de disponibilidade de couro e tempo de produção.
Este documento apresenta um livro com exercícios de programação linear resolvidos em português. O livro contém 10 capítulos cobrindo tópicos como formulação de problemas, resolução gráfica, algoritmo do Simplex, casos especiais, dualidade e análise de sensibilidade. Cada capítulo é dedicado a um tópico e contém exercícios relacionados ao tópico com as respectivas resoluções.
O documento discute programação linear, apresentando suas características, aplicações e o método simplex para resolução de problemas de programação linear. É apresentado um exemplo ilustrativo de um problema de programação linear com duas variáveis e três restrições.
O documento apresenta um exemplo numérico de programação linear para maximizar o lucro de um agricultor cultivando dois tipos de cereais, sujeito a restrições de área, mão-de-obra e demanda do mercado. É formulado o modelo matemático para maximizar a função objetivo Z = Lucros, sujeito às restrições de área, mão-de-obra, produção e demanda. A solução é encontrada graficamente.
O documento descreve várias técnicas operatórias para as quatro operações matemáticas básicas com números naturais. Ele discute o sistema de numeração decimal, algoritmos para adição, subtração, multiplicação e divisão, e fornece exemplos para exercitar cada uma das operações.
1) O documento apresenta uma introdução ao curso de microeconomia para finanças, abordando tópicos como teoria da firma, equilíbrio parcial e geral, decisão em ambiente de incerteza, mercados não competitivos e teoria da informação.
2) A segunda parte do documento foca na teoria da firma, definindo conceitos como função de produção, produtividade marginal, taxa de substituição técnica e retornos de escala.
3) Propriedades como produtividade marginal decrescente e taxa de substituição té
O documento descreve o problema de transporte (PT) e fornece um exemplo protótipo. O PT envolve a distribuição ótima de produtos entre origens e destinos, considerando capacidades e custos de transporte. No exemplo, a distribuição ótima de leite entre fábricas e armazéns é modelada como um PT para minimizar custos totais. A formulação matemática do PT é apresentada.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre conjuntos numéricos, operações com conjuntos, sistemas de numeração e aplicações do máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Inclui definições de conjunto, pertinência, união, interseção e diferença. Aborda também subconjuntos, números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento descreve o problema de transporte (PT) e apresenta um exemplo prototípico para ilustrar sua formulação como um problema de programação linear. O exemplo trata da distribuição otimizada de leite de três fábricas para quatro armazéns, com o objetivo de minimizar os custos de transporte. Os dados do exemplo são usados para formular o PT como um modelo matemático de minimização sujeito a restrições de oferta e procura.
O documento apresenta uma atividade prática supervisionada de Comportamento Organizacional realizada por estudantes do curso de Administração. A atividade inclui duas etapas: a primeira analisa a personalidade e comportamento individual dos funcionários de uma empresa de serviços para animais de estimação, e a segunda avalia os processos motivacionais dos gestores da empresa e o impacto do estresse em seu comportamento.
O documento apresenta uma introdução sobre modelagem e análise de decisão para a disciplina de Pesquisa Operacional. Explica que modelos matemáticos implementados em planilhas eletrônicas podem ser usados para avaliar alternativas de decisão de forma eficaz. Também discute os benefícios da abordagem de modelagem para tomada de decisão.
Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovação no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduação em Tecnologia em Agronegócios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porém, lembre-se de realizar as devidas citações.
O documento apresenta uma introdução à análise de sensibilidade em problemas de programação linear, descrevendo como pequenas alterações nos parâmetros do problema, como adição de variáveis, restrições ou modificações nos vetores b, c, podem afetar as soluções ótimas. A análise de sensibilidade permite avaliar o impacto dessas alterações sem precisar resolver o problema do zero.
1) O documento apresenta uma análise de sensibilidade de um problema de programação linear resolvido graficamente e no Excel.
2) A análise examina o efeito de alterações nos coeficientes da função objetivo e nas constantes das restrições, mostrando que pequenas variações não alteram a solução ótima.
3) O relatório no Excel fornece informações sobre a solução ótima, variáveis, restrições e uma análise de sensibilidade dos parâmetros do problema.
A biomecânica estuda o movimento humano sob aspectos mecânicos, analisando as forças que atuam sobre o corpo e os efeitos produzidos. Ela investiga os princípios mecânicos aplicados ao movimento humano, como força, torque, centro de gravidade entre outros, utilizando métodos como cinemática, cinética, eletromiografia e dinamometria.
Este documento fornece um resumo sobre gestão da qualidade, abordando conceitos como:
1) A qualidade deve satisfazer as necessidades dos clientes;
2) A melhoria contínua é essencial para manter a qualidade e competitividade;
3) Métodos como PDCA/MASP e ferramentas como 5S ajudam a melhorar processos e resolver problemas.
A programação linear é uma técnica de otimização que usa expressões lineares para modelar problemas e encontrar soluções ótimas. Ela surgiu em 1947 para resolver problemas logísticos durante a Segunda Guerra Mundial. Problemas de programação linear definem variáveis de decisão, uma função objetivo a ser otimizada e restrições a serem satisfeitas.
O capítulo descreve problemas de programação inteira e mista. Apresenta um exemplo ilustrativo sobre escolha de produção que maximiza lucro, resolvido por enumeração. Explica que soluções de problemas relaxados podem não ser inteiras, requerendo métodos específicos.
O documento discute o método Simplex para resolver problemas de programação linear. Ele apresenta um exemplo de maximização de lucro de uma empresa que produz mesas e armários de alumínio, sujeita a restrições de matéria-prima e mão de obra. A solução ótima é produzir 4 mesas utilizando todos os recursos disponíveis, gerando um lucro total de R$16.
O seminário apresentou introdução à otimização convexa e resolução de problemas utilizando CVX. Foi discutido breve histórico da otimização, conceitos de funções e conjuntos convexos, problemas de otimização convexa e métodos de resolução como o método de pontos interiores. O software CVX foi apresentado como ferramenta para modelagem e resolução de problemas de otimização convexa.
O documento apresenta exemplos de resolução de problemas de programação linear utilizando softwares como Lindo, QM for Windows e o Solver do Excel. São resolvidos problemas como o de Giapetto e um problema de orçamento de capital maximizando o valor presente líquido total. Softwares como esses auxiliam na resolução de problemas que envolvem muitas etapas de cálculo manual.
A pesquisa operacional é um método científico de tomada de decisões que utiliza modelos matemáticos para otimizar sistemas. O modelo apresentado utiliza programação linear para maximizar o lucro de um sapateiro, sujeito a restrições de disponibilidade de couro e tempo de produção.
Este documento apresenta um livro com exercícios de programação linear resolvidos em português. O livro contém 10 capítulos cobrindo tópicos como formulação de problemas, resolução gráfica, algoritmo do Simplex, casos especiais, dualidade e análise de sensibilidade. Cada capítulo é dedicado a um tópico e contém exercícios relacionados ao tópico com as respectivas resoluções.
O documento discute programação linear, apresentando suas características, aplicações e o método simplex para resolução de problemas de programação linear. É apresentado um exemplo ilustrativo de um problema de programação linear com duas variáveis e três restrições.
METAHEURÍSTICA GRASP APLICADA AO PROBLEMA DO SEQUENCIAMENTO DE TAREFASJoao Gonçalves
Esse trabalho aborda o problema do sequenciamento (scheduling) de tarefas, que consiste no
estudo da ordem de entrada de diferentes tarefas a serem executadas em máquinas de produção.
Obter o melhor sequenciamento possível significa reduzir o tempo total de trabalho (makespan)
dessas máquinas, sendo esse o motivo desse trabalho. A solução adotada emprega o uso da
metaheurística GRASP, no qual os resultados serão mostrados nesse documento.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O plano inclui cinco atividades que utilizam exemplos do mundo real e representações algébricas para ajudar os alunos a desenvolver compreensão sobre equações de 2o grau.
José américo tarefa 1-plano de aula sobre equação do 2º grau-2ºb 9 a 2013José Américo Santos
Este documento apresenta um plano de trabalho para ensinar conceitos básicos de equações de 2o grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental, com atividades que utilizam exemplos do cotidiano e representações algébricas para despertar o interesse dos alunos. O plano inclui cinco atividades que abordam problemas com duas soluções, área de retângulos e identificação de coeficientes em equações.
O documento apresenta um plano de aulas sobre funções quadráticas. As aulas abordam a história das funções quadráticas, sua definição, resolução de problemas, gráficos, raízes, vértices e aplicações no mercado de trabalho. As atividades serão realizadas em duplas e há previsão de uso de computadores e do software Winplot. A avaliação será contínua e abrangerá exercícios, participação e um teste individual.
O documento descreve um curso sobre funções polinomiais do 1o grau ministrado em 6 aulas. A primeira aula apresenta dois problemas relacionados a planos de saúde e custos de produção para serem resolvidos usando funções do 1o grau. Nas aulas subsequentes são apresentados conceitos, construídos gráficos no software KmPlot e realizados exercícios para solidificar os conhecimentos.
Este documento descreve um projeto de aprendizagem sobre a construção de um modelo matemático para representar a cobertura da quadra de esportes da escola utilizando uma função quadrática. Os alunos irão medir a largura da quadra, determinar o vértice da parábola e traçar o gráfico no software Winplot. O professor sugere explorar conceitos como plano cartesiano, coordenadas cartesianas e função quadrática.
O documento discute problemas de otimização em matemática, especificamente como encontrar a melhor solução para um problema, seja maximizando ou minimizando uma função. Apresenta exemplos de como resolver problemas de otimização envolvendo equações lineares do primeiro grau para determinar o lucro ou custo máximo/mínimo.
O documento discute a otimização convexa, resumindo:
1) A otimização convexa busca encontrar soluções ótimas globais, ao contrário da quase convexa que pode ter soluções locais não ótimas.
2) O método de pontos interiores é eficiente para problemas convexa, minimizando funções através de pontos dentro da região viável.
3) Funções de barreira logarítmica reformulam restrições para aplicar o método de Newton e encontrar a trajetória central do problema original.
Este guia apresenta os principais comandos e funcionalidades do MatLab para alunos de engenharia. O documento introduz comandos básicos, operações com vetores e matrizes, funções matemáticas, plotagem de gráficos e programação de rotinas no MatLab.
O documento discute técnicas de estudo para matemática e química, incluindo desenvolver um plano de estudo e designar um espaço de estudo. Ele também explica como a matemática é usada em química e descreve a operação básica da multiplicação, incluindo como usar o algoritmo da multiplicação para problemas maiores.
Este documento apresenta a equipe administrativa e pedagógica responsável pela elaboração de materiais didáticos de Língua Portuguesa e Matemática para o 4o e 8o ano do ensino fundamental de uma Secretaria Municipal de Educação. A lista inclui o prefeito, vice-prefeito, secretária de educação e outros cargos administrativos e coordenadores dos departamentos e divisões envolvidos no projeto.
Este documento apresenta um curso básico de MATLAB, abordando conceitos como tipos de variáveis, criação e manipulação de matrizes, operações básicas, criação e manipulação de gráficos, funções, equações diferenciais, loops e condicionais. O curso inclui exemplos de código e exercícios para fixar os conceitos apresentados.
1. Universidade Anhanguera – UNIDERP
Centro de Educação a Distância
Polo de Echaporã- SP
Administração
ATPS DE PESQUISA OPERACIONAL
Alessandra Antonucci Heiras – RA: 365502
Tutora Presencial: Milene Graziele Rocha.
Professor EAD:
2. 2
SUMÁRIO:
1- INTRODUÇÃO................................................................................. 3
2- PROGRAMAÇÃO LINEAR.......................................................... 4
2.1- Resolução do problema do Desafio do Trabalho em questão...... 5
3- MODELAGEM DE PROBLEMA DE ALOCAÇÃO
DE RECURSOS..................................................................................6
4- VARIÁVEL DE FOGA – SOLUÇÃO POR SISTEMA
DE EQUAÇÃO LINEAR....................................................................9
4.1- Exercício 2 de programação linear................................................9
5- RESOLVENDO A PROGRAMA LINEAR PELO MÉTODO
SIMPLEX USANDO O SOLVER DO EXCEL....................................12
6- Conclusão........................................................................................20
7- bibliografia e sites utilizados...........................................................21
3. 3
1- INTRODUÇÃO
O papel de uma organização na sociedade onde está inserida é suprir a necessidade de produtos ou
serviços.
Quando uma organização passa a existir na sociedade, já nasce com uma missão e um objetivo a
alcançar. E como objetivo sempre irá existir a venda de seus produtos e serviços, e as estratégias que a mesma
criará para atingir a maximização do lucro mesmo tendo restrições emseus recursos e mão- de – obra.
Com isso neste trabalho falaremos da importância da Pesquisa Operacional na Tomada de
Decisões relacionada à maximização de lucro ou Minimização de custos para que a empresa consiga alcançar
seus objetivos da melhor forma possível.
Falaremos da Programação Linear como instrumento para resolução de problemas de casos, da
Modelagem de problemas de alocação de recursos.Usaremos a ferramenta GEOGEBRA para a construção de
gráficos, do Solver do Microsoft Excel e assim ao final, apresentaremos uma Decisão precisa através de
verificação de dados e informações para que a Empresa em questão consiga maximizar o seu lucro.
DESAFIO:
Uma marcenaria deseja implementar uma programação diária de produção contendo em seu
escopo apenas dois produtos distintos: armário e cadeira, ambos em um único modelo produtivo. Seus gestores
sabem que, para fazer tal programação, a mesma tem estas limitações: matéria-prima (madeira), que tem um
consumo de 24 m2, e mão de obra, cuja disponibilidade é de oito horas. Assim, desenvolva o modelo mais
adequado de produção.
2- PROGRAMAÇÃO LINEAR
A PROGRAMAÇÃO LINEAR é um método para a resolução de problemas , onde sua solução é
por meio de gráfico. Ele é utilizado para maximizar ou minimizar uma função linear de variáveis, chamada de
função objetivo, sujeita a uma série de equação ou inequações lineares chamadas de restrições.
Para montar um problema usando a Programação Linear precisamos de três passos básicos:
a) Definir o objetivo do problema (maximizar ou minimizar)
b) Decidir as variáveis envolvidas no problema
c) Conhecer as restrições a que está sujeito o problema
Portanto o objetivo da programação linear é fornecer ferramentas para resolver problemas onde o
desafio é encontrar o maior ou menor valor possívelem uma função linear, cujas variáveis possuemrestrições.
O problema geral do PL fica assim:
- Função Objetivo: Maximizar ou minimizar;
Z= c1*x1 +c2*x2+...cn*xn
- Sujeita às restrições;
4. 4
a
- Considerando que todas as variáveis tenham valores positivos;
Par resolver os problemas de PL pela Solução Gráfica é preciso que o mesmo tenha duas variáveis.
Após achar a função objetivo e suas restrições é hora de traçar o gráfico comseus eixos sendo as variáveis x1 e
x2. Depois que traçou os eixos deve-se traçar as restrições do problema e delimitar a região viável. Após isso,
traça-se uma reta com a inclinação da função objetivo, buscando retas paralelas a ela que forneçam a solução
para o problema.
Exemplo:
Quando traçamos o gráfico a área delimitada fornecerá uma solução que poderá ser:
a) Solução admissível e limitada ou Solução ótima: existe uma região admissível e em um
ou mais dos seus extremos a solução é ótima (a solução possívelque otimiza a função objetivo).
b) Solução ilimitada: é aquela em que a função objetivo pode crescer (caso da maximização)
ou decrescer (caso da minimização), indefinidamente, atendendo a todas as restrições do problema.
c) Sem solução: - é aquela em que não há qualquer ponto que atenda ao conjunto de
restrições.
2.1- Resolução do problema do Desafio do Trabalho em questão:
Quantidade de madeira utilizada para construção de cada cadeira: 4 m²
Tempo de mão de obra para cortar e montar: 2 horas
5. 5
Lucro unitário: R$45,00
Quantidade de madeira para fabricar um armário: 8m²
Tempo de cortar e montagem: 4 horas
Lucro unitário: R$400,00
Restrições: 24 m²
Horas de serviços: 8 horas
Objetivo é maximizar o lucro da empresa
Variáveis Madeira necessária Horas Lucro
x 1= cadeira 4 2 R$45,00
X2 = armário 8 4 R$ 400,00
Restrições ≤ 24 ≤ 8
MZ= 45*x1+ 400*x2
Sujeito à:
4*x1+8*x2 ≤ 24
2*x1+4*x2 ≤ 8
X1,x2 ≥ 0
3- MODELAGEM DE PROBLEMAS DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS
O objetivo do problema é usar da melhor forma os recursos escassos na realização das tarefas ou
produção de produtos, coma finalidade de obter um valor ótimo do objetivo estabelecido.
Modelagem do problema:
Variáveis de decisão:
X1 = quanto produzir de cadeira por dia para maximizar o lucro
X2 = quanto produzir de armário por dia para maximizar o lucro
6. 6
Em relação ao nosso problema o modelo completo fica assim:
MZ= 45*x1 + 400*x2 Função Objetivo
Lucro cadeira Lucro do armário
Sujeito à:
4*x1+8*x2 ≤ 24
Utilização da madeira disponibilidade Restrições técnicas
2*x1+4*x2 ≤ 8
Utilização de disponibilidade
Mão de obra
X1,x2 ≥ 0 não negatividade
Definiçãodasvariáveis(oque
queremossaber?)
Relaçõesmatemátocasdas
restrições( aque condições
devemosobedecer?)
Equação da FunçãoObjetivo
(comoo objetivopode ser
escritoemtermosde variáveis?)
MODELO COMPLETO
7. 7
Resolução por gráfico:
MZ= 45*x1+ 400*x2
Sujeito à:
4*x1+8*x2 ≤ 24 x2≤ 24/8-4/8x2 = x2≤ 3 -4/8x1
2*x1+4*x2 ≤ 8 x2≤ 8/4 – 2/4 x1 = x2≤ 2 – 2/4x1
X1,x2 ≥ 0
Gráfico:
Pontos que satisfazemtodas as restrições:
A= (4,0)
D= (0,2) solução ótima do problema
E= (0,0)
Trocar na função objetivo:
MZ= 45*x1+ 400*x2
Z=45*4+400*0 = 180
Z= 45*0+400*2 = 800 maior valor
Z=45*0+400*0 = 0
Em uma produção de cadeiras e armário com as restrições existe no momento, será viável ao
proprietário deixar de fabricar cadeiras e fabricar somente armários para maximizar o seu lucro. Fabricando 2
armários por dia ele terá um lucro de R$800,00 no dia.
4- VARIÁVEL DE FOLGA – SOLUÇÃO POR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Neste momento vamos apresentar umtipo de solução onde serão introduzidas as variáveis de folga
com a finalidade de transformar as inequações (≥,≤) em equações (=). No problema estudado, as restrições
têm a seguinte lógica: UTILIZAÇÃO DE RECURSO – DISPONIBILIDADE.
Quando introduzimos o conceito de folga de recurso, a inequação fica escrita da seguinte forma:
8. 8
Utilização de recurso + Folga = Disponibilidade
Isto significa que a Utilização de recurso menor que a disponibilidade implica uma Folga maior
que zero; e Utilização de recurso igual disponibilidade implica folga igual zero. Desta forma cada recurso pode
ser representada por uma variável de forma exatamente igual à produção de cada produto. Então vamos chamar:
f1 : folga de madeira;
f2 : folga de mão de obra.
Colocando no modelo do problema:
MZ= 45*x1+ 400*x2
Sujeito à:
4*x1+8*x2+ ≤ 24 4x1+8x2+ f1 = 24
2*x1+4*x2 ≤ 8 2x1+4x2+f2 = 8
X1,x2 ≥ 0 x1,x2,f1,f2 ≥ 0
4.1- EXERCÍCIO 2 DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Uma confeiteira faz bolo simples e recheado para vender, por dia ela consegue vender 14 bolos de
simples e 6 recheado. E ela disponibiliza de 32 horas semanais para fazer esses bolos, sendo que para fazer o
bolo simples ela demora 1 hora e o bolo recheado 2 horas. Quantos bolos ela terá que fazer de cada para
maximizar seu lucro sabendo que o bolo simples custa R$ 8,00 a unidade e o recheado R$10,00?
Produto venda Tempo gasto Lucro
Bolo simples (x1) 14 1 8,00
Bolo recheado (x2) 6 2 10,00
Restrições ≤ 32
Função Objetivo:
Z= 8x1+10x2
Sujeito à:
X1+2x2 ≤ 32 x2 ≤ 16-x1 reta azul
X1≤ 14 reta laranja
X2 ≤ 6 reta verde
x1,x2 ≥ 0
9. 9
Gráfico:
Pontos:
A= (14,0)
B= (0,6)
C= (0,0)
D= (14,2)
E= (10,6)
Z= 8x1+10x2
Z= 8*14+10*0= 112 Ponto A
Z=8*0+10*6=60 Ponto B
Z= 8*0+10*0 =0 Ponto C
Z= 8*14+10*2 = 132,00 Ponto D
Z= 8*10+10*6= 140 Ponto E
Resposta: conforme o enunciado, para que a confeiteira maximize seu lucro fabricando bolos. Ela
precisará fazer 10 bolos simples e 6 bolos recheados por dia.
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5- RESOLVENDO A PROGRAMA LINEAR PELO MÉTODO SIMPLEX USANDO O
SOLVER DO EXCEL
Tomando como exemplo novamente o problema da confeiteira:
Modelo:
Função Objetivo:
Z= 8x1+10x2
Sujeito à:
X1+2x2 ≤ 32
X1≤ 14
X2 ≤ 6
x1,x2 ≥ 0
Em primeiro lugar temos que abrir o Excel e habilitar o Solver em sua barra de ferramentas. Clicar
em suplementos e então habilitar.
Após essa parte voltar à planilha do Excel onde colocaremos os dados da modelagemdo problema
acima. E fica assim:
Observe que onde está o Zero foi inserida uma fórmula de Excel.
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Vamos colocar agora nas células as restrições
Observação: como um método simples para guardar o LHC e RHC, basta lembrar que LHC (mão esquerda) é
tudo o que está antes do sinal de ≤ e RHC (mão direita) é tudo o que está depois do ≤ . portanto o LHC deverá
ser montado por fórmulas do Excel.
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Agora chegou a hora de usar o Solver
Ir a dados e no canto esquerdo clicar no solver que aparecerá a tela abaixo:
Em definir célula de destino é onde vamos colocar a célula B5, referente ao valor de Z. E as células de variáveis,
são as de variável ideal B4 : C4.
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Depois vou colocar as minhas restrições. Vou clicar em submeter às restrições e adicionar e aparecerá a tela
abaixo.
E como exemplo, acrescentei o que vamos colocar em cada espaço.
Colocando os valores exatos fica assim e após clico em adicionar. E assim vou colocar todas as restrições.
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Quando adicionar a última restrição, clicar em Ok e ficará assim:
Devo de colocar também a restrição de positividade que é x1,x2 ≥ 0. Portanto clico em adicionar novamente. E
agora em referência de célula vou colocar B4 : C4, vou mudar o sinal para ≥ e na restrição vou colocar 0 e clicar
em OK.
Vai aparecer essa tela. Então vou clicar em opções:
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Na próxima tela vou marcar presumir modelo linear e presumir não negativos e vou clicar em OK.
Voltara para a seguinte tela e então clico em resolver:
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E Aparecerá a tela abaixo é só dar Ok e então observaremos que nas células B4, C4 e B5 aparecem valores.
Logo, também aparecerão valores nas células LHC das restrições.
Final:
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Podemos concluir que pelo método simplex a confeiteira deverá fazer 14 bolos simples e 6 bolos recheados por
dia para maximizar em R$172,00 dia o seu lucro.
6- Conclusão:
A programação Linear é uma ferramenta matemática utilizada para encontrar a solução ótima para
problemas. Ela tem sido usada em pesquisa operacional para ajudar as empresas a planejar suas tarefas e
atividades.
Há vários tipos para se resolver um problema de Programação Linear. Através de gráfico, método
simplex e utilizando o microcomputador com programas que auxiliam nos cálculos como o Excel e o seu
suplemento, O Solver.
Assim podemos concluir que várias empresas já utilizam de tal ferramenta para maximizar seus
lucros ou minimizar custos.
Um exemplo destaca a multinacional de restauração McDonald's, que estudou a otimização dos
horários de trabalho em quatro estabelecimentos e conseguiu uma mais eficiente utilização da mão de obra em
grande parte, em tempo parcial, e com maior grau de satisfação por parte dos trabalhadores, que apresentaram
um melhor desempenho, refletindo também na satisfação dos clientes.
Portanto um bom gestor deverá ter o conhecimento em que parte da empresa poderá utilizar essa
ferramenta, pois ela é útil para todos os departamentos. Basta saber os coeficientes de cada problema e então
assim estudá-los através da pesquisa operacional para obter melhores resultados e ter diferencial no mercado
competitivo.
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7- Bibliografias e sites utilizados para pesquisa
https://pt.wikibooks.org/wiki/Pesquisa_operacional/Introducao_à_ProgramacaoLinear - Acesso em
10/11/2015
http://baixarparafazeremcasa.blogspot.com.br/2011/12/cadeira-de-varanda.html - Acesso
12/11/2015
http://slideplayer.com.br/slide/1747817/ - Acesso em 10/11/2015
http://www.deinf.ufma.br/~acmo/grad/PO_c02_v2005.pdf - Acesso em12/11/2015
https://www.youtube.com/watch?v=Pnn8u4jBsug - Acesso em 12/11/2015
http://matematica.com.pt/file.axd?file=programacaoLinear.pdf - Acesso em 12/11/2015
Bibliografias:
LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional. 4ed. São Paulo: Pearson, 2009. PLT 401