1. Método dos Mínimos
Quadrados
Aula 4
Otaviano Helene
Instituto de Física da USP
Abril maio/
2023
Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
2023
2. Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
2023
1) Relação entre o uso de matrizes e de derivadas no MMQ
1) Matrizes
Grandezas
medidas
Resultados
y
2a+3b 50
4a+5b 100
2 3
4 5
Matriz de
planejamento
Solução
2 4
3 5
·
2 3
4 5
·
𝑎
෨
𝑏
=
2 4
3 5
·
50
100
2 · 2 + 4 · 4 2 · 3 + 4 · 5
3 · 2 + 5 · 4 3 · 3 + 5 · 5
·
𝑎
෨
𝑏
=
2 4
3 5
·
50
100
4. Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
2023
Desvio padrão, variância, peso...
Pare relembrar
Exemplo: média de 6 dados igualmente precisos (“confiáveis”)
O MMQ resultado do MMQ indica que o melhor é usar a média deles
𝑥 = ҧ
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6
6
Nenhuma outra estimativa (não tendenciosa e linear nos dados) é
mais precisa do que essa
5. Suponha que esses dados tenham sido combinados
lj
𝑥123 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
3
Como combinar lj
𝑥123, lj
𝑥45 e 𝑥6 para obter o
mesmo resultado que o do MMQ?
lj
𝑥 =
3 lj
𝑥123+2 lj
𝑥45+𝑥6
6
=
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5+𝑥6
6
Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
2023
lj
𝑥45 =
𝑥4 + 𝑥5
2
De alguma forma, a precisão de uma média depende
de quantos dados foram usados para calculá-la. É o
desvio padrão deve reflete a precisão de um dados.
6. • Como ponderar uma média de dados com diferentes
desvios padrões: com o quadrado do inverso do d.p.
• Exemplo: média de 6 dados com mesmos σ’s.
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ҧ
𝑥 =
𝑥1
𝜎2+
𝑥2
𝜎2+
𝑥3
𝜎2+
𝑥4
𝜎2+
𝑥5
𝜎2+
𝑥6
𝜎2
1
𝜎2+
1
𝜎2+
1
𝜎2+
1
𝜎2+
1
𝜎2+
1
𝜎2
=
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5+𝑥6
6
7. Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
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n
média
=
8. Conclusões:
Ponderar com o inverso da variância.
Desvio padrão da média de n dados
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ҧ
𝑥 =
𝑥123
ൗ
𝜎2
3
+
𝑥45
ൗ
𝜎2
2
+
𝑥6
𝜎2
1
ൗ
𝜎2
3
+
1
ൗ
𝜎2
2
+
1
𝜎2
=
3𝑥123+2𝑥45+𝑥6
3+2+1
=
(𝑥1+𝑥2+𝑥3)+(𝑥4+𝑥5)+𝑥6
6
n
média
=
9. 2) “Propagação de erros”
• Ou melhor, cálculo do desvio padrão de uma grandeza que depende
de outra(s) grandeza(s)
• Lembrando: o desvio padrão de uma coleção de dados x1, x2, ... xn
correspondentes à media de uma mesma grandeza é estimado por
( )
=
−
−
n
i
i x
x
n 1
2
2
1
1
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10. • Se 𝜎 é o desvio padrão de x, qual é o desvio padrão de x/2?
Claro que a média da metade dos valores de destes valores x1, x2, ... xn é ҧ
𝑥/2.
Sua variância é 𝜎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑥′𝑠
2
=
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
(
𝑥𝑖
2
−
ҧ
𝑥
2
)2
, ou 𝜎𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑥′𝑠
2
=
𝜎2
4
sendo
σ o d. p. de x. Portanto, 𝜎𝑥/2 =
𝜎
2
.
• O desvio padrão do dobro dos valores de x é 2𝜎 .
Da mesma forma, o d. p. de x mais uma constante é o mesmo que o d. p. de x.
( )
=
−
−
n
i
i x
x
n 1
2
2
1
1
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11. • O desvio padrão da média de x, ҧ
𝑥, sendo x1, x2, ... xn os dados e 𝜎 seus
desvios padrões, é 𝜎 ҧ
𝑥 =
𝜎
𝑛
.
• Então, o d. p. de ҧ
𝑥/2 é 𝜎 ҧ
𝑥/2 =
𝜎
2 𝑛
.
• Se 𝜎 é o d. p. de uma grandeza x, o desvio padrão de a vezes essa grandeza
é 𝑎 · 𝜎 . Assim: 𝜎𝑎𝑥
2
=
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
(𝑎𝑥𝑖 − 𝑎 ҧ
𝑥)2
= 𝑎2
𝜎𝑥
2
• O d.p. dessa mesma grandeza mais uma constante b (exata) é o mesmo
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𝝈𝒂𝒙
𝟐
= 𝒂𝟐
𝝈𝒙
𝟐
𝐑𝐞𝐠𝐫𝐚 𝟏
12. • Exemplos:
• A largura de uma folha de papel medida com régua escolar foi de
21,15cm, cujo d.p. é 0,5mm (21,15±0,05 cm). Qual a largura de duas
folhas como essa colocadas lado a lado?
• Resposta: 42,30cm com d. p. 1 mm ou 42,30±0,10 cm
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13. • Vamos a uma situação nova: qual é o d. p. da soma de duas grandezas
que têm incertezas?
• Vamos ver uma situação simplificada, cujo resultado pode ser
generalizado
• x1, x2, ... xn, e y1, y2, ... yn. Se 𝜎 ҧ
𝑥 é o d. p. de x e 𝜎𝑦 o d.p. de y, qual é o
d. p. de x+y?
• 𝜎𝑥+𝑦
2
= 𝜎𝑥
2
+ 𝜎𝑦
2
𝜎𝑥+𝑦
2 =
1
𝑛 − 1
𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 − ҧ
𝑥 − ത
𝑦)2
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𝝈𝒙+𝒚
𝟐
= 𝝈𝒙
𝟐
+ 𝝈𝒚
𝟐
Regra 2
15. Separando as três somas:
𝜎𝑥+𝑦
2
=
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ
𝑥)2
+
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
(𝑦𝑖 − ത
𝑦)2
+ 2
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
(𝑦𝑖 − ത
𝑦)(𝑥𝑖 − ҧ
𝑥)
𝜎𝑥
2 𝜎𝑦
2
𝑖=1
𝑛
(𝑦𝑖 − ത
𝑦)(𝑥𝑖 − ҧ
𝑥)
Termo cruzado:
Note que nas duas primeiras soma só havia termos positivos. Nesta última há termos
positivos e negativos.
Se x e y são independentes (medidas em balanças diferentes, medidas com réguas
diferentes ...) , essa soma tende a ser nula
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16. • Conclusão: a variância de x+y é a soma das variâncias: 𝜎𝑥+𝑦
2 = 𝜎𝑥
2+ 𝜎𝑦
2
O desvio padrão é
Exemplo: A largura de uma folha de papel medida com régua
escolar foi de 11,45cm, com d.p. 0,5mm (11,45±0,05 cm). Outra
folha de papel tem largura 28,80±0,05 cm. Qual a largura das duas
folhas colocadas lado a lado?
𝜎𝑥+𝑦 = 𝜎𝑥
2
+ 𝜎𝑦
2
0,052 + 0,052 = 0,07 𝑐𝑚
R: 40,25 com d. p.
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17. • Regra geral
Se uma grandeza depende de várias outras grandezas estatisticamente
independentes umas das outras, digamos f=ax+by+cz, a variância de f é
𝝈𝒇
𝟐
= 𝒂𝟐𝝈𝒙
𝟐 + 𝒃𝟐𝝈𝒚
𝟐 + 𝒄𝟐𝝈𝒛
𝟐 ,
onde σx, σy e σz são os desvios padrões de x, y e z.
Exemplo - Considere os seguintes pesos de pessoas (em kg): 33,3(0,3);
40,0(0,4) e 35,5(0,5). Qual o peso de todas essas pessoas juntas (e o
respectivo desvio padrão)?
R: 108,8 com d. p. 𝜎𝑠𝑜𝑚𝑎 = 0,32 + 0,42 + 0,52 = 0,7
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18. Significado do desvio padrão
Se na medida de uma grandeza obtemos um valor x, com desvio
padrão σ, isso significa que o valor verdadeiro da grandeza deve estar
no intervalo x-σ e x+σ com determinada probabilidade.
Se a distribuição dos dados que deram origem a esse resultado for
gaussiana (ou normal), essa probabilidade é de 68%.
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19. • Exemplo: Média de dois resultados para uma mesma grandeza
• 𝑥1 = 9,8 ± 2,0
• 𝑥2 = 10,0 ± 1,0
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𝑥 =
9,8
4
+
10
1
1
4
+
1
1
=
12,45
1,25
= 9,96
Média ponderada: peso tão maior quanto menor for a variância
𝑥 = 0,2 · 𝑥1 + 0,8 · 𝑥2
Pesos: de 𝑥1
1
4
1
4
+
1
1
= 0,2 de 𝑥2
1
1
4
+
1
1
= 0,8
20. Método dos Mínimos Quadrados, Otaviano Helene, abril maio
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Qual a variância dessa média?
𝑥 = 0,2 · 𝑥1 + 0,8 · 𝑥2
𝝈𝒇
𝟐
= 𝒂𝟐𝝈𝒙
𝟐 + 𝒃𝟐𝝈𝒚
𝟐 + 𝒄𝟐𝝈𝒛
𝟐
𝜎
𝑥
2
= 0,04 · 4 + 0,64 · 1 = 0,89
Usando a regra de propagação de variâncias
O desvio padrão é 0,80, menor que o menor deles
𝑥 =
9,8
4
+
10
1
1
4
+
1
1
=
12,45
1,25
= 9,96
21. • Dez dados não
tendenciosos das massas
do líquido no recipiente
e do recipiente vazio.
• As diferenças são as
massas correspondentes
ao líquido apenas
Dados (g) Dados (g) Diferenças (g)
2,56 1,41 1,15
1,22 2,96 -1,74
3,51 1,91 1,60
3,9 1,74 2,16
4,09 1,84 2,25
2,38 1,84 0,54
2,27 0,67 1,60
3,78 2,25 1,53
2,58 3,05 -0,47
3,99 0,76 3,23
• Um breve intervalo: tendenciosidade e não
tendenciosidade
Exemplo
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22. • Se as medidas de massa são não tendenciosas, então
as diferenças também não o são.
• A média das diferenças também não é tendenciosa.
Essa média é 1,19 g.
• Entretanto, se os dados “não físicos” (massas
negativas) forem descartados, a média, que será
1,76 g, será tendenciosa. A tendenciosidade surge
por causa de um procedimento inadequado do
experimentador: os valores negativos são não
físicos, mas estatisticamente necessários!
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