Capitulo 1 vetores - Geometria Analítica

AL0002 – Geometria Analítica
Prof. Lucas Compassi Severo
lucassevero@unipampa.edu.br
Engenharia de Telecomunicações
Campus Alegrete

Conteúdo
• Introdução aos Vetores
• Operação com vetores
• Tratamento Algébrico
• Produto entre Vetores
• Aplicações de Vetores
2
AL0002 – GEOMETRIA ANALÍTICA - Prof. Lucas C. Severo

3

Introdução aos Vetores
• Os eventos matemáticos ou físicos podem ser
descritos através de grandezas:
• Escalares: representados totalmente com apenas
um valor e sua unidade.
– Exemplo: Temperatura (27°C), Luminosidade (870
lux)
• Vetoriais: representados totalmente por
magnitude, direção, sentido e uma unidade.
– Exemplo: Velocidade, Força e Potência Elétrica
4

• Grandeza Vetorial:
– Magnitude: Comprimento do Vetor (Módulo)
– Direção: Inclinação do Vetor
– Sentido: definem o início e o fim do vetor
– Unidade: relacionam à grandeza e referência
adotada
5

• Representação do Vetor:
– A representação por ser realizada:
• Plano (|R2): Plano cartesiano formado pelos eixos X e Y
– A(0,0) e A(-2,3)
• Espaço (|R3): Espaço tridimensional formado pelos eixos X,
Y e Z
– A(0,0,0) e A(-2,3,1)
• Multidimensões (RN): Espaços não representáveis
graficamente
– A(0,0,0,0,0) e A(-2,-5,-2,3,4,7)
6

• Exemplo1:
7
V1:
• Magnitude: 3
• Direção: horizontal
• Sentido: Esquerda para Direita
V2:
• Magnitude: 3
• Direção: horizontal
• Sentido: Direita para Esquerda

• Exemplo 2: Um avião se desloca de São
Paulo para o Canadá (noroeste) com
velocidade constante de 800 km/h.
– Esboce o vetor velocidade deste avião.
• Magnitude = 800 km/h
• Direção = 45° em relação ao norte
• Sentido = Origem ao noroeste
8
800

• Casos Particulares:
– Vetores Paralelos: todo vetor que possui merma
direção é dito paralelo (“//”)
– Vetores Iguais: todo vetor que possui mesma
magnitude, direção e sentido são ditos iguais
– Vetor Oposto: A cada vetor não-nulo 𝑢
corresponde um vetor − Ԧ
𝑣 com mesma amplitude
e direção, mas sentido contrário
– Vetor Unitário: Todo vetor cuja amplitude é igual a
1. Este vetor é chamado versor dos vetores que
possuem mesma direção e sentido, porém com
amplitude diferente
AL0002 – GEOMETRIA ANALÍTICA - Prof. Lucas C. Severo 9

• Casos Particulares:
– Vetores Ortogonais: dois vetores 𝑢 e Ԧ
𝑣 são
ditos ortogonais (𝑢 ⊥ Ԧ
𝑣) se entre eles é
formado um ângulo reto (90°)
– Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são
ditos coplanares se existir algum plano onde
estes vetores são representados.
• OBS.: dois vetores sempre serão coplanares

• Exemplo 3: Considerando os nove quadrados
congruentes (mesmo tamanho) para responder se
os itens abaixo são verdadeiros ou falsos:
a) 𝐴𝐵 = 𝑂𝐹
b) 𝐴𝑀 = 𝑃𝐻
c) 𝐵𝐶 = 𝑂𝑃
d) 𝐵𝐿 = −𝑀𝐶
e) 𝐴𝐶 ∥ 𝐻𝐼
f) 𝐴𝐽 = 𝐹𝐺
g) 𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐺
h) 𝑃𝐸 = 𝐸𝐶
i) |𝐴𝑂| = 2|𝑁𝑃|

12

Operações com Vetores
• Assim como as grandezas escalares,
também podemos realizar operações com
vetores:
– Multiplicação, Soma, Subtração, Divisão ...

Multiplicação por Escalar
• Neste caso o vetor é apenas esticado,
encolhido ou invertido.
– Escalar Positiva e maior que 1:
• O vetor é esticado
– Escalar Positiva e menor que 1:
• O vetor é encolhido
– Escalar Negativa:
• O vetor é invertido e, ao mesmo tempo pode ser
encolhido ou esticado.

Multiplicação por escalar
• Exemplo 4:

• Propriedades:
– Distributiva sobre os vetores:
𝛼 ∙ (𝑢 + Ԧ
𝑣) = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛼 ∙ Ԧ
𝑣
– Distributiva sobre os escalares:
(𝛼 + 𝛽) ∙ 𝑢 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑢
– Associativa:
𝛼 ∙ (𝛽 ∙ 𝑢) = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑢
– Unitária:1∙ 𝑢 = 𝑢
1 ∙ 𝑢 = 𝑢

• Exemplo 5:
– Considere o vetor 𝑢 = 1,2,5 para calcular:
• A) Ԧ
𝑠 = −3 ∙ 𝑢
• B) Ԧ
𝑡 = 0,2 ∙ 𝑢
• C) Ԧ
𝑣 = 8 ∙ 𝑢

Adição de Vetores
• A adição de vetores pode ser realizada
através do posicionamento de um vetor
logo após o outro, partindo da origem.
– O vetor soma será igual ao vetor partindo da
origem à posição final
18

Adição de Vetores
• Alternativamente, pode-se utilizar a regra
do paralelogramo:
– Assumindo dois vetores não nulos 𝑢 e Ԧ
𝑣, a
soma 𝑢 + Ԧ
𝑣 será dada pela diagonal dos
paralelogramo formado.
19

Adição de Vetores
• Propriedades:
– Comutativa
𝑢 + Ԧ
𝑣 = Ԧ
𝑣 + 𝑢
– Associativa
𝑢 + Ԧ
𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + ( Ԧ
𝑣 + 𝑤)
– Elemento neutro
Ԧ
𝑣 + 0 = Ԧ
𝑣
– Elemento oposto
Ԧ
𝑣 + − Ԧ
𝑣 = 0
20

Adição de Vetores
• A subtração de vetores pode ser escrita
com uma adição, sabendo que:
𝑢 − Ԧ
𝑣 = 𝑢 + − Ԧ
𝑣 = 𝑢 + (−1 ∙ Ԧ
𝑣)
• No paralelogramo o vetor subtração é
visto como a diagonal oposta ao vetor
soma
21

Adição de Vetores
• Exemplo 6: Com base na figura abaixo,
calcule os seguintes vetores:
22
a) 𝐴𝐶 + 𝐶𝑁
b) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷
c) 𝐴𝐶 + 𝐷𝐶
d) 𝐴𝑂 − 𝑂𝐸
e) 𝑀𝑂 − 𝑁𝑃

23

Tratamento Algébrico
• Os vetores são representados no plano e no espaço
através de vetores base unitários e ortogonais (Ԧ
𝑖 e Ԧ
𝑗)
24
Ԧ
𝑣 = 𝑥. Ԧ
𝑖 + 𝑦. Ԧ
𝑗 𝑥: componente abscissa de Ԧ
𝑣
𝑦: componente ordenada de Ԧ
𝑣
Ԧ
𝑣 = (𝑥, 𝑦) Expressão Analítica

• Operação com Vetores
Sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e Ԧ
𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 e α ∈ ℝ
1. 𝑢 + Ԧ
𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2
2. 𝛼𝑢 = 𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1
• Exemplo 7: Dado os vetores 𝑢 = 2, −3 e Ԧ
𝑣 = −1,4 ,
determiner:
– A) 3𝑢 + 2 Ԧ
𝑣
– B) 3𝑢 − 2 Ԧ
𝑣
• Exemplo 8: Determinar o vetor Ԧ
𝑥 na igualdade 3 Ԧ
𝑥 + 2𝑢 =
1
2
Ԧ
𝑣 + Ԧ
𝑥, sendo 𝑢 = 3, −1 e Ԧ
𝑣 = −2,4
25

• Vetores definidos por dois pontos
– Considerando o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto A = 𝑥1, 𝑦1 e
término no ponto B = 𝑥2, 𝑦2
– Este vetor será dado por 𝐴𝐵 = B − A = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)
26
Por ser um vetor, sua representação
pode ocorrer em qualquer lugar do
plano: 𝐴𝐵 = 𝑃

• Vetores definidos por dois pontos
• Exemplo 9: Dado os pontos A = −1,2 , B = 3, −1 e , C =
−2,4 , determinar o ponto D, de modo que 𝐶𝐷 =
1
2
𝐴𝐵
27

• Ponto Médio
– O Ponto médio de um vetor pode ser calculado como a média
de suas coordenadas
28
Exemplo 10: Dado os pontos A = −2,3
e B = 6,2 , calcular o ponto médio M.

• Paralelismo de dois vetor
– Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e Ԧ
𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 são ditos paralelos
somente se existir um valor real 𝛼 tal que 𝑢 = 𝛼 Ԧ
𝑣
– Ou seja:
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
= 𝛼
29
Exemplo 11: Verifique se os vetores abaixo são paralelos:
a) 𝑢 = 2, 3 e Ԧ
𝑣 = −6, −9
b) Ԧ
𝑡 = 5, 7 e Ԧ
𝑠 = 15, 28

• Módulo
O módulo de um vetor pode ser calculado através de suas
coordenadas da seguinte forma:
Assumindo 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 , logo |𝑢| = 𝑥1
2 + 𝑦2
30
Exemplo 12: Considere os vetores 𝑢 = −1, 3 e
Ԧ
𝑣 = −4, 3 para calcular os seguintes
módulos:
a) |𝑢| + | Ԧ
𝑣|
b) 𝑢 + Ԧ
𝑣
c) |2𝑢 − 3 Ԧ
𝑣|

• Módulo
O cálculo do módulo de um vetor também é útil como
ferramentas para as seguintes aplicações:
– Cálculo da distância entre dois pontos
• a distância entre dois pontos A e B (dAB) pode ser calculada como sendo o
módulo do vetor 𝐴𝐵
– Cálculo do vetor versor
• Como estudado, o versor tem a mesma direção e sentido de um dado vetor, mas
como módulo igual a 1
Ԧ
𝑣 =
𝑢
|𝑢|
31
Exemplo 13: Represente os pontos A(2, -1) e B(-1,4) no plano XY e
calcule a distância entre os pontos.
Exemplo 14: Calcule o versor do vetor 𝑢 = 2, −3 e esboce
ambos os vetores no plano XY.

• Conversão de coordenadas retangulares
As coordenadas de um vetor podem ser obtidas com base
na sua magnitude e ângulo entre os vetores
– 𝜃
32
x=|𝑣|. cos 𝜃
y=|𝑣|. sen(𝜃)
𝜃
Exemplo 15: calcule as coordenadas X e
Y do vetor 𝑢 que possui módulo igual a
12 e orientação na direção nordeste.

• Representação com vetores unitários
Os vetores podem ser representados com base em vetores
unitários ortogonais:
– 𝑖 : orientação em x
– 𝑗 : orientação em y
– 𝑘 : orientação em z
Exemplo:
• 𝑢 = 1, −5 = 𝑖 − 5 𝑗
33

• Representação no espaço
– Todos os conceitos estudados anteriormente são válidos no
espaço tridimensional.
– Porém, sua representação é mais difícil à mão livre.
• Neste caso recomenda-se utilizar outro software de visualização
– Exemplo: Geogebra 3D = https://www.geogebra.org/3d
34

35

Utilizando o Geogebra Online
• O GeoGebra é um aplicativo de matemática que
combina conceitos de geometria e álgebra em uma
interface gráfica.
• Este softwares foi criado em 2001 por um professor
de matemática como uma forma de facilitar a
compreensão dos conteúdos estudados em sala de
aula
• Nele é possível realizar cálculos com pontos, vetores,
equações, entre outros, e gerar a sua representação
gráfica no plano 2D e 3D
– Além disso, o software possui um interface de
programação que permite a geração de applets didáticos.
• Existe várias comunidades de professores desenvolvendo
applets para o GeoGebra

• 2D
– Acesso através do endereço
https://www.geogebra.org/calculator
– Pode ser utilizado a interface gráfica ou linha
de comando para inserir os pontos e vetores.
• Vejamos a seguir alguns exemplos de
utilização da ferramenta online

• Exemplo GeoGebra 1:
– Criar os pontos A(-3,2), B(1,3) e C(3,-5).
• A=(-3,2)

– Criar os vetores 𝑢 = 𝐴𝐵 e Ԧ
𝑣 = 𝐵𝐶
• u=vector(Ponto1,Ponto2)
– u=vector((-3,2),(1,3)) ou u=vector(A, B)

– Criar os vetores Ԧ
𝑡 = 𝑢 + Ԧ
𝑣
• t=u+v ou t=vector(A,C)

– Calcular o módulo do vetor Ԧ
𝑡
• |t| ou |vector(Ponto1,Ponto2| ou abs (t)

– Repetir o Exemplo 6, considerando que os
quadrados possuam lado igual 1 usando o
quadrante positivo
a) 𝐴𝐶 + 𝐶𝑁
b) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷
c) 𝐴𝐶 + 𝐷𝐶
d) 𝐴𝑂 − 𝑂𝐸
e) 𝑀𝑂 − 𝑁𝑃

• 3D
– Acesso através do endereço
https://www.geogebra.org/3d
– A utilização é semelhante à versão 2D, mas
utilizando os eixos X, Y e Z!

– Criar os pontos A(-3,2,4), B(1,3,1)

– Criar o vetor 𝑢 = 𝐴𝐵

48

Produto de Vetores
• A multiplicação ou produto entre vetores é
dividida em 2 tipos:
– Produto Escalar
• Resulta em um valor escalar
– Produto Vetorial
• Resulta em um vetor
49

50

Produto Escalar
• Definição algébrica :
– Considerando dois vetores 𝑢 = 𝑥1 𝑖 +
𝑦1 𝑗 +𝑧1 𝑘 e Ԧ
𝑣 = 𝑥2 𝑖 + 𝑦2 𝑗 +𝑧2 𝑘
– O produto escalar entre 𝑢 e Ԧ
𝑣 é dado por:
𝑢 ∙ Ԧ
𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2
Exemplo 15: Dado os vetores 𝑢 = 3 𝑖 − 5 𝑗 +8 𝑘 e Ԧ
𝑣 =
4 𝑖 − 2 𝑗 − 𝑘 , calcule 𝑢 ∙ Ԧ
𝑣
Exemplo 16:
51

Produto Escalar
• Propriedades:
• Exemplo 17:
52

Produto Escalar
• Definição Geométrica:
• Exemplo 18:
53

Produto Escalar
• Observações:
54
Pode ser utilizado para
verificar de dois
vetores são ortogonais!

Produto Escalar
• Exemplo 19:
• Exemplo 20:

Produto Escalar
• Calculo do ângulo entre dois vetores
• Exemplo 21
• Exemplo 22:
56

Produto Escalar
• Ângulos diretores e cossenos diretores
Pode ser utilizado para calcular o
versor!

Produto Escalar
• Exemplo 23:
• Exemplo 24:

Produto Escalar
• Projeção de um vetor sobre outro
– Muitas vezes é interessante encontrar a projeção de um vetor
em outra direção ou outro vetor.
• Essa projeção pode ser vista como a “sobra” do vetor naquela direção.

Produto Escalar
• Projeção de um vetor sobre outro
– Exemplo 25:
– Exemplo 26:

61

Produto Vetorial
• O produto vetorial pode ser calculado
como sendo o determinante da matriz
formada pelos vetores e seus vetores
bases
62

Produto Vetorial
• Revisão – Cálculo do determinante de
uma matriz:
Fonte: https://blogdoenem.com.br/determinantes-definicao-calculo/

Produto Vetorial
• Exemplo 27:
64

Produto Vetorial
• Propriedades:
– Vetor Oposto
– Vetores Paralelos
65

Produto Vetorial
• Propriedades:
66

Produto Vetorial
• Características do produto vetorial:
– Direção de 𝑢 × Ԧ
𝑣:
• Ortogonal a 𝑢 e Ԧ
𝑣
Exemplo 28: Verifique a ortogonalidade do produto
vetorial dos seguintes vetores
67

Produto Vetorial
– Sentido de 𝑢 × Ԧ
𝑣:
• O sentido é definido pela regra
da mão direita (forma gráfica)
68

Produto Vetorial
– Comprimento de 𝑢 × Ԧ
𝑣:
• Analítico:
• Geométrico:
– Área do paralelogramo formado entre 𝑢 e Ԧ
𝑣
69

Produto Vetorial
– Exemplo 29
70

Produto Vetorial
• Relações com o paralelogramo:
71

Produto Vetorial
• Relações com o paralelogramo:
72

73

Produto Misto
• O produto misto é visto como o produto
escalar de um vetor com o produto vetorial
de dois outros vetores
• Exemplo 30
74

Produto Misto
• Propriedades:
75

Produto Misto
• Exemplo 31:
• Exemplo 32:

Produto Misto
• Interpretação Geométrica
– O módulo do produto misto entre os vetores não
coplanares 𝑢, Ԧ
𝑣 e 𝑤 é igual ao volume paralelepípedo
formado pelos vetores
77

Produto Misto
• Interpretação Geométrica
– Da mesma forma, o volume de tetraedros podem ser
calculados pela relação com o paralelepípedo:
78

Produto Misto
• Exemplo 33:

Próxima Aula
• Capítulo 2 – Reta
80

Capitulo 1 vetores - Geometria Analítica

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