Material de aula de Estatística Aplicada à Agricultura sobre o arranjo fatorial

1. ARRANJO FATORIAL DE TRATAMENTOS
Mario Andrade Lira Junior

2. CARACTERÍSTICAS
BÁSICAS
22/1/2014
Utilizável em qualquer delineamento experimental
 Continua a desdobrar a variação total de acordo com o
delineamento
 Tratamento é combinação de níveis de fatores, e seu efeito é
desdobrado na ANOVA

Ou seja, além da divisão da variação entre tratamento e demais
componentes
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

2

3. TERMOS



Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

Nível – cada item de um fator
Tratamento – combinação de um nível de cada fator
Efeito principal - cada fator como se fosse um experimento sozinho
Efeito secundário=interação
 Como um (ou mais) fator(es) modifica(m) o que acontece com
o(s) outro(s)
 A variação de dois ou mais fatores que não se deve a qualquer
deles isoladamente (ou à interação entre dois dos três, etc)
Número real de repetições – quantas parcelas físicas do
experimento têm cada nível do fator
 Pode ser diferente para cada fator
 Afeta a precisão dos testes F e Tukey para o fator
22/1/2014

IMPORTANTES
3

4. VANTAGENS E DESVANTAGENS
Pode aumentar demais o número
de tratamentos
Flexível
Pode ter interpretação difícil,
quando tem muitas interações
Aproxima mais da realidade
Maior número de repetições
para efeitos principais
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Desvantagens
Estuda efeitos principais e
interações
22/1/2014
Vantagens
4

5. INTERAÇÃO


Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

Se não for significativa, (F não significativo), estudar os efeitos
principais
 Cada fator é avaliado separadamente, ou seja os demais fatores
funcionam como repetições
Se for significativa, não estudar os efeitos principais
 Como a interação foi significativa, indica que um fator “mexe”
com o outro
 Não faz sentido ver o que acontece com cada um em separado
O desdobramento é feito avaliando um fator “dentro” do outro
 Compara todos os níveis do fator 2 considerando o nível X do
fator 1
 Depois compara os níveis do fator 1, para cada nível do 2
É a razão de tabelas com letras maiúsculas e minúsculas junto de
cada valor
22/1/2014

5

6. EXEMPLOS
DE APRESENTAÇÃO
160
160
140
140
100
60
40
20
0
0
50
100
150
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
120
100
0
80
Adubo
Nacional
Nativa
60
Com P
40
20
0
0
50
100
150
200
Sem P
Tropical
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
80
Matéria Seca de Nódulos (mg/planta)
120
22/1/2014
180
Tabela x - Efeito de diferentes
fontes de nitrogênio, na presença
e na ausência de adubação
fosfatada, sobre a nodulação do
feijão caupi
subsequente, Marte, 2050
Adubação fosfatada
Fontes de N
Com
Sem
Ad.
72Ba
45Ab
Nac.
129Aa
45Ab
Nat.
146Aa
64Ab
Tr.
144Aa
51Ab
Valores em uma mesma coluna,
seguidos de letras maiúsculas
idênticas, ou em uma mesma
linha seguidos por letras
minúsculas idênticas, não se
diferenciaram ao nível de 5% pelo
teste de Tukey
6

7. FORMAÇÃO



Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

Combina um nível de cada um dos fatores
Exemplo com três fatores
 Cobertura verde (Cob) – mato (Mato), Mil. (Mil.) ou Muc. (Muc.)
 Fonte de nitrogênio (N) – Ad. (Ad), inoculante Nac. (Nac), não
inoculado=Nat. (Nat), inoculante Tr. (Trop)
 Fósforo (P) – com (Com) ou sem (Sem)
Notação comum: 3 x 4 x 2
24 tratamentos
Procedimento
 Fixa um nível do primeiro fator (Mato)
 Fixa um nível do segundo fator (Ad)
 Combina com todos os níveis do terceiro fator (Mato, Ad, Com e
Mato, Ad, Sem)
 Fixa o próximo nível do segundo fator (Nac)
 Repetir até acabarem todas as combinações dos fatores 2 e 3
 Passar para o próximo nível do fator 1
 Repetir até acabar
22/1/2014

DE TRATAMENTOS
7

8. ESQUEMA DE FORMAÇÃO DE TRATAMENTOS
Fonte de N
Ad
Ad
Nac
Nac
Nat
Nat
Trop
Trop
Ad
Ad
Nac
Nac
Nat
Nat
Trop
Trop
Ad
Ad
Nac
Nac
Nat
Nat
Trop
Trop
P
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Cobertura
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
22/1/2014
Tratamento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8

9. DESDOBRAMENTO


Como de costume
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

A variação total desdobra de acordo com o delineamento, do
mesmo jeito de sempre
O efeito dos tratamentos é dividido em:
 Efeitos principais
 Cobertura, Fonte de N, Fósforo
 Interações
 Entre dois fatores - Todas as combinações de dois fatores
 Cob x N, Cob x P,N x P
 Entre três fatores -Todas as combinações entre três fatores
 Cob x N x P
O desdobramento segue a lógica normal
 Graus de liberdade
 Soma de quadrados
 Quadrado médio e teste de F
22/1/2014

DO EFEITO DE TRATAMENTOS
9

10. GRAUS DE LIBERDADE

22/1/2014
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
10

11. SOMA DE QUADRADOS


Re petições reais fator
C
Interação
 Mesma lógica do GL, adaptada para SQ na mesma lógica
do Efeito Principal
SQCombinação
SQ1 2

2
total combinação 1 e 2
2
Re petições reais combinação
SQCombinação SQFator1 SQFator 2
C
2
Trat12x1 Trat12x 2  Trat nxn
número parcelas cada combinação
A soma dos SQs dos efeitos=SQT
C
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
SQFator
total de cada nível
22/1/2014
Efeito Principal
 Mesma lógica de SQT ou SQB
11

12. SIMPLIFICAÇÃO
Fator 1
1
Fator 2
2
3
Total
1
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Os cálculos das SQ são simplificados com tabelas de dupla
entrada
 Uma tabela para cada combinação de dois fatores
 Os efeitos principais usam os totais
 A interação usa a parte central da tabela
 O total geral tem de ser igual ao total do experimento
22/1/2014

DOS CÁLCULOS
2
3
Total
Total
Geral
12

13. EXEMPLO



Blocos completos, com três repetições
Fatorial 3x4x2

Cobertura verde (A)




Fonte de nitrogênio no caupi (N)





Adubo químico – Ad.
Inoculação com estirpe recomendada Nacionalmente – Nac.
Inoculação com estirpes isoladas de região Tropical – Tr.
ausência de inoculação – Nat.
Adubação fosfatada no caupi (P)



Mato
Milheto - Mil.
Mucuna - Muc.
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

22/1/2014

Local – Unidade Acadêmica de Júpiter, 2100
Cultura – Caupi
Delineamento experimental
Com
Sem
Variável apresentada

Matéria seca de nódulos do caupi (MSN)
13

14. DADOS
N
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
P
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
MSN
60
57
137
64
182
90
229
43
39
38
128
26
44
15
136
71
150
21
145
49
113
57
115
51
BL.
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
BII
A
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
N
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
P
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
MSN
40
35
85
69
122
50
158
59
94
60
148
38
135
25
57
27
75
60
195
59
131
60
205
51
BL.
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
BIII
A
mato
mato
mato
mato
mato
mato
mato
mato
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
N
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
Ad.
Ad.
Nac.
Nac.
Nat.
Nat.
Tr.
Tr.
P
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
com
sem
MSN
99
56
83
24
301
95
191
80
30
20
32
35
115
65
96
29
60
55
205
40
175
120
108
52
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
A
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Mil.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
Muc.
22/1/2014
BL.
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
BI
14

15. TABELA PARA CALCULAR EFEITOS GERAIS
Adubo
Adubo
Nacional
Nacional
Nativa
Nativa
Tropical
Tropical
Adubo
Adubo
Nacional
Nacional
Nativa
Nativa
Tropical
Tropical
Adubo
Adubo
Nacional
Nacional
Nativa
Nativa
Tropical
Tropical
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Com
Sem
Total
BII
40
35
85
69
122
50
158
59
94
60
148
38
135
25
57
27
75
60
195
59
131
60
205
51
2038
BIII
99
56
83
24
301
95
191
80
30
20
32
35
115
65
96
29
60
55
205
40
175
120
108
52
2166
Total
199
148
305
157
605
235
578
182
163
118
308
99
294
105
289
127
285
136
545
148
419
237
428
154
6264
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Mato
Milheto
Milheto
Milheto
Milheto
Milheto
Milheto
Milheto
Milheto
Mucuna
Mucuna
Mucuna
Mucuna
Mucuna
Mucuna
Mucuna
Mucuna
BI
60
57
137
64
182
90
229
43
39
38
128
26
44
15
136
71
150
21
145
49
113
57
115
51
2060
22/1/2014
Tratamento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
15

16. CÁLCULOS DOS EFEITOS GERAIS
GLTot=tb-1=anpb-1=(3x4x2x3)-1=71
22/1/2014
GLB=b-1=3-1=2
GLT=t-1=anp-1=(3x4x2)-1=23
C=(∑X)²/anpb=(60+57+...+52)²/(3x4x2x3)=6264²/72=544968
SQTot=∑x²-c=∑(60²+57+...+52²)-544968=243172,00
SQB=∑B²/anp-c=∑(2060²+2038²+2166²)/24-544968=390,33
SQT=∑T²/B-c=∑(199²+148²+...+154²)/3-544968=177427,33
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
GLR=GLTot-GLB-GLT=71-2-23=46
SQR=SQTot-SQB-SQT=243172,00-390,33-177427,30=65354,33
16

17. DESDOBRAMENTO
Efeitos principais
Cobertura verde (C)
 Fonte de N (N)
 Fósforo (P)
22/1/2014

DOS TRATAMENTOS

Interações duplas


C x N, C x P, N x P
Interação tripla

CxNxP
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.

17

18. CÁLCULOS DOS EFEITOS PRINCIPAIS

Mucuna
421
693
656
582
2352
Total
1049
1562
1895
1758
6264
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Milheto
281
407
399
416
1503
22/1/2014
Adubo
Nacional
Nativa
Tropical
Total
Mato
347
462
840
760
2409
18

19. CONTINUAÇÃO EFEITOS PRINCIPAIS
22/1/2014

Fósforo
Milheto
1054
449
1503
Mucuna
1677
675
2352
Total
4418
1846
6264
Adubo
Nacional
Nativa
Tropical
Total
Com
647
1158
1318
1295
4418
Sem
402
404
577
463
1846
Total
1049
1562
1895
1758
6264
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Mato
Com 1687
Sem 722
Total 2409
19

20. INTERAÇÕES DUPLAS
DAS
LIBERDADES
DE
GRAUS
22/1/2014

Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
20

21. SOMA DE QUADRADOS DAS INTERAÇÕES DUPLAS

22/1/2014
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
21

22. INTERAÇÃO TRÍPLICE

22/1/2014
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
22

23. ANOVA
SQ
QM
F
PR >F (NS)
A
2
21456,75
10728,38
7,551225
0,001459
N
3
22911,67
7637,222
5,3755
0,002947
P
1
91877,56
91877,56
64,66851
2,57E-10
AxN
6
14075,25
2345,875
1,651157
0,154804
AxP
2
4008,028
2004,014
1,410536
0,254368
NxP
3
12002,78
4000,926
2,816073
0,049473
AxNxP
6
11095,31
1849,218
1,301582
0,275554
Tratamento
23
177427,3
Bloco
2
390,3333
Residuo
46
65354,33
Total
71
243172
1420,746
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
GL
22/1/2014
FV
23

24. TESTE
TUKEY – EFEITO PRINCIPAL
22/1/2014

DE
Cobertura verde
4( N ) x 2( p) x3(b)
Cobertura
Mato
Milheto
Mucuna
26,38
Total
2409
1503
2352
Média
100,38 A
62,62 B
98,00 A
Tabela 1 - Efeito de diferentes adubos
verdes sobre a nodulação do feijão
caupi subsequente, Marte, 2050
Adubo Verde
MSN
Mato
100A
Milheto
63B
Mucuna
98A
Valores em uma mesma coluna,
seguidos de letras idênticas não se
diferenciaram ao nível de 5% pelo
teste de Tukey
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
q(5%,3, 46) QMR
24

25. TESTE DE TUKEY – INTERAÇÃO N X P

N dentro de P
3(a) x3(b)
B
A
A
A
3(a) x3(b)
Adubo
Nacional
Nativa
Tropical
Sem
44,67
44,89
64,11
51,44
A
A
A
A
C
S
Ad.
71,89 a
44,67 b
29,04
Nac.
C 128,67 a
S
44,89 b
Nat.
C 146,44 a
S
64,11 b
Trop.
C
143,89 a
S
51,44 b
Tabela 2 - Efeito de diferentes fontes de nitrogênio, na presença e na ausência de adubação fosfatada,
sobre a nodulação do feijão caupi subsequente, Marte, 2050
Adubação fosfatada
Fontes de N
Com
Sem
Adubo
72Ba
45Ab
Nacional
129Aa
45Ab
Nativa
146Aa
64Ab
Tropical
144Aa
51Ab
Valores em uma mesma coluna, seguidos de letras maiúsculas idênticas, ou em uma mesma linha seguidos por letras minúsculas idênticas, não
se diferenciaram ao nível de 5% pelo teste de Tukey
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Adubo
Nacional
Nativa
Tropical
q(5%,2, 46) QMR
21,94
Com
71,89
128,67
146,44
143,89
P dentro de N
22/1/2014
q(5%,4, 46) QMR

25

26. SAS
22/1/2014

Programa
Proc GLM data=aula.fatorial;
Model MSN=bloco adverde fonteN fosforo adverde*fontenadverde*fosforo fonten*fosforo adverde*fonte*fosforo;
LSMEANS adverde|fonteN|fosforo /adjust=Tukey pdiff;
Run;
Quit;

Interpretação
The SAS System
18:44 Sunday, May 30, 2010
1
The GLM Procedure
Class Level Information
Class
Levels
Values
BLOCO
3
BI BII BIII
AdVerde
3
Mato Milheto Mucuna
FonteN
4
Adubo Nacional Nativa Tropical
Fosforo
2
Com Sem
Number of observations
72
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Class bloco adverde fonteN fosforo;
26

27. MODELO E ANOVA
The SAS System
The GLM Procedure
MSN
DF
25
46
71
Coeff Var
43.32505
Source
BLOCO
AdVerde
FonteN
AdVerde*FonteN
Fosforo
AdVerde*Fosforo
FonteN*Fosforo
AdVerd*FonteN*Fosfor
Sum of
Squares
177817.6667
65354.3333
243172.0000
Root MSE
37.69279
DF
2
2
3
6
1
2
3
6
Type III SS
390.33333
21456.75000
22911.66667
14075.25000
91877.55556
4008.02778
12002.77778
11095.30556
Mean Square
7112.7067
1420.7464
F Value
5.01
Pr > F
<.0001
MSN Mean
87.00000
Mean Square
195.16667
10728.37500
7637.22222
2345.87500
91877.55556
2004.01389
4000.92593
1849.21759
F Value
0.14
7.55
5.38
1.65
64.67
1.41
2.82
1.30
Pr > F
0.8720
0.0015
0.0029
0.1548
<.0001
0.2544
0.0495
0.2756
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Source
Model
Error
Corrected Total
R-Square
0.731242
2
22/1/2014
Dependent Variable: MSN
18:44 Sunday, May 30, 2010
27

28. TUKEY PARA EFEITO PRINCIPAL DE INTERESSE
Dependent Variable: MSN
i/j
1
2
1
0.0032
2
0.0032
3
0.9741
0.0060
3
0.9741
0.0060
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
Least Squares Means for effect AdVerde
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
3
22/1/2014
The SAS System
18:44 Sunday, May 30, 2010
The GLM Procedure
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey
LSMEAN
AdVerde
MSN LSMEAN
Number
Mato
100.375000
1
Milheto
62.625000
2
Mucuna
98.000000
3
28

29. TUKEY PARA INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA
0.7863
0.0474
0.7931
0.0029
0.9998
0.0044
0.9415
Material didático Estatística Aplicada à
Agricultura, 2013-2.
1
22/1/2014
i/j
1
2
3
4
5
6
7
8
The SAS System
18:44 Sunday, May 30, 2010
9
The GLM Procedure
Least Squares Means
Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey
LSMEAN
FonteN
Fosforo
MSN LSMEAN
Number
Adubo
Com
71.888889
1
Adubo
Sem
44.666667
2
Nacional
Com
128.666667
3
Nacional
Sem
44.888889
4
Nativa
Com
146.444444
5
Nativa
Sem
64.111111
6
Tropical
Com
143.888889
7
Tropical
Sem
51.444444
8
Least Squares Means for effect FonteN*Fosforo
Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j)
Dependent Variable: MSN
2
3
4
5
6
7
8
0.7863
0.0474
0.7931
0.0029
0.9998
0.0044
0.9415
0.0005
1.0000
<.0001
0.9548
<.0001
0.9999
0.0005
0.0006
0.9721
0.0149
0.9884
0.0018
1.0000
0.0006
<.0001
0.9575
<.0001
0.9999
<.0001
0.9721
<.0001
0.0007
1.0000
<.0001
0.9548
0.0149
0.9575
0.0007
0.0012
0.9962
<.0001
0.9884
<.0001
1.0000
0.0012
0.0001
0.9999
0.0018
0.9999
<.0001
0.9962
0.0001
29