Resumo de matemática (números complexos e matrizes)

Leia se Quiser
Olá! Antes de tudo, parabéns por ter passado de ano. Nesse ano tudo será aumentado. A dificuldade,
o estresse e a porcentagem de professores que faltam, o que se torna uma pedra na sua vida.
Me deu uma nostalgia daquelas apostilas que as escolas municipais davam pra gente. Quem estudou
em colégio municipal sabe disso, mas pra quem não eu vou explicar.
As apostilas MUNICIPAIS eram cadernos com cerca de 30 a 70 páginas, dependendo da matéria que
nós recebíamos, e éramos obrigados a fazer ela toda em 2 meses. O pior era que a cada bimestre vinha
uma leva nova de apostilas. Era tanto papel que dava até pra vender na reciclagem à quilo.
Elas não explicavam tão mal, exceto a de matemática que era simplesmente horrível. Os caras ficavam
colando bonecos do Google Imagens nela, e desenhavam balões com frases incompletas e a gente devia
completar aquela merda. Tanto cálculos como frases, vinham todos incompletos (Tipo, o cara estava
explicando a matéria pela primeira vez e estava escrito “ A _____ dos _________ com _________ se
chama ________ e dá _______”. E depois perguntavam porque a média do meu colégio era 5,2 e
porque mais da metade da turma era sempre reprovada em matemática (tá, a gente também não
queria nada com nada). No final o professor corrigia a apostila e eu tirei 1, e ainda passei direto de ano.
Isso é que é qualidade de educação.
O mais irônico de tudo foi que nosso colégio ganhou um prêmio pela nossa média ser 0,2 pontos
acima da média do município que se lembro bem era 5.

Tá mas voltando ao assunto, vou fazer esse slide em formato de apostila de colégio municipal. Pra
quem conhece relembrar e pra quem não conhece, conhecer. Afinal mesmo suas notas sendo altas você
não se garante em matemática, ninguém se garante. Se se garantir eu vou torcer pra que tire zero na
prova pra deixar de ser boçal.
Atenção o material a seguir é uma paródia das apostilas Municipais de ensino fundamental do Rio de Janeiro. A
matéria apresentada nela é real, mas a bibliografia é falsa.

Ensino médio
1°BIMESTRE - 2014
ESCOLA MUNICIPAL:_________________________________________________________________
CEFET MARACANÃ
NOME:_____________________________________________________ TURMA:_T_O__D_A_S__

Coordenadoria de Educação
Matemática - 2°ANO
1° Bimestre 2014
1
Sumário Página (não slide)
Introdução........................................................................................2
Números Complexos.........................................................................3
Potenciando números complexos.....................................................4
Equações de segundo grau com números complexos........................7
Forma algébrica...............................................................................11
Forma trigonométrica......................................................................13
Conversões de formas......................................................................14
Cálculos básicos com números complexos.......................................19
Matrizes...........................................................................................20
Cálculos com matrizes......................................................................23
Localização de um vetor numa matriz..............................................28
Veja a matéria que você não
sabe, tomara que não sejam
todas, porque se forem, diga
adeus pro resto do seu dia.

Olá alunos, hoje começaremos as matérias desse ano, que infelizmente poucos se sairão
bem. Afinal , por culpa da falta de incentivo dos pais, da sua falta de vontade de aprender,
pelo fato de todo mundo que queria ter uma salário melhor que um cobrador de Kombi já ter
saído do seu colégio, eu tenho de digitar essa apostila pra você. Enquanto dormem na sala,
enquanto seu professor e fica corrigindo provas, enquanto seus colegas entram escondidos no
facebook e os outros usam o celular do outro colega pra ver o jogo do Barcelona, por pura
falta do que fazer, você lê essa apostila.
A educação brasileira chegou a um nível tão assustador que está comprometendo até
futuras possíveis formações de famílias. Veja o seu colega por exemplo:
1° Bimestre 2014
http://www.naoleiaissoseuanimal.com.br
http://www.xalala.gov.br
Gata, vossê não é u
Pikachu, mas eu
escôlio vossê... Hãn?!!
2 [índice]

Tá, mas vamos com a matéria.
1° Bimestre 2014
3
Números Complexos
Não se assuste com esse nome. Números complexos, ou números imaginários, são sinais algébricos (letras)
que representam um número que não faz parte dos _______________ Números Reais
(lR). Como se sabe, o conjunto de
números reais são muito abrangentes, eles começam do ____ -∞ até o +∞
____ e incluem frações, números racionais
e irracionais, mas mesmo assim não há nenhum número nesse conjunto que consiga solucionar uma
________________________. Raiz quadrada Negativa
Aí é que os números complexos entram em cena. Numa equação eles são
representados pela letra “I”.
Mas por que você precisa saber a respeito desse conjunto? Porque vai cair na prova. Você pode dirigir,
comer, dormir, viajar, descansar e ler sem saber sobre isso, mas tirar uma boa nota na prova você não vai.
Tudo aqui faz parte da sua imaginação, e os resultados são imaginários (exceto em alguns casos). Mas vamos
primeiro com o básico.
√-1
O valor dessa letra I é sempre ____ que é um número irreal. Mas na matemática uma coisa leva a outra e
conseguimos vários valores diferentes potenciando esse número. Veja só:
I = √-1 I² = -1
√-1 √-1 √-1
Pelo fato de o I valer ______ , elevando-se ele ao quadrado, simplesmente se multiplica _______ por _______
e se tem ______ -1
que é um número inteiro e real, do qual você pode usar em cálculos. E essa informação é útil
num dever.
[índice]

4
Potenciando Números complexos
E agora vem uma tabela com os valores potenciados de I:
I⁰ = 1
I¹ = I
I² = -1
I³ = -I
4
I = 1
5
I = I
I 6
=-1
7
I = -I
8
I = 1
Qualquer incógnita elevada a 0 dá 1. Porque a incógnita apenas é um número desconhecido
Qualquer número elevado a 1 dá ele mesmo
Quando uma raiz é potenciada ao quadrado, a raiz some. Lembrando que I vale √-1
Constante
.......
Uma incógnita elevada a 3 fica negativada
É o resto se repete........
O padrão é sempre 1, I, -1 e –I.
Já que você não paga por essa apostila e há espaço na página
vou colocar um anúncio dos nossos patrocinadores. Você não
se importa não é?
Patrocínio

1° Bimestre 2014
5
Por que é útil saber esses valores? Mesmo que não caia na prova é preciso para se saber os expoentes
dessa incógnita. Pois existem algumas questões que caem com isso. Vou dar um exemplo:
I⁰+ I¹+ I² + I³ = 1 + I + -1 + -I = 0 A conta zera pois coloquei todos
os valores da constante
1) Agora que você já entendeu muito, faça alguns exercícios e erre:
Pois I² vale -1
A) (I⁰ + I¹)(I²+ I³)= (1 + I)(-1 + -I) = -1 -I -I -I² = -1 -2I –(-1) = -1 -2I +1 = -2i
B) I 9 + I 999937
= Deixa eu explicar essa: Você sabe que essas potências são constantes. Elas se repetem
a cada 4 potência pois começa no 0 e termina na terceira potencia. Então para evitar calcular essas
potências malucas, simplesmente divida elas por 4 e leve em conta o resto da conta que será um
número entre 0 (se não tiver resto) e 3. I¹ + I¹ = I + I = 2i
9 4
-8 2
1
37 4
-36 9
1
Quando se divide um número de muitos dígitos
por 4, apenas leve em conta seus dois últimos

6
17 18 19 20 21 22 30
C) I + I + I + I + I + I ..... I = É bem fácil fazer esse tipo de cálculo. Você sabe que a cada 4 potências
os valores completam seu ciclo e zeram. Então em vez de dividir primeiro os valores das potências, divida
primeiro os seu número. Da potência 17 à 30 há 14 potências, se não acredita em mim, conte com os
dedos. E 14 dividido por 4 dá 3 com o resto 2 que é o número que vamos usar. Significa que há apenas
duas potências que tem valor. Sabemos que essas duas potências são as últimas, pois se você converter
todos os valores, a anulação começa pelo 17. As duas últimas potências são a I e I . Agora dá pra
calcular. I¹ + I² = I -1
Toma 50
sentavus!
É qui eu sô
um
conkistadô
baratu...
Pra quê ?
29 30
(leia devagar essa questão. É simples mas nem tanto)
29 4
-28 7
1
30 4
-28 7
2
Em seguida veremos a Forma algébrica desses
números, as probabilidades dela e como resolver uma
função de segundo grau usando números complexos fora
outras inutilidades que você vai esquecer depois de fazer
a prova.
[índice]
Enquanto isso seu colega continua tentando
ficar com aquela garota

1° Bimestre 2014
7
Resolvendo uma equação de segundo grau:
Ano passado era impossível resolver uma equação de segundo grau se o Delta fosse negativo. Agora é
possível. Imagine o que será possível no ano que vem. Dá medo de pensar. Vamos fazer uma equação que
sabemos que vai dar algo ‘errado’:
f(x)= x² -2x +4 = 0
Δ = (-2)² - 4.1.4
Δ = 4 -16
Δ = -12 e daqui as coisas começam a ficar estranhas
x = -(-2) ± √-12
2.1
x = 2 ± √12 .√-1
2
O problema é que -12 não tem raiz
Daí substituímos a raiz por algo que faça parte dos números
reais, ou seja, sempre uma raiz positiva vezes √-1
x = 2 ± √2².3 .i
2
12 não tem uma raiz exata, então substituímos ele na forma
fatorada e trocamos o √-1 por i, pois i vale √-1

3
2
1
8
x = 2 ± 2√3i
2
E a raiz varre a potência do 2 e enraíza o 3, e o i multiplica essa raiz dando √3i vezes 2
x = 1 ± √3i E esse é o resultado.
Agora colocando no plano cartesiano:
Raízes (1 + √3i) e (1 - √3i)
Coordenadas: (1 + √3) e (1 - √3) ignore o I
-3 -2 -1 +1 +2 +3
-1
-√3
-2
-3
.
.
√3
x1
x2
Essa é uma função usando números complexos. É feia,
imprecisa e confusa. Esses dois pontos são as possíveis
coordenadas, chamadas afixos. Elas são sempre
simétricas devido a incerteza da verdadeira localização.
√3 vale aproximadamente 1,7
Curiosidade: Quando se
depararam com esse problema de
raízes negativas, os matemáticos
levaram 300 anos pra conseguir a
solução. Porém, nós estamos
aprendendo isso em 1 bimestre
y
x

1° Bimestre 2014
9
Agora vamos fazer um mais hardcore:
Reduzir em ₵ (A MESMA COISA DO ANTERIOR) x³ + x² + x + 1= 0 aqui não se vai usar delta pois não é do tipo ax²+b+c
x³ + x² + x + 1= 0 se coloca o x² em evidência
x² (x+1) + 1(x+1) = 0 note que o x² só simplifica o x³ + x² e o x +1 é multiplicado por 1 pois este não muda o número
inicial e o fatora ao mesmo tempo
(x + 1)(x² +1) = 0 já que ambos os lados tem x+1, colocamos ele como fator comum, mas não podemos
simplesmente nos livrar do x² então jogamos ele dentro desse conta no lugar de x. Por favor não diga que não entendeu,
tente multiplicar esse (x + 1)(x² +1) e verá que ele vai dar x³ + x² + x + 1. Tudo não passa de uma simplificação
zero
Agora você sabe que x+1 vezes x² +1 é igual a _____. Isso significa que obrigatoriamente uma dessas
expressões é ____. Então vamos usar a lógica:
Ou x +1 = 0 ou x² +1 = 0 Em ambos só é preciso descobrir o x
x = - 1 x²= -1
x = ± √-1 se usar ± nessa porque é uma equação de segundo grau
x = ± i √-1 é igual a I
zero

1° Bimestre 2014
10
Em vez de duas probabilidades, temos 3. Ou x = -1 ,ou igual a +i ou –i. Agora pondo isso no gráfico:
Raízes: x1= -1 + 0i x2 = 0 + i x3 = 0 – i
Coordenadas (x,y) : C1= (-1,0) C2= (0,1) C3= (0,-1) Não entendeu porque deu isso? Os números reais equivalem
ao eixo X e os imaginários (com i ) ao eixo Y. O x1 tinha uma parte real mas não tinha nenhuma parte imaginária, por isso
ficou com o Y zerado. O x2 e x3 foram o contrário, eles não tem parte real, por isso ficaram com o X zerado, e cada i
corresponde a um número. Por exemplo: i equivale a 1 no eixo y e 2i equivale a 2 e assim em diante...
Resumindo o que você precisa fazer: Simplificar ao máximo a equação (se não for do tipo ax²+b+c ) e
achar as raízes. y (imaginário)
3
2
-3 -2 -1 +1 +2 +3 .
. 1
.
-1
-2
-3
x1
x2
x3
Não trace linhas
Geralmente nesse ponto a dor de cabeça começa a
te atingir e eu cito isso. Mas dessa vez vou ser mais
original e colocar um poeminha:
“ Ficar tonto é a ressaca de quem
bebe,
Ficar drogado é a ressaca do pivete,
Mas a dor de cabeça,
É a ressaca de um aluno do CEFET ”
x (real)
[índice]

1° Bimestre 2014
11
Forma algébrica:
Z = a + bi
Z = Símbolo dos Números Complexos
A = Parte real da equação
b = Parte real misturada com imaginária
i = Parte Imaginária da equação
Para tornar calculável um número imaginário (ou complexo), você precisa transformá-lo em duas partes
diferentes: a real e a imaginária. Mas há chances desse número deixar de ser totalmente imaginário ou ser
completamente real. Assim:
Se a e b = 0 o resultado se torna completamente imaginário:
Ex: Z= (a+b-i)(1-i) = a –ai +b –bi –i +i²
= a+b -1 –ai –bi –i Se separa a parte real da imaginária (com i) e trocamos o i² por -1
a + b -1 = 0 agora se pega a parte real da equação e iguala a zero pois se deve
saber o valor que a e b devem ter para não valerem nada
a + b = 1 e esse valor é _. Significa que se a + b forem iguais a _, a
equação se torna totalmente ____________ .
1 1
Imaginária

12
Se i = 0 o resultado se torna completamente real:
Ex: Z= (x-3i)(3+xi) = 3x +x²i -9i -3xi²
= 3x + x²i -9i – 3x(-1) substitui-se novamente o i² por -1
= 3x + x²i -9i +3x e agora se separa a parte imaginária da real
3x+3x + x²i -9i se pega só a parte imaginária (com i)
= x²i -9i
(x²- 9)i e se coloca o i em evidência
x² -9= 0 agora ignore o i (porque você só precisa dos valores) e coloque igual a zero pois
você quer saber o valor que o x tem de ter para zerar a parte imaginária
x²= 9
x= ±√ 9 se usa mais ou menos porque é uma equação de segundo grau
+3 -3 some
x=±3 se x for igual a ___ou ___, a parte imaginária _____ e o número fica
real
completamente _____
O segredo é: se cair uma questão o valor de x para que o número se torne real ou imaginário, use equações
ou inequações para saber o resultado que anule um dos fatores de acordo com o que a questão pede. Agora
leia de novo as duas questões, porque já mandei você parar de ler rápido!
[índice]

1° Bimestre 2014
13
Forma trigonométrica
Você já conheceu a forma “mais fácil” de se representar números naturais. Agora vamos piorar um pouco
as coisas. Conheça a linda forma trigonométrica:
Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)
A fórmula não muda. A única coisa que muda é esse cos e sen que serão substituído por graus ou por ᴨ
radiano, e o rho. Tá mas o que esse rho significa?
Existem ainda duas equações que você precisam saber: o módulo de Z e o valor de rho. Ambos são tão
parecidos que por ignorância não vou mostrar a equação do “|z|” porque ela não tem nada a ver com
conversões que vamos fazer. Se quer saber vá pro Google. Vou mostrar só a do rho:
ρ = √ a²+b²
Bonita a equação, mas o que fazer com isso? Até agora nada. Porque para se fazer o que faremos em breve
precisamos de mais algumas equações:
cos ϴ = a
ρ
sen ϴ = b
ρ
Esse a e b são os fatores da forma algébrica
E não confunda as fórmulas
Rho
[índice]

.
1° Bimestre 2014
14
Conversão da forma algébrica para a forma trigonométrica
Agora vamos transformar o simples no complicado:
Vamos transformar isso:
Nisso:
Z= a + bi
Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)
A pior parte não é essa, é que o resultado tem de estar no ângulo do quadrante da primeira forma. Calma, eu
vou explicar. Por exemplo, se a equação for Z= -1 + 2i isso significa que o resultado terá de ser no ________
quadrante. Se for -1 -2i, estará no terceiro quadrante e o resultado terá de ser nos graus deste quadrante, ou
seja, de _____ a _____ graus.
.
y
2i
. .
(2 + 2i) primeiro quadrante
(de 0 a 90 graus)
x
(-2 + 2i) segundo quadrante
(de 90 a 180 graus)
-2 +2
-2i
(-2 -2i) terceiro quadrante
(de 180 a 270 graus)
(2 -2i) quarto quadrante
(de 270 a 360 ou 0 graus)
segundo
180 270
Exemplos:

.
agora se usa as fórmulas de seno e cosseno. E se vê qual ângulo do primeiro
quadrante que o cosseno e o seno batem com esses dois resultados.
Tá legal mas vamos calcular:
*Passe para a forma polar (ou trigonométrica): (-1 -√3i)
a= -1 e b = -√3 se checa os valores de a e b usando a fórmula algébrica dada
ρ = √(-1)² + (-√3)² = √1+3= √4 = 2 usa-se a fórmula do p
sen ϴ = -√3
2
1° Bimestre 2014
15
Se ficá
cumigu ti
façu isqueçer
do Alex.
Que Alex?!
Aí tá vendu? Já
isqueceu,,,
Já dá pra ver que as coordenadas são do terceiro quadrante
cos ϴ = -1
2
60◦
Se sabe que é o ângulo de ___ que dá esse seno e cosseno
(só que positivos). Os ângulos se encontram negativos porque
estão no ________ quadrante. Mal qual ângulo do terceiro
quadrante equivale a 60 graus? Simples, cada quadrante tem
90 graus. Você está no primeiro e quer ir pro terceiro,
simplesmente multiplique ________ 90 graus
pelos quadrantes que
você vai passar e some com o grau que você tem:
Se passa pelo segundo e terceiro quadrante
terceiro
90 . 2 + 60 = 240 graus
Ele acha mesmo que vai ficar com ela?

1° Bimestre 2014
16
Tá, mas ainda não acabou. Agora pegue ângulo e o transforme em pi radiano ou deixe ele só em graus,
mas se seu professor não deixar, passe para pi radiano.
O π radiano vale 180 graus, então divida o grau achado por 180, obviamente quando eu digo dividir
quero dizer simplificar, porque se você dividir vai dar um número quebrado e vai estar errado.
240 = 120 = 60 = 12 = 4 π rad
180 90 45 9 3
esse é o ângulo do seno e do cosseno
esse 2 é o valor de p
Não se esqueça do i sempre junto com
o seno
Agora coloque isso na fórmula: Z= 2 (cos 4 π + i sen 4 π )
3 3
Resumindo: Apenas siga as fórmulas e se o quadrante não for o primeiro, passe tudo para os graus
correspondentes à esse quadrante e depois transforme em pi radianos.
Fórmula 1:
Fórmula 2:
Fórmula 3:
ρ = √ a²+b²
cos ϴ = a
ρ
sen ϴ = b
ρ
Z= a + bi Fórmula 4:
Fórmula 5: Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)
Se não entendeu, pare de ler e se jogue de um prédio. Mais
simples do que isso, impossível
ângulo achado

1° Bimestre 2014
17
Conversão da forma trigonométrica para a forma algébrica
Vamos fazer o contrário agora,
Vamos transformar isso: Z = ρ (cos ϴ + i sen ϴ)
Nisso: Z= a + bi
A fórmula ‘inversa’ é bem simples. Pegue o valor do ρ e multiplique pelo valor do seno e cosseno
correspondente, e só isso:
Exemplo:
Z= 4(cos 2π + i sen 2π)
3 3
Z= 4(cos 2.180 + i sen 2.180)
3 3
Z= 4 (cos 120◦ + i sen 120◦)
Se sabe que pi equivale a 180 graus, então use isso pra se livrar
dessa fração
Agora se tem os ângulos do seno e cosseno. E com isso dá pra saber
seu valor

1° Bimestre 2014
18
Z= 4. -1 +i 4. √3
2 2
Z= -4 + i 4√3
2 2
Z= -2 + 2√3 i
Agora multiplique o valor de rho (4) pelos valores do seno e cosseno. Não se
esqueça do i. Ele não é alterado, e sempre aparece no segundo fator no final
da equação
E no final você tem o resultado e faz a festa
Sen 120◦ = √3
Apenas siga esses padrões e achará a resposta. Lembrando de um caso especial, se a forma trigonométrica
for cos 0 + sen 0, a resposta sempre será __ 1 ou qualquer número desde que seja _________ positivo
e não tenha parte
_____________. imaginária Pois num gráfico, esse ponto dará sempre o ângulo _____________ 0◦/360◦
em que o valor do seno
sempre dará _______.
0
Só mais uma coisa, geralmente nesses cálculos cairão ângulos obtusos ou seja, ângulos com um grau entre 90 e
______ graus. Sempre o cosseno será negativo nesse quadrante e o seno _________.
180 positivo
2
Cos 120◦ = -1
2
Pra depois
não dizer que
não entendeu
[índice]

Soma e subtração: Mesmo se as duas expressões estiverem separadas, numa conta de soma, elas
obviamente são somadas, ou subtraídas. Não sei se já você notou mas a subtração é uma soma de
positivos e negativos.
(3 – 2i) + (4 + 5i) = 7 + 3i
2 (3 – 2i) -3 (4 + 5i) = 6 – 4i – 12 – 15i = -6 -19i
2i = 2i . 1 - 3i = 2i - 6i² = 2i + 6 = 6 + 2i = 3 + 1i
1+ 3i 1+ 3i 1 - 3i 1² - (3i)² 1- 9i² 10 5 5
1° Bimestre 2014
19
Cálculos básicos com números complexos
O mais difícil dessa matéria já acabou. Vamos apenas considerar algumas particularidades com números
complexos.
Multiplicação: Usa-se a multiplicação comutativa, quando os números estão entre parêntesis. Sempre
substituindo I² por -1.
Divisão: Ligeiramente mais complicado que os outros. Nesse, caso o denominador não seja real
(tenha “i” nele), multiplique ele pelo conjugado do denominador. Multiplique o numerador e o
denominador por esse conjugado.
conjugado i² vira sempre -1
Sempre
separe a parte
real da
imaginária
Fórmula do conjugado |z| = a – bi . Eu disse que não ia mostrar, mas mudei de ideia [índice]

1° Bimestre 2014
20
-Matrizes
Matrizes são conjuntos de números do qual se pode fazer operações. Uma matriz pode ser chamada de A, B,
C e etc. Que nem chinelos, eles são encontrados em vários lugares, há vários tipos diferentes e alguns que dão
muita dor de cabeça. Das 4 operações básicas, só é possível se fazer 3 :______, __________ e ____________.
Divisão não é algo possível.
Vamos ver um pouco mais a respeito delas:
Elas são divididas em linhas e colunas (m x n)
Soma subtração multiplicação
Essa é uma matriz. Uma conjunto de valores. Ela é
dividida em linhas (chamadas de M) e colunas (chamadas
de N). Por isso quando dizem que A3x3 isso quer dizer quer
ele possui 3 linhas e 3 colunas. Lembre-se que a ordem é
sempre M na frente do N ou seja m x n.
Outra coisa importante, muitas vezes é usado I e J que
servem para localizar uma valor dentro de uma matriz.

1° Bimestre 2014
21
Temos também as diagonais de uma matriz. Sendo que a primária começa do alto do lado esquerdo e a
secundário do baixo do lado direito:
Secundária
1 0 1
2 6 4
4 −8 2 Primária
Tipos de Matrizes
Caso não tenha entendido ainda o que é uma matriz, veja: É
como x = 1 por exemplo. Mas com matrizes é A = (todos esses
números ao lado)
Matriz nula: Todos os seu valores são 0
0 0
0 0
A=
Matriz quadrada: O número de linhas é igual ao de colunas
2 4
1 3
A, B ou C dane-se =

1° Bimestre 2014
22
Matriz transporta: Todos os elementos da primeira linha viram a primeira coluna e assim sucessivamente.
Em outa palavras a “conta fica em pé”:
2 0 5
5 0 7
−3 5 1
t
A = A =
esse símbolo indica que a matriz é transposta
2 5 −3
0 0 5
5 7 1
Observe a ordem dessa mudança, para não se
confundir, é simplíssimo
Matriz identidade: Sua diagonal primária é igual a 1 e todos os outros valores valem 0. Se ela for posta
numa multiplicação, não altera a conta em nada. Seu símbolo é I e seguido desse I vem um número que é o
número de colunas e linhas que ela vai ter. Lembrando que ela é sempre quadrada.
1 0
0 1
I2= I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriz Inversa: De todas as matrizes essa é a mais chata de se calcular. Entenda, a matriz inversa é uma
matriz oposta de outra matriz, e que se você multiplicar essa matriz pela sua inversa, o resultado sempre
será a matriz identidade, ou seja, uma matriz nula.
-1
A . A = In

1° Bimestre 2014
23
Não acabou a explicação ainda. Sou forçado a te explicar como se sabe a matriz inversa de uma matriz
normal. Não queria, mas a secretaria de educação me obriga, e ganho pouco pra tanto trabalho. Então
preste atenção:
A= 1 3 . A =
1 2
1 0
0 1
Uma matriz qualquer vezes sua matriz inversa dá a matriz
identidade ou matriz nula.
-1
-1 Já que a matriz é inversa, ela tem 2 linhas e 2 colunas como sua matriz original. Então ela tem
A = 푎 푏
푐 푑
4 incógnitas ou seja 4 números que não conhecemos. (lembrando que se a matriz inversa é
sempre do mesmo tamanho que a original)
1 3
1 2
푎 푏
푐 푑
1 0
0 1
. = Significa que A . A = dá uma matriz nula, é a mesma coisa que você viu lá
em cima
-1
Atenção agora. Fazemos uma relação de valores
bem maluca. Fazemos 4 equação que são
separadas em duas relações. Multiplicamos o A
pela primeira
coluna e o C pela segunda, isso forma duas
equações. Depois multiplicamos o B pela primeira
coluna e o D pela segunda, e isso forma mais duas
equações. Tá legal não fui eu quem inventou esse
método maluco. Vou exemplificar para você
entender melhor.
Ah meu Deus, esse cara não desiste...
Gata teu
pai é
mecanicu?
É porque tu é.... Sim
Calma aê, vossê
dissi sim?

1° Bimestre 2014
24
1 3
1 2
푎 푏
푐 푑
.
Não sei se o desenho foi claro o suficiente. O A multiplica a primeira coluna e o
C a segunda. Enquanto que o B é igual ao A e o D igual ao C. Apenas no
resultado das equações que há uma diferença, o resultado se inverte. Calma,
veja:
a + 3c = 1
a + 2c = 0
b + 3d = 0
b + 2d = 1
As multiplicações são sempre na vertical, sei que não faz muito sentido. Mas é esse
padrão maluco que é usado.
Já temos as equações, mas agora temos de saber o valor de cada incógnita. O problema é, essa equação
é uma de duas incógnitas. Não sei se você se lembra, mas nesse caso usamos a subtração das equações.
Vamos começar:
a + 3c = 1
a + 2c = 0 -
C= 1
a + 3.1 = 1
a= -2
b + 3d = 0
b + 2d = 1 -
D= -1
b + 3.-1 = 0
b = 3
O resultado foi -1 porque na subtração das
equações o 0 foi subtraído por 1 que dá -1

1° Bimestre 2014
25
E já temos o resultado da matriz inversa. Não foi muito fácil não foi?
1 3
1 2
−2 3
1 −1
. = 1 0
0 1
Determinante de uma matriz
diferença diagonais
A determinante de uma matriz é a ______________ de suas ___________. Se multiplica as colunas e se
subtrai. Mas não há como generalizar esse processo, porque dependa da ______ da matriz. Dependendo
da ordem, o processo muda.
Matriz de ordem 1: A determinante é igual a matriz
Ex: A = [10] Det A = 10
ordem
Matriz de ordem 2: Se multiplica a coluna primária e se diminui pela multiplicação da coluna secundária
1 2
3 −1
Ex:
A = Determinante de A = 1. -1 – (3.2) = -1 -6 = -7

1 −1 1
6 3 2
1 4 0
1° Bimestre 2014
26
Matriz de ordem 3, 4 e etc: O processo é semelhante ao da matriz d segunda ordem, mas um pouco mais
complicado. Os professores ensinam a fazer isso usando a regra de Sarrus mas ‘não vou usá-la’. Vamos
simplificar essa regra porque tanto eu como você não gostamos muito de calcular.
1 −1 1
6 3 2
1 4 0
A=
Coloquei a matriz duas vezes para você entender melhor.
Esse método consiste em multiplicar primeiro a diagonal
principal e depois multiplicar as outras diagonais que estão
‘quebradas’. No método de Sarrus você apenas reescreve a
primeira coluna. Mas pra quem tem prática, esse método é
melhor.
Deter A = 1.3.0 + 1.6.4 + -1.2.1 – (1.1.3 + [-1.6.0] + 4.2.1) = (0 + 24 -2) – (3 – 6 + 8) = 22 – 5 = 17
-Cálculos com matrizes:
ordem
Soma e subtração: Só se pode somar as matrizes caso ambas tenham a mesma ________, ou seja o mesmo
número de linhas e colunas. Se soma cada valor de acordo com sua localização. Simples. Com subtração,
repita o processo só que obviamente subtraindo.
3 −2 −2
1 5 3
0 2 2
1 5 3
−2 2 4
0 1 2
+ =
4 3 1
−1 7 7
0 3 4
C
Se a matriz 1 se chamar A e a 2 se chamar B, o resultado será chamado de matriz __.
[índice]

1° Bimestre 2014
27
Multiplicação: O mais chatinho de todos. Bem diferentes da multiplicação de números, a multiplicação de
matrizes não é _____________ comutativa ou seja, se inverter os valores mudará o ___________ resultado
e só é possível se
fazer se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da _________.
segunda
Aconselho a sempre fazer uma tabela na hora de calcular.
12 10
5 6
4 3
x
2 3 4
4 6 8
O número de colunas do primeira é igual ao de linhas da segunda
matriz. É possível se fazer uma multiplicação. E pelo fato do número de
colunas da matriz 1 ser 2 e o de linhas da matriz 2 também ser 2, a
matriz resultado será de ordem 2, ou seja, 2 colunas e 2 linhas.
12
5
4
10
6
3
2 3 4
4 6 8
2 . 12 + 3 . 5 + 4.4
= 55
2.10 + 3.6 + 4.3
= 50
4 . 12 + 6 . 5 + 8.4
= 110
4.10 + 6.6 + 8.3
= 100
A matriz ‘em pé’ sempre fica em cima, enquanto que a matriz
‘deitada’ fica sempre em baixo
=
55 50
110 100
Esse é o resultado da multiplicação
[índice]

1° Bimestre 2014
28
Localização de um vetor numa matriz
Vou aproveitar seu desespero em entender a matéria para falar um pouco sobre como localizar um
vetor dentro de uma matriz. Sem lembra do i e j que vem antes do A? Então esses símbolo são substituídos
por números que servem para localizar um _______ numa matriz.
O I representa as linhas e o J as colunas. Se por exemplo aparecer A41 isso quer dizer que o vetor
selecionado está na quarta __________ e na primeira _________. Legal, mas vou colocar alguns exemplos
mesmo assim, não porque me importo com que você entenda, mas porque estou com muito espaço livre
nessa página.
A14 - 1 2 -3 -2
7 9 4 0
esse carinha é o A14
vetor
linha coluna
B32 -
0 1 9
3 4 2
2 1 1
totais
Não confunda I e J com M e N. M e N são os números de linhas e colunas _________ de uma matriz. I
e J servem para localizar uma vetor dentro de uma ________.
matriz

1° Bimestre 2014
29
Exemplo: Veja a sequencia de matrizes:
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
32 33 34 35
36 37 38 39
40 41 42 43
44 45 46 47
, , ..........
Se 1 + 1 é igual a 2 e 2 + 2 é igual a 4 e Aij = 75.432, determine os valores de a e j
Como fazer isso? Se o vetor 0 é o primeiro vetor da sequencia, 75.432 deve estar bem ,longe. Mas sabemos
que se trata de uma sequencia. A sequencia se repete pela primeira vez no primeiro vetor da segunda matriz.
Isso que dizer que cada matriz tem 16 vetores. Para se saber qual a matriz desse maldito vetor, divida 75.432
por 16. Dará __________. 4714,5 . Por que deu um número quebrado _________ ? Porque esse vetor está no _______ meio
da
matriz. Começamos a contar da segunda matriz pois nela é que começa a repetição. Então ___________ ignoramos
a
parte ____________ quebrada e somamos 1 a esse resultado. E assim sabemos que a matriz é a de número ________.
4715
Agora precisamos saber a localização do vetor dentro dessa matriz. Se a matriz __________ 4715
fosse completa,
ela teria 16 vetores, mas pelo fato da conta ter sido quebrada, se vê que o vetor fica no meio dela. Então
multiplique __________ 4715
por 16 e verá que o resultado será maior que 75.432. Daí diminua esse resultado por
75.432 e terá um número. Some 1 a ele pois começamos a contar do 16 em diante e terá a sua posição na
matriz que o _______ nono vetor. Então já que as matrizes tem a mesma ordem essa matriz será na linha __ 3
e na
coluna __ ou I = __ e J= __
1 3 1

30
Eu ia terminar por aqui, mas quero ver essa cena...
Você tá sentinu
cheiru de tinta?
Lá vem esse
moleque..
Não!!
Purkê tá
pintano um
clima...

1° Bimestre 2014
31
Não tá pintando
nada idiota!!

1° Bimestre 2014
32

Matemática - 2°ANO Coordenadoria de Educação
1° Bimestre 2014
33
Eças vadias hoji só
ké káras ricus...
Ah sim... a culpa foi dela. Caro aluno, não seja como 80% da sua turma, leve a sério os estudo (e namoros).
Talvez um dia você passe pra um colégio técnico, longe de sua casa, e que você tenha de pegar vários
transportes pra chegar lá, no maravilhoso calor carioca, e nas épocas de prova ainda tenha de ler um Power
Point cheio de piadinhas idiotas de um colega seu. Bem, pelo menos o salário não vai ser tão ruim. Até o
bimestre que vem!

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