1) O documento apresenta os procedimentos para construção de linhas de influência de esforços em estruturas isostáticas submetidas a carregamentos móveis. 2) Linhas de influência mostram como esforços variam com a posição de uma carga móvel. 3) Os procedimentos são aplicados a vigas biapoiadas, vigas em balanço e vigas Gerber.

1. ANÁLISE ESTRUTURAL I
NOTAS DE AULA
Assunto:
Linhas de Influência
de Estruturas Isostáticas
Prof. Roberto Márcio da Silva

2. 2
1-) INTRODUÇÃO
As linhas de influência tem uma importante aplicação no projeto
de estruturas submetidas a carregamentos móveis, tais como: pontes,
viadutos, passarelas e vigas de rolamento.
Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas técnicas para
analisar estruturas isostáticas submetidas a carregamento fixo. Será
mostrado agora como os esforços solicitantes numa estrutura isostática
variam com a posição do carregamento móvel.
2-) DEFINIÇÃO
Uma linha de influência mostra como um determinado esforço
numa seção varia quando uma carga concentrada move sobre a
estrutura. A linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura
sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as
ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado.
Exemplo: Linha de influência de momento fletor para uma seção S
3-) PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Será mostrado a seguir os procedimentos para se construir uma
linha de influência de um esforço numa determinada seção.
3.1-) Vigas sobre 2 apoios
Seja uma carga móvel vertical “P” deslocando-se sobre a viga AB
mostrada abaixo, e x a posição desta carga.

3. 3
3.1.1-) Linha de influência das reações de apoio
∑MA = 0
VB.L – P(x-a) = 0
VB = P(x-a)/L
dividindo agora ambos os membros pela carga P para tornar o
carregamento unitário e adimensional, temos:
VB/P = P(x-a)/(P.L)
B
V = (x-a)/L
Chama-se B
V de “linha de influência” da reação de apoio VB, isto
é, uma equação que mostra como a reação VB varia com a posição x de
uma carga unitária que se desloca sobre a estrutura. Nota-se que os
valores de B
V são adimensionais. Dando valores para x determina-se os
respectivos valores de B
V .
x = a ⇒ B
V = 0 (carga sobre o apoio A)
x = L+a ⇒ B
V = (L+a-a)/L ⇒ B
V = 1 (carga sobre o apoio B)
x = 0 ⇒ B
V = -a/L (carga na extremidade do balanço esquerdo)
x = a+L+b ⇒ B
V = (a+L+b-a)/L ⇒ B
V = (L+b)/L > 1
A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VB quando
a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente, obtêm-
se A
V :
∑MB = 0
VA.L – P(L+a-x) = 0
VA = P(L+a-x)/L

4. 4
dividindo-se ambos os membros por P, resulta:
A
V = (L+a-x)/L
Dando valores para x, obtêm-se:
x = a ⇒ A
V = (L+a-a)/L ⇒ A
V = 1 (carga sobre o apoio A)
x = L+a ⇒ A
V = [(L+a-(L+a)]/L ⇒ A
V = 0 (carga sobre o apoio B)
x = 0 ⇒ A
V = (L+a)/L > 1 (carga na extremidade do balanço esquerdo)
x = a+L+b ⇒ A
V = [-(a+L+b)+L+a]/L ⇒ A
V = -b/L
A ordenada “YS” representa o valor da reação de apoio VA quando
a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”.
Resumindo, pode-se concluir que as linhas de influência das
reações de apoio de uma viga biapoiada são lineares e têm valor
unitário no apoio analisado, e zero no outro apoio, prolongando-se a
reta até as extremidades dos balanços.
3.1.2-) Linha de influência da força cortante numa seção entre os
apoios
A linha de influência de QS pode ser obtida a partir das linhas de
influência de VA e VB.
Chamando a carga unitária de P = 1 e as reações de A
V e B
V , tem-se:
x<a+c ⇒ S
Q = - B
V
x>a+c ⇒ S
Q = A
V

5. 5
Resultando portanto:
A ordenada “YS1” representa o valor da força cortante na seção
“S”, quando a carga unitária estiver na seção “S1”.
3.1.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção entre
os apoios
A linha de influência de MS pode também ser obtida a partir das
linhas de influência de VA e VB.
Fazendo a carga unitária P = 1 e as respectivas reações A
V e B
V , tem-
se:
x<a+c ⇒ S
M = B
V .d (tração no lado de referência)
x>a+c ⇒ S
M = A
V .c
Resultando portanto:

6. 6
A ordenada “YS1” representa o valor do momento fletor na seção
“S” quando a carga unitária móvel estiver sobre a seção “S1”. Neste
caso os valores de S
M não são adimensionais pois foram obtidos do
produto de A
V ou B
V por uma distância “c” ou “d”, tendo portanto a
dimensão de comprimento. As ordenadas positivas podem ser marcadas
de qualquer lado desde que se indique o sinal.
3.2-) Vigas em balanço
3.2.1-) Linha de influência das reações de apoio
∑MA = 0
A
M – 1.x = 0
A
M = x
∑V = 0
A
V –1 = 0
A
V = 1
x = 0 ⇒ A
M = 0; A
V = 1
x = L ⇒ A
M = L; A
V = 1
Resultando portanto:

7. 7
3.2.2-) Linha de influência da força cortante numa seção do
balanço
x<c ⇒ S
Q = 0
x>c ⇒ S
Q = 1
Resultando portanto:
OBS: No caso do balanço para a esquerda o sinal de S
Q será negativo.

8. 8
3.2.3-) Linha de influência do momento fletor numa seção do
balanço
x<c ⇒ S
M = 0
x≥c ⇒ S
M = -1(x-c) (tração na face superior)
Dando valores para x obtém-se:
x = c ⇒ S
M = 0
x = L ⇒ S
M = -1(L-c) = -1.d = -d
Resultando portanto:
Para o balanço a esquerda a linha de influência é análoga.
OBS: As linhas de influência dos esforços solicitantes numa seção do
balanço de uma viga biapoiada são os mesmos obtidos para a viga em
balanço.

9. 9
3.3-) Exemplo
Para a viga biapoiada abaixo pede-se traçar as linhas de influência de:
A
V , B
V , S1
Q , S1
M , S2
Q e S2
M .

10. 10
3.4-) VIGAS GERBER
Como visto anteriormente, vigas Gerber são estruturas isostáticas
de eixo reto que resultam da associação de vigas simples (vigas em
balanço, vigas biapoiadas).
O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir
das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a
transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve
de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um
apoio ela é integralmente transmitida para ele.
Através de alguns .exemplos mostrar-se-á como traçar as linhas
de influência para as vigas Gerber.
EXEMPLO 1
Para a viga abaixo pede-se as linhas de influência de A
V , A
M .
Decomposição da estrutura.
Traça a L.I. para a viga
AB. Como a viga BCD esta
apoiada em AB, haverá
transmissão de carga.

11. 11
EXEMPLO 2
Para a viga abaixo, pede-se: C
V , E
V , S1
Q e S1
M .
Decomposição
Regra Geral: Traça-se a LI para a viga simples que contém a seção
estudada, depois prolonga esta linha para as vigas que transmitem
carga para a viga que contém a seção estudada.

12. 12
EXEMPLO 3

13. 13
3.5-) TRELIÇAS
As linhas de influência das reações de apoio das vigas treliçadas
são as mesmas obtidas para as vigas de alma cheia.
∑ E
M = 0 ⇒ A
V .L - 1(L-x) = O ⇒ A
V = (L-x)/L
∑ A
M = 0 ⇒ E
V .L - 1.x = O ⇒ E
V = x/L.
x = 0 ⇒ A
V = 1; E
V = 0
x = L ⇒ A
V = 0; E
V = 1
Cabe salientar que no caso das treliças o efeito do carregamento
móvel chega nos nós indiretamente, através de elementos estruturais
secundários como as transversinas.
As linhas de influência das forças normais nas barras podem ser
determinadas a partir das LI. das reações de apoio. Deve-se portanto
procurar expressar a força normal na barra em função das reações de
apoio.

14. 14
EXEMPLO
Traçar as linhas de influência das forças normais nas barras BC,
GH, GC, GB e HC da viga treliçada.
Aplicando-se o processo das seções é possível expressar
diretamente as forças normais nas barras em função das reações de
apoio.
BARRA BC:
Seccionando a barra BC e substituindo-a pelas forças normais que
ela aplica nos nós B e C têm-se:
Liberdade: rotação em torno de G.
Condição de equilíbrio: ∑MG(esq) = 0 ou ∑MG(dir) = 0
x ≤ a ⇒ ∑MG (dir) = 0 ⇒ E
V .3a - BC
N .b = 0
BC
N = ( E
V .3a)/b
x ≥ a ⇒ ∑MG (esq) = 0 ⇒ A
V . a - BC
N . b = 0
BC
N = ( A
V .a)/b

15. 15
BARRA GH:
Seccionando a barra GH e substituindo-a por GH
N nos nós G e H,
tem-se:
Liberdade: rotação em torno de C.
Condição de equilíbrio: ∑MC(dir) = 0 ou ∑MC(esq) = 0
x ≤ 2a ⇒ ∑MC(dir) = 0 ⇒ E
V .2a + GH
N .b = 0
GH
N = -( E
V .2a)/b
x ≥ 2a ⇒ ∑MC(esq)= 0 Æ A
V .2a + GH
N .b = 0
GH
N = -( A
V .2a)/b

16. 16
BARRA GC:
Seccionando a barra GC e substituindo-a por GC
N nos nós G e C,
tem-se:
Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por duas
barras paralelas biarticuladas).
Condição de equilíbrio: ∑V(esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0
x ≤ a ⇒ ∑V(dir) = 0 ⇒ E
V + GC
N .sen α = 0
GC
N = - E
V /sen α
X ≥ 2a ⇒ ∑V(esq) = 0 ⇒ A
V - GC
N .sen α = 0
GC
N = A
V / sen α
Obs:. Quando a carga estiver no painel que contém a barra GC,
parte dela transmite para o nó G e parte para o nó H. Como a linha de
influência de estrutura isostática é sempre linear, então pode-se traçar a
linha do início ao fim do painel; e ligar os pontos (N e M) através de
uma reta.

17. 17
BARRA GB:
Seccionando a barra GB e substituindo-a por GB
N nos nós G e B,
tem-se:
Liberdade: translação vertical (dois corpos rígidos ligados por 2 barras
paralelas biarticuladas).
Condição de equilíbrio: ∑V (esq) = 0 ou ∑V(dir) = 0
x ≥ a ⇒ ∑V (esq) = 0 ⇒ A
V + GB
N = 0 ⇒ GB
N = - A
V
Obs:. Para x < a, a variação é linear, basta ligar os pontos 1 e 2.
BARRA HC:
Seccionando a barra HC e substituindo-a por HC
N nos nós H e C,
tem-se:

18. 18
Estudando o equilíbrio do nó H tem-se:
∑VH = 0
x ≤ a ou x ≥ 3a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HC
N = 0
x = 2a ⇒ ∑VH = 0 ⇒ HC
N + 1 = 0 ⇒ HC
N = -1
a < x < 2a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H
2a < x < 3a ⇒ parte de P =1, transmite para o nó H, então a variação é
linear de G até H e de H até I.
3.6-) CARREGAMENTO
Em estruturas submetidas a carregamento móvel podem atuar
cargas permanentes e cargas acidentais. A seguir mostra-se que será
possível a partir das linhas de influência localizar as cargas acidentais na
estrutura para que estas causem o máximo valor do esforço que está
sendo analisado.
Dois tipos de cargas serão considerados:
1 - Cargas Concentradas
Como as ordenadas obtidas nas linhas de influência são
determinadas usando uma carga unitária adimensional, então para
qualquer carga concentrada "P" atuando na estrutura numa seção de
abscissa x, o valor do seu efeito pode ser obtido multiplicando-se a
ordenada adimensional na seção pelo valor da carga "P".
2 - Cargas Distribuídas
Considere um pedaço de viga submetida a uma carga
uniformemente distribuída p.
Como mostrado na figura acima cada elemento dx da viga estará
submetido a uma carga concentrada dP = p.dx. Se dP está localizado
numa abscissa "x", onde a linha de influência tem ordenada "y", então o
efeito de dP será: dP.y = p.dx.y
LINHA DE
INFLUENCIA

19. 19
Portanto, o efeito de todas as cargas concentradas dP é obtido
pela integração sobre todo o comprimento da viga, isto é:
∫ ∫ ∫ =
=
= área
p
dx
y
p
y
dx
p
y
dP .
.
.
.
.
.
Como p é constante, pode-se concluir que "o efeito da carga
distribuída é simplesmente obtido multiplicando a carga "p" pela área
sob a linha de influência".
TREM - TIPO
Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de
estruturas solicitadas por carregamento móvel, são especificadas em
Normas Técnicas. Estas cargas são representadas pelos chamados
trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as distâncias
entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Por exemplo:
3.7-) ESFORÇOS MÁXIMOS
Conhecido o carregamento permanente e dado um determinado
"trem - tipo" constituído de cargas concentradas e distribuídas, pode-
se determinar os valores máximos dos esforços numa seção. Na
pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento
permanente em toda a estrutura e o carregamento acidental (trem -
tipo) nas posições mais desfavoráveis.

20. 20
EXEMPLO:
Seja determinar, para a viga abaixo, os valores máximos do
momento fletor na seção “s”, para o carregamento a seguir :
PERMANENTE
S
M = 0,5t/m × 4,562m2
= 2,281t.m
ACIDENTAL
S
M⊕
= (6t × 1,875m) + (2t × 1,125m) + (1,5t/m × 7,5m2
) = 24,7t.m
A1 = -1,25m2
A2 = 7,5m2 PERMANENTE
S
M = 2,281t.m
A3 = -1,688m2 ACIDENTAL
S
M⊕
= 24,7t.m
∑A= 4,562m2 ⊕
S
M = 27,03t.m

21. 21
PERMANENTE
S
M = 0,5t/m × 4,562m2
= 2,281t.m
ACIDENTAL
S
Mθ
= (1,5t/m × -1,25m2
) + (1,5t/m × -1,688m2
) + (6t × -1,125m) +
(2t × -0,375m) = -11,907t.m
A1 = -1,25m2
A2 = 7,5m2 PERMANENTE
S
M = 2,281t.m
A3 = -1,688m2 ACIDENTAL
S
Mθ
= -11,907t.m
∑A= 4,562m2 θ
S
M = -9,62t.m
Obs:. Deveria ser pesquisada a colocação da carga concentrada de 6t na
ordenada y4. No caso verifica-se que se obtém o mesmo valor.
(COINCIDÊNCIA !!)
4-) OBTENÇÃO GRÁFICA DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
Em 1886, Heinrich Müller-Breslau desenvolveu uma técnica para
construção gráfica da linha de Influência. Esta técnica é conhecida como
"Princípio de Müller-Breslau".

22. 22
4.1-) PRINCÍPIO DE MÜLLER-BRESLAU
A linha de Influência de um esforço numa seção tem a mesma
forma da deformada da estrutura quando a capacidade de resistir tal
esforço na seção da estrutura é eliminada, e esta é submetida a um
deslocamento unitário associado ao esforço.
EXEMPLO 1
- Para obtenção de S
M , basta articular a seção “s” (retirar a capacidade
de resistir momento fletor na seção “s”), resultando portanto:
- Para obtenção de S
Q , basta liberar a translação vertical em “s”
(retirar a capacidade de resistir à força cortante na seção “s”),
resultando portanto:
-Para obtenção de A
V , basta liberar a translação vertical em “A”,
resultando:

23. 23
EXEMPLO 2
Para obtenção de B
V , libera-se a translação vertical em “B”,
analogicamente obtém-se D
V , S1
Q , S2
M e S3
Q .

24. 24
EXEMPLO 3
Hibbeler, R.C “Structural Analysis”, Macmillan Publishing
Company, New York, 1985.
Bibliografia:

25. 25
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

26. 26
Exercício 1:
Para a estrutura abaixo, pede-se:
a) Traçar a linha de influência de MS1, QS2, e QS3.
b) Calcular ⊕
máx
1
S
M e Ο
máx
1
S
M para os trens-tipo abaixo.
Respostas:
⊕
máx
1
S
M = 0,1684 + 14,25 = 14,42t.m
Ο
máx
1
S
M = 0,1684 - 12,99 = -12,83t.m
Ο
máx
1
S
M = 0,1684 - 11,67 = -10,99t.m

27. 27
a)
b) A1 = -0,375 A2 = +1,50
A3 = -1,25 A4 = 0,4175
A5 = -0,2083 ∑A = 0,0842
m
.
t
167
,
11
)
167
,
0
4
(
)
5
,
0
10
(
)
833
,
1
.(
3
M
m
.
t
99
,
12
)
75
,
0
10
(
)
833
,
1
.(
3
M
m
.
t
25
,
14
)
25
,
0
4
(
)
75
,
0
10
(
)]
4175
,
0
5
,
1
.(
3
[
M
m
.
t
1684
,
0
2
0842
,
0
M
.
ACIDENTAL
1
S
.
ACIDENTAL
1
S
.
ACIDENTAL
1
S
PERMANENTE
1
S
−
=
×
−
×
−
−
=
−
=
×
−
−
=
=
×
+
×
+
+
=
=
×
=
⊕
Ο
⊕

28. 28
Exercício 2:
Para a estrutura abaixo, pede-se:
a) Traçar a linha de influência de QS1.
b) Valores de ⊕
máx
1
S
Q e Ο
máx
1
S
Q para o trem-tipo abaixo.
b) A1 = -0,125 A2 = +1,125
A3 = -1,250 ∑A = -0,250
m
.
t
250
,
13
)
250
,
0
5
(
)
750
,
0
10
(
)
125
,
1
.(
4
Q
m
.
t
335
,
11
)
167
,
0
5
(
)
500
,
0
10
(
)
250
,
1
125
,
0
.(
4
Q
m
.
t
500
,
0
)
m
/
t
(
2
)
m
(
250
,
0
Q
.
ACIDENTAL
1
S
.
ACIDENTAL
1
S
2
PERMANENTE
1
S
=
×
+
×
+
=
−
=
×
−
×
−
−
−
=
−
=
×
−
=
⊕
Ο
Respostas:
Ο
máx
1
S
Q = -0,500 - 11,335 = -11,835t.m
⊕
máx
1
S
Q = -0,500 + 13,250 = 12,750t.m
a)

29. 29
Exercício 3:
Para a treliça abaixo, pede-se:
a) Traçar a linha de influência dos esforços normais nas barras CI
e IJ.
b) Calcular os esforços máximo e mínimo na barra CI para o
carregamento indicado, definindo, inclusive, se eles
correspondem a tração ou compressão na barra.
a)
)
2
,
19
x
4
,
6
(
V
333
,
1
N
0
N
4
,
2
N
2
,
3
0
M
)
2
,
19
x
4
,
6
(
V
N
0
V
)
2
,
3
x
0
(
V
N
0
V
N
0
V
)
2
,
3
x
0
(
V
667
,
2
N
0
4
,
2
N
V
)
2
,
3
(
2
0
M
H
IJ
IJ
CI
B
H
CI
K
CI
K
CI
K
IJ
IJ
K
C
≤
≤
⋅
=
∴
=
⋅
+
⋅
∴
=
≤
≤
−
=
∴
=
≤
≤
=
∴
=
+
−
∴
=
≤
≤
⋅
=
∴
=
⋅
−
⋅
⋅
∴
=
∑
∑
∑
∑

30. 30
b) A1 = -0,53 A2 = -3,22
A3 = 2,14 ∑A = -1,61
t
25
,
21
)
333
,
0
8
(
)
67
,
0
15
(
)
14
,
2
(
4
N
t
71
,
27
)
333
,
0
8
(
)
67
,
0
15
(
)
75
,
3
(
4
N
t
23
,
3
)
61
,
1
(
2
N
.
ACIDENTAL
CI
.
ACIDENTAL
CI
PERMANENTE
CI
=
×
+
×
+
⋅
=
−
=
×
−
×
−
−
⋅
=
−
=
−
⋅
=
⊕
Ο
Respostas:
⊕
máx
CI
N = -3,23 + 21,25 = 18,02t (tração)
Ο
máx
CI
N = -3,23 - 27,71 = -30,94t (compressão)

31. 31
Exercício 4:
Para a treliça abaixo, pede-se:
Calcular os valores máximos (positivos e negativos) da força normal na
barra CI, para os trens-tipo abaixo e para “carregamento inferior”.
8
,
0
5
4
)
cos(
6
,
0
5
3
)
sen(
=
=
α
=
=
α
)
16
x
12
(
V
667
,
1
)
sen(
V
N
0
)
sen(
N
V
0
V
)
8
x
0
(
V
667
,
1
)
sen(
V
N
0
)
sen(
N
V
0
V
A
A
CI
CI
A
D
D
CI
CI
D
≤
≤
⋅
−
=
α
−
=
∴
=
α
⋅
+
∴
=
≤
≤
⋅
=
α
=
∴
=
α
⋅
−
∴
=
∑
∑

32. 32
A1 = 6,666
A2 = 1,112
∑A = 7,778
0
N
t
776
,
37
)
833
,
0
4
(
)
111
,
1
10
(
)
778
,
7
3
(
N
t
667
,
11
778
,
7
5
,
1
N
.
ACIDENTAL
CI
.
ACIDENTAL
CI
PERMANENTE
CI
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
=
Ο
⊕
Respostas:
⊕
máx
CI
N = 37,776 + 11,667 = 49,443t
Ο
máx
CI
N = 0 + 11,667 = 11,667t