Capitulo 8 flexão (2)

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Capitulo 8 flexão (2)

  1. 1. CAPITULO 8 Flexão Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  2. 2. Sumário: Flexão Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais  Esforços internos de flexão e cortantes  Flexão pura  Equação matemática para cálculo das tensões normais  Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados  Superfície neutra e linha neutra  Carregamento axial excêntrico  Flexão simétrica e não simétrica  Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia
  3. 3. Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão • A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos. • Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções). • Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  4. 4. Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. Método das Secções: • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios. • Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga. • Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão. Exercício Resolvido 1 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  5. 5. • Cálculo das reacções nos apoios: ∑ ∑ ==== kNRkNRMF DBBy 1446:0 • Análise de equilíbrio estático: ( )( ) 00m0kN200 kN200kN200 111 11 ==+∑ = −==−−∑ = MMM VVFy ( )( ) mkN500m5.2kN200 kN200kN200 222 22 ⋅−==+∑ = −==−−∑ = MMM VVFy 0kN14 mkN28kN14 mkN28kN26 mkN50kN26 66 55 44 33 =−= ⋅+=−= ⋅+=+= ⋅−=+= MV MV MV MV DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  6. 6. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:
  7. 7. ( ) xwV xwVVVFy ∆−=∆ =∆−∆+−=∑ 0:0 ∫−=− −= D C x x CD dxwVV w dx dV • Relação entre carregamento e esforço cortante: ( ) ( )2 2 1 0 2 :0 xwxVM x xwxVMMMMC ∆−∆=∆ = ∆ ∆+∆−−∆+=∑ ′ ∫=− = D C x x CD dxVMM V dx dM • Relação entre esforço cortante e esforço de flexão: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão
  8. 8. • Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes. • Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 2 Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão. Método Gráfico: • Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.
  9. 9. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) kips18 kips12kips26kips12kips200 0F kips26 ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240 0 y = −+−−= =∑ = −−−= =∑ y y A A A D D M dxwdVw dx dV −=−= DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Cálculo das reacções nos apoios: • Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes:
  10. 10. dxVdMV dx dM == DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais • Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão:
  11. 11. Exercício de Esforços Internos 1 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  12. 12. 8 kN 12 kN.m 2 kN/m 1 m 1 m 1 m 2 m 2 m Exercício de Esforços Internos 2 Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos: a) método das secções; b) método gráfico. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  13. 13. Flexão Pura Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  14. 14. Outros Tipos de Carregamento • Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura. • Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector. • Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  15. 15. Análise das Tensões na Flexão Pura ∫ =−= ∫ == ∫ == MdAyM dAzM dAF xz xy xx σ σ σ 0 0 • O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos. • A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero. • O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo. • O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  16. 16. Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura: • a barra permanece simétrica em relação ao plano; • flecte uniformemente formando um arco de circunferência; • qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana; • a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta; • deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie; • tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  17. 17. Deformações na Flexão Pura Considere uma barra prismática de comprimento L. Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções, ( ) ( ) mx m m x c y c ρ c yy L yyLL yL εε ερ ε ρρθ θδ ε θρθθρδ θρ −= == −=−== −=−−=′−= −=′ or e)linearmentvaria(extensão DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  18. 18. Tensões e Deformações no Regime Elástico • Para um material homogéneo, e)linearmentvaria(tensãom mxx c y E c y E σ εεσ −= −== • A partir da estática, ∫ ∫∫ −= −=== dAy c dA c y dAF m mxx σ σσ 0 0 A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção. • Do equilíbrio estático, I My c y S M I Mc c I dAy c M dA c y ydAyM x mx m mm mx −= −= == ==       −−=−= ∫ ∫∫ σ σσ σ σσ σσ emdoSubstituin 2 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  19. 19. resistentemódulo inérciademomento == = == c I S I S M I Mc mσ Ahbh h bh c I S 6 13 6 1 3 12 1 2 ==== Tensões e Deformações no Regime Elástico DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  20. 20. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Propriedades dos Perfis
  21. 21. Deformações numa Secção Transversal • A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra. EI M I Mc EcEcc mm = === 11 σε ρ ρ ν νεε ρ ν νεε yy xzxy =−==−= caanticlásticurvatura 1 == ′ ρ ν ρ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  22. 22. Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: (a) as máximas tensões de tracção e compressão; (b) o raio da curvatura. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 3
  23. 23. Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia. mm38 3000 10114 3 = × = ∑ ∑ = A Ay Y ∑ ×==∑ ×=× ×=× 3 3 3 32 101143000 104220120030402 109050180090201 mm,mm,mmArea, AyA Ayy ( ) ( ) ( ) ( ) 49-3 23 12 123 12 1 23 12 12 m10868mm10868 18120040301218002090 ×=×= ×+×+×+×= ∑ +=∑ +=′ I dAbhdAIIx DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  24. 24. • Calcular as máximas tensões de tracção e compressão. 49 49 mm10868 m038.0mkN3 mm10868 m022.0mkN3 − − × ×⋅ −=−= × ×⋅ == = I cM I cM I Mc B B A A m σ σ σ MPa0.76+=Aσ MPa3.131−=Bσ • Calcular a curvatura. ( )( )49- m10868GPa165 mkN3 1 × ⋅ = = EI M ρ m7.47 m1095.20 1 1-3 = ×= − ρ ρ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  25. 25. ( ) ( ) I My A P xxx −= += flexãocentradaforça σσσ Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria • Carregamento excêntrico, PdM PN = = • Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais N
  26. 26. A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça. Do exercício resolvido 3, 49 23 m10868 m038.0 m103 − − ×= = ×= I Y A Exercício Resolvido 4 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  27. 27. • Força e momento flector aplicados em C. flectormomento028.0 centradaforça m028.0010.0038.0 === = =−= PPdM P d • Máxima força que pode ser aplicada. kNPMPaP kNPMPaP B A 0.771201559 6.7930377 =−=−= ==+= σ σ kN0.77=P • Sobreposição. ( )( ) ( )( ) P PP I Mc A P P PP I Mc A P B B A A 1559 10868 038.0028.0 103 377 10868 022.0028.0 103 93 93 −= × − × −=−−= += × + × −=+−= −− −− σ σ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  28. 28. Flexão Fora do Plano de Simetria • Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector. • Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria. • A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector. • Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  29. 29. Flexão Fora do Plano de Simetria • inérciadeprodutoIdAyz dA c y zdAzM yz mxy ===       −=== ∫ ∫∫ 0ou 0 σσ MMMF zyx === 0 • linha neutra passa pelo centro geométrico. ∫ ∫∫ =       −=== dAy dA c y dAF mxx 0ou 0 σσ • define a distribuição de tensões. inérciademomentoII c Iσ dA c y yMM z m mz ===       −−== ∫ Mou σ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  30. 30. • Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y, θθ sincos MMMM yz == • Sobrepor, y y z z x I zM I yM +−=σ • Obtém-se, ( ) ( ) θφ θθ σ tg I I z y tg I zM I yM I zM I yM y z yzy y z z x == +−=+−== sincos 0 • Aplicação do princípio da sobreposição. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Flexão Fora do Plano de Simetria
  31. 31. Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar: (a) A tensão máxima na viga; (b) O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais Exercício Resolvido 5
  32. 32. • Determinar a tensão máxima na viga. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) psi in ininlb I zM psi in ininlb I yM inininI inininI inlbinlbM inlbinlbM 4 y y 4 z z 4 y 4 z y z 5.609 9844.0 75.0800 6.452 359.5 75.11386 9844.05.15.3 359.55.35.1 80030sin1600 138630cos1600 2 1 3 12 1 3 12 1 = ⋅ == = ⋅ == == == ⋅=⋅= ⋅=⋅= σ σ • A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A. 5.6096.45221max +=+= σσσ psi1062max =σ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  33. 33. • Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. 143.3 30 9844.0 359.5 = == tg in in tg I I tg 4 4 y z θφ o 4.72=φ DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais
  34. 34. Caso Geral de Carga Excêntrica • A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores. PbMPaM P zy == = centradaforça • Aplicando o princípio da sobreposição, y y z z x I zM I yM A P +−=σ • Se σx = 0, obtém-se a equação de uma recta, que representa a linha neutra da secção. A P z I M y I M y y z z =− DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

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