Flexão e tensões em materiais

CAPITULO 8
Flexão
Resistência dos Materiais
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

Sumário: Flexão
Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as
tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades
geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento
axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico
de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos
vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado.
 Esforços internos de flexão e cortantes
 Flexão pura
 Equação matemática para cálculo das tensões normais
 Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados
 Superfície neutra e linha neutra
 Carregamento axial excêntrico
 Flexão simétrica e não simétrica
 Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia

Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão
• A determinação das tensões normais e
tangenciais máximas requer a identificação dos
esforços internos cortantes e de flexão máximos.
• Os esforços internos cortantes e de flexão num
ponto podem ser determinados seccionando a
viga pela secção transversal correspondente e
realizando uma análise de equilíbrio estático na
porção da viga à esquerda ou à direita desse
ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b)
(Método das Secções).
• Convenção de sinais positivos para os esforços
cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’:

Para a viga de madeira e para o
carregamento indicado, desenhe
os diagramas de esforços internos
cortantes e de flexão.
Método das Secções:
• Considerando a viga como um corpo
rígido, determine as forças reactivas
nos apoios.
• Represente graficamente a
distribuição dos esforços internos
cortantes e de flexão em função do
comprimento da viga.
• Seccione a viga junto aos apoios e
pontos de aplicação de cargas.
Aplique as equações de equilíbrio
estático nos diagramas de corpo
livre assim obtidos, de modo a
determinar os esforços internos
cortantes e de flexão.
Exercício Resolvido 1

• Cálculo das reacções nos apoios:
∑ ∑ ==== kNRkNRMF DBBy 1446:0
• Análise de equilíbrio estático:
( )( ) 00m0kN200
kN200kN200
111
11
==+∑ =
−==−−∑ =
MMM
VVFy
( )( ) mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
⋅−==+∑ =
−==−−∑ =
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
=−=
⋅+=−=
⋅+=+=
⋅−=+=
MV
MV
MV
MV

• Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:

( )
xwV
xwVVVFy
∆−=∆
=∆−∆+−=∑ 0:0
∫−=−
−=
D
C
x
x
CD dxwVV
w
dx
dV
• Relação entre carregamento e esforço cortante:
( )
( )2
2
1
0
2
:0
xwxVM
x
xwxVMMMMC
∆−∆=∆
=
∆
∆+∆−−∆+=∑ ′
∫=−
=
D
C
x
x
CD dxVMM
V
dx
dM
• Relação entre esforço cortante e esforço de flexão:
Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão

• Aplique a relação entre carregamento e
esforço cortante para representar o
diagrama de esforços internos cortantes.
• Aplique a relação entre esforço cortante e
esforço de flexão para representar o
diagrama de esforços internos de flexão.
Para a viga e para o carregamento
indicado, represente os diagramas
de esforços internos cortantes e
de flexão.
Método Gráfico:
• Considerando a viga como um corpo
rígido, determine as forças reactivas nos
apoios.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
kips18
kips12kips26kips12kips200
0F
kips26
ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240
0
y
=
−+−−=
=∑
=
−−−=
=∑
y
y
A
A
A
D
D
M
dxwdVw
dx
dV
−=−=
• Cálculo das reacções nos apoios:
• Representação gráfica do diagrama de
esforços internos cortantes:

dxVdMV
dx
dM
==
• Representação gráfica do diagrama de
esforços internos de flexão:

Exercício de Esforços Internos 1
Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de
esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes
métodos:
a) método das secções;
b) método gráfico.

8 kN
12 kN.m
2 kN/m
1 m 1 m 1 m 2 m 2 m
Exercício de Esforços Internos 2
Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de
esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes
métodos:
a) método das secções;
b) método gráfico.

Flexão Pura
Flexão Pura: Membros prismáticos
sujeitos a dois momentos, iguais e de
sentidos opostos, actuando no mesmo
plano longitudinal.

Outros Tipos de Carregamento
• Princípio da Sobreposição: Combinar
as tensões originadas pela carga com
as tensões provocadas pela flexão pura.
• Carregamento excêntrico: Um
carregamento axial excêntrico à
secção considerada, origina esforços
internos equivalentes a uma força
normal e a um momento flector.
• Carregamento transversal: Uma carga
concentrada na extremidade livre A
origina esforços internos equivalentes a
uma força igual, e de sentido oposto, e
a um momento flector.

Análise das Tensões na Flexão Pura
∫ =−=
∫ ==
∫ ==
MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
σ
σ
σ
0
0
• O momento flector M consiste em duas forças
iguais e de sentidos opostos.
• A soma das componentes dessas forças em
qualquer direcção é igual a zero.
• O momento flector, em relação a qualquer eixo
perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo.
• O momento flector, em relação a qualquer eixo
contido no seu plano, é igual a zero.

Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria,
em flexão pura:
• a barra permanece simétrica em relação ao plano;
• flecte uniformemente formando um arco de
circunferência;
• qualquer secção plana perpendicular ao eixo
da barra permanece plana;
• a linha AB diminui de comprimento e a linha
A’B’ aumenta;
• deve existir uma superfície neutra, paralela
às faces superior e inferior, para a qual o
comprimento não varie;
• tensões e deformações são negativas
(compressão) acima da superfície neutra, e
positivas (tracção) abaixo dela.

Deformações na Flexão Pura
Considere uma barra prismática de comprimento L.
Depois da deformação, o comprimento da superfície
neutra permanece igual a L. Nas outras secções,
( )
( )
mx
m
m
x
c
y
c
ρ
c
yy
L
yyLL
yL
εε
ερ
ε
ρρθ
θδ
ε
θρθθρδ
θρ
−=
==
−=−==
−=−−=′−=
−=′
or
e)linearmentvaria(extensão

Tensões e Deformações no Regime Elástico
• Para um material homogéneo,
e)linearmentvaria(tensãom
mxx
c
y
E
c
y
E
σ
εεσ
−=
−==
• A partir da estática,
∫
∫∫
−=
−===
dAy
c
dA
c
y
dAF
m
mxx
σ
σσ
0
0
A linha neutra passa pelo centro
geométrico da secção.
• Do equilíbrio estático,
I
My
c
y
S
M
I
Mc
c
I
dAy
c
M
dA
c
y
ydAyM
x
mx
m
mm
mx
−=
−=
==
==






−−=−=
∫
∫∫
σ
σσ
σ
σσ
σσ
emdoSubstituin
2

resistentemódulo
inérciademomento
==
=
==
c
I
S
I
S
M
I
Mc
mσ
Ahbh
h
bh
c
I
S 6
13
6
1
3
12
1
2
====
Tensões e Deformações no Regime Elástico

Propriedades dos Perfis

Deformações numa Secção Transversal
• A deformação da barra submetida à flexão é
medida pela curvatura da superfície neutra.
EI
M
I
Mc
EcEcc
mm
=
===
11 σε
ρ
ρ
ν
νεε
ρ
ν
νεε
yy
xzxy =−==−=
caanticlásticurvatura
1
==
′ ρ
ν
ρ

Uma peça de máquina de ferro fundido fica
submetida à acção do momento flector
M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e
desprezando o efeito da curvatura das
arestas do perfil, determinar:
(a) as máximas tensões de tracção e
compressão;
(b) o raio da curvatura.

Calcular a localização do centro geométrico da
secção e o momento de inércia.
mm38
3000
10114 3
=
×
=
∑
∑
=
A
Ay
Y
∑ ×==∑
×=×
×=×
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm,mm,mmArea,
AyA
Ayy
( ) ( )
( ) ( )
49-3
23
12
123
12
1
23
12
12
m10868mm10868
18120040301218002090
×=×=
×+×+×+×=
∑ +=∑ +=′
I
dAbhdAIIx

• Calcular as máximas tensões de tracção e
compressão.
49
49
mm10868
m038.0mkN3
mm10868
m022.0mkN3
−
−
×
×⋅
−=−=
×
×⋅
==
=
I
cM
I
cM
I
Mc
B
B
A
A
m
σ
σ
σ
MPa0.76+=Aσ
MPa3.131−=Bσ
• Calcular a curvatura.
( )( )49-
m10868GPa165
mkN3
1
×
⋅
=
=
EI
M
ρ
m7.47
m1095.20
1 1-3
=
×= −
ρ
ρ

( ) ( )
I
My
A
P
xxx
−=
+= flexãocentradaforça
σσσ
Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria
• Carregamento excêntrico,
PdM
PN
=
=
• Os resultados só são válidos quando as
condições de aplicação do princípio da
sobreposição e de Saint-Venant forem
satisfeitas.
N

A peça mostrada é feita de ferro fundido e
tem tensões admissíveis de 30 MPa à
tracção e de 120 MPa à compressão.
Determinar a maior força P que pode ser
aplicada à peça.
Do exercício resolvido 3,
49
23
m10868
m038.0
m103
−
−
×=
=
×=
I
Y
A

• Força e momento flector aplicados em C.
flectormomento028.0
centradaforça
m028.0010.0038.0
===
=
=−=
PPdM
P
d
• Máxima força que pode ser aplicada.
kNPMPaP
kNPMPaP
B
A
0.771201559
6.7930377
=−=−=
==+=
σ
σ
kN0.77=P
• Sobreposição.
( )( )
( )( ) P
PP
I
Mc
A
P
P
PP
I
Mc
A
P
B
B
A
A
1559
10868
038.0028.0
103
377
10868
022.0028.0
103
93
93
−=
×
−
×
−=−−=
+=
×
+
×
−=+−=
−−
−−
σ
σ

Flexão Fora do Plano de Simetria
• Em geral, a linha neutra da secção não
coincide com eixo do momento flector.
• Não podemos supor que a barra vá flectir no
plano de simetria.
• A linha neutra da secção transversal
coincide com o eixo do momento flector.
• Permanecem simétricas e flectem no plano
de simetria.

•
inérciadeprodutoIdAyz
dA
c
y
zdAzM
yz
mxy
===






−===
∫
∫∫
0ou
0 σσ
MMMF zyx === 0
•
linha neutra passa pelo centro geométrico.
∫
∫∫
=






−===
dAy
dA
c
y
dAF mxx
0ou
0 σσ
•
define a distribuição de tensões.
inérciademomentoII
c
Iσ
dA
c
y
yMM
z
m
mz
===






−−== ∫
Mou
σ

• Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y,
θθ sincos MMMM yz ==
• Sobrepor,
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
+−=σ
• Obtém-se,
( ) ( )
θφ
θθ
σ
tg
I
I
z
y
tg
I
zM
I
yM
I
zM
I
yM
y
z
yzy
y
z
z
x
==
+−=+−==
sincos
0
• Aplicação do princípio da sobreposição.

Um momento flector de 1600 lb.in é
aplicado a uma viga de madeira de
secção rectangular, num plano que forma
um ângulo de 30º com a vertical.
Determinar:
(a) A tensão máxima na viga;
(b) O ângulo que a linha neutra forma com o
plano horizontal.

• Determinar a tensão máxima na viga.
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) psi
in
ininlb
I
zM
psi
in
ininlb
I
yM
inininI
inininI
inlbinlbM
inlbinlbM
4
y
y
4
z
z
4
y
4
z
y
z
5.609
9844.0
75.0800
6.452
359.5
75.11386
9844.05.15.3
359.55.35.1
80030sin1600
138630cos1600
2
1
3
12
1
3
12
1
=
⋅
==
=
⋅
==
==
==
⋅=⋅=
⋅=⋅=
σ
σ
• A maior tensão de tracção devida ao carregamento
combinado ocorre em A.
5.6096.45221max +=+= σσσ psi1062max =σ

• Determinar o ângulo que a linha neutra forma
com o plano horizontal.
143.3
30
9844.0
359.5
=
== tg
in
in
tg
I
I
tg 4
4
y
z
θφ
o
4.72=φ

Caso Geral de Carga Excêntrica
• A força excêntrica é equivalente a um sistema
constituído por uma força centrada e dois
momentos flectores.
PbMPaM
P
zy ==
= centradaforça
• Aplicando o princípio da sobreposição,
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
A
P
+−=σ
• Se σx
= 0, obtém-se a equação de uma
recta, que representa a linha neutra da
secção.
A
P
z
I
M
y
I
M
y
y
z
z =−

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