Engenharia de ControleEngenharia de ControleDiagramas de BodeDiagramas de Bode
IntroduçãoIntrodução•• Diagramas de Bode:Diagramas de Bode: Representações da respostaRepresentações da respostaem freqüên...
IntroduçãoIntrodução( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )213213111111ωωωτττsssKsssKsG+⋅++⋅=+⋅++⋅=( )111213ωωωωωωωjjjKjG+⋅++⋅=Utilizando...
IntroduçãoIntrodução•• Termo geral dependente da freqüência:Termo geral dependente da freqüência:2120120 +=+=iii l...
IntroduçãoIntrodução•• ωω <<<<ωωii ::0120 =≅ logdBi•• ωω >>>>ωωii ::iii logloglogdB ωωωω202020 −=≅Intercepto na fr...
IntroduçãoIntroduçãoObservação:Observação: Caso o termo geral pertença aoCaso o termo geral pertença aodenominador, sua co...
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüênciai)i) Ganho constante:Ganho constante: 20 KlogdB =ii)ii) ...
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaPara um zero de ordemPara um zero de ordem NN na origem,...
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüênciaiii)iii) Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:P...
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaExemplo:Exemplo: ( ) ( )110110110++=++⋅=sssssG
Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )( )( )2210112101200sssssG++⋅=...
Diagramas de FaseDiagramas de Fase•• Zero na origem: 90Zero na origem: 90°° 90∠===ωωωjs js•• Pólo na origem: -Pólo na ori...
Diagramas de FaseDiagramas de Fase( ) ( ) =∠+=+=+= iiijsiarctgjsωωωθωθωωωωω ω,1112Freqüência de qu...
Diagramas de FaseDiagramas de FaseExemplo:Exemplo: ( )1101++=sssG
Diagramas de Bode – MagnitudeDiagramas de Bode – MagnitudeExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )1011sssG+−=
Diagramas de Bode – FaseDiagramas de Bode – FaseExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )1011sssG+−=
Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de BodeA margem de ganho ocorreA margem de ganh...
Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode•• A margem de fase ocorreA margem de fa...
Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode•• A aproximação assintótica utilizada n...
Diagramas de BodeDiagramas de BodeTermos Adicionais da Resposta em Freqüência:Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:...
AproximaçãoAproximaçãoAssintóticaAssintótica ζζ = 1= 1Diagramas de BodeDiagramas de BodeO erro máximo cometidoO erro máxim...
Diagramas de BodeDiagramas de BodeAs aproximaçõesAs aproximaçõesassintóticas seassintóticas semostrammostramadequadas para...
Diagramas de BodeDiagramas de BodeQuandoQuando ζζ < 0,3 as< 0,3 asaproximaçõesaproximaçõesassintóticas não sãoassintóticas...
Diagramas de BodeDiagramas de BodeNeste sistema,Neste sistema, ζζ = 0,2= 0,2Espera-se que aEspera-se que aaproximaçãoaprox...
Exemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11020210121004120022+⋅⋅++⋅=+++⋅=s,ssssssGDiagramas de BodeDiagramas de BodeErros e...
Critério de NyquistCritério de Nyquist•• Aplicável a sistemas em malha fechada comAplicável a sistemas em malha fechada co...
MapeamentoMapeamentono plano F(s)no plano F(s)Critério de NyquistCritério de NyquistA curvaA curva CC envolve o zeroenvolv...
Critério de NyquistCritério de NyquistF(s) é o recíprocoF(s) é o recíprocodeste vetordeste vetorExemplo:Exemplo: Recíproca...
Critério de NyquistCritério de NyquistExemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )10 sssssF −⋅−=O ângulo de cada vetor giraO ângulo de cad...
Critério de NyquistCritério de Nyquist⇒⇒ A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A faseA magnitude de F(s) ...
Critério de NyquistCritério de NyquistTeorema:Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios emSeja F(s) a razão de dois po...
( ) ( ) ( )1F s G s H s= +Critério de NyquistCritério de NyquistZZ é o número de zeros da equação característica que ocorr...
Critério de NyquistCritério de NyquistModificação:Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)Utiliza-se G(s)...
Critério de NyquistCritério de NyquistO percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãoO percurso de Nyquist é mapeado po...
Exemplo:Exemplo: ( ) ( )( )351G s H ss=+( ) ( )( )351G j H jjω ωω=+Critério de NyquistCritério de Nyquist(I): G(0)H(0) = 5...
05133 23=++++ Ksss( )205158358513310123,KKKKKssss−>⇒+<⇒−+Critério de NyquistCritério de Nyquist•• Verificando pelo critéri...
Critério de NyquistCritério de NyquistO sistema possui um pólo emO sistema possui um pólo em ss == jjωω11 (marginalmente(m...
Critério de NyquistCritério de NyquistPolinômio auxiliarPolinômio auxiliar( ) 03393513 22582=+⋅=+=++=ssKsKRaízes puramente...
Critério de NyquistCritério de NyquistUm aumento de 8/5 no ganhoUm aumento de 8/5 no ganho KK fará com que ofará com que o...
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistZZ :: Pólos de MF no semi-Pólos de MF no semi-plano direit...
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssG( )( ) ( )2501 1 ...
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssGSistema em MF est...
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssGNão há envolvimen...
Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistGenericamente:Genericamente:•• A partir de 1 +A partir de ...
Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem•• O princípio do argumento de Cauchy exige que aO princípio do ...
Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origemExemplo:Exemplo: ( )( )12+⋅=ssKsG→→ Ocorrem dois envolvimentos d...
Contagem dos envolvimentosContagem dos envolvimentosProcedimento prático:Procedimento prático:Quantos envolvimentos doQuan...
Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa⇒⇒ AA estabilidadeestabilidade não é a única preocupação presente nonão é a únic...
Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa•• Define-se aDefine-se a estabilidade relativaestabilidade relativa de um siste...
Estabilidade RelativaEstabilidade RelativaMargem de fase:Margem de fase:É a magnitude doÉ a magnitude doângulo mínimoângul...
Exercícios:Exercícios:Exercício 1:Exercício 1: ( )( ) ( )11001 3G ss s=+ +-5 0 5 10 15 20 25 30 35-25-20-15-10-50510152025...
Exercícios:Exercícios:Exercício 2:Exercício 2: ( )( )2 2501G ss s=+( )243sH ss+=+Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxis-2 -...
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-6-4-20246Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxisExercícios:Exercícios:Exercício 3:Exe...
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  1. 1. Engenharia de ControleEngenharia de ControleDiagramas de BodeDiagramas de Bode
  2. 2. IntroduçãoIntrodução•• Diagramas de Bode:Diagramas de Bode: Representações da respostaRepresentações da respostaem freqüênciaem freqüência•• Magnitude e fase em função da freqüênciaMagnitude e fase em função da freqüência•• Escalas logarítmicas aplicadas aos eixos deEscalas logarítmicas aplicadas aos eixos defreqüência e magnitudefreqüência e magnitude•• Exemplo de construção:Exemplo de construção: Sistema de 2Sistema de 2aaordemordem( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )213213111111ωωωτττsssKsssKsG+⋅++⋅=+⋅++⋅=1ii:ωτ= freqüências de quebrafreqüências de quebra
  3. 3. IntroduçãoIntrodução( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )213213111111ωωωτττsssKsssKsG+⋅++⋅=+⋅++⋅=( )111213ωωωωωωωjjjKjG+⋅++⋅=Utilizando:Utilizando: dlogclogblogalogcdlogablogcdablog −−+=−=Definindo:Definindo: Decibel (dB) comoDecibel (dB) como alogdB 20= ganhoganho( )31 220 20 20 120 1 20 1dBjG log G j log K logj jlog logωωωω ωω ω= = + + +− + − +
  4. 4. IntroduçãoIntrodução•• Termo geral dependente da freqüência:Termo geral dependente da freqüência:2120120 +=+=iii logjlogdBωωωωAproximaçõesAproximaçõesassintóticasassintóticas•• A magnitude na freqüência de quebra é deA magnitude na freqüência de quebra é de ≅≅ 3dB3dB•• A magnitude na freqüência 10A magnitude na freqüência 10ωωii é deé de ≅≅ 20dB20dB
  5. 5. IntroduçãoIntrodução•• ωω <<<<ωωii ::0120 =≅ logdBi•• ωω >>>>ωωii ::iii logloglogdB ωωωω202020 −=≅Intercepto na freqüência de quebraIntercepto na freqüência de quebraErro máximo deErro máximo de3dB em3dB em ωωii2120120 +=+=iii logjlogdBωωωωAproximaçõesAproximaçõesassintóticasassintóticas
  6. 6. IntroduçãoIntroduçãoObservação:Observação: Caso o termo geral pertença aoCaso o termo geral pertença aodenominador, sua contribuição para a magnitudedenominador, sua contribuição para a magnitudedadaresposta será negativaresposta será negativa⇒⇒ Fatores das funções de transferência:Fatores das funções de transferência:•• Ganho constanteGanho constante•• Pólos e zeros reais que ocorrem na origemPólos e zeros reais que ocorrem na origem•• Pólos e zeros reais que não ocorrem na origemPólos e zeros reais que não ocorrem na origem•• Pólos e zeros complexosPólos e zeros complexos•• Atraso de transporte idealAtraso de transporte ideal Não abordado no cursoNão abordado no curso
  7. 7. Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüênciai)i) Ganho constante:Ganho constante: 20 KlogdB =ii)ii) Pólos e zeros que ocorrem na origem:Pólos e zeros que ocorrem na origem:ωω logjlogdB 2020 ==A representação gráfica é uma linha reta comA representação gráfica é uma linha reta cominclinação de 20dB por década de freqüênciainclinação de 20dB por década de freqüência
  8. 8. Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaPara um zero de ordemPara um zero de ordem NN na origem, a representaçãona origem, a representaçãográfica é uma reta com inclinação de 20gráfica é uma reta com inclinação de 20NN dB por décadadB por décadade freqüência. Para o caso de um pólo de ordemde freqüência. Para o caso de um pólo de ordem NN nanaorigem, a curva é simétrica à anterior.origem, a curva é simétrica à anterior.Representação exata da resposta em freqüênciaRepresentação exata da resposta em freqüênciaZero na origemZero na origemPólo na origemPólo na origem
  9. 9. Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em Freqüênciaiii)iii) Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem:>−≤==+=+iiiiilogloglogjlogωωωωωωωωωω,2020,01201202Zero realZero realPólo realPólo real•• Termo de primeira ordem comTermo de primeira ordem commultiplicidademultiplicidade NNZeroZero
  10. 10. Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaExemplo:Exemplo: ( ) ( )110110110++=++⋅=sssssG
  11. 11. Fatores da Resposta em FreqüênciaFatores da Resposta em FreqüênciaExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )( )( )2210112101200sssssG++⋅=++⋅=
  12. 12. Diagramas de FaseDiagramas de Fase•• Zero na origem: 90Zero na origem: 90°° 90∠===ωωωjs js•• Pólo na origem: -Pólo na origem: -9090°°90111−∠=== ωωω js jsZero real que não ocorre na origem:Zero real que não ocorre na origem:( ) ( ) =∠+=+=+= iiijsiarctgjsωωωθωθωωωωω ω,1112Termo de ganho constante:Termo de ganho constante:Ganhos positivos: 0Ganhos positivos: 0°°Ganhos negativos: 180Ganhos negativos: 180°°
  13. 13. Diagramas de FaseDiagramas de Fase( ) ( ) =∠+=+=+= iiijsiarctgjsωωωθωθωωωωω ω,1112Freqüência de quebraFreqüência de quebraAs características de fase de um pólo real que não ocorreAs características de fase de um pólo real que não ocorrena origem são simétricas àquelas apresentadas na figurana origem são simétricas àquelas apresentadas na figura
  14. 14. Diagramas de FaseDiagramas de FaseExemplo:Exemplo: ( )1101++=sssG
  15. 15. Diagramas de Bode – MagnitudeDiagramas de Bode – MagnitudeExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )1011sssG+−=
  16. 16. Diagramas de Bode – FaseDiagramas de Bode – FaseExemplo:Exemplo: ( ) ( )( )1011sssG+−=
  17. 17. Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de BodeA margem de ganho ocorreA margem de ganho ocorrena freqüênciana freqüência ωω11 na qual ona qual oângulo de fase é -180ângulo de fase é -180°°. É. Écalculada como o recíprococalculada como o recíprocoda magnitudeda magnitude αα de G(de G(jjωω11))Expressando a margem deExpressando a margem deganho em dB:ganho em dB:dB log logα αα = = − ÷ 1
  18. 18. Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode•• A margem de fase ocorreA margem de fase ocorrena freqüênciana freqüência ωω22 na qual ana qual amagnitude do ganho de MAmagnitude do ganho de MAé unitário (0 dB)é unitário (0 dB)•• É definida como aÉ definida como adiferença entre o ângulo dediferença entre o ângulo defase de G(fase de G(jjωω22) e -180) e -180°°
  19. 19. Estabilidade Relativa no Diagrama de BodeEstabilidade Relativa no Diagrama de Bode•• A aproximação assintótica utilizada na construção dosA aproximação assintótica utilizada na construção dosdiagramas de Bode é, geralmente, inadequada quandodiagramas de Bode é, geralmente, inadequada quandoaplicada à determinação das margens de estabilidadeaplicada à determinação das margens de estabilidadeO diagrama de Bode deve ser construído comO diagrama de Bode deve ser construído comauxílio de uma ferramenta computacionalauxílio de uma ferramenta computacionalRegra Prática:Regra Prática:Margem de ganho de 8 dBMargem de ganho de 8 dBMargem de fase de 50Margem de fase de 50°°Os erros cometidosOs erros cometidosnas aproximaçõesnas aproximaçõesassintóticas podemassintóticas podemexceder estes valoresexceder estes valores
  20. 20. Diagramas de BodeDiagramas de BodeTermos Adicionais da Resposta em Freqüência:Termos Adicionais da Resposta em Freqüência:•• Pólos e zeros complexos da formaPólos e zeros complexos da forma10,2 22<≤++ ζωζω nnssA magnitude e a fase da resposta emA magnitude e a fase da resposta emfreqüência dependem da relação defreqüência dependem da relação deamortecimentoamortecimento ζζNormalizando para ganho DC unitário:Normalizando para ganho DC unitário:221 ++nnssωωζ
  21. 21. AproximaçãoAproximaçãoAssintóticaAssintótica ζζ = 1= 1Diagramas de BodeDiagramas de BodeO erro máximo cometidoO erro máximo cometidona magnitude ocorre nana magnitude ocorre nafreqüência de quebra efreqüência de quebra evalevale ≅≅ 6dB6dBζζ = 1= 1221 ++nnssωωζ212121 +=++=nnnsssωωωζζ
  22. 22. Diagramas de BodeDiagramas de BodeAs aproximaçõesAs aproximaçõesassintóticas seassintóticas semostrammostramadequadas paraadequadas para130 <≤ ζ, Erros relativamenteErros relativamenteelevados para a faseelevados para a faseO erro máximoO erro máximocometidocometidonestas aproximaçõesnestas aproximaçõesé deé de 6dB6dB para apara acaracterística decaracterística demagnitudemagnitude
  23. 23. Diagramas de BodeDiagramas de BodeQuandoQuando ζζ < 0,3 as< 0,3 asaproximaçõesaproximaçõesassintóticas não sãoassintóticas não sãoadequadasadequadasErrosErroselevadoselevadosQuandoQuando ζζ = 0:= 0:•• ωω == ωωnn: Magnitude: Magnitudetende a -tende a -∞∞ dBdB•• A fase apresentaA fase apresentadescontinuidade dedescontinuidade de180180°° emem ωω == ωωnn
  24. 24. Diagramas de BodeDiagramas de BodeNeste sistema,Neste sistema, ζζ = 0,2= 0,2Espera-se que aEspera-se que aaproximaçãoaproximaçãoassintóticaassintóticaapresente erroapresente erroelevado naselevado nasvizinhançasvizinhançasdede ωωnn = 10 rad/s= 10 rad/sExemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11020210121004120022+⋅⋅++⋅=+++⋅=s,ssssssGErro máximo deErro máximo de ≅≅ 8 dB8 dB
  25. 25. Exemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11020210121004120022+⋅⋅++⋅=+++⋅=s,ssssssGDiagramas de BodeDiagramas de BodeErros elevadosErros elevadoscometidos nacometidos narepresentação darepresentação dafase do sistemafase do sistema
  26. 26. Critério de NyquistCritério de Nyquist•• Aplicável a sistemas em malha fechada comAplicável a sistemas em malha fechada comequação característica 1 + G(S)H(S) = 0equação característica 1 + G(S)H(S) = 0•• O objetivo é analisar a estabilidade de um sistemaO objetivo é analisar a estabilidade de um sistemaem malha fechada a partir da resposta em freqüênciaem malha fechada a partir da resposta em freqüênciada função de malha aberta G(jda função de malha aberta G(jωω)H(j)H(jωω))Fundamento matemático:Fundamento matemático:Mapeamento de funções complexasMapeamento de funções complexas
  27. 27. MapeamentoMapeamentono plano F(s)no plano F(s)Critério de NyquistCritério de NyquistA curvaA curva CC envolve o zeroenvolve o zerode F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horárioA curvaA curva ΓΓ envolve a origemenvolve a origemdo plano F(s) no sentido horáriodo plano F(s) no sentido horárioExemplo:Exemplo: Deseja-se mapear no planoDeseja-se mapear no planoF(s) uma circunferência doF(s) uma circunferência doplanoplano ss com centro emcom centro em ss00( ) 0sssF −=
  28. 28. Critério de NyquistCritério de NyquistF(s) é o recíprocoF(s) é o recíprocodeste vetordeste vetorExemplo:Exemplo: Recíproca deRecíproca de( )01sssF−= ( ) 0sssF −=A curvaA curva CC envolve o póloenvolve o pólode F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horárioA curvaA curva ΓΓ envolve a origemenvolve a origemdo plano F(s) no sentido anti-horáriodo plano F(s) no sentido anti-horárioA magnitude é recíproca de (b) eA magnitude é recíproca de (b) ea fase é o negativo de (b)a fase é o negativo de (b)
  29. 29. Critério de NyquistCritério de NyquistExemplo:Exemplo: ( ) ( ) ( )10 sssssF −⋅−=O ângulo de cada vetor giraO ângulo de cada vetor girade - 360de - 360°° à medida que oà medida que opontoponto ss percorre a curvapercorre a curva CCA curvaA curva CC envolve os zerosenvolve os zerosde F(s) no sentido horáriode F(s) no sentido horárioA fase de F(s) gira de - 720A fase de F(s) gira de - 720°° e ae acurvacurvaΓΓ envolve a origem do plano F(s)envolve a origem do plano F(s)duas vezes no sentido horárioduas vezes no sentido horário
  30. 30. Critério de NyquistCritério de Nyquist⇒⇒ A magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A faseA magnitude de F(s) será o recíproco do caso anterior. A faseseráseráo oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curvao oposto daquela encontrada anteriormente. Assim, a curva ΓΓenvolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-envolverá a origem do plano F(s) duas vezes no sentido anti-horáriohorárioExiste uma relação entre o número de pólos eExiste uma relação entre o número de pólos ezeros envolvidos por uma curvazeros envolvidos por uma curva CC no planono plano ss eea quantidade e o sentido dos envolvimentos daa quantidade e o sentido dos envolvimentos daorigem do plano F(s)origem do plano F(s)Exemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101sssssF−⋅−=Recíproca deRecíproca de( ) ( ) ( )10 sssssF −⋅−=Princípio do argumento de CauchyPrincípio do argumento de Cauchy
  31. 31. Critério de NyquistCritério de NyquistTeorema:Teorema: Seja F(s) a razão de dois polinômios emSeja F(s) a razão de dois polinômios em sse a curvae a curva CC do planodo plano ss mapeada por F(s). Se F(s) formapeada por F(s). Se F(s) foranalítica no interior e na borda deanalítica no interior e na borda de CC, exceto em um, exceto em umnúmero finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos enúmero finito de pólos, e se F(s) não possuir pólos ezeros emzeros em CC, então, então N = Z – PN = Z – P..⇒⇒ ZZ é o número de zeros de F(s) emé o número de zeros de F(s) em CC,, PP é oé onúmero de pólos de F(s) emnúmero de pólos de F(s) em CC ee NN é o número deé o número deenvolvimentos da origem do planoenvolvimentos da origem do plano ss
  32. 32. ( ) ( ) ( )1F s G s H s= +Critério de NyquistCritério de NyquistZZ é o número de zeros da equação característica que ocorremé o número de zeros da equação característica que ocorremno semi-plano direitono semi-plano direito →→ Z = 0 para sistemas estáveisZ = 0 para sistemas estáveisPP é o número de pólos da malha abertaé o número de pólos da malha abertaG(s)H(s) no semi-plano direitoG(s)H(s) no semi-plano direitoN = 2 = Z – PN = 2 = Z – PZ = 2 + P > 2Z = 2 + P > 2SistemaSistemaInstávelInstável
  33. 33. Critério de NyquistCritério de NyquistModificação:Modificação: Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)Utiliza-se G(s)H(s) ao invés de 1 + G(s)H(s)O diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerdaO diagrama é deslocado de uma unidade para a esquerdaAo invés de contar osAo invés de contar osenvolvimentos da origem,envolvimentos da origem,são contados ossão contados osenvolvimentos do ponto -1envolvimentos do ponto -1e a representação obtida ée a representação obtida échamada dechamada de Diagrama deDiagrama deNyquistNyquist
  34. 34. Critério de NyquistCritério de NyquistO percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãoO percurso de Nyquist é mapeado por meio da funçãode malha aberta G(s)H(s). Assim,de malha aberta G(s)H(s). Assim, ZZ == NN ++ PP ::ZZ = n= noode pólos de MF que ocorrem no semi-plano direitode pólos de MF que ocorrem no semi-plano direitoNN = n= noode envolvimentos do ponto -1 no sentido horáriode envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioPP = n= noode pólos de MA que ocorrem no semi-plano direitode pólos de MA que ocorrem no semi-plano direito
  35. 35. Exemplo:Exemplo: ( ) ( )( )351G s H ss=+( ) ( )( )351G j H jjω ωω=+Critério de NyquistCritério de Nyquist(I): G(0)H(0) = 5(I): G(0)H(0) = 5( ) ( ) 0slim G s H s→∞=(III): G(s)H(s) = 0(III): G(s)H(s) = 0O trecho (IV) é oO trecho (IV) é ocomplexocomplexoconjugado doconjugado dotrecho (II)trecho (II)ZZ == NN ++ PP = 0 + 0 = 0= 0 + 0 = 0 →→ Sistema em MF estávelSistema em MF estávelResposta em freqüênciaResposta em freqüência
  36. 36. 05133 23=++++ Ksss( )205158358513310123,KKKKKssss−>⇒+<⇒−+Critério de NyquistCritério de Nyquist•• Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:Verificando pelo critério de Routh-Hurwitz:⇒⇒ Adição de um ganhoAdição de um ganho KK na função de MAna função de MA( ) ( )( )3 3 25 51 1 1 03 3 11K KK G s H ss s ss+ = + = + =+ + ++KK = 1 (Nyquist)= 1 (Nyquist)→→ Sistema estávelSistema estávelSistema em MF estável para:Sistema em MF estável para:5820 <<− K,
  37. 37. Critério de NyquistCritério de NyquistO sistema possui um pólo emO sistema possui um pólo em ss == jjωω11 (marginalmente(marginalmenteestável) e oscila com freqüênciaestável) e oscila com freqüência ωω11, desde que os, desde que osdemais pólos localizem-se no semi-plano esquerdodemais pólos localizem-se no semi-plano esquerdoAdmitindo que o diagrama de Nyquist intercepta oAdmitindo que o diagrama de Nyquist intercepta oponto -1 para algum valorponto -1 para algum valor ωω == ωω11::ouou( ) ( )1 1 1G j H jω ω = − ( ) ( )1 11 0G j H jω ω+ =No exemplo anterior:No exemplo anterior: ( ) ( )( )351KG s H ss=+O sistema é marginalmente estável paraO sistema é marginalmente estável para KK = 8/5= 8/5
  38. 38. Critério de NyquistCritério de NyquistPolinômio auxiliarPolinômio auxiliar( ) 03393513 22582=+⋅=+=++=ssKsKRaízes puramente imaginárias:Raízes puramente imaginárias: 3js ±=( ) ( )( ) ( ) 85602531533−=∠=+=⋅ = jjHjG ωωωO diagrama de Nyquist intercepta o eixo realO diagrama de Nyquist intercepta o eixo realnegativo em -5/8negativo em -5/8Linha nula paraLinha nula para KK = 8/5= 8/5( )KKKssss51358513310123+−+
  39. 39. Critério de NyquistCritério de NyquistUm aumento de 8/5 no ganhoUm aumento de 8/5 no ganho KK fará com que ofará com que odiagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o quediagrama de Nyquist intercepte o ponto -1, o quetorna o sistema marginalmente estáveltorna o sistema marginalmente estávelConclusão:Conclusão:Margem de ganho:Margem de ganho: fator pelo qual o ganho defator pelo qual o ganho demalha aberta deve ser alterado de forma amalha aberta deve ser alterado de forma aestabelecer um sistema marginalmente estávelestabelecer um sistema marginalmente estávelMedida daMedida da Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa do sistemado sistemaMargem de ganhoMargem de ganho
  40. 40. Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistZZ :: Pólos de MF no semi-Pólos de MF no semi-plano direito. Sistemasplano direito. Sistemasestáveis em MFestáveis em MF ⇒⇒ Z = 0Z = 0PNZ +=NN :: Envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioEnvolvimentos do ponto -1 no sentido horário•• NN < 0 para envolvimentos no sentido anti-horário< 0 para envolvimentos no sentido anti-horário•• Sistema marginalmente estável para intercepto em -1Sistema marginalmente estável para intercepto em -1PP :: Pólos de MA no semi-plano direitoPólos de MA no semi-plano direito
  41. 41. Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssG( )( ) ( )2501 1 01 10KK G ss s+ = + =+ × +050102112 23=++++ KsssOnde ocorre o cruzamento?Onde ocorre o cruzamento?Critério de Routh-Hurwitz:Critério de Routh-Hurwitz:adicionar um ganhoadicionar um ganho KKna malha abertana malha aberta
  42. 42. Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssGSistema em MF estávelSistema em MF estávelparapara 84420 ,K, <<−050102112 23=++++ Ksss( )20501084412502425010122110123,KK,KK-Kssss−>⇒+<⇒+•• SeSe KK = 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1= 4,84 o diagrama de Nyquist intercepta o ponto -1( ) 1844 1 −=⋅ ωjG, ( ) 2066084411 ,,jG −=−=ω
  43. 43. Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistExemplo:Exemplo: ( )( ) ( )101502+⋅+=sssGNão há envolvimentos do ponto -1Não há envolvimentos do ponto -1 ⇒⇒ NN = 0= 0DaíDaí ZZ == NN ++ PP = 0 + 0 = 0= 0 + 0 = 0 →→ Sistema estável emSistema estável emMF (comMF (com K =K = 1)1)( ) 2066084411 ,,jG −=−=ω•• SeSe KK = 4,84 o sistema oscilará com a freqüência= 4,84 o sistema oscilará com a freqüência ωω11::( ) 0211225212501012 228442=+⋅=+=++=ssKs,KLinhaLinha ss22do arranjo de Routhdo arranjo de RouthRaízes:Raízes: 1583421 ωj,jjs ±=±=±=
  44. 44. Aplicação do Critério de NyquistAplicação do Critério de NyquistGenericamente:Genericamente:•• A partir de 1 +A partir de 1 + KKG(s) = 0, aplica-se o critério deG(s) = 0, aplica-se o critério deRouth-Routh-Hurwitz de forma a encontrar o valorHurwitz de forma a encontrar o valor KK11 que torna oque torna osistema marginalmente estávelsistema marginalmente estável•• Com base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüênciaCom base no arranjo de Routh, encontra-se a freqüênciana qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustadona qual o sistema irá oscilar caso o ganho seja ajustadopara o valorpara o valor KK11•• Daí:Daí: ( )1 11 0K G jω+ =E o diagrama de Nyquist cruza o eixo realE o diagrama de Nyquist cruza o eixo realnegativo no pontonegativo no ponto( )111KjG −=ω
  45. 45. Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origem•• O princípio do argumento de Cauchy exige que aO princípio do argumento de Cauchy exige que afunção de malha aberta não possua pólos ou zerosfunção de malha aberta não possua pólos ou zerosno percurso de Nyquistno percurso de NyquistQuando ocorrem pólos na origem, o percursoQuando ocorrem pólos na origem, o percursode Nyquist deve ser alteradode Nyquist deve ser alterado0com 90 90js lim e θρρθ→=− ≤ ≤o oA magnitude de G(s) seráA magnitude de G(s) serámuito elevada nos pontosmuito elevada nos pontosdo desviodo desvio ⇒⇒ representaçãorepresentaçãosem escalassem escalas
  46. 46. Ocorrência de pólos na origemOcorrência de pólos na origemExemplo:Exemplo: ( )( )12+⋅=ssKsG→→ Ocorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioOcorrem dois envolvimentos do ponto -1 no sentido horárioLogo:Logo: ZZ == NN ++ PP = 2 + 0 = 2= 2 + 0 = 2 ⇒⇒ o sistema em malha fechadao sistema em malha fechadaé instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)é instável (ocorrem 2 pólos no semi-plano direito)Representação semRepresentação semescalaescala
  47. 47. Contagem dos envolvimentosContagem dos envolvimentosProcedimento prático:Procedimento prático:Quantos envolvimentos doQuantos envolvimentos doponto -1 ocorrem no diagramaponto -1 ocorrem no diagramade Nyquist?de Nyquist?•• Traçar uma linha partindo doTraçar uma linha partindo doponto -1 em qualquer direçãoponto -1 em qualquer direçãoconvenienteconveniente•• O nO noode envolvimentos do ponto -1 no sentido horário éde envolvimentos do ponto -1 no sentido horário éigual ao nigual ao noode cruzamentos desta linha com o diagrama node cruzamentos desta linha com o diagrama nosentido horário menos o nsentido horário menos o noode cruzamentos que ocorrem node cruzamentos que ocorrem nosentido anti-horáriosentido anti-horárioNN == 11 –– 11 = 0 envolvimentos= 0 envolvimentos
  48. 48. Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa⇒⇒ AA estabilidadeestabilidade não é a única preocupação presente nonão é a única preocupação presente noprojeto de sistemas de controle:projeto de sistemas de controle:Não é suficiente que um sistema seja estável. Deve-seNão é suficiente que um sistema seja estável. Deve-segarantir permanência da estabilidade por umagarantir permanência da estabilidade por umamargem de segurançamargem de segurança•• O sistema estável deve possuir uma respostaO sistema estável deve possuir uma respostatransitória satisfatóriatransitória satisfatória•• O modelo matemático utilizado na representaçãoO modelo matemático utilizado na representaçãodo sistemado sistema nuncanunca é exatoé exatoO modelo pode indicar estabilidade e oO modelo pode indicar estabilidade e osistema físico apresentar instabilidadesistema físico apresentar instabilidade
  49. 49. Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa•• Define-se aDefine-se a estabilidade relativaestabilidade relativa de um sistema linearde um sistema linearem termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquistem termos da proximidade de seu Diagrama de Nyquistem relação ao ponto -1 do plano complexoem relação ao ponto -1 do plano complexoMargem de ganho:Margem de ganho:Definida como o fatorDefinida como o fator1/1/αα pelo qual o ganhopelo qual o ganhode MA deve serde MA deve seralterado de modo aalterado de modo atornar o sistema emtornar o sistema emMF marginalmenteMF marginalmenteestávelestávelA margem de ganho é geralmenteA margem de ganho é geralmenteexpressa em dBexpressa em dBCruzamento emCruzamento em αα
  50. 50. Estabilidade RelativaEstabilidade RelativaMargem de fase:Margem de fase:É a magnitude doÉ a magnitude doângulo mínimoângulo mínimosegundo o qual osegundo o qual odiagrama de Nyquistdiagrama de Nyquistdeve ser rotacionadodeve ser rotacionadopara que ocorra opara que ocorra ocruzamento com ocruzamento com oeixo real negativoeixo real negativono ponto -1no ponto -1( ) 12 =ωjGDaí:Daí: ( ) o1802 −∠= ωφ jGm
  51. 51. Exercícios:Exercícios:Exercício 1:Exercício 1: ( )( ) ( )11001 3G ss s=+ +-5 0 5 10 15 20 25 30 35-25-20-15-10-50510152025Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxis ( )1 1H s =
  52. 52. Exercícios:Exercícios:Exercício 2:Exercício 2: ( )( )2 2501G ss s=+( )243sH ss+=+Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxis-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0x 104-1500-1000-500050010001500
  53. 53. -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-6-4-20246Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxisExercícios:Exercícios:Exercício 3:Exercício 3: ( )( )3201G ss s=+( )314H ss=+-1.006 -1.004 -1.002 -1 -0.998 -0.996 -0.994 -0.992 -0.99-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.06Nyquist DiagramReal AxisImaginaryAxis
  54. 54. FIMFIM

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