M´etodos Matem´aticos II
Nuno Bastos
Licenciatura em Tecnologias e Design de Multim´edia
Escola Superior de Tecnologia e G...
Neste cap´ıtulo iremos estudar fun¸c˜oes reais de duas ou mais vari´aveis reais.
Exemplos
1 A ´area de um triˆangulo depen...
Defini¸c˜ao
Seja D um conjunto do espa¸co n-dimensional (D ⊆ IRn
), isto ´e, os
elementos de D s˜ao os n-uplos ordenados (x...
Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de
fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos
Calcule o dom´ınio da...
Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de
fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos (cont.)
Calcule o dom...
Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de
fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos (cont.)
Calcule o dom...
Gr´aficos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis
Se f ´e uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, f = f (x1, x2, . . . , xn), o seu
gr´afico ´...
Gr´aficos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis - Exemplos
f (x, y) = 1 − x −
1
2
y
f (x, y) = 1 − x2 − y2
Nuno Bastos (ESTGV) M´...
Nota
Os gr´aficos de fun¸c˜oes de trˆes ou mais vari´aveis j´a n˜ao s˜ao visualiz´aveis por
se encontrar num espa¸co de dim...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel
Seja z = f (x, y) a equa¸c˜ao de uma superf´ıcie em IR3
correspondente ao
gr´afico de uma f...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 11 / 55
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 1
As figuras seguintes mostram uma montanha e a sua representa¸c˜ao
topogr´afica.
...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 1 - cont.
Uma carta topogr´afica descreve a varia¸c˜ao de z relativamente a x e a...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 2
Nas cartas meteorol´ogicas as curvas de n´ıvel podem representar pontos de
igu...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 3
Considere a fun¸c˜ao dada por f (x, y) = 4x2 + y2. Construa o mapa de
contorno...
Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 4
Considere a fun¸c˜ao dada por f (x, y) = 2 − x − y. Construa o mapa de
contorn...
Esbo¸co de gr´aficos usando curvas de n´ıvel
As curvas de n´ıvel s˜ao sempre subconjuntos do dom´ınio da fun¸c˜ao
z = f (x,...
Esbo¸co de gr´aficos usando curvas de n´ıvel - Ilustra¸c˜ao
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 18 / 55
Sec¸c˜oes C´onicas
As sec¸c˜oes c´onicas, ou simplesmente as c´onicas, s˜ao obtidas interceptando
um cone circular recto d...
Uma par´abola ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes
de um ponto fixo F (foco) e de uma recta fixa l (di...
Par´abolas com v´ertice no ponto V=(h,k)
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 21 / 55
Uma elipse ´e o conjunto de todos os pontos de um plano, cuja soma das
distˆancias a dois pontos fixos (focos) ´e constante...
O gr´afico da equa¸c˜ao
x2
a2
+
y2
b2
= 1
com a2 > b2 ´e uma elipse com v´ertices (±a, 0). As extremidades do eixo
menor s˜...
O gr´afico da equa¸c˜ao
x2
b2
+
y2
a2
= 1
com a2 > b2 ´e uma elipse com v´ertices (0, ±a). As extremidades do eixo
menor s˜...
Uma hip´erbole ´e o conjunto de todos os pontos de um plano, tais que o
m´odulo da diferen¸ca das suas distˆancias a dois ...
O gr´afico da equa¸c˜ao
x2
a2
−
y2
b2
= 1
com a2 > b2 ´e uma hip´erbole de v´ertices (±a, 0). Os focos s˜ao (±c, 0),
com c2...
O gr´afico da equa¸c˜ao
y2
a2
−
x2
b2
= 1
com a2 > b2 ´e uma hip´erbole de v´ertices (0, ±a). Os focos s˜ao (0, ±c),
com c2...
Planos
A equa¸c˜ao de um plano no espa¸co pode ser obtida atrav´es de um ponto
do plano e um vector normal a esse plano.
N...
Defini¸c˜ao
O plano contendo o ponto (x1, y1, z1) e o vector normal −→n = (a, b, c),
pode ser representado, pela equa¸c˜ao
...
Exemplo
Encontre a equa¸c˜ao geral do plano que cont´em o ponto (1, 2, 3) e sendo
−→n = (4, 5, 6) um vector normal ao plan...
Para esbo¸car um plano no espa¸co, devemos em primeiro lugar encontrar as
rectas de intersec¸c˜ao com os planos coordenado...
Exemplo
Pegando na equa¸c˜ao do exemplo anterior vem:
Fazendo z = 0 vem 4x + 5y = 32
Fazendo x = 0 vem 5y + 6z = 32
Fazend...
Defini¸c˜ao
A intersec¸c˜ao de uma superf´ıcie com um plano diz-se o tra¸co da superf´ıcie
no plano.
Nuno Bastos (ESTGV) M´...
Superf´ıcies Cil´ındricas
Um exemplo comum de uma
destas superf´ıcies ´e o cilindro
circular recto.
Nuno Bastos (ESTGV) M´...
Para desenhar o gr´afico de z = y2 em IR3
come¸camos por calcular o tra¸co
(i.e., o que representa a fun¸c˜ao para diferent...
Outro tipo de superf´ıcies no espa¸co s˜ao as superf´ıcies qu´adricas que
podem ser consideradas a correspondˆencia tridim...
H´a seis tipos b´asicos de superf´ıcies qu´adricas:
1 Elips´oide
2 Hiperbol´oide de uma folha
3 Hiperbol´oide de duas folh...
Elips´oide
x2
a2 + y2
b2 + z2
c2 = 1
Os tra¸cos nos planos
coordenados s˜ao elipses. A
superf´ıcie ´e uma esfera se
a = b ...
Hiperbol´oide de uma folha
x2
a2 + y2
b2 − z2
c2 = 1
O tra¸co nos planos paralelos
ao plano XOY s˜ao elipses e
nos planos ...
Hiperbol´oide de duas folhas
z2
c2 − x2
a2 − y2
b2 = 1
O tra¸co nos planos paralelos
ao plano XOY s˜ao elipses e
nos plano...
Cone El´ıptico
z2 = x2
a2 + y2
b2
O tra¸co nos planos paralelos
ao plano XOY s˜ao elipses e
nos planos paralelos aos outro...
Parabol´oide El´ıptico
z = x2
a2 + y2
b2
O tra¸co nos planos paralelos
ao plano XOY s˜ao elipses e
nos planos paralelos ao...
Parabol´oide Hiperb´olico
z = y2
b2 − x2
a2
O tra¸co nos planos paralelos
ao plano XOY s˜ao hip´erboles e
nos planos paral...
T´ecnica para identificar uma superf´ıcie qu´adrica
Equa¸c˜ao Caracter´ıstica Classifica¸c˜ao
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 N˜ao...
Exemplo
Identifique a seguinte superf´ıcie:
3x2
− 4y2
+ 12z2
+ 12 = 0
Solu¸c˜ao:
Reescrevendo a equa¸c˜ao vem:
y2
3
−
x2
4
...
Esbo¸co de qu´adricas... Algumas t´ecnicas e exemplos
Um esbo¸co de um hiperbol´oide de uma folha de equa¸c˜ao
x2
a2
+
y2
...
Exemplo
Esboce o gr´afico do hiperbol´oide de uma folha de equa¸c˜ao
x2
+ y2
−
z2
4
= 1 .
O tra¸co no plano XOY, obtido faz...
O esbo¸co...
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 48 / 55
Um esbo¸co de um hiperbol´oide de duas folhas de equa¸c˜ao
z2
c2
−
x2
a2
−
y2
b2
= 1 (a > 0, b > 0, c > 0)
pode ser obtida...
Exemplo
Esboce o gr´afico do hiperbol´oide de duas folhas de equa¸c˜ao
z2
− x2
−
y2
4
= 1 .
As intersec¸c˜oes com o eixo do...
O esbo¸co...
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 51 / 55
Um esbo¸co de um parabol´oide hiperb´olico de equa¸c˜ao
z =
y2
b2
−
x2
a2
(a > 0, b > 0)
pode ser obtida desenhando primei...
Exemplo
Esboce o gr´afico do parabol´oide hiperb´olico de equa¸c˜ao
z =
y2
4
−
x2
9
Fazendo x = 0 na equa¸c˜ao vem:
z =
y2
...
O tra¸co no plano z = 1 ´e
y2
4
−
x2
9
= 1 (z = 1)
que ´e uma hip´erbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao eixo ...
O esbo¸co...
Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 55 / 55
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis

260 visualizações

Publicada em

Funcões de várias variáveis

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
260
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
7
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

[2014 2015] cap_3_funcoes_varias_variáveis

  1. 1. M´etodos Matem´aticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design de Multim´edia Escola Superior de Tecnologia e Gest˜ao de Viseu Gabinete 42 2014/2015 Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 1 / 55
  2. 2. Neste cap´ıtulo iremos estudar fun¸c˜oes reais de duas ou mais vari´aveis reais. Exemplos 1 A ´area de um triˆangulo depende das vari´aveis base e altura: A△(b, h) = b · h 2 2 O volume de uma caixa com laterais rectangulares depende de trˆes dimens˜oes x, y e z: V (x, y, z) = x · y · z 3 A m´edia aritm´etica x de n n´umeros x1, x2, . . . , xn ´e uma fun¸c˜ao de n vari´aveis: µ(x1, . . . , xn) = x = 1 n (x1 + x2 + . . . + xn) Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 2 / 55
  3. 3. Defini¸c˜ao Seja D um conjunto do espa¸co n-dimensional (D ⊆ IRn ), isto ´e, os elementos de D s˜ao os n-uplos ordenados (x1, x2, . . . , xn) de n´umeros reais. Se a cada ponto (x1, x2, . . . , xn) ∈ D fizermos corresponder um ´unico elemento y ∈ IR, obtemos uma fun¸c˜ao f : D ⊆ IRn → IR (x1, x2, . . . , xn) → y = f (x1, x2, . . . , xn) Esta fun¸c˜ao ´e chamada fun¸c˜ao real de n vari´aveis reais. O conjunto D ´e denominado o dom´ınio da fun¸c˜ao. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 3 / 55
  4. 4. Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos Calcule o dom´ınio da fun¸c˜ao seguinte e represente-o graficamente: f (x, y) = 3x2√ y − 1 Solu¸c˜ao O dom´ınio de f ´e o conjunto dos pontos (x, y) tais que y ≥ 0. Assim D = {(x, y) ∈ IR2 : y ≥ 0} Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 4 / 55
  5. 5. Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos (cont.) Calcule o dom´ınio da fun¸c˜ao seguinte e represente-o graficamente: f (x, y) = ln(x2 − y) Solu¸c˜ao O dom´ınio de f ´e o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 − y > 0. Ora x2 − y > 0 ⇔ y < x2. Assim D = {(x, y) ∈ IR2 : y < x2 } Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 5 / 55
  6. 6. Representa¸c˜ao no plano e no espa¸co do dom´ınio de fun¸c˜oes de duas e trˆes vari´aveis - Exemplos (cont.) Calcule o dom´ınio da fun¸c˜ao seguinte e represente-o graficamente: f (x, y) = 9 − x2 − y2 − z2 Solu¸c˜ao O dom´ınio de f ´e o conjunto dos pontos (x, y, z) tais que 9 − x2 − y2 − z2 ≥ 0. Ora 9 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 + z2 ≤ 9. Assim o dom´ınio de f ´e a esfera de raio 3 e centro em (0, 0, 0) e o seu interior. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 6 / 55
  7. 7. Gr´aficos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis Se f ´e uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, f = f (x1, x2, . . . , xn), o seu gr´afico ´e o conjunto de pontos no espa¸co IRn+1 dado por graf (f ) = {(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D(f )} Em particular seja f (x, y) uma fun¸c˜ao real de duas vari´aveis reais. O gr´afico desta fun¸c˜ao definido por: graf (f ) = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D(f )} Nem toda a superf´ıcie em IR3 corresponde ao gr´afico de uma fun¸c˜ao. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 7 / 55
  8. 8. Gr´aficos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis - Exemplos f (x, y) = 1 − x − 1 2 y f (x, y) = 1 − x2 − y2 Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 8 / 55
  9. 9. Nota Os gr´aficos de fun¸c˜oes de trˆes ou mais vari´aveis j´a n˜ao s˜ao visualiz´aveis por se encontrar num espa¸co de dimens˜ao superior ao espa¸co onde vivemos. Em IRn , n ≥ 4, fun¸c˜oes cont´ınuas representam hiper-superf´ıcies. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 9 / 55
  10. 10. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel Seja z = f (x, y) a equa¸c˜ao de uma superf´ıcie em IR3 correspondente ao gr´afico de uma fun¸c˜ao. Uma curva de n´ıvel na superf´ıcie ´e o lugar geom´etrico dos pontos (x, y) ∈ D(f ) onde a fun¸c˜ao permanece constante e por isso ´e definida por uma equa¸c˜ao f (x, y) = k , onde ´e k ´e uma constante. Do ponto de vista geom´etrico as curvas de n´ıvel s˜ao as intersec¸c˜oes da superf´ıcie z = f (x, y) com os planos horizontais z = k. Para as fun¸c˜oes de trˆes vari´aveis o lugar geom´etrico dos pontos onde a fun¸c˜ao ´e constante, definido por f (x, y, z) = k chama-se superf´ıcie de n´ıvel e, para as fun¸c˜oes de mais de trˆes vari´aveis chama-se hiper-superf´ıcie de n´ıvel. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 10 / 55
  11. 11. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 11 / 55
  12. 12. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 1 As figuras seguintes mostram uma montanha e a sua representa¸c˜ao topogr´afica. Geralmente os mapas de contorno ou cartas topogr´aficas mostram regi˜oes da superf´ıcie terrestre descritas por curvas de n´ıvel, isto ´e, conjuntos de pontos com a mesma eleva¸c˜ao. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 12 / 55
  13. 13. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 1 - cont. Uma carta topogr´afica descreve a varia¸c˜ao de z relativamente a x e a y do seguinte modo: se duas curvas de n´ıvel se encontram muito espa¸cadas significa que z varia suavemente, enquanto que pequenos espa¸camentos mostram uma r´apida altera¸c˜ao de z. Desta maneira, para se obter uma boa ilus˜ao tridimensional numa carta topogr´afica, ´e muito importante escolher valores adequados para k. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 13 / 55
  14. 14. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 2 Nas cartas meteorol´ogicas as curvas de n´ıvel podem representar pontos de igual temperatura, e chamam-se isot´ermicas. Podem tamb´em representar pontos de igual press˜ao, curvas isob´aricas, como se mostra na figura abaixo. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 14 / 55
  15. 15. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 3 Considere a fun¸c˜ao dada por f (x, y) = 4x2 + y2. Construa o mapa de contorno para esta superf´ıcie atrav´es das curvas de n´ıvel correspondentes a k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 15 / 55
  16. 16. Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel - Exemplo 4 Considere a fun¸c˜ao dada por f (x, y) = 2 − x − y. Construa o mapa de contorno para esta superf´ıcie atrav´es das curvas de n´ıvel correspondentes a k = −6, −4, 0, 2, 4 e 6. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 16 / 55
  17. 17. Esbo¸co de gr´aficos usando curvas de n´ıvel As curvas de n´ıvel s˜ao sempre subconjuntos do dom´ınio da fun¸c˜ao z = f (x, y), e portanto s˜ao tra¸cadas no plano XOY . Cada curva de n´ıvel ´e a projec¸c˜ao, sobre o plano XOY da intersec¸c˜ao do gr´afico de f com o plano horizontal z = k. Assim, para obtermos uma visualiza¸c˜ao do gr´afico de f , podemos tra¸car diversas curvas de n´ıvel e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura z = k correspondente. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 17 / 55
  18. 18. Esbo¸co de gr´aficos usando curvas de n´ıvel - Ilustra¸c˜ao Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 18 / 55
  19. 19. Sec¸c˜oes C´onicas As sec¸c˜oes c´onicas, ou simplesmente as c´onicas, s˜ao obtidas interceptando um cone circular recto de duas folhas por um plano Variando a posi¸c˜ao do plano obtˆem-se uma par´abola, uma elipse ou uma hip´erbole como ilus- tra a figura ao lado: Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 19 / 55
  20. 20. Uma par´abola ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma recta fixa l (directriz) do plano. O eixo da par´abola ´e a recta que passa por F e ´e perpendicular `a directriz. O v´ertice da par´abola ´e o ponto V do eixo, equidistante de F e l Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 20 / 55
  21. 21. Par´abolas com v´ertice no ponto V=(h,k) Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 21 / 55
  22. 22. Uma elipse ´e o conjunto de todos os pontos de um plano, cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos (focos) ´e constante. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 22 / 55
  23. 23. O gr´afico da equa¸c˜ao x2 a2 + y2 b2 = 1 com a2 > b2 ´e uma elipse com v´ertices (±a, 0). As extremidades do eixo menor s˜ao (0, ±b). Os focos s˜ao (±c, 0), com c2 = a2 − b2. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 23 / 55
  24. 24. O gr´afico da equa¸c˜ao x2 b2 + y2 a2 = 1 com a2 > b2 ´e uma elipse com v´ertices (0, ±a). As extremidades do eixo menor s˜ao (±b, 0). Os focos s˜ao (0, ±c), com c2 = a2 − b2. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 24 / 55
  25. 25. Uma hip´erbole ´e o conjunto de todos os pontos de um plano, tais que o m´odulo da diferen¸ca das suas distˆancias a dois pontos fixos do plano (os focos) ´e constante. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 25 / 55
  26. 26. O gr´afico da equa¸c˜ao x2 a2 − y2 b2 = 1 com a2 > b2 ´e uma hip´erbole de v´ertices (±a, 0). Os focos s˜ao (±c, 0), com c2 = a2 + b2. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 26 / 55
  27. 27. O gr´afico da equa¸c˜ao y2 a2 − x2 b2 = 1 com a2 > b2 ´e uma hip´erbole de v´ertices (0, ±a). Os focos s˜ao (0, ±c), com c2 = a2 + b2. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 27 / 55
  28. 28. Planos A equa¸c˜ao de um plano no espa¸co pode ser obtida atrav´es de um ponto do plano e um vector normal a esse plano. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 28 / 55
  29. 29. Defini¸c˜ao O plano contendo o ponto (x1, y1, z1) e o vector normal −→n = (a, b, c), pode ser representado, pela equa¸c˜ao a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0 ou ainda, reagrupando os termos, obt´em-se para equa¸c˜ao geral do plano: ax + by + cz + d = 0, d ∈ IR Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 29 / 55
  30. 30. Exemplo Encontre a equa¸c˜ao geral do plano que cont´em o ponto (1, 2, 3) e sendo −→n = (4, 5, 6) um vector normal ao plano Solu¸c˜ao: 4(x − 1) + 5(y − 2) + 6(z − 3) = 0 4x + 5y + 6z − 32 = 0 Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 30 / 55
  31. 31. Para esbo¸car um plano no espa¸co, devemos em primeiro lugar encontrar as rectas de intersec¸c˜ao com os planos coordenados: XOY (z = 0); YOZ (x = 0); XOZ (y = 0) e as intersec¸c˜oes com planos paralelos aos planos coordenados. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 31 / 55
  32. 32. Exemplo Pegando na equa¸c˜ao do exemplo anterior vem: Fazendo z = 0 vem 4x + 5y = 32 Fazendo x = 0 vem 5y + 6z = 32 Fazendo y = 0 vem 4x + 6z = 32 Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 32 / 55
  33. 33. Defini¸c˜ao A intersec¸c˜ao de uma superf´ıcie com um plano diz-se o tra¸co da superf´ıcie no plano. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 33 / 55
  34. 34. Superf´ıcies Cil´ındricas Um exemplo comum de uma destas superf´ıcies ´e o cilindro circular recto. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 34 / 55
  35. 35. Para desenhar o gr´afico de z = y2 em IR3 come¸camos por calcular o tra¸co (i.e., o que representa a fun¸c˜ao para diferentes valores de x) desta superf´ıcie com os planos paralelos ao plano YOZ, uma vez que a vari´avel x n˜ao est´a presente na equa¸c˜ao. O tra¸co em cada um destes planos ´e a par´abola z = y2. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 35 / 55
  36. 36. Outro tipo de superf´ıcies no espa¸co s˜ao as superf´ıcies qu´adricas que podem ser consideradas a correspondˆencia tridimensional das sec¸c˜oes c´onicas no plano. Defini¸c˜ao Uma superf´ıcie qu´adrica ´e representada por uma equa¸c˜ao do segundo grau da forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxz + Exy + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 A intersec¸c˜ao de uma superf´ıcie com um plano diz-se o tra¸co da superf´ıcie no plano. Os tra¸cos das superf´ıcies qu´adricas nos planos coordenados s˜ao c´onicas. Para visualizar uma superf´ıcie no espa¸co ´e ´util determinar os seus tra¸cos em planos paralelos aos planos coordenados. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 36 / 55
  37. 37. H´a seis tipos b´asicos de superf´ıcies qu´adricas: 1 Elips´oide 2 Hiperbol´oide de uma folha 3 Hiperbol´oide de duas folhas 4 Cone el´ıptico 5 Parabol´oide el´ıptico 6 Parabol´oide hiperb´olico Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 37 / 55
  38. 38. Elips´oide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 Os tra¸cos nos planos coordenados s˜ao elipses. A superf´ıcie ´e uma esfera se a = b = c = 0. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 38 / 55
  39. 39. Hiperbol´oide de uma folha x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 O tra¸co nos planos paralelos ao plano XOY s˜ao elipses e nos planos paralelos aos outros planos coordenados o tra¸co ´e uma hip´erboles.O eixo do hiperbol´oide corresponde `a vari´avel cujo coeficiente ´e negativo. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 39 / 55
  40. 40. Hiperbol´oide de duas folhas z2 c2 − x2 a2 − y2 b2 = 1 O tra¸co nos planos paralelos ao plano XOY s˜ao elipses e nos planos paralelos aos outros planos coordenados o tra¸co ´e uma hip´erbole. O eixo do hiperbol´oide corresponde `a vari´avel cujo coeficiente ´e positivo. N˜ao h´a tra¸co no plano coordenado perpendicular a esse eixo. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 40 / 55
  41. 41. Cone El´ıptico z2 = x2 a2 + y2 b2 O tra¸co nos planos paralelos ao plano XOY s˜ao elipses e nos planos paralelos aos outros planos coordenados o tra¸co ´e uma recta. O eixo do cone corresponde `a vari´avel cujo coeficiente ´e negativo. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 41 / 55
  42. 42. Parabol´oide El´ıptico z = x2 a2 + y2 b2 O tra¸co nos planos paralelos ao plano XOY s˜ao elipses e nos planos paralelos aos outros planos coordenados o tra¸co ´e uma par´abola. O eixo do parabol´oide corresponde `a vari´avel de grau um. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 42 / 55
  43. 43. Parabol´oide Hiperb´olico z = y2 b2 − x2 a2 O tra¸co nos planos paralelos ao plano XOY s˜ao hip´erboles e nos planos paralelos aos outros planos coordenados o tra¸co ´e uma par´abola. O eixo do parabol´oide corresponde `a vari´avel de grau um. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 43 / 55
  44. 44. T´ecnica para identificar uma superf´ıcie qu´adrica Equa¸c˜ao Caracter´ıstica Classifica¸c˜ao x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 N˜ao tem nenhum sinal menos Elips´oide x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 Tem apenas um sinal menos Hiperbol´oide de uma folha z2 c2 − x2 a2 − y2 b2 = 1 Tem dois sinais menos Hiperbol´oide de duas folhas z2 − x2 a2 − y2 b2 = 0 N˜ao tem termos lineares Cone El´ıptico z − x2 a2 − y2 b2 = 0 Tem um termo linear e dois termos quadr´aticos Parabol´oide El´ıptico com o mesmo sinal z − y2 b2 + x2 a2 = 0 Tem um termo linear e dois termos quadr´aticos Parabol´oide Hiperb´olico com sinais contr´arios Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 44 / 55
  45. 45. Exemplo Identifique a seguinte superf´ıcie: 3x2 − 4y2 + 12z2 + 12 = 0 Solu¸c˜ao: Reescrevendo a equa¸c˜ao vem: y2 3 − x2 4 − z2 = 1 A equa¸c˜ao tem um 1 no lado direito da equa¸c˜ao, tem dois membros com sinal negativo no lado esquerdo e um positivo e por isso ´e um hiperbol´oide de duas folhas. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 45 / 55
  46. 46. Esbo¸co de qu´adricas... Algumas t´ecnicas e exemplos Um esbo¸co de um hiperbol´oide de uma folha de equa¸c˜ao x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) pode ser obtida desenhando primeiro o tra¸co (elipse) no plano XOY, depois os tra¸cos nos planos z = ±c, e por fim as curvas hiperb´olicas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 46 / 55
  47. 47. Exemplo Esboce o gr´afico do hiperbol´oide de uma folha de equa¸c˜ao x2 + y2 − z2 4 = 1 . O tra¸co no plano XOY, obtido fazendo z = 0 na equa¸c˜ao, ´e x2 + y2 = 1 (z = 0) que ´e uma circunferˆencia de raio 1 e centro na origem. Os tra¸cos nos planos z = 2 e z = −2 s˜ao x2 + y2 = 2 que s˜ao c´ırculos de raio √ 2 e centro no eixo dos zz. Juntando os pontos extremos dos eixos das circunferˆencias com hip´erboles obtemos o esbo¸co final que se encontra no slide seguinte Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 47 / 55
  48. 48. O esbo¸co... Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 48 / 55
  49. 49. Um esbo¸co de um hiperbol´oide de duas folhas de equa¸c˜ao z2 c2 − x2 a2 − y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) pode ser obtida desenhando primeiro as intersec¸c˜oes com o eixo dos zz, depois os tra¸cos (elipses) nos planos z = ±2c, e por fim as curvas que unem os pontos terminais dos eixos dessas elipses com os pontos da intersec¸c˜ao com o eixo dos zz. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 49 / 55
  50. 50. Exemplo Esboce o gr´afico do hiperbol´oide de duas folhas de equa¸c˜ao z2 − x2 − y2 4 = 1 . As intersec¸c˜oes com o eixo dos zz acontecem em z = ±1. Os tra¸cos nos planos z = 2 e z = −2 s˜ao dados pela equa¸c˜ao: x2 3 + y2 12 = 1 (z = ±2) Desenhando estas elipses e as hip´erboles nos planos coordenados verticais obtemos o esbo¸co do slide seguinte Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 50 / 55
  51. 51. O esbo¸co... Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 51 / 55
  52. 52. Um esbo¸co de um parabol´oide hiperb´olico de equa¸c˜ao z = y2 b2 − x2 a2 (a > 0, b > 0) pode ser obtida desenhando primeiro os dois tra¸cos ( par´abolas ) que passam na origem ( um no plano YOZ e outra no plano XOZ ), depois os tra¸cos (hip´erboles) nos planos z = ±1, e por fim preencher os lados que faltam. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 52 / 55
  53. 53. Exemplo Esboce o gr´afico do parabol´oide hiperb´olico de equa¸c˜ao z = y2 4 − x2 9 Fazendo x = 0 na equa¸c˜ao vem: z = y2 4 (x = 0) que ´e uma par´abola no plano YOZ com v´ertice na origem e a “abrir”para o lado positivo do eixo dos zz. Fazendo y = 0 na equa¸c˜ao vem: z = − x2 4 (y = 0) que ´e uma par´abola no plano XOZ com v´ertice na origem e a “abrir”para o lado negativo do eixo dos zz. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 53 / 55
  54. 54. O tra¸co no plano z = 1 ´e y2 4 − x2 9 = 1 (z = 1) que ´e uma hip´erbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao eixo dos yy. O tra¸co no plano z = −1 ´e x2 9 − y2 4 = 1 (z = −1) que ´e uma hip´erbole que “abre”ao longo de uma linha paralela ao eixo dos xx. Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 54 / 55
  55. 55. O esbo¸co... Nuno Bastos (ESTGV) M´etodos Matem´aticos II 2014/2015 55 / 55

×