Conteúdo de Matemática Básica sobre potências e raízes.

1. Universidade do Estado da Bahia – UNEB
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROGRAD
Campus Universitário Professor Gedival Sousa Andrade
DCHT XXIV Xique-Xique
MONITOR- JOSÉ MARÇAL
ORIENTADOR- PROFESSOR Msc. ANDRÉ RICARDO
XIQUE-XIQUE/BA
2016
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎2 + 𝑏22𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2

2. 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎2 + 𝑏22𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
É de grande importância o conhecimento das propriedades das potenciações,
principalmente nas situações operatórias entre potências. As regras claras e
objetivas são válidas também nos casos envolvendo funções exponenciais, y =
ax , com a > 0 e a ≠ 1.
Observe as regras e as aplicações das propriedades:
1) am * an = am + n
Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os
expoentes.
2) am : an = am – n
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.
3) (am)n = am * n
Potência de potência, multiplicar os expoentes.
EXEMPLOS-
1) 42 * 43 = 42 + 3 = 45
2) 104 : 102 = 104 – 2 = 102
3) (63)2 = 63*2 = 66

3. 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑎2 + 𝑏22𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2 𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
4)
Potência com expoente racional: o expoente do radicando se transforma
no numerador do expoente da base fora da raiz, e o índice da raiz passa
a ser o denominador.
5) a–n = 1/an, a ≠ 0
Potência com expoente negativo: inverso da base elevado ao expoente
positivo.
6) a0 = 1
Toda base diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1.
EXEMPLOS-
4)
5)2–2 = (1/2)2 = 1/4
6) 10000 = 1

4. EXERCÍCIOS
1) 32 * 33 : 34 = 32 + 3 – 4 = 31
2) 2–2 : 26 = 2– 2 – 6 = 2–8 = (1/2)8 = 1/256
3) ((72)3)4 = 7 2*3*4 = 724
4) 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4
5)
6)

5. 7)

6. 8) (UFRGS) O valor da expressão é:
(A) -4
(B) 1/9
(C) 1
(D) 5/4
(E) 9
Resposta certa letra "E".
9) Calcule:
a) (3/2)⁻² = (R: 4/9)
b) (1/2)⁻³ = (R: 8)
c) (2/3)⁻² = (R: 9/4)
d) (-1/4)⁻² = (R: 16)
e) (5/2)⁻³ = (R: 8/125)
f) (-1/2)⁻⁴ = (R: 16)

7. 10)

8. 11) Supondo que x ≠ 0 e y ≠ 0, simplifique a expressão (x-2)1 + (y2)-1 + 2(xy1)-1:
Utilizando a propriedade da potência de potência, temos:
x-2 + y-2 + 2 (xy)-1
Podemos rescrever a expressão da seguinte forma:
1 + 1 + 2
x2 y2 xy
Tirando o mínimo múltiplo comum dos denominadores, temos:
y2 + x2 + 2xy
x2y2
Utilizando a ideia do trinômio quadrado perfeito, podemos simplificar a
expressão para:

9. 12) (UFMA) Qual é o valor numérico da expressão:
Primeiramente, vamos rescrever os números das bases como forma de potência,
procurando reduzi-los ao menor número primo possível. Começando pelo numerador,
temos:
35-1 = (7* 5)-1 = 7-1
* 5-1
40-1 = (2³ * 5)-1 = 2-3
* 5-1
10² = (2 * 5)² = 2² * 5²
5 = 5¹
100 = (2² * 5² ) = 2²* 5²
Realizando o mesmo processo no denominador:
2³ = 2³
14-1 = (2 * 7)-1 = 2-1
* 7-1
5 = 5¹
25 = 5²
Reescrevendo a expressão:
Utilizando a regra para quociente de potências de mesma base, podemos fazer:
7-1
* 53
* 21
* 2-2
* 71
* 5-3 = 7-1+1
* 53-3
* 21-2 = 2-1 = 1
2
Portanto, o valor da expressão numérica é ½ .

15. ADIÇÃO
Ao trabalhar com radicais, podemos aplicar todas as propriedades básicas
da álgebra: tanto a multiplicação e a divisão quanto a adição e a
subtração. Veremos agora como determinar a soma e a diferença de
raízes.
O primeiro e mais importante detalhe que deve ser observado é que só
podemos realizar a adição e a subtração de radicais que apresentam
índices e radicandos iguais. Dizemos que esses são radicais
semelhantes. Observe alguns exemplos de radicais semelhantes com os
quais podemos operar a adição e a subtração:

16. a)
EXEMPLOS-
Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.
b)
Subtrairemos os coeficientes 3 e – ½ para determinar a diferença dos
radicais:

17. c)
Operaremos os coeficientes fracionários:
e)
Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e
operando seus respectivos coeficientes:
d)

18. Multiplicação e divisão de radicais
Ao realizar as operações de multiplicação e divisão de radicais, devemos
atentar em um detalhe importante: os índices das raízes são iguais ou
diferentes? Para cada um dos casos, agimos de forma diferenciada, como
poderemos ver a seguir:
1.Quando os índices são iguais
Você se lembra das 3ª e 4ª propriedades da radiciação? De acordo com
elas, para realizar o quociente ou a multiplicação de radicais que possuem
o mesmo índice, basta fazer a operação desejada entre os radicandos.
Vejamos a seguir como realizamos essas operações entre radicais com o
mesmo índice:

19. 2.Quando os índices são diferentes
Para realizar uma multiplicação ou uma divisão entre raízes que apresentam índices
distintos, precisamos modificá-las para que todas tenham o mesmo índice. Para tanto,
podemos aplicar a 2ª propriedade da radiciação, que afirma que “a raiz não sofre
alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando
por um mesmo valor.”
Uma das alternativas mais práticas é encontrar o mínimo múltiplo comum entre os
índices, reescrevendo os radicais com o novo valor:

20. CALCULE-
1- 𝟔𝟒 2- 𝟕𝟐𝟗
𝟑
3- 𝟑𝟏𝟐𝟓
𝟒
4- 5-

21. R. 06. A

22. RACIONALIZAÇÃO

23. EXEMPLOS-

24. Praticando-

26. EXERCÍCIO
1- Racionalize as expressões-

27. • GUEDES, Franciely Jesus. "Racionalização de denominadores"; Brasil
Escola. Disponível em
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-
denominadores.htm>. Acesso em 06 de outubro de 2016.
REFERENCIAS