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Disciplina: Fundamentos do Ensino de Matemática I
Professora: Kênia Bomtempo Data: _______/_______de 2013
Texto: A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA SEGUNDO VAN HIELE
Kênia Bomtempo
Nesse universo de modelos, teorias e observações sobre o ensino da geometria, tem-se
o modelo de Dina Van Hiele Geldof e Pierre Marie Van Hiele, que despontou os trabalhos
que surgiram dos estudos sobre o ensino da geometria, realizados pelo casal na tese de
doutorado. Sendo assim, o modelo Van Hiele, é a fundamentação e um referencial teórico
para este trabalho. O modelo Van Hiele é estruturado em uma teoria com níveis de
desenvolvimento do pensamento geométrico, que segundo Crowley, para eles a construção do
conhecimento pelos alunos apresenta níveis diferenciados de pensamento, que podem ser
utilizados para orientar a formação, bem como para avaliar corretamente habilidades. Para o
casal, é possível identificar e estruturar esses níveis, e, também, desenvolver uma didática e
metodologia para possibilitar que os alunos atinjam um nível mais elevado, considerando a
maturidade do pensamento geométrico dos alunos.
Os níveis são classificados da seguinte forma: Visualização, análise, dedução
informal, dedução formal e rigor, nesta ordem. O modelo tem também cinco fases de
aprendizagem para elevação dos níveis: interrogação e/ou informação, orientação dirigida,
explicação, orientação livre e integração. Apresenta, também, características e propriedades
essenciais para o desenvolvimento do pensamento geométrico que são: seqüencial, avanço
intrínseco e extrínseco, lingüística e combinação inadequada.
O contexto do modelo valoriza a aprendizagem da geometria como um processo
gradual e universal. A intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são adquiridos de
forma processual e gradativamente, sendo assim, gradual. Universal, porque pressupõe que a
geometria e suas propriedades estabeleçam relações, formulando e construindo conceitos de
Texto retirado de minha monografia de especialização. Ano-2002, Universidade Federal de Goiás, para uso em
sala de aula.
acordo com as figuras e suas semelhanças, bem como, os objetivos que são manipulados no
dia-a-dia. Para Crowley “Nos escritos dos Van Hiele está implícita a noção de que seria
apresentada às crianças uma variedade ampla de experiências geométricas” (1994, p. 8),
para facilitar a compreensão dos conceitos de geometria.
O objetivo do modelo, pode ser visto, ao observar os níveis, o casal não achou,
simplesmente, que era importante a aquisição de técnicas que facilitassem o estudo e
manuseio da geometria em um processo mecânico. Eles objetivaram a compreensão de como
os conceitos geométricos são construídos pelos alunos e como esse processo mental se
desenvolve. Os níveis propiciam então, a integração de informações na formação de
conceitos. A progressão dos alunos aos níveis posteriores dá-se através de um pensamento
mais específico diante das propriedades geométricas, passando assim, para um conhecimento
mais rigoroso, mudando de um nível de pensamento inferior para um posterior mais
avançado.
A visualização é o estagio inicial, pois o conceito de geometria é destacado no plano
da aparência, observa-se às formas como um todo, deixando de lado partes, propriedades e
conceitos. Nesse nível, comparam-se desenhos e os identificam, caracterizam formas através
do visual, classificam-se, de forma não convencional, grupos de figuras, por não se ter à
compreensão da variedade infinita de formas e conceitos. As percepções são estritamente
visuais, o que importa é o desenho, a forma e a aparência.
No segundo nível, a análise começa a diferenciar propriedades, analisando figuras,
observando e usando experimentação. Entretanto, ainda não é possível incluir classes entre
tipos gerais de formas, a classificação é feita com propriedades simples e necessárias para a
composição das figuras. As definições são próprias e não conceituadas por livros.
A dedução informal é o terceiro nível, nela inicia-se as relações entre figuras, inclusão
e implicação lógica. Estabelece nesse nível a inter-relação de propriedades que possibilitam o
reconhecimento de classes de figuras. Surge a habilidade de aceitar e modificar conceitos, a
ordenação lógica parcial como a inclusão de classes, classifica-se formas de acordo com
diferentes atribuições, mas ainda não se pode compreender o significado dedutivo como um
todo. Adquire-se a capacidade de acompanhar demonstrações, mas, ainda não é capaz de
contestar, construir e ver caminhos diferentes para refazer.
A dedução formal, quarto nível, é onde compreende-se as funções de termos como
axiomas, postulados e teoremas. Nasce aqui a confiança nas demonstrações, elas são vistas
2
como provas autoritárias finais e decididas sobre a verdade de proposições. Tudo isso, porque
aqui é adquirida a habilidade de desenvolvimento de demonstrações com mais de uma forma,
a compreensão das condições necessárias e a distinção entre afirmar e provar algo
matemático.
No quinto e último nível, apresenta-se o Rigor, a abstração geométrica é, finalmente,
compreendida. Enxerga-se a possibilidade de comparar, desenvolver e distinguir sistemas
axiomáticos. A complexidade desse nível e a dificuldade de atingi-lo, faz com que ele seja o
menos estudado.
Para orientar educadores quanto as decisões, levantar hipóteses e usar linguagem
específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá
caminhar os estudos, enquanto o professor se informa dos conhecimento prévios de seus
alunos.
São colocadas cinco propriedades. Observa-se uma seqüência dos níveis, uma
hierarquia, para que a assimilação ocorra é necessário passar pelos níveis anteriores. A idade
não é um fator determinante na passagem dos níveis, pois o conteúdo recebido revela o
potencial e o nível adequado, ou seja, a elevação depende mais da instrução do que da idade
ou maturidade. Na relação intrínseco e extrínseco, tem-se claramente que o que esta implícito
em um nível, torna-se explícito no nível seguinte. Cada nível possui conceitos geométricos
expressos com uma linguagem própria, bem como símbolos e relações, sendo assim, a
linguagem depende do nível. Por fim, percebe-se o desnível, a combinação inadequada de
pessoas com níveis diferentes, é preciso que o professor os identifique para usar linguagem,
material e conteúdos adequados, pois a elevação do nível só acontecerá se as atividades
desenvolvidas forem propícias.
Para a eficácia dos níveis é necessário pensar nas fases do aprendizado, levar em
consideração os aspectos pedagógicos desta ação. O modelo prioriza também a reflexão sobre
os princípios metodológicos específicos para o ensino da geometria. A seqüência de fases foi
então estudada e estruturada pelos Van Hiele a luz destas constatações. Em primeiro
momento, professor e aluno devem vivenciar a fase da interrogação, visando a informação,
devem discutir atividades a serem desenvolvidas, levantar hipóteses e usar linguagem
específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá
caminhar os estudos, enquanto o professor se informa da bagagem de conhecimento dos
alunos.
3
A segunda fase é chamada de orientação dirigida, as atividades são apresentadas aos
alunos de forma ordenada e em seqüência, preparadas previamente pelo professor. As
atividades são propostas com a finalidade de estimular respostas pertinentes ao nível. Já a fase
posterior, a explicação, ela auxilia o aluno a usar linguagem apropriada mostrando a tarefa
mínima do professor e a especificidade do sistema de relações de níveis, bem como a
expressão e modificação do ponto de vista dos alunos.
A orientação livre é a quarta fase. Nesta etapa os alunos elaboram soluções próprias,
precisam pesquisar para concluir as tarefas, já que elas têm uma infinidade de tipos de
soluções. Eles precisam orientar a si mesmos diante das diversas possibilidades, até mesmo
atentar para o fato de as tarefas terem final aberto. As tarefas nessa fase são mais complexas,
possuem mais passos e eles descobrem a importância de se orientarem e pesquisarem as
relações existentes entre os objetivos do estudo. A última fase prioriza a integração, aqui o
aluno revisa e analisa o que aprendeu, para só então, formar uma visão geral a respeito dos
estudos dos objetivos e suas relações. Ao acabar esta fase, segundo o modelo Van hiele, o
aluno encontra-se pronto a reiniciar a fase inicial no nível seguinte.
O importante no processo de aprendizagem é reconhecer que o conhecimento é
resultado de condutas, que são organizadas de acordo com a relação entre sujeito e objeto de
conhecimento. As análises de Van Hiele apóiam-se em estudos feitos em sala de aula,
considerando seus conhecimentos e a experiência com os alunos. Para os Van Hiele os
avanços do pensamento geométrico poderiam ser colocados em níveis e fases que
priorizassem a construção de conceitos, ou seja a estruturação mental do desenvolvimento
geométrico, e assim fizeram seus estudos e os níveis, acreditando nas possibilidades de
compreensão dos conceitos e não somente na aquisição mecânica dos mesmos.
No Brasil, a teoria do casaL Van Hiele foi muito estudada e aplicada em projetos
como o Fundão, na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Pessoas como; Lílian Nasser,
Maria Laura M. Leite Lopes e Neide P. Sant’Anna, fizeram com que a teria fosse aplicada e
estudada, escrevendo sobre os resultados de suas pesquisas, mostrando seu valor. Elas
elaboraram pesquisas e atividades, usando sempre os princípios do pensamento geométrico de
Van Hiele.
Para Lopes e Nasser, os conceitos geométricos são construídos como se
construíssemos um “Edifício Geométrico”1
, cada degrau tem sua função e sua especificidade,
assim sendo, “As dificuldades mais freqüentes detectadas no ensino/aprendizagem de
1
4
Geometria podem ser superadas se os alicerces do EDIFÍCIO GEOMÉTRICO2
forem
solidamente construídos desde os primeiros anos de escolaridade”(Lopes e Nasser, 1996, p.
8).
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Secretaria de Educação média e
tecnológica. Brasília: Ministério da Educação, 1999.
CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.
IN: LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando
geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: representação e construção em
geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. A importância da prática de ensino em um curso de
formação de professores em matemática. Temas e Debates: Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, Formação de Professores de Matemática. Ano VIII, 7.ed., p. 32-35, 1995.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Representação do conhecimento em matemática:
transformações no plano- translação e simetria. Bolema: Boletim De Educação Matemática,
Ano 9, Especial 3, p. 1- 14, 1994.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. O ensino de geometria no 1º e 2º graus. A Educação
Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática, SBEM, Ano III, p. 3-
13, 1º sem., 1995.
GÁLVEZ, Grecia. A geometria, A psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria
na escola primária, IN: PARRA, Cecília & SAIZ, Irmã. Didática da matemática: reflexões
psicopedagógicas. 2. ed., São Paulo: Artmed, p. 236- 256, 2001.
HERSHKOWITZ, Rina. Visualização em geometria – as duas faces da moeda. Boletim do
Gepem, vol. 18, nº 32, p. 45- 61, 1994.
LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando
geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
2
5
LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian.(Coord.) Geometria: na era da imagem e do
movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996.
LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista.
Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano III, p. 3- 13, 1º sem.,
1995.
NASSER, Lílian & SANT’ANNA, Neide P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed.,
Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2000.
NASSER, Lílian. Níveis de Van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em
geometria? Boletim do Gepem, nº 29, p. 33- 38, 1992.
NASSER, Lílian. O desenvolvimento do raciocínio em geometria. Boletim do Gepem, vol. 15,
nº 27, p. 93 – 99, 1990.
PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de matemática para a
escola básica. A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática, SBEM, Ano 10, n º 15, p. 8- 12, dez. 2003.
6
LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian.(Coord.) Geometria: na era da imagem e do
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LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista.
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1995.
NASSER, Lílian & SANT’ANNA, Neide P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed.,
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Texto meu van hiele

  • 1. Disciplina: Fundamentos do Ensino de Matemática I Professora: Kênia Bomtempo Data: _______/_______de 2013 Texto: A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA SEGUNDO VAN HIELE Kênia Bomtempo Nesse universo de modelos, teorias e observações sobre o ensino da geometria, tem-se o modelo de Dina Van Hiele Geldof e Pierre Marie Van Hiele, que despontou os trabalhos que surgiram dos estudos sobre o ensino da geometria, realizados pelo casal na tese de doutorado. Sendo assim, o modelo Van Hiele, é a fundamentação e um referencial teórico para este trabalho. O modelo Van Hiele é estruturado em uma teoria com níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico, que segundo Crowley, para eles a construção do conhecimento pelos alunos apresenta níveis diferenciados de pensamento, que podem ser utilizados para orientar a formação, bem como para avaliar corretamente habilidades. Para o casal, é possível identificar e estruturar esses níveis, e, também, desenvolver uma didática e metodologia para possibilitar que os alunos atinjam um nível mais elevado, considerando a maturidade do pensamento geométrico dos alunos. Os níveis são classificados da seguinte forma: Visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor, nesta ordem. O modelo tem também cinco fases de aprendizagem para elevação dos níveis: interrogação e/ou informação, orientação dirigida, explicação, orientação livre e integração. Apresenta, também, características e propriedades essenciais para o desenvolvimento do pensamento geométrico que são: seqüencial, avanço intrínseco e extrínseco, lingüística e combinação inadequada. O contexto do modelo valoriza a aprendizagem da geometria como um processo gradual e universal. A intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são adquiridos de forma processual e gradativamente, sendo assim, gradual. Universal, porque pressupõe que a geometria e suas propriedades estabeleçam relações, formulando e construindo conceitos de Texto retirado de minha monografia de especialização. Ano-2002, Universidade Federal de Goiás, para uso em sala de aula.
  • 2. acordo com as figuras e suas semelhanças, bem como, os objetivos que são manipulados no dia-a-dia. Para Crowley “Nos escritos dos Van Hiele está implícita a noção de que seria apresentada às crianças uma variedade ampla de experiências geométricas” (1994, p. 8), para facilitar a compreensão dos conceitos de geometria. O objetivo do modelo, pode ser visto, ao observar os níveis, o casal não achou, simplesmente, que era importante a aquisição de técnicas que facilitassem o estudo e manuseio da geometria em um processo mecânico. Eles objetivaram a compreensão de como os conceitos geométricos são construídos pelos alunos e como esse processo mental se desenvolve. Os níveis propiciam então, a integração de informações na formação de conceitos. A progressão dos alunos aos níveis posteriores dá-se através de um pensamento mais específico diante das propriedades geométricas, passando assim, para um conhecimento mais rigoroso, mudando de um nível de pensamento inferior para um posterior mais avançado. A visualização é o estagio inicial, pois o conceito de geometria é destacado no plano da aparência, observa-se às formas como um todo, deixando de lado partes, propriedades e conceitos. Nesse nível, comparam-se desenhos e os identificam, caracterizam formas através do visual, classificam-se, de forma não convencional, grupos de figuras, por não se ter à compreensão da variedade infinita de formas e conceitos. As percepções são estritamente visuais, o que importa é o desenho, a forma e a aparência. No segundo nível, a análise começa a diferenciar propriedades, analisando figuras, observando e usando experimentação. Entretanto, ainda não é possível incluir classes entre tipos gerais de formas, a classificação é feita com propriedades simples e necessárias para a composição das figuras. As definições são próprias e não conceituadas por livros. A dedução informal é o terceiro nível, nela inicia-se as relações entre figuras, inclusão e implicação lógica. Estabelece nesse nível a inter-relação de propriedades que possibilitam o reconhecimento de classes de figuras. Surge a habilidade de aceitar e modificar conceitos, a ordenação lógica parcial como a inclusão de classes, classifica-se formas de acordo com diferentes atribuições, mas ainda não se pode compreender o significado dedutivo como um todo. Adquire-se a capacidade de acompanhar demonstrações, mas, ainda não é capaz de contestar, construir e ver caminhos diferentes para refazer. A dedução formal, quarto nível, é onde compreende-se as funções de termos como axiomas, postulados e teoremas. Nasce aqui a confiança nas demonstrações, elas são vistas 2
  • 3. como provas autoritárias finais e decididas sobre a verdade de proposições. Tudo isso, porque aqui é adquirida a habilidade de desenvolvimento de demonstrações com mais de uma forma, a compreensão das condições necessárias e a distinção entre afirmar e provar algo matemático. No quinto e último nível, apresenta-se o Rigor, a abstração geométrica é, finalmente, compreendida. Enxerga-se a possibilidade de comparar, desenvolver e distinguir sistemas axiomáticos. A complexidade desse nível e a dificuldade de atingi-lo, faz com que ele seja o menos estudado. Para orientar educadores quanto as decisões, levantar hipóteses e usar linguagem específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá caminhar os estudos, enquanto o professor se informa dos conhecimento prévios de seus alunos. São colocadas cinco propriedades. Observa-se uma seqüência dos níveis, uma hierarquia, para que a assimilação ocorra é necessário passar pelos níveis anteriores. A idade não é um fator determinante na passagem dos níveis, pois o conteúdo recebido revela o potencial e o nível adequado, ou seja, a elevação depende mais da instrução do que da idade ou maturidade. Na relação intrínseco e extrínseco, tem-se claramente que o que esta implícito em um nível, torna-se explícito no nível seguinte. Cada nível possui conceitos geométricos expressos com uma linguagem própria, bem como símbolos e relações, sendo assim, a linguagem depende do nível. Por fim, percebe-se o desnível, a combinação inadequada de pessoas com níveis diferentes, é preciso que o professor os identifique para usar linguagem, material e conteúdos adequados, pois a elevação do nível só acontecerá se as atividades desenvolvidas forem propícias. Para a eficácia dos níveis é necessário pensar nas fases do aprendizado, levar em consideração os aspectos pedagógicos desta ação. O modelo prioriza também a reflexão sobre os princípios metodológicos específicos para o ensino da geometria. A seqüência de fases foi então estudada e estruturada pelos Van Hiele a luz destas constatações. Em primeiro momento, professor e aluno devem vivenciar a fase da interrogação, visando a informação, devem discutir atividades a serem desenvolvidas, levantar hipóteses e usar linguagem específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá caminhar os estudos, enquanto o professor se informa da bagagem de conhecimento dos alunos. 3
  • 4. A segunda fase é chamada de orientação dirigida, as atividades são apresentadas aos alunos de forma ordenada e em seqüência, preparadas previamente pelo professor. As atividades são propostas com a finalidade de estimular respostas pertinentes ao nível. Já a fase posterior, a explicação, ela auxilia o aluno a usar linguagem apropriada mostrando a tarefa mínima do professor e a especificidade do sistema de relações de níveis, bem como a expressão e modificação do ponto de vista dos alunos. A orientação livre é a quarta fase. Nesta etapa os alunos elaboram soluções próprias, precisam pesquisar para concluir as tarefas, já que elas têm uma infinidade de tipos de soluções. Eles precisam orientar a si mesmos diante das diversas possibilidades, até mesmo atentar para o fato de as tarefas terem final aberto. As tarefas nessa fase são mais complexas, possuem mais passos e eles descobrem a importância de se orientarem e pesquisarem as relações existentes entre os objetivos do estudo. A última fase prioriza a integração, aqui o aluno revisa e analisa o que aprendeu, para só então, formar uma visão geral a respeito dos estudos dos objetivos e suas relações. Ao acabar esta fase, segundo o modelo Van hiele, o aluno encontra-se pronto a reiniciar a fase inicial no nível seguinte. O importante no processo de aprendizagem é reconhecer que o conhecimento é resultado de condutas, que são organizadas de acordo com a relação entre sujeito e objeto de conhecimento. As análises de Van Hiele apóiam-se em estudos feitos em sala de aula, considerando seus conhecimentos e a experiência com os alunos. Para os Van Hiele os avanços do pensamento geométrico poderiam ser colocados em níveis e fases que priorizassem a construção de conceitos, ou seja a estruturação mental do desenvolvimento geométrico, e assim fizeram seus estudos e os níveis, acreditando nas possibilidades de compreensão dos conceitos e não somente na aquisição mecânica dos mesmos. No Brasil, a teoria do casaL Van Hiele foi muito estudada e aplicada em projetos como o Fundão, na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Pessoas como; Lílian Nasser, Maria Laura M. Leite Lopes e Neide P. Sant’Anna, fizeram com que a teria fosse aplicada e estudada, escrevendo sobre os resultados de suas pesquisas, mostrando seu valor. Elas elaboraram pesquisas e atividades, usando sempre os princípios do pensamento geométrico de Van Hiele. Para Lopes e Nasser, os conceitos geométricos são construídos como se construíssemos um “Edifício Geométrico”1 , cada degrau tem sua função e sua especificidade, assim sendo, “As dificuldades mais freqüentes detectadas no ensino/aprendizagem de 1 4
  • 5. Geometria podem ser superadas se os alicerces do EDIFÍCIO GEOMÉTRICO2 forem solidamente construídos desde os primeiros anos de escolaridade”(Lopes e Nasser, 1996, p. 8). BIBLIOGRAFIA BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Secretaria de Educação média e tecnológica. Brasília: Ministério da Educação, 1999. CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. IN: LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: representação e construção em geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999. FAINGUELERNT, Estela Kaufman. A importância da prática de ensino em um curso de formação de professores em matemática. Temas e Debates: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, Formação de Professores de Matemática. Ano VIII, 7.ed., p. 32-35, 1995. FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Representação do conhecimento em matemática: transformações no plano- translação e simetria. Bolema: Boletim De Educação Matemática, Ano 9, Especial 3, p. 1- 14, 1994. FAINGUELERNT, Estela Kaufman. O ensino de geometria no 1º e 2º graus. A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática, SBEM, Ano III, p. 3- 13, 1º sem., 1995. GÁLVEZ, Grecia. A geometria, A psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria na escola primária, IN: PARRA, Cecília & SAIZ, Irmã. Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. 2. ed., São Paulo: Artmed, p. 236- 256, 2001. HERSHKOWITZ, Rina. Visualização em geometria – as duas faces da moeda. Boletim do Gepem, vol. 18, nº 32, p. 45- 61, 1994. LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. 2 5
  • 6. LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian.(Coord.) Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996. LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano III, p. 3- 13, 1º sem., 1995. NASSER, Lílian & SANT’ANNA, Neide P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed., Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2000. NASSER, Lílian. Níveis de Van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em geometria? Boletim do Gepem, nº 29, p. 33- 38, 1992. NASSER, Lílian. O desenvolvimento do raciocínio em geometria. Boletim do Gepem, vol. 15, nº 27, p. 93 – 99, 1990. PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de matemática para a escola básica. A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano 10, n º 15, p. 8- 12, dez. 2003. 6
  • 7. LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian.(Coord.) Geometria: na era da imagem e do movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996. LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano III, p. 3- 13, 1º sem., 1995. NASSER, Lílian & SANT’ANNA, Neide P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed., Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2000. NASSER, Lílian. Níveis de Van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em geometria? Boletim do Gepem, nº 29, p. 33- 38, 1992. NASSER, Lílian. O desenvolvimento do raciocínio em geometria. Boletim do Gepem, vol. 15, nº 27, p. 93 – 99, 1990. PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de matemática para a escola básica. A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano 10, n º 15, p. 8- 12, dez. 2003. 6