Educação Matemática -Geometria

1. Disciplina: Fundamentos do Ensino de Matemática I
Professora: Kênia Bomtempo Data: _______/_______de 2013
Texto: A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA SEGUNDO VAN HIELE
Kênia Bomtempo
Nesse universo de modelos, teorias e observações sobre o ensino da geometria, tem-se
o modelo de Dina Van Hiele Geldof e Pierre Marie Van Hiele, que despontou os trabalhos
que surgiram dos estudos sobre o ensino da geometria, realizados pelo casal na tese de
doutorado. Sendo assim, o modelo Van Hiele, é a fundamentação e um referencial teórico
para este trabalho. O modelo Van Hiele é estruturado em uma teoria com níveis de
desenvolvimento do pensamento geométrico, que segundo Crowley, para eles a construção do
conhecimento pelos alunos apresenta níveis diferenciados de pensamento, que podem ser
utilizados para orientar a formação, bem como para avaliar corretamente habilidades. Para o
casal, é possível identificar e estruturar esses níveis, e, também, desenvolver uma didática e
metodologia para possibilitar que os alunos atinjam um nível mais elevado, considerando a
maturidade do pensamento geométrico dos alunos.
Os níveis são classificados da seguinte forma: Visualização, análise, dedução
informal, dedução formal e rigor, nesta ordem. O modelo tem também cinco fases de
aprendizagem para elevação dos níveis: interrogação e/ou informação, orientação dirigida,
explicação, orientação livre e integração. Apresenta, também, características e propriedades
essenciais para o desenvolvimento do pensamento geométrico que são: seqüencial, avanço
intrínseco e extrínseco, lingüística e combinação inadequada.
O contexto do modelo valoriza a aprendizagem da geometria como um processo
gradual e universal. A intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são adquiridos de
forma processual e gradativamente, sendo assim, gradual. Universal, porque pressupõe que a
geometria e suas propriedades estabeleçam relações, formulando e construindo conceitos de
Texto retirado de minha monografia de especialização. Ano-2002, Universidade Federal de Goiás, para uso em
sala de aula.

2. acordo com as figuras e suas semelhanças, bem como, os objetivos que são manipulados no
dia-a-dia. Para Crowley “Nos escritos dos Van Hiele está implícita a noção de que seria
apresentada às crianças uma variedade ampla de experiências geométricas” (1994, p. 8),
para facilitar a compreensão dos conceitos de geometria.
O objetivo do modelo, pode ser visto, ao observar os níveis, o casal não achou,
simplesmente, que era importante a aquisição de técnicas que facilitassem o estudo e
manuseio da geometria em um processo mecânico. Eles objetivaram a compreensão de como
os conceitos geométricos são construídos pelos alunos e como esse processo mental se
desenvolve. Os níveis propiciam então, a integração de informações na formação de
conceitos. A progressão dos alunos aos níveis posteriores dá-se através de um pensamento
mais específico diante das propriedades geométricas, passando assim, para um conhecimento
mais rigoroso, mudando de um nível de pensamento inferior para um posterior mais
avançado.
A visualização é o estagio inicial, pois o conceito de geometria é destacado no plano
da aparência, observa-se às formas como um todo, deixando de lado partes, propriedades e
conceitos. Nesse nível, comparam-se desenhos e os identificam, caracterizam formas através
do visual, classificam-se, de forma não convencional, grupos de figuras, por não se ter à
compreensão da variedade infinita de formas e conceitos. As percepções são estritamente
visuais, o que importa é o desenho, a forma e a aparência.
No segundo nível, a análise começa a diferenciar propriedades, analisando figuras,
observando e usando experimentação. Entretanto, ainda não é possível incluir classes entre
tipos gerais de formas, a classificação é feita com propriedades simples e necessárias para a
composição das figuras. As definições são próprias e não conceituadas por livros.
A dedução informal é o terceiro nível, nela inicia-se as relações entre figuras, inclusão
e implicação lógica. Estabelece nesse nível a inter-relação de propriedades que possibilitam o
reconhecimento de classes de figuras. Surge a habilidade de aceitar e modificar conceitos, a
ordenação lógica parcial como a inclusão de classes, classifica-se formas de acordo com
diferentes atribuições, mas ainda não se pode compreender o significado dedutivo como um
todo. Adquire-se a capacidade de acompanhar demonstrações, mas, ainda não é capaz de
contestar, construir e ver caminhos diferentes para refazer.
A dedução formal, quarto nível, é onde compreende-se as funções de termos como
axiomas, postulados e teoremas. Nasce aqui a confiança nas demonstrações, elas são vistas
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3. como provas autoritárias finais e decididas sobre a verdade de proposições. Tudo isso, porque
aqui é adquirida a habilidade de desenvolvimento de demonstrações com mais de uma forma,
a compreensão das condições necessárias e a distinção entre afirmar e provar algo
matemático.
No quinto e último nível, apresenta-se o Rigor, a abstração geométrica é, finalmente,
compreendida. Enxerga-se a possibilidade de comparar, desenvolver e distinguir sistemas
axiomáticos. A complexidade desse nível e a dificuldade de atingi-lo, faz com que ele seja o
menos estudado.
Para orientar educadores quanto as decisões, levantar hipóteses e usar linguagem
específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá
caminhar os estudos, enquanto o professor se informa dos conhecimento prévios de seus
alunos.
São colocadas cinco propriedades. Observa-se uma seqüência dos níveis, uma
hierarquia, para que a assimilação ocorra é necessário passar pelos níveis anteriores. A idade
não é um fator determinante na passagem dos níveis, pois o conteúdo recebido revela o
potencial e o nível adequado, ou seja, a elevação depende mais da instrução do que da idade
ou maturidade. Na relação intrínseco e extrínseco, tem-se claramente que o que esta implícito
em um nível, torna-se explícito no nível seguinte. Cada nível possui conceitos geométricos
expressos com uma linguagem própria, bem como símbolos e relações, sendo assim, a
linguagem depende do nível. Por fim, percebe-se o desnível, a combinação inadequada de
pessoas com níveis diferentes, é preciso que o professor os identifique para usar linguagem,
material e conteúdos adequados, pois a elevação do nível só acontecerá se as atividades
desenvolvidas forem propícias.
Para a eficácia dos níveis é necessário pensar nas fases do aprendizado, levar em
consideração os aspectos pedagógicos desta ação. O modelo prioriza também a reflexão sobre
os princípios metodológicos específicos para o ensino da geometria. A seqüência de fases foi
então estudada e estruturada pelos Van Hiele a luz destas constatações. Em primeiro
momento, professor e aluno devem vivenciar a fase da interrogação, visando a informação,
devem discutir atividades a serem desenvolvidas, levantar hipóteses e usar linguagem
específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá
caminhar os estudos, enquanto o professor se informa da bagagem de conhecimento dos
alunos.
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4. A segunda fase é chamada de orientação dirigida, as atividades são apresentadas aos
alunos de forma ordenada e em seqüência, preparadas previamente pelo professor. As
atividades são propostas com a finalidade de estimular respostas pertinentes ao nível. Já a fase
posterior, a explicação, ela auxilia o aluno a usar linguagem apropriada mostrando a tarefa
mínima do professor e a especificidade do sistema de relações de níveis, bem como a
expressão e modificação do ponto de vista dos alunos.
A orientação livre é a quarta fase. Nesta etapa os alunos elaboram soluções próprias,
precisam pesquisar para concluir as tarefas, já que elas têm uma infinidade de tipos de
soluções. Eles precisam orientar a si mesmos diante das diversas possibilidades, até mesmo
atentar para o fato de as tarefas terem final aberto. As tarefas nessa fase são mais complexas,
possuem mais passos e eles descobrem a importância de se orientarem e pesquisarem as
relações existentes entre os objetivos do estudo. A última fase prioriza a integração, aqui o
aluno revisa e analisa o que aprendeu, para só então, formar uma visão geral a respeito dos
estudos dos objetivos e suas relações. Ao acabar esta fase, segundo o modelo Van hiele, o
aluno encontra-se pronto a reiniciar a fase inicial no nível seguinte.
O importante no processo de aprendizagem é reconhecer que o conhecimento é
resultado de condutas, que são organizadas de acordo com a relação entre sujeito e objeto de
conhecimento. As análises de Van Hiele apóiam-se em estudos feitos em sala de aula,
considerando seus conhecimentos e a experiência com os alunos. Para os Van Hiele os
avanços do pensamento geométrico poderiam ser colocados em níveis e fases que
priorizassem a construção de conceitos, ou seja a estruturação mental do desenvolvimento
geométrico, e assim fizeram seus estudos e os níveis, acreditando nas possibilidades de
compreensão dos conceitos e não somente na aquisição mecânica dos mesmos.
No Brasil, a teoria do casaL Van Hiele foi muito estudada e aplicada em projetos
como o Fundão, na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Pessoas como; Lílian Nasser,
Maria Laura M. Leite Lopes e Neide P. Sant’Anna, fizeram com que a teria fosse aplicada e
estudada, escrevendo sobre os resultados de suas pesquisas, mostrando seu valor. Elas
elaboraram pesquisas e atividades, usando sempre os princípios do pensamento geométrico de
Van Hiele.
Para Lopes e Nasser, os conceitos geométricos são construídos como se
construíssemos um “Edifício Geométrico”1
, cada degrau tem sua função e sua especificidade,
assim sendo, “As dificuldades mais freqüentes detectadas no ensino/aprendizagem de
1
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5. Geometria podem ser superadas se os alicerces do EDIFÍCIO GEOMÉTRICO2
forem
solidamente construídos desde os primeiros anos de escolaridade”(Lopes e Nasser, 1996, p.
8).
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