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A Lógica do Quadrado Mágico
Professora: Kênia Bomtempo
Na antiguidade havia pessoas que atribuíam
poderes místicos aos quadrados mágicos e, por
essa razão, esses quadrados eram usados como
amuletos.
Temos que, para o quadrado
(3 por 3), a constante é 15.
Essa constante era chamada
número planetário.
Para se construir um quadrado mágico (4 por 4), com
16 casas, deve-se antes descobrir o número planetário
para o quadrado dessa forma.
Nesse quadrado os números
de 1 a 16 estão dispostos de
tal forma que, em cada linha,
coluna e diagonais, a soma é
34.
Existem mais de 20 bilhões de
agrupamentos possíveis de 1 a 16 num
quadrado (4 por 4), mas somente cerca de
800 serão quadrados mágicos (soma das
linhas, colunas e diagonais iguais a 34).
Para o quadrado mágico (5 por 5), ou seja,
com 25 casas, usando os números de 1 a
25, o número planetário é 65.
Preencha os 9 quadrado da figura abaixo com os algarismos de 1 a 9 de
uma forma que a soma nas horizontais, verticais e diagonais seja 15.
Vamos à solução, analisando
cada situação:
1º) São nove algarismos a serem
dispostos no quadro:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
2º) Entre os números de, 1 a 9,
temos:
Ímpares: 5
Pares: 4
3º) As possíveis combinações de três parcelas
são:
a) par+par+par = par
b) par+par+ímpar = ímpar
c) par+ímpar+ímpar = par
d) ímpar+ímpar+ímpar=ímpar
Analisando as combinações acima, vemos que as únicas
possíveis são "b" e "d", pois o número 15 é ímpar.
O número que deve ocupar o centro do quadrado
merece atenção especial, pois irá ser parcela de quatro
das oito somas. Suponha que o número do centro seja
par. Pelo item 3b, os outros dois números de cada
diagonal devem ser, um deles, par e outro, ímpar:
O que leva a duas situações
Primeira:
Esta forma exige um número
ímpar na primeira linha, para
que a soma seja ímpar, pelo
item 3d. Mas isso força que
seja colocado um número par
para completar a coluna do
meio, pelo item 3b, o que vai
deixar a terceira linha com três
números pares
Segunda:
Leva ao mesmo
raciocínio, pois é uma
rotação anti-horária da
primeira.
Resta-nos tentar pôr um
número ímpar no centro do
quadrado mágico. Pelo item
3º, há duas possíveis
formas de preencher as
diagonais do quadrado de
modo que as somas sejam
ímpares, o que nos leva a
quatro combinações
possíveis. Analisaremos
cada uma:
Primeira:
Esta não é a solução, pois, pelo item 3c,
completando as demais casas com
números pares, as somas das linhas e
colunas seriam todas pares.
Segunda:
Esta não é a solução, pois
todas as casas restantes
devem ser preenchidas com
números pares. Mas só temos
4 pares de 1 a 9. Aqui são
necessários 6.
Terceira:
Também não é a solução,
pois não passa de uma
rotação anti-horária do
caso anterior.
Quarta:
Esta pode ser a solução,
pois basta completar as
casas vazias com ímpares.
Logo, o número do centro é
ímpar.
Analisemos, agora, as combi-nações
que resultam 15, contendo dois
números pares para preenchermos as
duas diagonais. 1+8+6
2+8+5
2+6+7
2+9+4
3+4+8
4+5+6
O único número ímpar que se
apresenta em duas das adições
anteriores é o 5. Logo, este deve ser
o número do centro, ficando a
seguinte disposição:
A disposição dos números 4 e 6, na
outra diagonal, não altera o
resultado, pois trata-se de uma
rotação da solução. Depois, é só
dispor os números restantes.
Estas são todas as possíveis soluções para o quadrado mágico
3x3:
Existe uma fórmula para obtermos o número planetário de um dado
quadrado mágico:
n + n3
S =
_____
2
S é o número planetário;
n é o “lado” do quadrado e tem que ser maior que dois.
Assim, para o quadrado (3 por 3), o número planetário é obtido da
seguinte forma:
3 + 33
S =
______
= 15
2
Por que essa denominação de número planetário?
A origem desse nome remontaria à antiguidade, em
razão do estabelecimento de uma relação entre os
quadrados mágicos e os planetas e teria sido feita
pelos sabeístas (adoradores do fogo, do sol e dos
astros).
A disposição:
é encontrada desde o século X e
era usada como amuleto ou
simpatia. Conta-se que, no
Oriente, essa configuração era
desenhada em pedaços de
algodão não utilizado
anteriormente para, se colocados
sob os pés de uma parturiente,
facilitar o parto.
Em 1533, Agrippa Van
Nettesheim (um “doidão” da
época) estabeleceu uma
conjugação dos quadrados
mágicos com os planetas e os
metais.
Pela influência de Agrippa, utilizava-se um grande amuleto com sete
carreiras de quadrados mágicos, com a seguinte simbologia:
quadrado mágico de 9 elementos, em chumbo, simbolizando Saturno;
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  • 1. A Lógica do Quadrado Mágico Professora: Kênia Bomtempo
  • 2. Na antiguidade havia pessoas que atribuíam poderes místicos aos quadrados mágicos e, por essa razão, esses quadrados eram usados como amuletos. Temos que, para o quadrado (3 por 3), a constante é 15. Essa constante era chamada número planetário.
  • 3. Para se construir um quadrado mágico (4 por 4), com 16 casas, deve-se antes descobrir o número planetário para o quadrado dessa forma. Nesse quadrado os números de 1 a 16 estão dispostos de tal forma que, em cada linha, coluna e diagonais, a soma é 34.
  • 4. Existem mais de 20 bilhões de agrupamentos possíveis de 1 a 16 num quadrado (4 por 4), mas somente cerca de 800 serão quadrados mágicos (soma das linhas, colunas e diagonais iguais a 34). Para o quadrado mágico (5 por 5), ou seja, com 25 casas, usando os números de 1 a 25, o número planetário é 65.
  • 5. Preencha os 9 quadrado da figura abaixo com os algarismos de 1 a 9 de uma forma que a soma nas horizontais, verticais e diagonais seja 15.
  • 6. Vamos à solução, analisando cada situação: 1º) São nove algarismos a serem dispostos no quadro: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 2º) Entre os números de, 1 a 9, temos: Ímpares: 5 Pares: 4
  • 7. 3º) As possíveis combinações de três parcelas são: a) par+par+par = par b) par+par+ímpar = ímpar c) par+ímpar+ímpar = par d) ímpar+ímpar+ímpar=ímpar
  • 8. Analisando as combinações acima, vemos que as únicas possíveis são "b" e "d", pois o número 15 é ímpar. O número que deve ocupar o centro do quadrado merece atenção especial, pois irá ser parcela de quatro das oito somas. Suponha que o número do centro seja par. Pelo item 3b, os outros dois números de cada diagonal devem ser, um deles, par e outro, ímpar:
  • 9. O que leva a duas situações Primeira:
  • 10. Esta forma exige um número ímpar na primeira linha, para que a soma seja ímpar, pelo item 3d. Mas isso força que seja colocado um número par para completar a coluna do meio, pelo item 3b, o que vai deixar a terceira linha com três números pares
  • 11. Segunda: Leva ao mesmo raciocínio, pois é uma rotação anti-horária da primeira.
  • 12. Resta-nos tentar pôr um número ímpar no centro do quadrado mágico. Pelo item 3º, há duas possíveis formas de preencher as diagonais do quadrado de modo que as somas sejam ímpares, o que nos leva a quatro combinações possíveis. Analisaremos cada uma: Primeira: Esta não é a solução, pois, pelo item 3c, completando as demais casas com números pares, as somas das linhas e colunas seriam todas pares.
  • 13. Segunda: Esta não é a solução, pois todas as casas restantes devem ser preenchidas com números pares. Mas só temos 4 pares de 1 a 9. Aqui são necessários 6.
  • 14. Terceira: Também não é a solução, pois não passa de uma rotação anti-horária do caso anterior.
  • 15. Quarta: Esta pode ser a solução, pois basta completar as casas vazias com ímpares. Logo, o número do centro é ímpar.
  • 16. Analisemos, agora, as combi-nações que resultam 15, contendo dois números pares para preenchermos as duas diagonais. 1+8+6 2+8+5 2+6+7 2+9+4 3+4+8 4+5+6 O único número ímpar que se apresenta em duas das adições anteriores é o 5. Logo, este deve ser o número do centro, ficando a seguinte disposição:
  • 17.
  • 18. A disposição dos números 4 e 6, na outra diagonal, não altera o resultado, pois trata-se de uma rotação da solução. Depois, é só dispor os números restantes.
  • 19. Estas são todas as possíveis soluções para o quadrado mágico 3x3:
  • 20. Existe uma fórmula para obtermos o número planetário de um dado quadrado mágico: n + n3 S = _____ 2 S é o número planetário; n é o “lado” do quadrado e tem que ser maior que dois. Assim, para o quadrado (3 por 3), o número planetário é obtido da seguinte forma: 3 + 33 S = ______ = 15 2
  • 21. Por que essa denominação de número planetário? A origem desse nome remontaria à antiguidade, em razão do estabelecimento de uma relação entre os quadrados mágicos e os planetas e teria sido feita pelos sabeístas (adoradores do fogo, do sol e dos astros).
  • 22. A disposição: é encontrada desde o século X e era usada como amuleto ou simpatia. Conta-se que, no Oriente, essa configuração era desenhada em pedaços de algodão não utilizado anteriormente para, se colocados sob os pés de uma parturiente, facilitar o parto. Em 1533, Agrippa Van Nettesheim (um “doidão” da época) estabeleceu uma conjugação dos quadrados mágicos com os planetas e os metais.
  • 23. Pela influência de Agrippa, utilizava-se um grande amuleto com sete carreiras de quadrados mágicos, com a seguinte simbologia: quadrado mágico de 9 elementos, em chumbo, simbolizando Saturno; de 16 elementos, em estanho, simbolizando Júpiter; de 25 elementos, em ferro, simbolizando Marte; de 36 elementos, em ouro, simbolizando o Sol; de 49 elementos, em cobre, simbolizando Vênus; de 64 elementos, em liga de prata, simbolizando Mercúrio; de 81 elementos, em prata, simbolizando a Lua (a Lua era considerada planeta).