Este documento descreve três problemas de cálculo diferencial que os estudantes devem resolver e enviar até 19 de setembro de 2016. Os problemas envolvem encontrar soluções para equações diferenciais e aplicar métodos como redução de ordem e variação de parâmetros. As soluções devem ser enviadas em um único arquivo no SIGAA e há pontuação associada à entrega e defesa de cada solução.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-´ARIDO
ATIVIDADE AVALIATIVA EXTRA - UNIDADE 2
Nessa atividade vocˆes devem entregar e/ou defender poss´ıveis solu¸c˜oes para os seguintes
problemas. A entrega das solu¸c˜oes dever´a ser feita pelo SIGAA em um ´unico arquivo nomeado
com o seu nome. Para postar o arquivo, vocˆes devem acessar:
SIGAA - Atividades - Tarefas - Enviar Tarefa.
Depois ´e s´o anexar o arquivo e clicar em Enviar. As informa¸c˜oes acerca da pontua¸c˜ao de cada
problema est˜ao contidas no rodap´e das p´aginas. A data limite para realiza¸c˜ao dessa atividade
´e 19 de setembro de 2016.
P11
Neste problema, ´e esquematizado um modo diferente de obter a f´ormula de Euler.
(a) Mostre que y1(t) = cos t e y2(t) = sen t formam um conjunto fundamental de solu¸c˜oes
para y′′
+ y = 0, isto ´e, mostre que s˜ao solu¸c˜oes e que seu wronskiano n˜ao se anula.
(b) Mostre que y = eit
tamb´em ´e solu¸c˜ao de y′′
+ y = 0. Da´ı, conclua que
eit
= c1 cos t + c2 sen t (1)
para algum par de constantes c1 e c2.
(c) Fa¸ca t = 0 na equa¸c˜ao (1) para mostrar que c1 = 1.
(d) Usando a f´ormula de deriva¸c˜ao para a exponencial complexa
d
dt
ert
= rert
(r ∈ C),
derive a equa¸c˜ao (1) e depois fa¸ca t = 0 para mostrar que c2 = i. Use os valores de c1 e c2 na
equa¸c˜ao (1) para chegar `a f´ormula de Euler.
1
Nesse problema ´e exigido a Entrega de Solu¸c˜ao e/ou Defesa de Solu¸c˜ao. A pontua¸c˜ao pela Entrega de
Solu¸c˜ao dever´a satisfazer as seguintes desigualdades 0 ≤ x ≤ 0, 3 e a pontua¸c˜ao pela Defesa de Solu¸c˜ao dever´a
satisfazer as seguintes desigualdades 0 ≤ x ≤ 0, 5.

2. 2
P22
O m´etodo da redu¸c˜ao de ordem tamb´em pode ser usado para a equa¸c˜ao n˜ao homogˆenea
y′′
+ p(t)y′
+ q(t)y = g(t), (2)
desde que se conhe¸ca uma solu¸c˜ao y1 da equa¸c˜ao homogˆenea associada. Seja y = v(t)y1(t) e
mostre que y satisfaz a equa¸c˜ao (2) se v for solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
y1(t)v′′
+ [2y′
1(t) + p(t)y1(t)]v′
= g(t). (3)
A equa¸c˜ao (3) ´e uma equa¸c˜ao linear de primeira ordem em v′
. Resolvendo essa equa¸c˜ao,
integrando o resultado e, depois, multiplicando por y1(t), obtemos a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao
(2).
P33
Suponha que p, q e f s˜ao cont´ınuas em (a, b) e seja x0 um ponto em (a, b). Sejam
y1 e y2 as solu¸c˜oes de
y′′
+ p(x)y′
+ q(x)y = 0
tais que
y1(x0) = 1, y′
1(x0) = 0, y2(x0) = 0, y′
2(x0) = 1.
Use o M´etodo de Varia¸c˜ao dos Parˆametros para mostrar que a solu¸c˜ao do problema de valor
inicial
y′′
+ p(x)y′
+ q(x)y = f(x), y(x0) = k0, y′
(x0) = k1,
´e
y(x) = k0y1(x) + k1y2(x) +
∫ x
x0
(y1(t)y2(x) − y1(x)y2(t))f(t) exp
(∫ t
x0
p(s) ds
)
dt.
[Dica: Use a f´ormula de Abel para o Wronskiano de {y1, y2}, e integre u′
1 e u′
2 de x0 a x.]
Mostre tamb´em que
y′
(x) = k0y′
1(x) + k1y′
2(x) +
∫ x
x0
(y1(t)y′
2(x) − y′
1(x)y2(t))f(t) exp
(∫ t
x0
p(s) ds
)
dt.
Boa Atividade!
2
Nesse problema ´e exigido a Entrega de Solu¸c˜ao e/ou Defesa de Solu¸c˜ao. A pontua¸c˜ao pela Entrega de
Solu¸c˜ao dever´a satisfazer as seguintes desigualdades 0 ≤ x ≤ 0, 3 e a pontua¸c˜ao pela Defesa de Solu¸c˜ao dever´a
satisfazer as seguintes desigualdades 0 ≤ x ≤ 0, 5.
3
A pontua¸c˜ao desse problema ser´a de 0, 8 pontos. Para ganho de pontua¸c˜ao, exigimos a Entrega de Solu¸c˜ao
e a Defesa de Solu¸c˜ao.