Engenharia economica avancada introdução

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ENGENHARIA ECONOMICA AVANCADA_Introdução

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Engenharia economica avancada introdução

  1. 1. ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA INTRODUÇÃO – MATERIAL DE APOIO ÁLVARO GEHLEN DE LEÃO gehleao@pucrs.br
  2. 2. Engenharia Econômica Avançada 1 1 Introdução à Engenharia Econômica A engenharia, inserida dentro do contexto de escassez de recursos, pode aplicar técnicas de análise de projetos de investimento a fim de racionalizar o emprego dos recursos de capital. Estas técnicas fazem parte do escopo da engenharia econômica, que utiliza a matemática financeira como ferramenta básica de avaliação do valor do dinheiro no tempo. A visualização de um projeto de investimento pode ser realizada através de uma representação gráfica denominada diagrama de fluxo de caixa. Um diagrama de fluxo de caixa de um projeto de investimento é composto de uma escala horizontal na qual se representam com valores positivos as entradas de caixa e com valores negativos o investimento de capital e as saídas de caixa – vide figura 1. Entradas de Caixa 0 1 2 Investimento de Capital 3 4 5 6 7 n períodos Saídas de Caixa Figura 1 – Diagrama de Fluxo de Caixa de um Projeto de Investimento © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  3. 3. Engenharia Econômica Avançada 2 Os principais recursos considerados para análise de projetos de investimento e a respectiva remuneração por período de tempo são apresentados na tabela 1. Tabela 1 – Remuneração dos Recursos por Período de Tempo Recursos Remuneração por Período de Tempo Humanos Salário Físicos Aluguel Capital Juros Os juros são, portanto, o pagamento pela oportunidade de dispor de um capital durante um determinado período de tempo. 2 Juros e Taxas de Juros Nas próximas seções são apresentados os conceitos de juros e taxas de juros. 2.1 Juros Simples Na modalidade de juros simples apenas o valor emprestado rende juros, ou seja, os juros são diretamente proporcionais ao valor emprestado. Jn = P × i × n Fn = P + Jn = P × (1+ i × n) P = valor emprestado no instante 0 i = taxa de juros periódica n = número de períodos Jn = juros acumulados até o instante n Fn = montante após n períodos © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  4. 4. Engenharia Econômica Avançada 3 2.2 Juros Compostos Na modalidade de juros compostos, após cada período de capitalização, os juros, quando não pagos, são adicionados ao valor emprestado, compondo um novo saldo devedor, e passam a render juros também, ou seja, os juros são proporcionais ao saldo devedor em cada período. ( ) Jn = P × (1+ i)n − 1 Fn = P + Jn = P × (1 + i)n P = valor emprestado no instante 0 i = taxa de juros periódica n = número de períodos Jn = juros acumulados até o instante n Fn = montante após n períodos © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  5. 5. Engenharia Econômica Avançada 4 Problema 1 – Juros Simples e Juros Compostos Supor um empréstimo (P) de $ 1.000, durante (n) 5 meses, a uma taxa de juros (i) de 10% ao mês. Calcular os juros mensais, os juros acumulados ( Jn ) e o montante ( Fn ) ao final de cada mês, nas modalidades de juros simples e de juros compostos. Tabela 2 – Juros Simples e Juros Compostos Juros Simples Juros Compostos Mês Juros Juros Montante Juros Juros Montante (n) Mensais ( Jn ) ( Fn ) Mensais ( Jn ) ( Fn ) 0 1.000,00 1.000,00 1 100,00 100,00 1.100,00 100,00 100,00 1.100,00 2 100,00 200,00 1.200,00 110,00 210,00 1.210,00 3 100,00 300,00 1.300,00 121,00 331,00 1.331,00 4 100,00 400,00 1.400,00 133,10 464,10 1.464,10 5 100,00 500,00 1.500,00 146,41 610,51 1.610,51 Modalidade de Juros Simples Juros acumulados ( J5 ) até o final do mês 5. J5 = P × i × n = 1.000 × 0,10 × 5 = 500,00 Montante ( F5 ) a ser pago no final do mês 5. F5 = P + J5 = P × (1 + i × n) = 1.000 × (1 + 0,10 × 5) = 1.500,00 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  6. 6. Engenharia Econômica Avançada 5 Modalidade de Juros Compostos Juros acumulados ( J5 ) até o final do mês 5. ( ) ( ) J5 = P × (1 + i)n − 1 = 1.000 × (1 + 0,10 )5 − 1 = 610,51 Montante ( F5 ) a ser pago no final do mês 5. F5 = P + J5 = P × (1 + i)n = 1.000 × (1 + 0,10 )5 = 1.610,51 Pode-se elaborar uma planilha contendo as expressões para o cálculo dos juros acumulados ( Jn ) e do montante ( Fn ) a ser pago ao final de um determinado período (n), considerando o valor do empréstimo (P) e a taxa de juros (i) periódica. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  7. 7. Engenharia Econômica Avançada 6 2.3 Taxas de Juros – Períodos de Aplicação e de Capitalização Uma taxa de juros deve conter informações que permitam identificar os seus períodos de aplicação e de capitalização. O período de aplicação estabelece o tempo de duração da incidência da taxa de juros sobre o capital imobilizado e o período de capitalização define a periodicidade de ocorrência da acumulação dos juros. 2.4 Taxas de Juros Nominais e Taxas de Juros Efetivas A taxa de juros é considerada efetiva quando o período de aplicação e o período de capitalização coincidem; caso contrário, a taxa será dita nominal. Assim, por exemplo: − taxa de juros efetiva – 8,75% ao trimestre com capitalização trimestral; − taxa de juros nominal – 24% ao ano com capitalização mensal. Nos problemas envolvendo taxas de juros, adotar-se-á a convenção – a.x. c.y. = aplicação durante o período x com capitalização a cada período y –, onde os períodos x e y são designados pelas letras: (a) ano, (s) semestre, (t) trimestre, (b) bimestre, (m) mês, e (d) dia. Assim sendo, a taxa de juros de 35% a.a. c.t. é igual a 35% ao ano com capitalização trimestral. Para o período de capitalização y pode ser utilizada também a capitalização contínua (c), indicando que os juros são capitalizados continuamente. O desenvolvimento da matemática financeira e da engenharia econômica baseiase em taxas de juros efetivas, assim que as taxas de juros nominais devem ser convertidas em taxas de juros efetivas para sua correta aplicação. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  8. 8. Engenharia Econômica Avançada 7 2.5 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização Para conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período de capitalização a expressão a ser utilizada é: iNOM = a.x. c.y. ⇒ iEFE = a.y. c.y. iEFE = iNOM N N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal Problema 2 – Conversão de Taxas de Juros Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período de capitalização. Tabela 3 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Capitalização Taxa de Juros Períodos de Composição = N Nominal Taxa de Juros Efetiva 24% a.a. c.m. 12 2,00% a.m. c.m. 35% a.a. c.t. 4 8,75% a.t. c.t. 15% a.m. c.d. 30 0,50% a.d. c.d. iEFE = iNOM 0,24 = = 2,00 % a.m. c.m. N 12 iEFE = iNOM 0,35 = = 8,75 % a.t. c.t. N 4 iEFE = iNOM 0,15 = = 0,50 % a.d. c.d. N 30 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  9. 9. Engenharia Econômica Avançada 8 2.6 Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação Para converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período de aplicação utiliza-se a seguinte expressão: iNOM = a.x. c.y. ⇒ iEFE = a.x. c.x. N iEFE ⎛ i ⎞ = ⎜1 + NOM ⎟ − 1 N ⎠ ⎝ N = número de períodos de composição da taxa de juros nominal Problema 3 – Conversão de Taxas de Juros Converter taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas de mesmo período de aplicação. Tabela 4 – Conversão de Taxas de Juros de Mesmo Período de Aplicação Taxa de Juros Períodos de Composição = N Nominal Taxa de Juros Efetiva 24% a.a. c.m. 12 26,82% a.a. c.a. 35% a.a. c.t. 4 39,87% a.a. c.a. 15% a.m. c.d. 30 16,14% a.m. c.m. N 12 N 4 N 30 iEFE ⎛ i ⎞ ⎛ 0,24 ⎞ = ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 26,82 % a.a. c.a. N ⎠ 12 ⎠ ⎝ ⎝ iEFE ⎛ i ⎞ ⎛ 0,35 ⎞ = ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 39,87 % a.a. c.a. N ⎠ 4 ⎠ ⎝ ⎝ iEFE ⎛ i ⎞ ⎛ 0,15 ⎞ = ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 16,14 % a.m. c.m. N ⎠ 30 ⎠ ⎝ ⎝ © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  10. 10. Engenharia Econômica Avançada 9 Pode-se elaborar uma planilha para conversão de taxas de juros nominais em taxas de juros efetivas, conforme ilustração a seguir. 2.7 Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua Em uma taxa de juros nominal com capitalização contínua, N tende para um valor infinito e, portanto, a sua conversão para uma taxa de juros efetiva equivalente deve ser realizada pela expressão: iNOM = a.x. c.c. ⇒ iEFE = a.x. c.x. N iEFE ⎛ i ⎞ = lim ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = eiNOM − 1 N→ ∞ N ⎠ ⎝ Problema 4 – Conversão de Taxas de Juros com Capitalização Contínua Uma taxa de juros nominal de 24% a.a. c.c. equivale a uma taxa de juros efetiva de 27,12% a.a. c.a., pois iEFE = eiNOM − 1 = e 0,24 − 1 = 0,2712 = 27,12% © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  11. 11. Engenharia Econômica Avançada 10 2.8 Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes A conversão entre taxas de juros efetivas de períodos diferentes pode ser obtida a partir da seguinte expressão: Q iEFE a = (1 + iEFE b ) − 1 Q = quantidade de períodos b existentes no período a Problema 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas Converter uma taxa de juros efetiva de 12% ao bimestre em taxas de juros efetivas semestrais e anuais. Considerando iB = 12% a.b. c.b., tem-se que: Q 3 iS = (1+ iB ) − 1 = (1+ 0,12) − 1 = 40,49% a.s. c.s. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  12. 12. Engenharia Econômica Avançada Q 11 6 i A = (1 + iB ) − 1 = (1 + 0,12 ) − 1 = 97,38% a.a. c.a. A tabela 5 apresenta uma síntese dos resultados obtidos. Tabela 5 – Conversão de Taxas de Juros Efetivas de Períodos Diferentes Período Q Bimestral Taxa Efetiva 12,00 % a.b. c.b. Semestral 3 40,49 % a.s. c.s. Anual 6 97,38 % a.a. c.a. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  13. 13. Engenharia Econômica Avançada 12 Problema 6 – Conversão de Taxas de Juros de Períodos Diferentes Converter uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização bimestral em uma taxa de juros efetiva semestral. Para converter uma taxa de juros nominal em uma taxa de juros efetiva em que os períodos de aplicação e capitalização não coincidem deve-se, inicialmente, converter a taxa de juros nominal em uma taxa de juros efetiva de mesmo período de aplicação ou de mesmo período de capitalização e, em seguida, converter na taxa de juros efetiva desejada. Assim: iNOM = 60 % a.a. c.b. (N = 6) Conversão de taxa de juros nominal em taxa de juros efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,60 = = 0,10 = 10 % a.b. c.b. N 6 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  14. 14. Engenharia Econômica Avançada 13 Conversão de taxas de juros efetivas de períodos diferentes: Q iEFE a = (1 + iEFE b ) − 1 Conversão de uma taxa de juros efetiva bimestral em uma taxa de juros efetiva semestral: Q iS = (1 + iB ) − 1, onde Q = 3 3 iS = (1 + 0,10 ) − 1 = 0,3310 = 33,10 % a.s. c.s. A taxa de juros efetiva semestral de 33,10% é equivalente à taxa de juros nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  15. 15. Engenharia Econômica Avançada 14 3 Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa A partir da representação de um projeto de investimento através de um diagrama de fluxo de caixa podem ser determinadas as relações de equivalência, permitindo a transformação de um determinado fluxo de caixa em outro equivalente. Para aplicação das relações de equivalência a periodicidade do fluxo de caixa deve coincidir com a periodicidade da taxa de juros efetiva. 3.1 Equivalência entre Valor Presente e Valor Futuro A equivalência entre P (valor presente) e F (valor futuro) permite resolver, por exemplo, o problema de determinação do valor P a ser investido, a uma taxa de juros efetiva i, para obtenção de um montante F após n períodos. F 0 1 2 3 n P Figura 2 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Valor Futuro n F = P × (1 + i) ⎛ F ⎞ log⎜ ⎟ ⎝ P ⎠ n= log(1 + i) © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br P = F× i=n 1 (1 + i)n F −1 P
  16. 16. Engenharia Econômica Avançada 15 3.2 Equivalência entre Série Uniforme e Valor Futuro A equivalência entre U (série uniforme) e F (valor futuro) permite, por exemplo, definir o valor dos depósitos programados U para possibilitar uma retirada futura F, onde n é o número de depósitos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma periodicidade da série de depósitos. F 0 1 2 3 n U Figura 3 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Série Uniforme e Valor Futuro (1 + i)n − 1 F = U× i U = F× i (1 + i)n − 1 ⎛ i × F ⎞ log⎜1 + ⎟ U ⎠ ⎝ n= log(1 + i) © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  17. 17. Engenharia Econômica Avançada 16 3.3 Equivalência entre Valor Presente e Série Uniforme A equivalência entre P (valor presente) e U (série uniforme) permite resolver o problema de determinação de parcelas mensais U, onde n é o número de pagamentos da série uniforme e i é a taxa de juros efetiva e de mesma periodicidade da série uniforme. P 0 1 2 3 n U Figura 4 – Diagrama de Fluxo de Caixa: Valor Presente e Série Uniforme n i × (1 + i) U = P× (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 P = U× n i × (1 + i) ⎛ U ⎞ log⎜ ⎟ ⎝ U − i × P ⎠ n= log(1 + i) © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  18. 18. Engenharia Econômica Avançada 17 3.4 Utilização de Planilhas Eletrônicas Nesta seção apresenta-se, de forma sucinta, uma orientação para utilização de planilhas eletrônicas para solução de problemas de equivalência de capitais em um fluxo de caixa. Podem ser utilizadas as funções financeiras contidas na planilha Excel para determinação de P (valor presente), F (valor futuro), U (série uniforme), n (número de capitalizações ou prazo total da operação) e i (taxa de juros periódica), empregando-se as sintaxes a seguir apresentadas: − cálculo de P: VP (i; n; U; F; tipo) − cálculo de F: VF (i; n; U; P; tipo) − cálculo de U: PGTO (i; n; P; F; tipo) − cálculo de n: NPER (i; U; P; F; tipo) − cálculo de i: TAXA (n; U; P; F; tipo; estimativa) O significado dos argumentos dessas funções é: − P = valor do capital no instante inicial 0 − F = valor do capital no instante final n − U = valor da série de n pagamentos periódicos de 1 a n − n = número de capitalizações ou prazo total da operação − i = valor da taxa de juros efetiva e periódica − tipo = série de pagamentos antecipados (1) ou postecipados (0) − estimativa = valor estimado da taxa de juros Os valores monetários devem ser informados com seus sinais, (+) ou (–), e o resultado monetário terá o sinal que anula a soma dos capitais equivalentes em um instante qualquer. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  19. 19. Engenharia Econômica Avançada 18 Na ilustração abaixo se apresenta a sugestão de uma calculadora elaborada a partir das funções financeiras da planilha Excel. Nas células B2, B3, B4, B5, B6, B7 e B8 são registrados os dados de entrada e nas células C2, C3, C4, C5 e C6 são obtidos os resultados, a partir da seguinte sintaxe: − cálculo de P: C2 = SE (B2 = ”?”; VP (B6 ;B5 ;B4 ;B3 ;B7); ” ”) − cálculo de F: C3 = SE (B3 = ”?”; VF (B6; B5; B4; B2; B7); ” ”) − cálculo de U: C4 = SE (B4 = ”?”; PGTO (B6; B5; B2; B3; B7); ” ”) − cálculo de n: C5 = SE (B5 = ”?”; NPER (B6; B4; B2; B3; B7); ” ”) − cálculo de i: C6 = SE (B6 = ”?”; TAXA (B5; B4; B2; B3; B7; B8); ” ”) © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  20. 20. Engenharia Econômica Avançada 19 Problema 7 – Financiamento de Automóvel Você recebeu uma oferta para aquisição de um automóvel através de um financiamento em 24 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês. Considerando que o pagamento máximo mensal que você pode admitir é de $ 600 e que você pode dar uma entrada de $ 7.000, qual é o valor do automóvel que você poderá adquirir dado que a taxa de juros é de 12% ao ano com capitalização mensal? Valor do Automóvel = V = E + P = ? i = 12 % a.a. c.m. 0 1 2 3 n = 24 meses U = 600 E = 7.000 Figura 5 – Diagrama de Fluxo de Caixa Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,12 = = 0,01 = 1% a.m. c.m. N 12 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  21. 21. Engenharia Econômica Avançada 20 P=? i = 1 % a.m. c.m. 0 1 2 3 n = 24 meses U = 600 Figura 6 – Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicando a relação de equivalência entre P e U: (1 + i)n − 1 = 600 × (1 + 0,01)24 − 1 P = U× n 0,01× (1 + 0,01)24 i × (1 + i) = 12.746,03 Valor do Automóvel = V = E + P = 7.000 + 12.746,03 = 19.746,03. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  22. 22. Engenharia Econômica Avançada 21 Problema 8 – Plano de Aposentadoria Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito inicial de $ 1.200 e deposite $ 50 ao final de cada mês nos próximos 30 anos. Qual o montante acumulado, considerando que a conta remunera os depósitos com uma taxa de juros de 9% ao ano com capitalização mensal? F = F' + F" = ? i = 9 % a.a. c.m. 0 1 2 3 n = n' = n" = 360 meses U" = 50 P' = 1.200 Figura 7 – Diagrama de Fluxo de Caixa Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,09 = = 0,0075 = 0,75% a.m. c.m. N 12 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  23. 23. Engenharia Econômica Avançada 22 F = F' + F" = ? i = 0,75 % a.m. c.m. 0 1 2 3 n = n' = n" = 360 meses U" = 50 P' = 1.200 Figura 8 – Diagrama de Fluxo de Caixa Cálculo de F' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e P): n' F' = P'×(1 + i) = 1.200 × (1 + 0,0075 )360 = 17.676,69 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  24. 24. Engenharia Econômica Avançada 23 Cálculo de F'' (aplicando-se a relação de equivalência entre F e U): (1 + i)n" − 1 = 50 × (1 + 0,0075)360 − 1 = 91.537,17 F" = U"× i 0,0075 Pode-se calcular diretamente o valor de F = F' + F'' = 17.676,69 + 91.537,17, utilizando os valores de P' e U'' de forma simultânea, pois o valor de n = n' = n''. Você disporá de um montante de $ 109.213,87 quando se aposentar daqui a 30 anos. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  25. 25. Engenharia Econômica Avançada 24 Problema 9 – Caderneta de Poupança Você depositou $ 8.000 em uma caderneta de poupança que rende juros com uma taxa de 6% ao ano com capitalização mensal. Se você retirar $ 1.000 ao final de cada ano, em quanto tempo os recursos se esgotarão? i = 6% a.a. c.m. U = 1.000 0 1 2 3 n=? anos P = 8.000 Figura 9 – Diagrama de Fluxo de Caixa Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de aplicação: N iEFE 12 ⎛ i ⎞ ⎛ 0,06 ⎞ = ⎜1 + NOM ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0617 = 6,17 % a.a. c.a N ⎠ 12 ⎠ ⎝ ⎝ © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  26. 26. Engenharia Econômica Avançada 25 i = 6,17 % a.a. c.a. U = 1.000 0 1 2 3 n=? anos P = 8.000 Figura 10 – Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicando as relações de equivalência entre P e U, calcula-se n: 1.000 ⎛ ⎞ ⎛ U ⎞ log⎜ ⎟ ⎟ log⎜ ⎝ U − i × P ⎠ = ⎝ 1.000 − 0,0617 × 8.000 ⎠ = 11,36 anos n= log(1 + i) log(1 + 0,0617) Ou seja, é permitida a retirada de 11 parcelas anuais de $ 1.000. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  27. 27. Engenharia Econômica Avançada 26 A questão pendente: qual é o valor residual no 11° ano ? Calcula-se, inicialmente, o valor P' que deveria ter sido depositado para que apenas 11 retiradas anuais de $ 1.000 pudessem ser efetuadas. i = 6,17 % a.a. c.a. U' = 1.000 0 1 2 3 n' = 11 anos P' = ? Figura 11 – Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicando a relação de equivalência entre P e U, obtém-se: (1 + i)n' − 1 = 1.000 × (1 + 0,0617)11 − 1 = 7.818,75 P' = U'× n' 11 i × (1 + i) 0,0617 × (1 + 0,0617 ) © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  28. 28. Engenharia Econômica Avançada 27 Calcula-se, então, o P'' extra que foi depositado e, em seguida, o F'' residual: P'' = P – P' = 8.000 – 7.818,75 = 181,25 F'' = ? i = 6,17 % a.a. c.a. 0 1 2 3 n'' = 11 anos P'' = 181,25 Figura 12 – Diagrama de Fluxo de Caixa Aplicando a relação de equivalência entre F e P, obtém-se F'' residual: n' ' F" = P"×(1 + i) = 181,25 × (1 + 0,0617 )11 = 350,19 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  29. 29. Engenharia Econômica Avançada 28 Problema 10 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa Você pretende adquirir um computador através de um financiamento em 18 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês. Considerando que o máximo pagamento mensal que você pode admitir é de $ 240, determinar o mínimo valor da entrada para que você possa adquirir um computador no valor de $ 5.000, através de um financiamento com taxa de juros de 9% ao trimestre com capitalização mensal. A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 10. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  30. 30. Engenharia Econômica Avançada 29 Problema 11 – Equivalência de Capitais em um Fluxo de Caixa Considere que você abra hoje uma conta de aposentadoria com um depósito inicial de $ 2.000 e que você pretende dispor de $ 85.000 daqui a 20 anos. Calcular o valor dos depósitos iguais e consecutivos a serem realizados ao final de cada um dos próximos 40 semestres, considerando que a conta de aposentadoria remunera os depósitos com uma taxa de juros de 8% ao ano com capitalização mensal. A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 11. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  31. 31. Engenharia Econômica Avançada 30 4 Sistemas de Amortização de Financiamentos Para que um projeto de investimento possa ser realizado é necessário que haja disponibilidade de recursos, sejam eles próprios ou de terceiros. No caso de insuficiência de recursos próprios pode-se recorrer a um financiamento. O valor do financiamento – o principal – deve ser restituído juntamente com a remuneração do capital – os juros – à instituição financeira que o concedeu. A forma como o principal é devolvido, acrescido de juros, constitui o sistema de amortização de um financiamento. Considere um sistema de amortização de um financiamento, a ser liquidado ao final do período n. P = SD 0 SD t -1 SD t AM 0 1 2 t -1 AM t -1 AM t n t n Jn J t -1 An Jt A t -1 At Figura 13 – Sistema de Amortização de um Financiamento As expressões para o cálculo do saldo devedor ao final do período juros Jt , da amortização AMt e do pagamento SD t , dos A t , em cada instante t, são: SDt = SDt −1 − AMt Jt = SDt −1 × i A t = AMt + Jt No último instante n, o saldo devedor SDn = 0 e a amortização AMn = SDn−1. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  32. 32. Engenharia Econômica Avançada 31 4.1 Sistema de Amortizações Constantes O Sistema de Amortizações Constantes é utilizado nos financiamentos de longo prazo, principalmente para aquisição de bens duráveis. O valor da amortização AM é constante para um financiamento P e um prazo n e é calculado por AM = P = SD 0 0 P . n SD 1 SD t t -1 2 t -1 t AM n AM AM J t -1 A t -1 At A Jt At t -1 Figura 14 – Sistema de Amortizações Constantes As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período juros Jt e do valor do pagamento At SD t , dos em cada instante t são: SD t = SD t −1 − AM Jt = SD t −1 × i A t = AM + Jt No último instante n, o saldo devedor SDn = 0 e a amortização AM = SDn−1. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  33. 33. Engenharia Econômica Avançada 32 Problema 12 – Sistema de Amortizações Constantes Supor um financiamento com as seguintes características: principal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ano e pagamento em parcelas anuais, ao final de cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes, bem como o saldo devedor ao final de cada período. Tabela 6 – Sistema de Amortizações Constantes At t Jt AM 0 SDt 50.000,00 14.000,00 1 4.000,00 10.000,00 40.000,00 13.200,00 2 3.200,00 10.000,00 30.000,00 12.400,00 3 2.400,00 10.000,00 20.000,00 11.600,00 4 1.600,00 10.000,00 10.000,00 10.800,00 n=5 800,00 10.000,00 0,00 A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 12. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  34. 34. Engenharia Econômica Avançada 33 4.2 Sistema de Pagamento Periódico de Juros Nesse sistema de amortização, denominado Sistema Americano, em cada parcela são pagos apenas os juros sobre o saldo devedor durante o período de financiamento. O saldo devedor é amortizado integralmente na última parcela e, portanto, não se altera ao longo do período de financiamento. P = SD 0 SD t -1 SD t t 0 1 2 n t -1 Jt Jn At AM n = SD 0 A n = AM n + J n Figura 15 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros As expressões para o cálculo do saldo devedor no final do período juros Jt e do valor da parcela At SD t , dos em cada instante t ≠ n, são as seguintes: Jt = SD t −1 × i A t = Jt SD t = SD t −1 No último instante n, o saldo devedor onde AMn = SD0 e SDn = 0 Jn = SDn −1 × i = SD0 × i . © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br e a parcela An = AMn + Jn ,
  35. 35. Engenharia Econômica Avançada 34 Problema 13 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros Supor um financiamento com as seguintes características: principal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ano e pagamento em parcelas anuais, ao final de cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor das parcelas, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Pagamento Periódico de Juros, bem como o saldo devedor ao final de cada período. Tabela 7 – Sistema de Pagamento Periódico de Juros At t J AMt 0 SDt 50.000,00 4.000,00 1 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 2 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 3 4.000,00 0,00 50.000,00 4.000,00 4 4.000,00 0,00 50.000,00 54.000,00 n=5 4.000,00 50.000,00 0,00 A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 13. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  36. 36. Engenharia Econômica Avançada 35 4.3 Sistema de Amortização com Prestações Uniformes O Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, utilizado nas compras a prazo de bens de consumo, constitui-se em uma série uniforme de n pagamentos de valor U para a liquidação de um financiamento P. O valor das prestações uniformes U é determinado a partir da relação de equivalência entre U e P. n i × (1 + i) U = P× (1 + i)n − 1 Assim, o valor do pagamento U = AMt + Jt é uma constante em qualquer instante t, para uma determinada taxa de juros i e um prazo n, dado um financiamento P e, portanto, U = AMt −1 + Jt −1 = AMt + Jt = AMt +1 + Jt +1 P = SD 0 SD t -1 SD t AM 0 1 2 t -1 t t -1 n J U t -1 U Figura 16 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br AM t Jt U
  37. 37. Engenharia Econômica Avançada 36 As relações utilizadas para determinar o saldo devedor no final do período os juros Jt e a amortização SD t , AMt em cada instante t são: Jt = SD t −1 × i SD t = SD t −1 − AMt k AMt + k = AMt × (1 + i) No último instante n, o saldo devedor SDn = 0 e a amortização AMn = SDn−1. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  38. 38. Engenharia Econômica Avançada 37 Problema 14 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes Supor um financiamento com as seguintes características: principal de $ 50.000, taxa de juros efetiva de 8% ao ano e pagamento em parcelas anuais, ao final de cada ano, em um prazo de 5 anos. Calcular o valor dos pagamentos, dos juros e das amortizações pelo Sistema de Amortização com Prestações Uniformes, bem como o saldo devedor ao final de cada período. Tabela 8 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes U t Jt AMt 0 SDt 50.000,00 12.522,82 1 4.000,00 8.522,82 41.477,18 12.522,82 2 3.318,17 9.204,65 32.272,53 12.522,82 3 2.581,80 9.941,02 22.331,51 12.522,82 4 1.786,52 10.736,30 11.595,21 12.522,82 n=5 927,61 11.595,21 0,00 A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 14. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  39. 39. Engenharia Econômica Avançada 38 Problema 15 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes Um determinado financiamento será liquidado em (n) 12 parcelas mensais, iguais e consecutivas (U), a serem pagas ao final de cada mês. Sabe-se que a quinta amortização ( AM5 ) será de $ 32.974,25 e a oitava amortização ( AM8 ) será de $ 40.394,87. Determinar o valor financiado (P) e a taxa de juros (i) praticada. P=? i=? AM 0 1 5 5 AM 8 n = 12 8 J U 5 U J8 U Figura 17 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes Sabe-se que: AM5 = 32.974,25 AM8 = 40.394,87 Utilizando a expressão k AMt +k = AMt × (1 + i) e considerando t = 5, k = 3, t + k = 8 , calcula-se a taxa de juros (i) praticada: 3 AM8 = AM5 × (1 + i) 3 40.394,87 = 32.974,25 × (1 + i) i = 7% a.m. c.m. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br que
  40. 40. Engenharia Econômica Avançada 39 No último instante n, o saldo devedor Além disso, SDn = 0 e a amortização AMn = SDn−1. Jn = SDn−1 × i e U = AMn + Jn . Para n = 12 , pode-se calcular o valor das prestações uniformes (U): 7 7 AM12 = AM5 × (1 + i) = 32.974,25 × (1 + 0,07 ) = 52.949,43 AMn = SDn−1 ⇒ AM12 = SD11 = 52.949,43 J12 = SD11 × i = 52.949,43 × 0,07 = 3.706,46 U = AMn + Jn = AM12 + J12 = 52.949,43 + 3.706,46 = 56.655,89 Calcula-se, finalmente, o valor financiado (P): (1 + i)n − 1 = 56.655,89 × (1 + 0,07 )12 − 1 P = U× n 12 i × (1 + i) 0,07 × (1 + 0,07 ) = 450 .000,00 A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação da taxa de juros praticada e do valor financiado. O valor financiado será de $ 450.000, com taxa de juros de 7% ao mês. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  41. 41. Engenharia Econômica Avançada 40 Problema 16 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes Um financiamento de $ 150.000 será realizado com taxa de juros de 24% ao semestre com capitalização mensal. Este financiamento será liquidado através de parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês. Sabendo-se que os juros relativos ao sétimo mês (J7 ) são de $ 4.176,46, pede-se determinar o prazo total de pagamento (n) e o saldo devedor ao final do décimo mês (SD10 ) . P = 150.000,00 J7 = 4.176,46 iNOM = 24% a.s. c.m. (N = 6) Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,24 = = 0,04 = 4% a.m. c.m. N 6 P = 150.000 SD 10 =? AM 0 1 7 10 AM 1 7 n=? J 1 J = 4.176,46 7 U i = 4% a.m. c.m. U U Figura 18 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  42. 42. Engenharia Econômica Avançada 41 Pode-se calcular o valor dos juros a serem pagos ao final do primeiro mês: P = SD0 = 150.000,00 J1 = SD0 × i = 150.000 × 0,04 = 6.000,00 A seguir calcula-se o valor da amortização O valor da prestação uniforme é AM1 ao final do primeiro mês. U = AM1 + J1 = AM7 + J7 , onde AM7 = AM1 × (1 + i)6 , J1 = 6.000,00 e J7 = 4.176,46 . Assim, AM1 + J1 = AM1 × (1 + i)6 + J7 AM1 + 6.000 = AM1 × (1 + 0,04 )6 + 4.176,46 AM1 = 6.873,00 Então, U = 6.873 + 6.000 = 12.873,00 Calcula-se, finalmente, o prazo total de pagamento (n), aplicando as relações de equivalência entre P e U: 12.873 ⎛ ⎞ ⎛ U ⎞ log⎜ ⎟ ⎟ log⎜ ⎝ U − i × P ⎠ = ⎝ 12.873 − 0,04 × 150.000 ⎠ = 16 meses n= log(1 + i) log(1 + 0,04 ) Passa-se, então, ao cálculo do saldo devedor ao final do décimo mês. Inicialmente, calcula-se o valor dos juros pagos no décimo primeiro mês. Sabendo-se que U = AM11 + J11, onde AM11 = AM1 × (1 + i)10 , então U = AM1 × (1 + i)10 + J11 12.873 = 6.873 × (1 + 0,04 )10 + J11 J11 = 2.699,28 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  43. 43. Engenharia Econômica Avançada Calcula-se, então, o saldo devedor ao final do décimo mês 42 (SD10 ) : J11 = SD10 ! i 2.699,28 = SD10 ! 0,04 SD10 = 67.482,03 A ilustração abaixo apresenta uma planilha para determinação do prazo total de pagamento e do saldo devedor ao final do décimo mês. O financiamento será liquidado em 16 pagamentos mensais e o saldo devedor ao final do décimo mês será de 67.482,03. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  44. 44. Engenharia Econômica Avançada 43 Problema 17 – Sistema de Amortização com Prestações Uniformes Um financiamento de $ 280.000 será realizado com taxa de juros efetiva de 8% ao mês. Este financiamento será liquidado através de parcelas mensais, iguais e consecutivas, a serem pagas ao final de cada mês. Sabendo-se que o saldo devedor após o pagamento da sétima parcela (SD7 ) será de $ 163.770,62, pede-se determinar o prazo total de pagamento (n) e o valor dos juros pagos na décima parcela (J10 ) . A ilustração abaixo apresenta uma planilha com a solução do problema 17. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  45. 45. Engenharia Econômica Avançada 44 4.4 Sistemas de Amortização com Prestações Irregulares Problema 18 – Financiamento de Imóvel Uma imobiliária oferece um imóvel, cujo valor é de € 50.000. Dado que você não dispõe de toda esta quantia para pagamento à vista, a imobiliária lhe apresenta a seguinte forma de pagamento para aquisição do imóvel. Pagamento em Reais (R$) de 60% do valor do imóvel, em três parcelas iguais, pagáveis em Reais, em 30, 90 e 120 dias, com uma taxa de juros de 21% ao trimestre capitalizados mensalmente. O restante do valor do imóvel deverá ser pago em Pesos Uruguaios (PU$), com uma entrada – hoje – de PU$ 300.000 e mais duas parcelas, pagáveis em Pesos Uruguaios, em 60 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 5% ao mês. O valor da parcela em 60 dias deve ser igual ao dobro do valor da parcela em 150 dias. Considerar que os meses possuem 30 dias, e que hoje há uma equivalência de € 1,00 = R$ 3,00 = PU$ 36,00. Determinar o fluxo de caixa da forma de pagamento que lhe foi apresentada. Pagamento em Reais de 60% de € 50.000 = € 30.000, equivalentes, hoje – no instante 0 –, à R$ 90.000, com financiamento a uma taxa de juros de 21% a.t. c.m. P' = 90.000 i = 21 % a.t. c.m. meses 0 1 2 A1 3 A3 4 A4 Figura 19 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  46. 46. Engenharia Econômica Avançada 45 Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,21 = = 0,07 = 7% a.m. c.m. N 3 Cálculo do valor das parcelas A1 = A 3 = A 4 = S em 30, 90 e 120 dias P' = 90.000 i' = 7 % a.m. c.m. meses 0 1 2 A1 3 A3 4 A4 Figura 20 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais P' = A1 A3 A4 + + (1 + i' )1 (1 + i' )3 (1 + i' )4 90.000 = S S S + + ⇒ S = 35.802,76 (1 + 0,07 )1 (1 + 0,07 )3 (1 + 0,07)4 Assim, A1 = A 3 = A 4 = S = R$ 35.802,76 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  47. 47. Engenharia Econômica Avançada 46 A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos. Pagamento em Pesos Uruguaios de 40% de € 50.000 = € 20.000, equivalentes hoje – no instante 0 –, à PU$ 720.000, com uma entrada de PU$ 300.000. Cálculo do valor a ser financiado, em Pesos Uruguaios: P" = 720.000 − 300.000 = 420.000 Cálculo do valor das parcelas A 2 = 2 × A 5 , em 60 e 150 dias: P" = 420.000 i" = 5 % a.m. c.m. meses 0 1 2 3 4 5 A5 A2 Figura 21 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Pesos Uruguaios © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  48. 48. Engenharia Econômica Avançada P" = 47 A2 A5 + (1 + i" )2 (1 + i" )5 Considerando A 2 = 2 × A 5 = T , tem-se que A 2 = T e A5 = T . 2 Assim, T T 2 420.000 = + ⇒ T = 323.377,28 2 (1 + 0,05 ) (1 + 0,05 )5 Então, A2 = T = PU$ 323.377,28 A5 = T = PU$ 161.688,64 2 A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  49. 49. Engenharia Econômica Avançada 48 Problema 19 – Financiamento de Equipamento Você pretende adquirir um equipamento importado, cujo preço é de R$ 90.000. Dado que você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, a importadora lhe apresenta duas opções de pagamento. Considerar que: − os meses possuem 30 dias; − hoje há uma equivalência de US$ 1,00 = R$ 2,00. Apresentar o fluxo de caixa das duas opções de pagamento, em sua respectiva moeda. Opção 1 (Pagamento em Reais – R$): uma entrada de R$ 15.000 e o restante financiado em duas parcelas, pagáveis em Reais em 30 e 90 dias. Na parcela em 30 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 70% do valor financiado. Na parcela em 90 dias é pago o restante da dívida. O financiamento é realizado com uma taxa de juros de 15% ao trimestre capitalizados mensalmente. Cálculo do valor a ser financiado, em Reais: P = 90.000 – 15.000 = 75.000. P = 75.000 i = 15 % a.t. c.m. meses 0 1 2 3 A3 A1 Figura 22 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  50. 50. Engenharia Econômica Avançada 49 Taxa de juros do financiamento em reais: iNOM = 15% a.t. c.m. (N = 3) Conversão de taxa de juros nominal em efetiva de mesmo período de capitalização: iEFE = iNOM 0,15 = = 0,05 = 5% a.m. c.m. N 3 A1 e A 3 em 30 e 90 dias: Cálculo do valor das parcelas P = 75.000 SD 1 i = 5 % a.m. c.m. meses 0 1 2 3 A3 A1 Figura 23 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Reais A1 = AM1 + J1 = 70% × P + i × P A1 = 0,70 × 75.000 + 0,05 × 75.000 = 52.500 + 3.750 = 56.250 SD1 = P − AM1 = 75.000 − 52.500 = 22.500 A 3 = SD1 × (1 + i)2 = 22.500 × (1 + 0,05 )2 = 24.806,25 © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  51. 51. Engenharia Econômica Avançada 50 A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos. Opção 2 (Pagamento em Dólares Americanos – US$): uma entrada de US$ 27.000 e o restante em duas parcelas iguais, pagáveis em Dólares Americanos em 120 e 150 dias, com uma taxa de juros efetiva de 3% ao mês. Pagamento em Dólares Americanos de R$ 90.000 = US$ 45.000. Cálculo do valor a ser financiado, em Dólares Americanos: P' = 45.000 − 27.000 = 18.000 F' = P" P' = 18.000 i = 3 % a.m. c.m. 4 0 1 2 5 meses 3 U" Figura 24 – Fluxo de Caixa do Financiamento em Dólares Americanos © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  52. 52. Engenharia Econômica Avançada 51 Cálculo do saldo devedor atualizado em 90 dias: F' = P' × (1 + i)n' = 18.000 × (1 + 0,03)3 = 19.669,09 P" = F' ⇒ P" = 19.669,09 Cálculo do valor das parcelas A 4 = A 5 = U" em 120 e 150 dias: n" 2 i × (1 + i) 0,03 × (1 + 0,03 ) U" = P"× = 19.669,09 × = 10 .279,28 n" (1 + i) − 1 (1 + 0,03 )2 − 1 A ilustração abaixo apresenta a planilha com o fluxo de caixa dos pagamentos. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  53. 53. Engenharia Econômica Avançada 52 Problema 20 – Sistemas de Amortização de Financiamentos Você pretende adquirir um equipamento, cujo preço é de $ 80.000. Dado que você não dispõe desta quantia para pagamento à vista, o fabricante lhe apresenta quatro alternativas de financiamento. Considerar que os financiamentos são realizados com uma taxa de juros efetiva de 9% ao mês. Considerar, ainda, que os meses possuem 30 dias. Calcular os valores a serem pagos nas quatro opções alternativas. Opção A: uma entrada de 30% do valor do equipamento e o restante financiado em três parcelas, pagáveis em 30, 120 e 150 dias. Na parcela em 30 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 60% do valor financiado. Nas parcelas em 120 dias e em 150 dias é pago o restante da dívida. O valor da parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 150 dias. Opção B: sem entrada, com um financiamento em três parcelas, pagáveis em 30, 90 e 180 dias. Na parcela em 30 dias são pagos juros sobre o saldo devedor. Na parcela em 90 dias se paga juros sobre o saldo devedor mais amortização de 40% do saldo devedor. Na parcela em 180 dias é liquidado o financiamento. Opção C: sem entrada, com um financiamento em quatro parcelas, pagáveis em 60, 90, 150 e 180 dias. Na parcela em 60 dias são pagos juros sobre o saldo devedor. O valor da parcela em 90 dias é igual ao dobro do valor da parcela em 60 dias. O financiamento é liquidado com duas parcelas iguais, pagas em 150 dias e em 180 dias. Opção D: uma entrada de 20% do valor do equipamento e o restante financiado em três parcelas, pagáveis em 60, 120 e 180 dias. O valor da parcela em 60 dias é igual à metade do valor da parcela em 180 dias. O valor da parcela em 120 dias é igual ao triplo do valor da parcela em 180 dias. Na parcela em 180 dias é liquidado o financiamento. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br
  54. 54. Engenharia Econômica Avançada A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção A. A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção B. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br 53
  55. 55. Engenharia Econômica Avançada A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção C. A ilustração abaixo apresenta uma planilha com os valores da opção D. © 2012 Álvaro Gehlen de Leão – gehleao@pucrs.br 54

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