Traçado em dispositivos gráficos matriciais circunferência

TRAÇADO EM
DISPOSITIVOS GRÁFICOS
MATRICIAIS
CIRCUNFÊRENCIA
Prof.ª Elaine Cecília Gatto
03/03/2016Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto1

Circunferência e Círculo
• É o conjunto de todos os pontos de um
plano equidistantes de um ponto fixo,
desse mesmo plano, denominado centro
da circunferência.
• O ponto fixo é o centro e a equidistância o
raio da circunferência.

Circunferência e Círculo
• Círculo ou disco
– É o conjunto de todos os pontos de um
plano cuja distância a um ponto fixo é
menor ou igual que uma distância r dada.
– Quando a distância é nula, o círculo se
reduz a um ponto.
– O círculo é a reunião da circunferência
com o conjunto de pontos localizados
dentro da mesma.

Circunferencia:
Características
• É a única figura plana que pode ser
“rodada” em torno de um ponto sem
modificar sua posição aparente.
• É a única figura que é simétrica em
relação a um número infinito de eixos de
simetria.

Circunferencia: Definições
• Raio
– O raio de uma circunferência é um
segmento de reta com uma extremidade
no centro da circunferência e a outra
extremidade num ponto qualquer da
circunferência.

• Arco
– O arco é uma parte da circunferência
limitada por dois pontos, que se chamam
extremidades do arco.

• Corda
– A Corda é um segmento de infinitos pontos
alinhados, cujos pontos extremos estão
em um ponto da circunferência. Quando
esse segmento passa pelo centro da
circunferência, temos o que chamamos de
diâmetro.

• Diâmetro
– O diâmetro é sempre a corda maior. Como
é a corda que passa pelo centro, sua
medida é igual a duas vezes a medida do
raio.

• Tangente
– A tangente é a reta que tem um único
ponto comum à circunferência, este ponto
é conhecido como ponto de tangência ou
ponto de contato.

• Secante
– A Secante é a reta que intercepta a
circunferência em dois pontos distintos, se
essa reta intercepta a circunferência em
dois pontos quaisquer, podemos dizer
também que é a reta que contem uma
corda.

• Setor Circular
– O Setor Circular é a porção do círculo
limitada por um arco e pelos raios que
passam pelos seus pontos extremos.

• Coroa Circular
– A Coroa Circular é a porção do circulo
compreendida entre duas circunferências
concêntricas.

• Segmento Circular de uma Base
– O Segmento Circular de uma base é a
porção do círculo limitada por um arco e
pela corda correspondente.

• Segmento Circular de duas Bases
– O Segmento Circular de duas bases é a
porção do círculo limitada por duas cordas
paralelas e pelos arcos compreendidos
entre elas.

• Setor de Coroa Circular
– O Setor de Coroa Circular é a porção de
uma coroa circular limitada por dois raios.

Circunferencia: Unidades de
Medida
• Graus e Radianos
– Grau (°) e
radiano (rad) são
diferentes
unidades de
medida de ângulo
que podem ser
relacionadas por
meio da
circunferencia.

Medida
– Arcos de 1° é aquele
cujo comprimento é
igual a 1/360 do
comprimento da
circunferência.
– O arco de uma volta
corresponde,
portanto, a C=360°.

Medida
– Arco de um
radiano (1 rad), é
aquele cujo
comprimento é
igual ao raio da
circunferência em
que esta contido.

Medida
𝜑(𝑟𝑎𝑑) =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
EQUAÇÃO 1: Medida do Ângulo em Radianos
𝐶 = 2𝜋𝑟
EQUAÇÃO 2: Comprimento (C) do Perímetro (P) de um círculo de Raio (r)

Medida
𝜑(𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜) = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
EQUAÇÃO 4: Ângulo de um círculo em radianos
𝜑(𝑟𝑎𝑑) =
2𝜋𝑟
𝑟
EQUAÇÃO 3: Reescrita da Equação 1 de acordo com a Equação 2

Medida
360° = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 ⇒ 180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑
𝛼(°) = 𝜑 𝑟𝑎𝑑
180°
𝜋(𝑟𝑎𝑑)
EQUAÇÃO 5: Equação para obter um ângulo α, em graus, a partir de um ângulo, em radianos
𝜑 𝑟𝑎𝑑 = 𝛼(°)
𝜋(𝑟𝑎𝑑)
180°
EQUAÇÃO 6: Equação para obter um ângulo, em radianos, a partir de um ângulo α, em graus

Circunferencia: Quadrantes
• DEFINIÇIÃO EM GEOMETRIA:
– Quadrante é qualquer das quatro partes
iguais em que se pode dividir uma
circunferência.
– Pode ainda corresponder à quarta parte de
um círculo e equivalente a 90 graus.

• DEFINIÇÃO EM GEOMETRIA ANALÍTICA:
– São as quatro partes resultantes da
divisão de um plano, por um eixo
ortogonal.
– Sistema cartesiano de coordenadas.

• DEFINIÇÃO EM GEOMETRIA DESCRITIVA:
– São as quatro partes resultantes da
divisão do espaço, por intermédio de dois
planos ortogonais.
– Neste caso os quadrantes também são
chamados de diedros.

Conversão Matricial de
Circunferências
• A equação de uma circunferência com
centro (c) na origem e raio (r), em
coordenadas cartesianas, é dada por:
• Forma paramétrica
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Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto
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𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
EQUAÇÃO 1: Equação da Circunferência
𝑥 = 𝑅. cos 𝜃
𝑦 = 𝑅. 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Circunferências
• O círculo que não está centrado na origem
deve ser transladado para a origem (0,0).
• Calcula-se então os pontos do primeiro
quadrante e os demais são então escritos
por simetria
03/03/2016
33

Circunferências
• Um cálculo neste formato para cada ponto
é computacionalmente inviável, visto que
haveria um alto número de cálculos de
potência e raiz, que exigem considerável
processamento
• Equação explícita da circunferência
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𝑦 = 𝑓 𝑥 : 𝑦 = +
2
𝑅2 − 𝑥2
EQUAÇÃO 1: Equação Explicita da Circunferência

Circunferências
• Existem muitas abordagens simples,
porém ineficientes, para o traçaado de
círculos.
• Em algoritmos não incrementais, um
polígono regular de n lados é usado como
aproximação para a circunferência.
• Para que a aproximação seja razoável,
deve-se escolher um valor
suficientemente alto para n.

Circunferências
• Entretanto, quanto maior o valor de n,
mais lento será o algoritmo, e várias
estratégias de aceleração precisam ser
usadas.
• Em geral os algoritmos incrementais de
conversão matricial são mais rápidos.
• Outra abordagem seria usar a equação
explícita da circunferência.

Circunferências
• Para desenhar ¼ de circunferência
poderíamos variar x de 0 a R, em
incrementos de uma unidade, calculando +y
a cada passo através da equação explicita
da circunferência.
• Essa estratégia funciona, mas é ineficiente
porque requer operações de multiplicação e
raiz quadrada.

Circunferências
Um arco de ¼ de
circunferência,
obtido variando-se
x em incrementos
unitários, e
calculando
e arrendondando y.
Grandes gaps nas regiões
onde a tangente à
circunferência é infinita

Simetria de Ordem 8
• O Algoritmo de Simetria de Ordem 8
considera que o traçado de uma
circunferência pode tirar proveito de sua
simetria
• Considere uma circunferência centrada na
origem.
• Se o ponto ( x, y ) pertence à
circunferência, pode-se calcular de
maneira trivial sete outros pontos da

Simetria de Ordem 8

Simetria de Ordem 8
• Para obter toda a circunferência, basta
computar um arco de circunferência de
45º.
• Para uma circunferência com centro na
origem, os oito pontos simétricos podem
ser traçados usando o procedimento
Circle-Points.
• Este algoritmo não calcula os valores de
entrada de x e y, mas uma vez calculados

Simetria de Ordem 8
void CirclePoints(int x, int y, int
color){
write_pixel( x, y, color);
write_pixel( x, -y, color);
write_pixel(-x, y, color);
write_pixel(-x, -y, color);
write_pixel( y, x, color);
write_pixel( y, -x, color);
write_pixel(-y, x, color);
write_pixel(-y, -x, color);
}/* end CirclePoints */

Algoritmo do Ponto-Médio
• Considere apenas um arco de 45° da
circunferência:
x = 0
y = R
x = y =
𝑅
2
• Considere que se usa o procedimento
CirclePoints para traçar todos os pontos da
circunferência

• Assim como o algoritmo gerador de linhas, a
estratégia é selecionar entre 2 pixels na
malha, aquele que está mais próximo da
circunferência, avaliando-se uma função no
ponto intermediário entre os dois pixels.
• No 2.º octante, se o pixel P em (xp, yp) foi
previamente escolhido como o mais próximo
da circunferência, a escolha do próximo pixel
será entre os pixels E e SE

Posições dos
pontos médios
necessários à
rasterização de
uma
circunferência

• REFORÇANDO:
• O ponto (x1, y1) é o inferior esquerdo, e (x2,
y2) é o superior direito.
• Assumimos que o pixel que acabou de ser
selecionado é P, em (xp, yp), e o próximo
deve ser escolhido entre o pixel a direita
(pixel E) e o pixel abaixo à direita (SE).

• Seja M o ponto intermediário entre os pixels E e SE.
• O que se faz é observar de que lado está o ponto M.

• Se M está abaixo da curva, E está mais próximo
• Se M está acima da curva, SE está mais próximo

• Seja a função F(x, y) = x2+y2−R2, então
temos que:
– F(X,Y) = 0: igual a zero sobre a
circunferência
– F(X,Y) > 0: positivo fora da circunferencia
– F(X,Y) < 0: negativo dentro da
circunferencia

• ESCOLHA DO SE:
– Se o ponto intermediário entre os pixels E
e SE estiver fora da circunferência (porque
está mais próximo dela)
• ESCOLHA DO E:
– Se o ponto intermediário estiver dentro da
circunferência

• Assim como no caso das linhas, a escolha é
feita com base na variável de decisão d, que
dá o valor da função no ponto-médio

• Se dold < 0, E é escolhido, o próximo ponto-
médio será incrementado de 1 na direção x
• Então: dnew = dold + (2xp + 3)
• Consequentemente: ∆E = 2xp + 3

• Se dold >= 0, SE é escolhido, e o próximo
ponto-médio será incrementado de 1 na
direção de x e decrementado de 1 na direção
d y
• Como: dnew = dold + (2xp − 2yp + 5)
• Então: ∆SE = 2xp − 2yp + 5

• Note que no caso da reta (equação linear),
∆E e ∆NE eram constantes.
• No caso da circunferência (equação
quadrática), E e SE variam a cada passo,
sendo funções do valor específico de (xp,
yp), o pixel escolhido na iteração anterior.
• P é chamado ponto de avaliação.

• As funções podem ser avaliadas
diretamente, a cada passo, dados os valores
de x e y do pixel escolhido na iteração
anterior.
• Essa avaliação não é computacionalmente
cara, uma vez que as funções são lineares.

• Calculando o valor inicial de d
– Limitar a utilização do algoritmo a raios
inteiros no segundo octante.
– O pixel inicial é dado por (0,R)
– O próximo ponto-médio está em:
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 1, 𝑅 −
1
2

• Calculando o valor inicial de d
• Portanto:
𝐹 1, 𝑅 −
1
2
= 1 + 𝑅2 − 𝑅 +
1
4
− 𝑅2 =
5
4
− 𝑅

Segundo octante
da circunferência
gerado com o
algoritimo do
Ponto-Médio e
primeiro
octante gerado
por simetria.

Valores das variáveis do algoritmo de
rasterização de circunferências ao rasterizar
a circunferência da figura ao lado
Píxeis do primeiro quadrante de uma
circunferência de raio 10 calculados pelo
respectivo algoritmo de rasterização

void MidPointCircle(int r, int color){
int x, int y;
float d;
/* Valores iniciais */
x = 0;
y = r;
d = 5/4 - r;
CirclePoints(x, y, color);
while (y > x){
if (d < 0){
/* Selecione E */
d = d + 2 * x + 3;
x++;
}else{
/* Selecione SE */
d = d + 2 * (x - y) + 5;
x++;
y--;
} /* end if */
} /* end while */
} /* end MidpointCircle */
Usando números reais

void MidPointCircleInt(int r, int color){
int x, int y, d;
/* Valores iniciais */
x = 0;
y = r;
d = 1 - r;
while (y > x){
if (d < 0){
/* Selecione E */
d = d + 2 * x + 3;
x++;
}else{
/* Selecione SE */
d = d + 2 * (x - y) + 5;
x++;
y--;
} /*end if*/
} /* end while */
} /* end MidpointCircleInt */
Usando números inteiros

Algoritmo do Ponto-Médio:
Conclusões
• O teste do ponto médio permite a escolha do
pixel mais próximo da curva.
• Além disso, o erro (a distância vertical entre
o pixel escolhido e a linha) é sempre inferior
a 0.5.
• A aritmética necessária para calcular o
próximo ponto a cada passo é adição
simples, nenhuma multiplicação é
necessária.
• Após o cálculo dos pontos no primeiro
quadrante, de 0º `a 45º, utiliza-se o algoritmo
de simetria de ordem 8 para calcular os

Algoritmo do Ponto-Médio:
Resumo

Referências
1. Ammeral, L. Computação Gráfica para
programadores Java. Rio de Janeiro: LTC, 2008
2. Traina, A. J. M.; Oliveira, M. C. F. Apostila de
Computação Gráfica. São Carlos: USP/ICMC, 2006.
Disponível em:
http://www.inf.ufes.br/~thomas/graphics/www/apostila
s/GBdI2006.pdf. Acessado em 22 de Janeiro de
2016.
3. Paulovich, F. V. Conversão Matricial. São Paulo:
USP/ICMC, 2011. Disponível em:
http://wiki.icmc.usp.br/images/4/4a/SCC0250-slides-
12-Conversao_matricial.pdf. Acessado em 22 de
Janeiro de 2016
03/03/2016
66

Referências
1. Cavalcanti, J. Computação Gráfica. UNIVAST, 2014. Disponível
em:
http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/comput_graf04_prim_gr
aficas2.pdf. Acessado em 20 de janeiro de 2016.
2. Bueno, M. Primitivas Gráficas. Disponível em:
http://marciobueno.com/arquivos/ensino/cg/CG_03_Primitivas_Graf
icas.pdf. Acessado em 20 de janeiro de 2016.
3. Mousquer, J. C.; Kliemann, K. A.; Matrakas, M. D. ALGORITMOS
PARA DESENHAR RETAS E CÍRCULOS. Paraná, Foz do Iguaçu:
FAC. Disponível em:
http://www.udc.edu.br/v5/resources/producoes/SeminarioCientifico
2014/files/CC/01.pdf. Acessado em 20 de Janeiro de 2016.
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Referências
1. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/1039
6/geo0500.htm
2. http://www.infoescola.com/geometria-plana/circunferencia/
3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-
circ/geom-circ.htm
4. https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia
5. http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia
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circ/geom-circ.htm
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Referências
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2. http://disciplinas.ist.utl.pt/leic-cg/textos/livro/Rasterizacao.pdf
3. http://www.coladaweb.com/matematica/circunferencia
4. http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/relacao-
entre-graus-radianos.htm
5. http://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/relacao-
entre-graus-radianos.htm
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