Estruturas algébricas

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Estruturas algébricas

  1. 1. Estruturasalgébricas<br /><ul><li>SejaS um conjunto e # umaoperaçãobináriaemStalque (S,#) tem as propriedades:</li></ul>Associativa: x # (y # z) = (x #y) #z.<br />ElementoIdentidade: x # i = i # x = x.<br />Elementoinverso: paratodo x de Sexisteinverso de x, denotadopor x-1, talque<br />x # x-1 = x-1 # x = i.<br />Dessa forma, dizemosque (S,#) é GRUPO.<br /> Se a propriedadecomutativa: x # y = y # x for satisfeitatambém, dizemosque o grupo é comutativoouabeliano.<br />
  2. 2. Exemplos de estruturasalgébricas<br /><ul><li>(Z, +), (Q, +) e (R, +) sãogruposcomutativos.
  3. 3. Verifiqueque (C,+) e (C-{0}, ∙), onde C é o conjunto dos númeroscomplexos, sãogruposcomutativos.
  4. 4. (R, ∙ ) é grupocomutativo? E (R-{0}, ∙ ) ?
  5. 5. O conjunto das matrizesquadradas, cujasentradassãonúmerosinteiros,(M2(Z)- 0, ∙), com a operação de multiplicação é grupo? Comutativo? E se seuselementosforemnúmerosreais? Quecondiçãoprecisa ser satisfeitaparatermos um grupo?</li></li></ul><li>Monóide e Semigrupo<br />Quando (S,#) tem apenas a propriedade de associatividade então dizemos que o par (S,#) é semigrupo.<br />Quando (S,#) tem as propriedades associativa e elemento identidade dizemos que o par (S,#) é um monóide.<br />Identifique nos exemplos citados os monóides e semigrupos.<br />
  6. 6. Exemploimportante<br /><ul><li> , n >1, é o conjuntoformadopelospossíveisrestosdadivisãointeirapor n. Ele é ditoclasse de restos. </li></ul> Define-se, paratodo  Zn<br /><ul><li>Para temosque ( , +) é um grupocomutativo, mas com respeito à operação de multiplicação, temosquenãoserágrupo, umavezquenemtodososelementospossuiráinverso. Quaissãoesses?</li></li></ul><li>subgrupos<br /><ul><li>Seja (G, #) um grupo. Dizemosque H, um subconjuntonãovazio de S, é ditosubgrupo de G se e somente se:</li></ul>H é fechado com respeito à operação #.<br />(H, #) é um grupo.<br /><ul><li>Ouseja, paraverificarque um dado subconjunto de G é subgrupo, bastaverqueele é fechadonaoperação dada e o elementoidentidadeestánestesubconjunto, juntamente com o inverso de cadaelemento de lá.</li></li></ul><li>Proposição<br />Uma proposição simplifica tudo:<br />Seja (G, #) um grupo. Para que um subconjunto não vazio de G seja seu subgrupo é necessário e suficiente que para quaisquer a e b<br />a # b-1  H.<br />
  7. 7. ExEMPLOS<br />(Z,+) é subgrupo de (R,+).<br />({1,4}, .) é subgrupo de (Z5*, .).<br />({0,2,4,6}, +) é subgrupo de (Z8,+).<br />
  8. 8. Teorema de lagrange<br /><ul><li>A ordem de um subgrupo H de um grupo G finito divide a ordem do grupo.</li></li></ul><li>Isomorfismo<br /><ul><li>Sejam (G, #) e (J, *) gruposquaisquer. Dizemosqueumafunçãof: G -> J é um homomorfismo de G em J se e somente se paratodo a, b de G tem-se</li></ul>f(a # b) = f(a)* f(b).<br />Se a funçãoacima for bijetoradiz-se que f é um isomorfismo.<br />
  9. 9. Exemplo<br />A função f: Z -> C* dada por f(m) = im (ondei é o imagináriotalquei2= -1) paratodo m de Z é um homomorfismo de (Z,+) em (C*, .), poisparatodo m, n de Z tem-se<br />f(m + n) = im+n = im. in = f(m) . f(n). <br /> No entanto f não é injetora, pois f(0) = f(4)=1 e muitomenossobrejetora, umavezque o conjuntoimagem de f é {1,-1,i,-i}. Assim f não é isomorfismo.<br />
  10. 10. Exemplo<br /><ul><li>Considere f: R+ -> R tal que f(x) = logb x, (sendo b real positivo e diferente de1). Observe que f é um isomorfismo.
  11. 11. Temos então a importância dos isomorfismos:
  12. 12. Dados dois grupos, A e B, é possível trabalhar com B ao invés de com A, se tivermos a existência de um isomorfismo entre eles. Algumas importantes propriedades matemáticas são mantidas em grupos isomorfos.</li></li></ul><li>Outras estruturas algébricas:anéis<br /><ul><li>Anel.</li></ul> Um conjunto A com respeito a duas operações, # e *, é dito anel se<br />(A, #) é um grupo abeliano,<br />Com respeito a operação * temos a associatividade.<br />Com respeito a # e * a distributividade é válida:<br />a*(b # c) = a * b # a * c.<br /><ul><li>(Zn,+,.) , n > 1, é um anel</li></li></ul><li>Outras estruturas algébricas:corpos<br /><ul><li>Um anel A, ((A, #, *) ), comutativo e com identidade (com respeito a *) é dito corpo quando para todo a, b de A tivermos</li></ul>a * b = 0 -> a = 0 ou b = 0.<br /><ul><li>Z, Q, R e C com respeito a + e . São exemplos clássicos de corpos.
  13. 13. M2(R) não é corpo, pois pode-se encontrar matrizes A e B onde </li></ul>A . B = 0 (matriz nula), sem que nenhuma delas seja a matriz nula. Verifique isso!<br />

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