Este documento descreve vários conceitos de estruturas algébricas, incluindo: (1) Grupos, definidos por propriedades como associatividade, elemento identidade e inverso; (2) Exemplos de grupos como (Z, +), (Q, +) e (R, +); (3) Subgrupos e isomorfismos entre grupos; (4) Outras estruturas como anéis e corpos.

3. Verifiqueque (C,+) e (C-{0}, ∙), onde C é o conjunto dos númeroscomplexos, sãogruposcomutativos.

4. (R, ∙ ) é grupocomutativo? E (R-{0}, ∙ ) ?

7. ExEMPLOS (Z,+) é subgrupo de (R,+). ({1,4}, .) é subgrupo de (Z5*, .). ({0,2,4,6}, +) é subgrupo de (Z8,+).

9. Exemplo A função f: Z -> C* dada por f(m) = im (ondei é o imagináriotalquei2= -1) paratodo m de Z é um homomorfismo de (Z,+) em (C*, .), poisparatodo m, n de Z tem-se f(m + n) = im+n = im. in = f(m) . f(n). No entanto f não é injetora, pois f(0) = f(4)=1 e muitomenossobrejetora, umavezque o conjuntoimagem de f é {1,-1,i,-i}. Assim f não é isomorfismo.

11. Temos então a importância dos isomorfismos:

13. M2(R) não é corpo, pois pode-se encontrar matrizes A e B onde A . B = 0 (matriz nula), sem que nenhuma delas seja a matriz nula. Verifique isso!