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Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
12 de julho de 2022
Prof.: Paulo Henrique

Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022

Antidiferenciação
Antidiferenciação
Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função.
Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades
e métodos analíticos para determiná-la.

Antidiferenciação
Antidiferenciação
O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de
variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter-
minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea.

Antidiferenciação
Antidiferenciação
O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de
uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação
ou integração.

Antidiferenciação
Antidiferenciação
O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de
uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação
ou integração.
Partindo de uma função derivável f, podemos obter sua função derivada f′. O que
iremos desenvolver é o processo inverso da derivada, ou seja, determinar, a partir de
uma função f(x), a função F(x) tal que F′(x) = f(x). Este processo é chamado de
antidiferenciação.

Antidiferenciação
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Definition 1.
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas
definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se,

Antidiferenciação
Definition 1.
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas
definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se,
F′
(x) = f(x), ∀ x ∈ I. (1)

Antidiferenciação
Por exemplo: Seja f(x) = x2.

Antidiferenciação
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.

Antidiferenciação
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x)

Antidiferenciação
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′

Antidiferenciação
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2

Antidiferenciação
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2
= x2
.

Antidiferenciação
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2
= x2
. = f(x).

Antidiferenciação
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.

Antidiferenciação
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).

Antidiferenciação
Observe que:
F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) =
[sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R;
F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x),
∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero;
F1(x) − F2(x) = C1 − C2.

Antidiferenciação
Intuitivamente, podemos concluir que existem infinitas primitivas para uma dada função
e que a diferença entre duas primitivas de uma mesma função é uma constante. Forma-
lizemos e demonstremos estas duas afirmações. Formalizemos essas ideias.

Antidiferenciação
Formalizando estes resultados
Theorem 1.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C,
∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas
destas e a função constante possui derivada nula, temos que:

Antidiferenciação
Theorem 1.
Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas
destas e a função constante possui derivada nula, temos que:
[F(x) + C]′
= F′
(x) + C′
= f(x), ∀ x ∈ I.

Antidiferenciação
Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma
constante, ou seja,

Antidiferenciação
Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma
constante, ou seja,
Corollary 1.
Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante.

Antidiferenciação
Corollary 1.
Demonstração: Considere a e b, a b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se
f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo
Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que:

Antidiferenciação
Corollary 1.
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.

Antidiferenciação
Corollary 1.
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
Como f′(c) = 0, segue que f(b) = f(a). Como a b são arbitrários, f só pode ser uma
função constante.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então
existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e,
por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′
2(x) = F′
1(x) = f(x). Portanto,
F′(x) = F′
2(x) − F′
1(x) = f(x) − f(x) = 0.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e,
por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′
2(x) = F′
1(x) = f(x). Portanto,
F′(x) = F′
2(x) − F′
1(x) = f(x) − f(x) = 0.
Pelo Corolário anterior, F só pode ser uma constante, ou seja, existe C ∈ R tal que
F(x) = C.

Antidiferenciação
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:

Antidiferenciação
Definition 1.
A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família
de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por
∫
f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I.

Antidiferenciação
Definition 1.
∫
A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função
é encontrada. Se
d
dx
(F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x),
obtém-se as antiderivadas F(x) + C.

Antidiferenciação
Definition 1.
∫
é encontrada. Se
d
dx
obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva-
lência:

Antidiferenciação
Definition 1.
∫
é encontrada. Se
d
dx
obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva-
lência:
d
dx
[F(x)] = f(x) ⇔
∫
f(x) dx = F(x) + C.

Antidiferenciação
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675

Antidiferenciação
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675

Antidiferenciação
Geometricamente, a integral indefinida é um conjunto ou família de curvas que se obtém
pelo deslocamento de uma primitiva qualquer sobre o eixo Oy.

Antidiferenciação
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.

Antidiferenciação
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
Observe o gráfico em que temos alguns dos
elementos da família obtidos para os valo-
res C = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.

Antidiferenciação
As primitivas para a integral indefinida
∫
2x dx formam uma família de parábolas com
eixo de simetria em no eixo das ordenadas Oy. Acima, temos o gráfico de algumas
curvas desta família, para alguns valores da constante C.

Antidiferenciação
O resultado a seguir estabelece que diferenciação e integração indefinida são processos
inversos porque, de certo modo, um desfaz o outro.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x);
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;

Antidiferenciação
Theorem 1.
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;

Antidiferenciação
Theorem 1.
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C; (A integral indefinida da derivada de uma função é igual
a função integrando)

Antidiferenciação
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.

Antidiferenciação
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo:

Antidiferenciação
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo:
d
dx
[∫
(3x − 2) dx
]
= 3x − 2 e
d
du
∫
e4u
du = e4u
.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então

Antidiferenciação
Theorem 1.
a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição
(subtração) de suas integrais.
b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à
multiplicação da constante pela integral indefinida da função.

Antidiferenciação
Theorem 1.
∫
[f(x) ± g(x)] dx =
∫
f(x) dx ±
∫
g(x) dx.

Antidiferenciação
Theorem 1.
∫
[f(x) ± g(x)] dx =
∫
f(x) dx ±
∫
g(x) dx.
∫
k · f(x) dx = k ·
∫
f(x) dx, k ∈ R.

Antidiferenciação
Demonstração:

Antidiferenciação
Demonstração:
Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente.
Como

Antidiferenciação
Demonstração:
Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função
f + g. Então,

Antidiferenciação
Demonstração:
Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função
f + g. Então,
∫
[f(x) + g(x)] dx = [F(x) + G(x)] + C
= [F(x) + C1] + [G(x) + C2]
=
∫
f(x) dx +
∫
g(x) dx.

Antidiferenciação
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois

Antidiferenciação
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).

Antidiferenciação
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).
Segue que,

Antidiferenciação
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).
Segue que,
∫
kf(x) dx = kF(x) + C
= k[F(x) + C/k] = k
∫
f(x) dx.

Antidiferenciação
Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons-
tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função,
multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da
soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma
das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado.

Antidiferenciação
Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons-
tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função,
multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da
soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma
das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado.
O resultado seguinte, de prova análoga, estende para um número qualquer de funções.

Antidiferenciação
Theorem 1.
Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então

Antidiferenciação
Theorem 1.
Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então
∫
[C1f1(x) ± . . . ± Cnfn(x)] dx
= C1
∫
f1(x) dx ± . . . ± Cn
∫
fn(x) dx,
em que C1, . . . , Cn são constantes.

Antidiferenciação
Example 2.
Determine:
a)
∫
[ex
+ cos(x)] dx
b)
∫
√
x
[
x +
1
x
]
dx
c)
∫
2x3 + 1
x2
dx
d)
∫
x2
x2 + 1
dx
e)
∫
(5x4
− 8x3
+ x2
) dx
f)
∫
1
√
1 − x2
− 2 sin(x) dx
g)
∫
2 cot(x) − 3 sin2
(x)
sin(x)
dx
h)
∫
[
tan2
(x) − cot2
(x)
]
dx
i)
∫
[
3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2
(x)
]
dx

Antidiferenciação
Solução:

Antidiferenciação
Solução:
(a)
∫
[ex
+ cos(x)] dx =
∫
ex
dx +
∫
cos(x) dx
= ex
+ C1 + sin(x) + C2
= ex
+ sin(x) + C

Antidiferenciação
Solução:
(b)
∫
√
x
(
x +
1
x
)
dx =
∫
x
1
2
(
x + x−1
)
dx
=
∫ (
x
3
2 + x− 1
2
)
dx =
∫
x
3
2 dx +
∫
x− 1
2 dx
=
x
5
2
5
2
+
x
1
2
1
2
+ C =
2
5
x2√
x + 2
√
x + C

Antidiferenciação
Solução:
(c)
∫
2x3 + 1
x2
dx =
∫
2x3
x2
dx +
∫
1
x2
dx
= 2
∫
x dx +
∫
x−2
dx
= 2 ·
1
2
x2
+ C1 +
x−1
−1
+ C2
= x2
−
1
x
+ C

Antidiferenciação
Solução:
(d)
∫
x2
x2 + 1
dx =
∫
x2 + 1 − 1
x2 + 1
=
∫
x2 + 1
x2 + 1
dx −
∫
1
x2 + 1
dx
=
∫
dx −
∫
1
x2 + 1
dx
= x − arctan(x) + C

Antidiferenciação
Solução:
(e)
∫
(5x4
− 8x3
+ 3x2
+ 7) dx
= 5 ·
1
5
x5
− 8 ·
1
4
x4
+ 3 ·
1
3
x3
+ 7x
= x5
− 2x4
+ x3
+ 7x + C

Antidiferenciação
Solução:
(f)
∫
1
√
1 − x2
− 2 sin(x) dx
=
∫
1
√
1 − x2
dx − 2
∫
sin(x) dx
= arcsin(x) + C1 − 2[− cos(x)] + C2
= arcsin(x) + 2 cos(x) + C

Antidiferenciação
Solução:
(g)
∫
2 cot(x) − 3 sin2
(x)
sin(x)
dx
= 2
∫
1
sin(x)
· cot(x) dx − 3
∫
sin2
(x)
sin(x)
dx
= 2
∫
csc(x) · cot(x) dx − 3
∫
sin(x) dx
= 2(− csc(x)) − 3(− cos(x))
= 3 cos(x) − 2 csc(x) + C

Antidiferenciação
Solução:
(h)
∫
[
tan2
(x) − cot2
(x)
]
dx
=
∫ (
[sec2
−1] − [csc2
(x) − 1]
)
dx
=
∫
sec2
(x) dx −
∫
csc2
(x) dx
= tan(x) + cot(x) + C

Antidiferenciação
Solução:
(i)
∫
[
3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2
(x)
]
dx
= 3
∫
sec(x) · tan(x) dx − 5
∫
csc2
(x) dx
= 3 sec(x) − 5(− cot(x)) + C
= 3 sec(x) cot(x) + C

Antidiferenciação
Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).

Antidiferenciação
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).
As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais
envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes:

Antidiferenciação
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).
As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais
envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes:
a) csc(x) =
1
sin(x)
b) tan(x) =
sin(x)
cos(x)
c) cot(x) =
1
tan(x)
d) 1 + cot2(x) = csc2(x)
e) sec(x) =
1
cos(x)
f) cot(x) =
cos(x)
sin(x)

Antidiferenciação
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!

Antidiferenciação
Impossibilidades
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.

Antidiferenciação
Impossibilidades
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
Deste modo, se supusermos que

Antidiferenciação
Impossibilidades
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
∫
f(x) · g(x) dx =
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx,

Antidiferenciação
Impossibilidades
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
∫
f(x) · g(x) dx =
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx,
vamos ter:

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e esta primitiva tem grau 3.

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual
ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente,

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual
ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente,
∫
[f(x) · g(x)] dx ̸=
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx.

Antidiferenciação
Impossibilidades
O mesmo vale para o quociente, ou seja,

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
f(x)
g(x)
dx ̸=
∫
f(x) dx
∫
g(x) dx
.

Antidiferenciação
Impossibilidades
∫
f(x)
g(x)
dx ̸=
∫
f(x) dx
∫
g(x) dx
.
Verifique que
∫
(x2
/x3
) dx ̸=
∫
x2
dx/
∫
x3
dx.

Antidiferenciação
Impossibilidades
Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e,
consequentemente, integral indefinida?

Antidiferenciação
Impossibilidades
A resposta a esta questão é negativa.

Antidiferenciação
Impossibilidades
Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar
e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de
funções elementares.

Antidiferenciação
Impossibilidades
Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar
e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de
funções elementares.
Por exemplo, a integral
∫
e−x2
dx (existem outros exemplos que serão vistos).

Antidiferenciação
Exemplos
Conforme o Teorema 1,temos que:

Antidiferenciação
Exemplos
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.

Antidiferenciação
Exemplos
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.
Isto permite estabelecer algumas relações imediatas entre determinadas funções deriva-
das e sua integral indefinida.

Antidiferenciação
Exemplos
Derivada Integral Indefinida
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C

Antidiferenciação
Exemplos
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C
A relação na segunda linha da tabela é
chamada de regra da potência para
integral indefinida. Entretanto, é ne-
cessário que tenhamos n ̸= −1.

Antidiferenciação
Exemplos
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C
A relação na segunda linha da tabela é
chamada de regra da potência para
integral indefinida. Entretanto, é ne-
cessário que tenhamos n ̸= −1.
Veja no exemplos a seguir que frequen-
temente é preciso modificar a forma de
um integrando para aplicar a regra da
potência ou uma identidade trigono-
métrica.

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(a)
∫
4
√
x7 dx =
∫
x
7
4 dx =
x
7
4
+1
7
4 + 1
+ C =
4
11
x
11
4 + C

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(b)
∫
x3
· x2
dx =
∫
x5
dx =
x5+1
5 + 1
=
1
6
x6
+ C

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(c)
∫
1
x2
dx =
∫
x−2
dx =
x−2+1
−2 + 1
= −
1
x
+ C

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(d)
∫
3
√
x dx =
∫
x
1
3 dx =
x
1
3
+1
1
3 + 1
=
3
4
x
4
3 + C

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx =
∫
cos(x) ·
sin(x)
cos(x)
dx =
∫
sin(x) dx = − cos(x) + C

Antidiferenciação
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
=
∫
sec(u) · tan(u) du = sec(u) + C

Antidiferenciação
Exemplos
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.

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