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Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
12 de julho de 2022
Prof.: Paulo Henrique
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função.
Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades
e métodos analíticos para determiná-la.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função.
Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades
e métodos analíticos para determiná-la.
O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de
variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter-
minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função.
Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades
e métodos analíticos para determiná-la.
O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de
variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter-
minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea.
O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de
uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação
ou integração.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Antidiferenciação
Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função.
Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades
e métodos analíticos para determiná-la.
O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de
variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter-
minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea.
O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de
uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação
ou integração.
Partindo de uma função derivável f, podemos obter sua função derivada f′. O que
iremos desenvolver é o processo inverso da derivada, ou seja, determinar, a partir de
uma função f(x), a função F(x) tal que F′(x) = f(x). Este processo é chamado de
antidiferenciação.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Definition 1.
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas
definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se,
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Definition 1.
Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas
definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se,
F′
(x) = f(x), ∀ x ∈ I. (1)
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2.
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x)
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2
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A Integral Indefinida
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2
= x2
.
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As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função
F(x) =
1
3
x3.
De fato,
F′
(x) =
1
3
(x3
)′
=
1

3

3x2
= x2
. = f(x).
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
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As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).
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As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica
subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo.
Assim,
a) F(x) =
x4
4
é uma primitiva de f(x) = x3, pois
(
x4
4
)′
= x3.
b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois
(
x5
)′
= 5x4.
c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′
= ex.
d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′
= cos(x).
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Observe que:
F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) =
[sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R;
F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x),
∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero;
F1(x) − F2(x) = C1 − C2.
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Propriedades Operatórias
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Observe que:
F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) =
[sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R;
F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x),
∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero;
F1(x) − F2(x) = C1 − C2.
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Observe que:
F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) =
[sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R;
F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x),
∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero;
F1(x) − F2(x) = C1 − C2.
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Propriedades Operatórias
A Integral Indefinida
Observe que:
F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) =
[sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R;
F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x),
∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero;
F1(x) − F2(x) = C1 − C2.
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Intuitivamente, podemos concluir que existem infinitas primitivas para uma dada função
e que a diferença entre duas primitivas de uma mesma função é uma constante. Forma-
lizemos e demonstremos estas duas afirmações. Formalizemos essas ideias.
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Theorem 1.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C,
∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I.
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Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Theorem 1.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C,
∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I.
Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas
destas e a função constante possui derivada nula, temos que:
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Formalizando estes resultados
Theorem 1.
Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C,
∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I.
Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas
destas e a função constante possui derivada nula, temos que:
[F(x) + C]′
= F′
(x) + C′
= f(x), ∀ x ∈ I.
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Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma
constante, ou seja,
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Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma
constante, ou seja,
Corollary 1.
Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante.
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Formalizando estes resultados
Corollary 1.
Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante.
Demonstração: Considere a e b, a  b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se
f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo
Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que:
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Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Corollary 1.
Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante.
Demonstração: Considere a e b, a  b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se
f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo
Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que:
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
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Corollary 1.
Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante.
Demonstração: Considere a e b, a  b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se
f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo
Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que:
f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
Como f′(c) = 0, segue que f(b) = f(a). Como a  b são arbitrários, f só pode ser uma
função constante.
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Theorem 1.
Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então
existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I.
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Theorem 1.
Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então
existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I.
Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e,
por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′
2(x) = F′
1(x) = f(x). Portanto,
F′(x) = F′
2(x) − F′
1(x) = f(x) − f(x) = 0.
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Formalizando estes resultados
Theorem 1.
Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então
existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I.
Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e,
por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′
2(x) = F′
1(x) = f(x). Portanto,
F′(x) = F′
2(x) − F′
1(x) = f(x) − f(x) = 0.
Pelo Corolário anterior, F só pode ser uma constante, ou seja, existe C ∈ R tal que
F(x) = C.
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:
Definition 1.
A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família
de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por
∫
f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:
Definition 1.
A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família
de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por
∫
f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I.
A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função
é encontrada. Se
d
dx
(F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x),
obtém-se as antiderivadas F(x) + C.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:
Definition 1.
A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família
de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por
∫
f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I.
A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função
é encontrada. Se
d
dx
(F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x),
obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva-
lência:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir:
Definition 1.
A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família
de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por
∫
f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I.
A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função
é encontrada. Se
d
dx
(F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x),
obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva-
lência:
d
dx
[F(x)] = f(x) ⇔
∫
f(x) dx = F(x) + C.
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As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
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Propriedades Operatórias
Formalizando estes resultados
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
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Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
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Formalizando estes resultados
Quando escrevemos
∫
f(x) dx = F(x) + C1, temos que:
a.
∫
é chamado de sinal de integração.
b. f(x) é chamado de integrando.
c. C é chamado de constante de integração.
d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando.
e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando
se integra, mas um conjunto (uma família) de funções.
1
Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675
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Geometricamente, a integral indefinida é um conjunto ou família de curvas que se obtém
pelo deslocamento de uma primitiva qualquer sobre o eixo Oy.
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de
parábolas com eixo de simetria em Oy.
Observe o gráfico em que temos alguns dos
elementos da família obtidos para os valo-
res C = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.
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As primitivas para a integral indefinida
∫
2x dx formam uma família de parábolas com
eixo de simetria em no eixo das ordenadas Oy. Acima, temos o gráfico de algumas
curvas desta família, para alguns valores da constante C.
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O resultado a seguir estabelece que diferenciação e integração indefinida são processos
inversos porque, de certo modo, um desfaz o outro.
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Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x);
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;
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Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x);
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;
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Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;
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Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C;
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função
integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral
indefinida)
b) d
(∫
f(x) dx
)
= f(x) dx;
c)
[∫
f′
(x) dx
]
= f(x) + C; (A integral indefinida da derivada de uma função é igual
a função integrando)
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo:
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Propriedades Operatórias
Propriedades da Integração
Demonstração:
a)
d
dx
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(F(x) + C) = F′(x) = f(x).
b) d
(∫
f(x) dx
)
=
d
dx
(∫
f(x) dx
)
dx = f(x) dx.
c) Imediata.
Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo:
d
dx
[∫
(3x − 2) dx
]
= 3x − 2 e
d
du
∫
e4u
du = e4u
.
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então
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A Integral Indefinida
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então
a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição
(subtração) de suas integrais.
b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à
multiplicação da constante pela integral indefinida da função.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então
a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição
(subtração) de suas integrais.
∫
[f(x) ± g(x)] dx =
∫
f(x) dx ±
∫
g(x) dx.
b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à
multiplicação da constante pela integral indefinida da função.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então
a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição
(subtração) de suas integrais.
∫
[f(x) ± g(x)] dx =
∫
f(x) dx ±
∫
g(x) dx.
b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à
multiplicação da constante pela integral indefinida da função.
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A Integral Indefinida
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então
a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição
(subtração) de suas integrais.
∫
[f(x) ± g(x)] dx =
∫
f(x) dx ±
∫
g(x) dx.
b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à
multiplicação da constante pela integral indefinida da função.
∫
k · f(x) dx = k ·
∫
f(x) dx, k ∈ R.
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Propriedades Operatórias
Demonstração:
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Propriedades Operatórias
Demonstração:
Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente.
Como
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Demonstração:
Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente.
Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função
f + g. Então,
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Propriedades Operatórias
Demonstração:
Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente.
Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função
f + g. Então,
∫
[f(x) + g(x)] dx = [F(x) + G(x)] + C
= [F(x) + C1] + [G(x) + C2]
=
∫
f(x) dx +
∫
g(x) dx.
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois
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Propriedades Operatórias
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).
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Propriedades Operatórias
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).
Segue que,
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois
(kF(x))′
= kF′
(x) = kf(x).
Segue que,
∫
kf(x) dx = kF(x) + C
= k[F(x) + C/k] = k
∫
f(x) dx.
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons-
tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função,
multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da
soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma
das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado.
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons-
tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função,
multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da
soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma
das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado.
O resultado seguinte, de prova análoga, estende para um número qualquer de funções.
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Theorem 1.
Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então
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Propriedades Operatórias
Theorem 1.
Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então
∫
[C1f1(x) ± . . . ± Cnfn(x)] dx
= C1
∫
f1(x) dx ± . . . ± Cn
∫
fn(x) dx,
em que C1, . . . , Cn são constantes.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Example 2.
Determine:
a)
∫
[ex
+ cos(x)] dx
b)
∫
√
x
[
x +
1
x
]
dx
c)
∫
2x3 + 1
x2
dx
d)
∫
x2
x2 + 1
dx
e)
∫
(5x4
− 8x3
+ x2
) dx
f)
∫
1
√
1 − x2
− 2 sin(x) dx
g)
∫
2 cot(x) − 3 sin2
(x)
sin(x)
dx
h)
∫
[
tan2
(x) − cot2
(x)
]
dx
i)
∫
[
3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2
(x)
]
dx
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(a)
∫
[ex
+ cos(x)] dx =
∫
ex
dx +
∫
cos(x) dx
= ex
+ C1 + sin(x) + C2
= ex
+ sin(x) + C
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(b)
∫
√
x
(
x +
1
x
)
dx =
∫
x
1
2
(
x + x−1
)
dx
=
∫ (
x
3
2 + x− 1
2
)
dx =
∫
x
3
2 dx +
∫
x− 1
2 dx
=
x
5
2
5
2
+
x
1
2
1
2
+ C =
2
5
x2√
x + 2
√
x + C
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(c)
∫
2x3 + 1
x2
dx =
∫
2x3
x2
dx +
∫
1
x2
dx
= 2
∫
x dx +
∫
x−2
dx
= 2 ·
1
2
x2
+ C1 +
x−1
−1
+ C2
= x2
−
1
x
+ C
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A Integral Indefinida
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Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(d)
∫
x2
x2 + 1
dx =
∫
x2 + 1 − 1
x2 + 1
=
∫
x2 + 1
x2 + 1
dx −
∫
1
x2 + 1
dx
=
∫
dx −
∫
1
x2 + 1
dx
= x − arctan(x) + C
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Antidiferenciação
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(e)
∫
(5x4
− 8x3
+ 3x2
+ 7) dx
= 5 ·
1
5
x5
− 8 ·
1
4
x4
+ 3 ·
1
3
x3
+ 7x
= x5
− 2x4
+ x3
+ 7x + C
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(f)
∫
1
√
1 − x2
− 2 sin(x) dx
=
∫
1
√
1 − x2
dx − 2
∫
sin(x) dx
= arcsin(x) + C1 − 2[− cos(x)] + C2
= arcsin(x) + 2 cos(x) + C
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(g)
∫
2 cot(x) − 3 sin2
(x)
sin(x)
dx
= 2
∫
1
sin(x)
· cot(x) dx − 3
∫
sin2
(x)
sin(x)
dx
= 2
∫
csc(x) · cot(x) dx − 3
∫
sin(x) dx
= 2(− csc(x)) − 3(− cos(x))
= 3 cos(x) − 2 csc(x) + C
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A Integral Indefinida
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(h)
∫
[
tan2
(x) − cot2
(x)
]
dx
=
∫ (
[sec2
−1] − [csc2
(x) − 1]
)
dx
=
∫
sec2
(x) dx −
∫
csc2
(x) dx
= tan(x) + cot(x) + C
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Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Solução:
(i)
∫
[
3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2
(x)
]
dx
= 3
∫
sec(x) · tan(x) dx − 5
∫
csc2
(x) dx
= 3 sec(x) − 5(− cot(x)) + C
= 3 sec(x) cot(x) + C
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).
As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais
envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Propriedades Operatórias
Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades
1 + tan2
(x) = sec2
(x) e 1 + cot2
(x) = csc2
(x).
As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais
envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes:
a) csc(x) =
1
sin(x)
b) tan(x) =
sin(x)
cos(x)
c) cot(x) =
1
tan(x)
d) 1 + cot2(x) = csc2(x)
e) sec(x) =
1
cos(x)
f) cot(x) =
cos(x)
sin(x)
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
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A Integral Indefinida
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
Deste modo, se supusermos que
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
Deste modo, se supusermos que
∫
f(x) · g(x) dx =
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx,
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A Integral Indefinida
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas
não é!
Temos que
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e que
∫
x dx =
x2
2
+ C.
Deste modo, se supusermos que
∫
f(x) · g(x) dx =
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx,
vamos ter:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e esta primitiva tem grau 3.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e esta primitiva tem grau 3.
Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual
ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente,
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
∫
x2
dx =
∫
(x · x) dx =
∫
x dx ·
∫
x dx
=
(
x2
2
+ C1
)
·
(
x2
2
+ C1
)
Um absurdo, pois
∫
x2
dx =
x3
3
+ C e esta primitiva tem grau 3.
Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual
ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente,
∫
[f(x) · g(x)] dx ̸=
∫
f(x) dx ·
∫
g(x) dx.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
O mesmo vale para o quociente, ou seja,
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
O mesmo vale para o quociente, ou seja,
∫
f(x)
g(x)
dx ̸=
∫
f(x) dx
∫
g(x) dx
.
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Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
O mesmo vale para o quociente, ou seja,
∫
f(x)
g(x)
dx ̸=
∫
f(x) dx
∫
g(x) dx
.
Verifique que
∫
(x2
/x3
) dx ̸=
∫
x2
dx/
∫
x3
dx.
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e,
consequentemente, integral indefinida?
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e,
consequentemente, integral indefinida?
A resposta a esta questão é negativa.
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e,
consequentemente, integral indefinida?
A resposta a esta questão é negativa.
Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar
e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de
funções elementares.
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Interpretação Geométrica da Integral Indefinida
Propriedades da Integração
Propriedades Operatórias
Impossibilidades
Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e,
consequentemente, integral indefinida?
A resposta a esta questão é negativa.
Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar
e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de
funções elementares.
Por exemplo, a integral
∫
e−x2
dx (existem outros exemplos que serão vistos).
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Conforme o Teorema 1,temos que:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Conforme o Teorema 1,temos que:
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Conforme o Teorema 1,temos que:
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.
Isto permite estabelecer algumas relações imediatas entre determinadas funções deriva-
das e sua integral indefinida.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Derivada Integral Indefinida
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Derivada Integral Indefinida
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C
A relação na segunda linha da tabela é
chamada de regra da potência para
integral indefinida. Entretanto, é ne-
cessário que tenhamos n ̸= −1.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
As Primeiras Integrais Imediatas
Derivada Integral Indefinida
f′
(x)
∫
f
′
(x)dx = f(x) + C
x′
= 1
∫
dx = x + C
(
xn+1
n + 1
)′
= xn
∫
x
n
dx =
xn+1
n + 1
+ C, n ̸= −1
(ln(x))′
=
1
x
∫
1
x
dx = ln |x| + C
(ax
)′
= ax
· ln(a)
∫
a
x
dx =
ax
ln(a)
+ C
(ex
)′
= ex
∫
e
x
dx = ex
+ C
A relação na segunda linha da tabela é
chamada de regra da potência para
integral indefinida. Entretanto, é ne-
cessário que tenhamos n ̸= −1.
Veja no exemplos a seguir que frequen-
temente é preciso modificar a forma de
um integrando para aplicar a regra da
potência ou uma identidade trigono-
métrica.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
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Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(a)
∫
4
√
x7 dx =
∫
x
7
4 dx =
x
7
4
+1
7
4 + 1
+ C =
4
11
x
11
4 + C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(b)
∫
x3
· x2
dx =
∫
x5
dx =
x5+1
5 + 1
=
1
6
x6
+ C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
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A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(c)
∫
1
x2
dx =
∫
x−2
dx =
x−2+1
−2 + 1
= −
1
x
+ C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(d)
∫
3
√
x dx =
∫
x
1
3 dx =
x
1
3
+1
1
3 + 1
=
3
4
x
4
3 + C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx =
∫
cos(x) ·
sin(x)
cos(x)
dx =
∫
sin(x) dx = − cos(x) + C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Exemplos
Example 2.
Determine:
a)
∫
4
√
x7 dx;
b)
∫
x3
· x2
dx;
c)
∫
1
x2
dx;
d)
∫
3
√
x dx;
e)
∫
tan(x)
sec(x)
dx;
f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
.
Solução:
(f)
∫
du
cos(u) · cot(u)
=
∫
sec(u) · tan(u) du = sec(u) + C
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
Antidiferenciação
A Integral Indefinida
As Primeiras Integrais Imediatas
Exemplos
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022

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  • 1. Cálculo Diferencial e Integral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 12 de julho de 2022 Prof.: Paulo Henrique
  • 2. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Antidiferenciação 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 3. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Antidiferenciação Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função. Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades e métodos analíticos para determiná-la. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 4. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Antidiferenciação Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função. Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades e métodos analíticos para determiná-la. O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter- minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 5. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Antidiferenciação Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função. Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades e métodos analíticos para determiná-la. O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter- minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea. O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação ou integração. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 6. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Antidiferenciação Existe uma estreita relação entre os conceitos da derivada e o da integral de uma função. Para entendermos, apresentaremos a definição de integral indefinida, suas propriedades e métodos analíticos para determiná-la. O Cálculo Diferencial lida com problemas cuja solução está em determinar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra e o estudo do Cálculo Integral em deter- minar a relação entre duas variáveis se conhecida a sua taxa de variação instantânea. O método inicial aplicado no estudo do cálculo integral é o de obter a antiderivada de uma função e, em seguida, desenvolve-se algumas regras para o processo de antiderivação ou integração. Partindo de uma função derivável f, podemos obter sua função derivada f′. O que iremos desenvolver é o processo inverso da derivada, ou seja, determinar, a partir de uma função f(x), a função F(x) tal que F′(x) = f(x). Este processo é chamado de antidiferenciação. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 7. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Definition 1. Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 8. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Definition 1. Uma função F é chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f, ambas definidas em um intervalo I ⊆ R, se, e somente se, F′ (x) = f(x), ∀ x ∈ I. (1) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 9. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 10. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 11. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. De fato, F′ (x) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 12. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. De fato, F′ (x) = 1 3 (x3 )′ 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 13. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. De fato, F′ (x) = 1 3 (x3 )′ = 1 3 3x2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 14. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. De fato, F′ (x) = 1 3 (x3 )′ = 1 3 3x2 = x2 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 15. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Por exemplo: Seja f(x) = x2. Uma primitiva para esta função, em R, é a função F(x) = 1 3 x3. De fato, F′ (x) = 1 3 (x3 )′ = 1 3 3x2 = x2 . = f(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 16. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 17. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. Assim, a) F(x) = x4 4 é uma primitiva de f(x) = x3, pois ( x4 4 )′ = x3. b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois ( x5 )′ = 5x4. c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′ = ex. d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′ = cos(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 18. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. Assim, a) F(x) = x4 4 é uma primitiva de f(x) = x3, pois ( x4 4 )′ = x3. b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois ( x5 )′ = 5x4. c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′ = ex. d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′ = cos(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 19. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. Assim, a) F(x) = x4 4 é uma primitiva de f(x) = x3, pois ( x4 4 )′ = x3. b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois ( x5 )′ = 5x4. c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′ = ex. d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′ = cos(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 20. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. Assim, a) F(x) = x4 4 é uma primitiva de f(x) = x3, pois ( x4 4 )′ = x3. b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois ( x5 )′ = 5x4. c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′ = ex. d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′ = cos(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 21. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Dadas duas primitivas de uma função f e cujos domínios não foram explicitados fica subentendido que ambas estão definidas no mesmo intervalo. Assim, a) F(x) = x4 4 é uma primitiva de f(x) = x3, pois ( x4 4 )′ = x3. b) F(x) = x5 é uma primitiva de f(x) = 5x4, pois ( x5 )′ = 5x4. c) F(x) = ex é uma primitiva de f(x) = ex, pois (ex)′ = ex. d) F(x) = cos(x) é uma primitiva de f(x) = sin(x), pois [sin(x)]′ = cos(x). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 22. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Observe que: F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) = [sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R; F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero; F1(x) − F2(x) = C1 − C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 23. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Observe que: F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) = [sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R; F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero; F1(x) − F2(x) = C1 − C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 24. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Observe que: F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) = [sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R; F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero; F1(x) − F2(x) = C1 − C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 25. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Observe que: F(x) = sin(x) é uma primitiva de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que F′(x) = [sin(x)]′ = cos(x), ∀ x ∈ R; F1(x) = sin(x)+C1 e F2(x) = sin(x)+C2 são, também, primitivas de f(x) = cos(x), ∀ x ∈ R, uma vez que a derivada de uma função constante é a função zero; F1(x) − F2(x) = C1 − C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 26. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias A Integral Indefinida Intuitivamente, podemos concluir que existem infinitas primitivas para uma dada função e que a diferença entre duas primitivas de uma mesma função é uma constante. Forma- lizemos e demonstremos estas duas afirmações. Formalizemos essas ideias. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 27. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C, ∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 28. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C, ∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I. Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas destas e a função constante possui derivada nula, temos que: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 29. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F(x) é uma primitiva de f(x), então, para qualquer C ∈ R, a função F(x) + C, ∀ x ∈ I, é também uma primitiva de f(x), ∀ x ∈ I. Demonstração: Como a derivada da adição de funções é igual à adição das derivadas destas e a função constante possui derivada nula, temos que: [F(x) + C]′ = F′ (x) + C′ = f(x), ∀ x ∈ I. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 30. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma constante, ou seja, 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 31. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Como consequência temos que duas primitivas de uma função diferem apenas de uma constante, ou seja, Corollary 1. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 32. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Corollary 1. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante. Demonstração: Considere a e b, a b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 33. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Corollary 1. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante. Demonstração: Considere a e b, a b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que: f′ (c) = f(b) − f(a) b − a . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 34. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Corollary 1. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, então f é uma função constante. Demonstração: Considere a e b, a b, dois pontos pertencentes ao intervalo I. Se f′(x) = 0, ∀ x ∈ I, significa que f é derivável em I e, portanto, contínua em [a, b]. Pelo Teorema do Valor Médio, ∃ c ∈ (a, b) tal que: f′ (c) = f(b) − f(a) b − a . Como f′(c) = 0, segue que f(b) = f(a). Como a b são arbitrários, f só pode ser uma função constante. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 35. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 36. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I. Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e, por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′ 2(x) = F′ 1(x) = f(x). Portanto, F′(x) = F′ 2(x) − F′ 1(x) = f(x) − f(x) = 0. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 37. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Theorem 1. Se F1(x) e F2(x) são primitivas de uma mesma função f no intervalo I, então existe uma constante C tal que F2(x) − F1(x) = C, ∀ x ∈ I. Demonstração: Como F1 e F2 são funções, podemos escrever: F2(x)−F1(x) = F(x) e, por se tratarem de primitivas de uma mesma função f, F′ 2(x) = F′ 1(x) = f(x). Portanto, F′(x) = F′ 2(x) − F′ 1(x) = f(x) − f(x) = 0. Pelo Corolário anterior, F só pode ser uma constante, ou seja, existe C ∈ R tal que F(x) = C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 38. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 39. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir: Definition 1. A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por ∫ f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 40. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir: Definition 1. A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por ∫ f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I. A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função é encontrada. Se d dx (F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x), obtém-se as antiderivadas F(x) + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 41. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir: Definition 1. A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por ∫ f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I. A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função é encontrada. Se d dx (F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x), obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva- lência: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 42. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados O conceito de integral indefinida é, então, formalizado como a seguir: Definition 1. A integral indefinida de uma função f, definida em um intervalo real I, é a família de funções F + C, C ∈ R, que denotamos por ∫ f(x) dx tais que [F(x)]′ = f(x), ∀ x ∈ I. A integração ou antidiferenciação é o processo pelo qual a primitiva de uma função é encontrada. Se d dx (F(x)) = f(x), então integrando-se ou antidiferenciando-se f(x), obtém-se as antiderivadas F(x) + C. Torna-se, portanto, verdadeira a seguinte equiva- lência: d dx [F(x)] = f(x) ⇔ ∫ f(x) dx = F(x) + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 43. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 44. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: a. ∫ é chamado de sinal de integração. b. f(x) é chamado de integrando. c. C é chamado de constante de integração. d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando. e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra, mas um conjunto (uma família) de funções. 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 45. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: a. ∫ é chamado de sinal de integração. b. f(x) é chamado de integrando. c. C é chamado de constante de integração. d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando. e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra, mas um conjunto (uma família) de funções. 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 46. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: a. ∫ é chamado de sinal de integração. b. f(x) é chamado de integrando. c. C é chamado de constante de integração. d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando. e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra, mas um conjunto (uma família) de funções. 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 47. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: a. ∫ é chamado de sinal de integração. b. f(x) é chamado de integrando. c. C é chamado de constante de integração. d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando. e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra, mas um conjunto (uma família) de funções. 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 48. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Formalizando estes resultados Quando escrevemos ∫ f(x) dx = F(x) + C1, temos que: a. ∫ é chamado de sinal de integração. b. f(x) é chamado de integrando. c. C é chamado de constante de integração. d. dx serve para identificar a variável independente da função integrando. e. O adjetivo “indefinida” estabelece que não se encontra uma função definida quando se integra, mas um conjunto (uma família) de funções. 1 Esta notação para a integral foi dada por Leibniz em 1675 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 49. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Geometricamente, a integral indefinida é um conjunto ou família de curvas que se obtém pelo deslocamento de uma primitiva qualquer sobre o eixo Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 50. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 51. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 52. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 53. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 54. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 55. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 56. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 57. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 58. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 59. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Por exemplo, para f(x) = 2x a família de primitivas F(x) = x2 + C é uma família de parábolas com eixo de simetria em Oy. Observe o gráfico em que temos alguns dos elementos da família obtidos para os valo- res C = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 60. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Interpretação Geométrica da Integral Indefinida As primitivas para a integral indefinida ∫ 2x dx formam uma família de parábolas com eixo de simetria em no eixo das ordenadas Oy. Acima, temos o gráfico de algumas curvas desta família, para alguns valores da constante C. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 61. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração O resultado a seguir estabelece que diferenciação e integração indefinida são processos inversos porque, de certo modo, um desfaz o outro. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 62. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 63. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 64. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida) b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 65. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida) b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 66. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida) b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 67. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G, e C, K ∈ R. Então a) d dx (∫ f(x) dx ) = f(x); (A derivada de uma integral indefinida é igual a função integrando (observe que o resultado vem da própria definição de integral indefinida) b) d (∫ f(x) dx ) = f(x) dx; c) [∫ f′ (x) dx ] = f(x) + C; (A integral indefinida da derivada de uma função é igual a função integrando) 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 68. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Demonstração: a) d dx (∫ f(x) dx ) = d dx (F(x) + C) = F′(x) = f(x). b) d (∫ f(x) dx ) = d dx (∫ f(x) dx ) dx = f(x) dx. c) Imediata. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 69. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Demonstração: a) d dx (∫ f(x) dx ) = d dx (F(x) + C) = F′(x) = f(x). b) d (∫ f(x) dx ) = d dx (∫ f(x) dx ) dx = f(x) dx. c) Imediata. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 70. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Demonstração: a) d dx (∫ f(x) dx ) = d dx (F(x) + C) = F′(x) = f(x). b) d (∫ f(x) dx ) = d dx (∫ f(x) dx ) dx = f(x) dx. c) Imediata. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 71. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Demonstração: a) d dx (∫ f(x) dx ) = d dx (F(x) + C) = F′(x) = f(x). b) d (∫ f(x) dx ) = d dx (∫ f(x) dx ) dx = f(x) dx. c) Imediata. Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 72. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades da Integração Demonstração: a) d dx (∫ f(x) dx ) = d dx (F(x) + C) = F′(x) = f(x). b) d (∫ f(x) dx ) = d dx (∫ f(x) dx ) dx = f(x) dx. c) Imediata. Portanto, conforme o item a) deste Teorema, temos, por exemplo: d dx [∫ (3x − 2) dx ] = 3x − 2 e d du ∫ e4u du = e4u . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 73. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 74. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição (subtração) de suas integrais. b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à multiplicação da constante pela integral indefinida da função. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 75. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição (subtração) de suas integrais. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx. b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à multiplicação da constante pela integral indefinida da função. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 76. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição (subtração) de suas integrais. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx. b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à multiplicação da constante pela integral indefinida da função. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 77. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Sejam f e g são duas funções com respectivas primitivas F e G. Então a) A integral indefinida da adição (subtração) de duas funções é igual à adição (subtração) de suas integrais. ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx. b) A integral indefinida da multiplicação de uma constante por uma função é igual à multiplicação da constante pela integral indefinida da função. ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx, k ∈ R. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 78. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Demonstração: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 79. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Demonstração: Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente. Como 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 80. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Demonstração: Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente. Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função f + g. Então, 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 81. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Demonstração: Sejam F(x) e G(x) duas primitivas quaisquer das funções f(x) e g(x), respectivamente. Como [F(x) + G(x)]′ = F′(x) + G′(x) = f(x) + g(x), F + G é uma primitiva da função f + g. Então, ∫ [f(x) + g(x)] dx = [F(x) + G(x)] + C = [F(x) + C1] + [G(x) + C2] = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 82. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 83. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois (kF(x))′ = kF′ (x) = kf(x). 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 84. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois (kF(x))′ = kF′ (x) = kf(x). Segue que, 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 85. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, kF(x) é uma primitiva de kf(x), pois (kF(x))′ = kF′ (x) = kf(x). Segue que, ∫ kf(x) dx = kF(x) + C = k[F(x) + C/k] = k ∫ f(x) dx. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 86. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons- tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função, multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 87. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Este último resultado estabelece que para determinar uma antiderivada de uma cons- tante multiplicada por uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função, multiplicando-a, em seguida, pela constante. E, para determinar uma antiderivada da soma (ou subtração) de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e, então, somamos (ou subtraímos) o resultado. O resultado seguinte, de prova análoga, estende para um número qualquer de funções. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 88. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 89. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Theorem 1. Se f1, f2, . . ., fn estão definidas num intervalo, então ∫ [C1f1(x) ± . . . ± Cnfn(x)] dx = C1 ∫ f1(x) dx ± . . . ± Cn ∫ fn(x) dx, em que C1, . . . , Cn são constantes. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 90. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Example 2. Determine: a) ∫ [ex + cos(x)] dx b) ∫ √ x [ x + 1 x ] dx c) ∫ 2x3 + 1 x2 dx d) ∫ x2 x2 + 1 dx e) ∫ (5x4 − 8x3 + x2 ) dx f) ∫ 1 √ 1 − x2 − 2 sin(x) dx g) ∫ 2 cot(x) − 3 sin2 (x) sin(x) dx h) ∫ [ tan2 (x) − cot2 (x) ] dx i) ∫ [ 3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2 (x) ] dx 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 91. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 92. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (a) ∫ [ex + cos(x)] dx = ∫ ex dx + ∫ cos(x) dx = ex + C1 + sin(x) + C2 = ex + sin(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 93. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (b) ∫ √ x ( x + 1 x ) dx = ∫ x 1 2 ( x + x−1 ) dx = ∫ ( x 3 2 + x− 1 2 ) dx = ∫ x 3 2 dx + ∫ x− 1 2 dx = x 5 2 5 2 + x 1 2 1 2 + C = 2 5 x2√ x + 2 √ x + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 94. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (c) ∫ 2x3 + 1 x2 dx = ∫ 2x3 x2 dx + ∫ 1 x2 dx = 2 ∫ x dx + ∫ x−2 dx = 2 · 1 2 x2 + C1 + x−1 −1 + C2 = x2 − 1 x + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 95. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (d) ∫ x2 x2 + 1 dx = ∫ x2 + 1 − 1 x2 + 1 = ∫ x2 + 1 x2 + 1 dx − ∫ 1 x2 + 1 dx = ∫ dx − ∫ 1 x2 + 1 dx = x − arctan(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 96. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (e) ∫ (5x4 − 8x3 + 3x2 + 7) dx = 5 · 1 5 x5 − 8 · 1 4 x4 + 3 · 1 3 x3 + 7x = x5 − 2x4 + x3 + 7x + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 97. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (f) ∫ 1 √ 1 − x2 − 2 sin(x) dx = ∫ 1 √ 1 − x2 dx − 2 ∫ sin(x) dx = arcsin(x) + C1 − 2[− cos(x)] + C2 = arcsin(x) + 2 cos(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 98. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (g) ∫ 2 cot(x) − 3 sin2 (x) sin(x) dx = 2 ∫ 1 sin(x) · cot(x) dx − 3 ∫ sin2 (x) sin(x) dx = 2 ∫ csc(x) · cot(x) dx − 3 ∫ sin(x) dx = 2(− csc(x)) − 3(− cos(x)) = 3 cos(x) − 2 csc(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 99. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (h) ∫ [ tan2 (x) − cot2 (x) ] dx = ∫ ( [sec2 −1] − [csc2 (x) − 1] ) dx = ∫ sec2 (x) dx − ∫ csc2 (x) dx = tan(x) + cot(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 100. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Solução: (i) ∫ [ 3 sec(x) · tan(x) − 5 csc2 (x) ] dx = 3 ∫ sec(x) · tan(x) dx − 5 ∫ csc2 (x) dx = 3 sec(x) − 5(− cot(x)) + C = 3 sec(x) cot(x) + C 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 101. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades 1 + tan2 (x) = sec2 (x) e 1 + cot2 (x) = csc2 (x). 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 102. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades 1 + tan2 (x) = sec2 (x) e 1 + cot2 (x) = csc2 (x). As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 103. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Propriedades Operatórias Note que usamos na resolução de algumas das alígneas do exercício as identidades 1 + tan2 (x) = sec2 (x) e 1 + cot2 (x) = csc2 (x). As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos integrais envolvendo funções trigonométricas e listamos, além destas, as seguintes: a) csc(x) = 1 sin(x) b) tan(x) = sin(x) cos(x) c) cot(x) = 1 tan(x) d) 1 + cot2(x) = csc2(x) e) sec(x) = 1 cos(x) f) cot(x) = cos(x) sin(x) 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 104. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas não é! 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 105. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas não é! Temos que ∫ x2 dx = x3 3 + C e que ∫ x dx = x2 2 + C. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 106. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas não é! Temos que ∫ x2 dx = x3 3 + C e que ∫ x dx = x2 2 + C. Deste modo, se supusermos que 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 107. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas não é! Temos que ∫ x2 dx = x3 3 + C e que ∫ x dx = x2 2 + C. Deste modo, se supusermos que ∫ f(x) · g(x) dx = ∫ f(x) dx · ∫ g(x) dx, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 108. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades A seguir vamos ilustrar duas impossibilidades que podemos pensar que é válido. Mas não é! Temos que ∫ x2 dx = x3 3 + C e que ∫ x dx = x2 2 + C. Deste modo, se supusermos que ∫ f(x) · g(x) dx = ∫ f(x) dx · ∫ g(x) dx, vamos ter: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 109. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades ∫ x2 dx = ∫ (x · x) dx = ∫ x dx · ∫ x dx = ( x2 2 + C1 ) · ( x2 2 + C1 ) 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 110. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades ∫ x2 dx = ∫ (x · x) dx = ∫ x dx · ∫ x dx = ( x2 2 + C1 ) · ( x2 2 + C1 ) Um absurdo, pois ∫ x2 dx = x3 3 + C e esta primitiva tem grau 3. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 111. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades ∫ x2 dx = ∫ (x · x) dx = ∫ x dx · ∫ x dx = ( x2 2 + C1 ) · ( x2 2 + C1 ) Um absurdo, pois ∫ x2 dx = x3 3 + C e esta primitiva tem grau 3. Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 112. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades ∫ x2 dx = ∫ (x · x) dx = ∫ x dx · ∫ x dx = ( x2 2 + C1 ) · ( x2 2 + C1 ) Um absurdo, pois ∫ x2 dx = x3 3 + C e esta primitiva tem grau 3. Logo, podemos afirmar que a integral indefinida do produto de duas funções não é igual ao produto das integrais indefinidas de cada função. Simbolicamente, ∫ [f(x) · g(x)] dx ̸= ∫ f(x) dx · ∫ g(x) dx. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 113. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades O mesmo vale para o quociente, ou seja, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 114. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades O mesmo vale para o quociente, ou seja, ∫ f(x) g(x) dx ̸= ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 115. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades O mesmo vale para o quociente, ou seja, ∫ f(x) g(x) dx ̸= ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx . Verifique que ∫ (x2 /x3 ) dx ̸= ∫ x2 dx/ ∫ x3 dx. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 116. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e, consequentemente, integral indefinida? 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 117. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e, consequentemente, integral indefinida? A resposta a esta questão é negativa. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 118. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e, consequentemente, integral indefinida? A resposta a esta questão é negativa. Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de funções elementares. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 119. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Interpretação Geométrica da Integral Indefinida Propriedades da Integração Propriedades Operatórias Impossibilidades Você, a esta altura, pode estar se perguntando: Toda função contínua tem primitiva e, consequentemente, integral indefinida? A resposta a esta questão é negativa. Vale a pena observar que a derivada de uma função elementar é uma função elementar e a primitiva de uma função elementar pode não ser expressa por um número finito de funções elementares. Por exemplo, a integral ∫ e−x2 dx (existem outros exemplos que serão vistos). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 120. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Conforme o Teorema 1,temos que: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 121. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Conforme o Teorema 1,temos que: ∫ f′ (x) dx = f(x) + C. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 122. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Conforme o Teorema 1,temos que: ∫ f′ (x) dx = f(x) + C. Isto permite estabelecer algumas relações imediatas entre determinadas funções deriva- das e sua integral indefinida. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 123. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Derivada Integral Indefinida f′ (x) ∫ f ′ (x)dx = f(x) + C x′ = 1 ∫ dx = x + C ( xn+1 n + 1 )′ = xn ∫ x n dx = xn+1 n + 1 + C, n ̸= −1 (ln(x))′ = 1 x ∫ 1 x dx = ln |x| + C (ax )′ = ax · ln(a) ∫ a x dx = ax ln(a) + C (ex )′ = ex ∫ e x dx = ex + C 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 124. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Derivada Integral Indefinida f′ (x) ∫ f ′ (x)dx = f(x) + C x′ = 1 ∫ dx = x + C ( xn+1 n + 1 )′ = xn ∫ x n dx = xn+1 n + 1 + C, n ̸= −1 (ln(x))′ = 1 x ∫ 1 x dx = ln |x| + C (ax )′ = ax · ln(a) ∫ a x dx = ax ln(a) + C (ex )′ = ex ∫ e x dx = ex + C A relação na segunda linha da tabela é chamada de regra da potência para integral indefinida. Entretanto, é ne- cessário que tenhamos n ̸= −1. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 125. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos As Primeiras Integrais Imediatas Derivada Integral Indefinida f′ (x) ∫ f ′ (x)dx = f(x) + C x′ = 1 ∫ dx = x + C ( xn+1 n + 1 )′ = xn ∫ x n dx = xn+1 n + 1 + C, n ̸= −1 (ln(x))′ = 1 x ∫ 1 x dx = ln |x| + C (ax )′ = ax · ln(a) ∫ a x dx = ax ln(a) + C (ex )′ = ex ∫ e x dx = ex + C A relação na segunda linha da tabela é chamada de regra da potência para integral indefinida. Entretanto, é ne- cessário que tenhamos n ̸= −1. Veja no exemplos a seguir que frequen- temente é preciso modificar a forma de um integrando para aplicar a regra da potência ou uma identidade trigono- métrica. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 126. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 127. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 128. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (a) ∫ 4 √ x7 dx = ∫ x 7 4 dx = x 7 4 +1 7 4 + 1 + C = 4 11 x 11 4 + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 129. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (b) ∫ x3 · x2 dx = ∫ x5 dx = x5+1 5 + 1 = 1 6 x6 + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 130. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (c) ∫ 1 x2 dx = ∫ x−2 dx = x−2+1 −2 + 1 = − 1 x + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 131. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (d) ∫ 3 √ x dx = ∫ x 1 3 dx = x 1 3 +1 1 3 + 1 = 3 4 x 4 3 + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 132. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (e) ∫ tan(x) sec(x) dx = ∫ cos(x) · sin(x) cos(x) dx = ∫ sin(x) dx = − cos(x) + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 133. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Exemplos Example 2. Determine: a) ∫ 4 √ x7 dx; b) ∫ x3 · x2 dx; c) ∫ 1 x2 dx; d) ∫ 3 √ x dx; e) ∫ tan(x) sec(x) dx; f) ∫ du cos(u) · cot(u) . Solução: (f) ∫ du cos(u) · cot(u) = ∫ sec(u) · tan(u) du = sec(u) + C 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022
  • 134. Antidiferenciação A Integral Indefinida As Primeiras Integrais Imediatas Exemplos Referências M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo A. Pearson Education, 5 edition, 2007. H. L. Guidorizzi. Um curso de cálculo, volume 1. Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000. A. Howard. Cálculo, um novo horizonte, volume 1. Bookman, Porto Alegre, 2000. E. L. Lima. Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2000. J. Stewart. Cálculo, volume 1. Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 12 de julho de 2022