Resolução da lista 3

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Resolução da lista 3

  1. 1. Resolução da Lista 3 de FF-20701. Se L é uma Lagrangeana para um sistema de n graus de liberdade satisfazendo as equações de Euler-Lagrange, mostre por substituição direta que: Também satisfaz as equações de Euler-Lagrange onde F é uma função qualquer arbitrária, mas diferenciável de seus argumentos. SOLUÇÃO: Da hipótese, temos que: Fazendo a substituição direta, vamos calcular: Da equação (1), temos: Como F é uma função diferenciável, temos:
  2. 2. Substituindo a equação (3), temos: Como F é diferenciável, temos que suas derivadas mistas de 2ª ordem são iguais, o que garante que também satisfaz as equações de Euler-Lagrange.02. Seja um conjunto independente de coordenadas generalizadas para um sistema com n graus de liberdade, com Lagrangeana . Suponha que transformamos para um outro conjunto de coordenadas independentes através de equações de transformação: Mostre que se a Lagrangeana é expressa como função de através de equações de transformação. Então, satisfaz as equações de Euler-Lagrange com relação às coordenadas : Em outras palavras, as equações de Euler-Lagrange são invariantes sobre uma transformação de ponto. SOLUÇÃO: Da hipótese, temos que:
  3. 3. Usando as definições de diferencial de campos compostos, temos asseguintes equações, :Como , temos a seguinte equação:De maneira análoga, temos:Novamente, como , temos aseguinte equação:Substituindo diretamente as equações (1) e (2) na equação (0) doenunciado, ficamos com:Sabemos também que o que implica em . Assim, podemos reescrever a equação (3) como:
  4. 4. Segue da hipótese que a equação (4) é uma identidade verdadeira, assim provamos que é válida a equação (0) do enunciado, ou seja, as equações de Euler-Lagrange são invariantes sobre uma transformação de ponto.03. Determine a força horizontal que o pino C deve aplicar sobre o elemento BC de forma a manter o mecanismo da figura na condição de equilíbrio quando . Despreze o peso dos elementos. SOLUÇÃO: Podemos utilizar o Princípio dos Trabalhos Virtuais, onde temos a seguinte afirmativa: A partir da figura, e pouco de geometria, podemos encontrar: Calculando os trabalhos virtuais de em B e em C, temos:
  5. 5. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, temos:Substituindo os valores do enunciado, temos:(*) Pela Lei dos senos, temos:

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