Forma polar de um radical.

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Método para transformar um radical simples ou duplo na forma polar, utilizando as funções hiperbólicas.

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Forma polar de um radical.

  1. 1. FORMA POLAR DE UM RADICAL (INTRODUÇÃO) Neste texto faremos uma abordagem sobre como transformar um radical do tipo: na forma polar. Como o número é real, usaremos a trigonometria hiperbólica para obter a sua forma polar. A trigonometria hiperbólica é baseada em uma hipérbole equilátera cuja equação é do tipo: e cujo gráfico é mostrado a seguir: Figura 01: Hipérbole equilátera, centrada na origem. Tomando um ponto A qualquer sobre a curva desta equação, podemos obter as projeções ortogonais nos eixos “x” e “y” e seus respectivos valores, de acordo com figura abaixo:
  2. 2. Figura 02: Projeções do segmento AO sobre os eixos coordenados Na trigonometria hiperbólica, define-se: (I) (II) (Relação fundamental) (III) Como a equação da curva é , tomemos De acordo com a figura, o valor do segmento azul (projeção do segmento OA sobre o eixo das abscissas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica: (VI) Analogamente, o valor do segmento em vermelho (projeção do segmento OA sobre o eixo das ordenadas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica: (VII) Observação: Note que os ângulos e são diferentes, pois o segundo é o ângulo hiperbólico, já o primeiro é o ângulo formado pelo segmento OA com o eixo horizontal do plano cartesiano. a) Relação entre os ângulos e : De acordo com as relações (II), (IV) e (VI), temos que:
  3. 3. (II) (IV) (VI) Igualando as três relações, obtemos que: Isolando o valor de , temos que: (VII) Como Somando , então: aos dois membros da equação, temos: Daí: Substituindo em VII, vem: Analogamente, podemos obter uma fórmula similar com a outra relação trigonométrica: Utilizando a trigonometria hiperbólica, é possível transformar qualquer radical da forma em uma forma “polar”, utilizando as próprias funções trigonométricas hiperbólicas. Para tal feito, iremos definir a norma do radical como sendo quocientes: . Além disso, vamos definir os seguintes
  4. 4. Observe que as duas relações satisfaz: Como . Assim, podemos dizer que: , podemos dividir os dois membros desta equação por :  Daí: Isolando “r”, obtemos finalmente a expressão polar para o referido radical: Ou simplesmente: Onde:
  5. 5. RAÍZES ENÉSIMAS DE R Neste tópico iremos determinar uma expressão polar para as raízes enésimas de r, ou seja: Baseada na fómula de Moivre dos números complexos, pode-se demonstrar que: Ou simplesmente: Onde: Ou: Este procedimento faz com que todo radical escrito na forma pode ser decomposto em uma soma de radicais simples. Observe os exemplos abaixo: Exemplo 01: Determine o valor de na forma polar. Solução: Seja Observe que: . Cálculo da norma de r: Cálculo de e escreva o resultado
  6. 6. Cálculo da raiz: Portanto, a fórmula polar de Forma algébrica de “x”: Portanto: é:

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