Resolução da lista 9

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Resolução da lista 9

  1. 1. Resolução da Lista 9 de FF-20701. Ache a Transformação Canônica definida pela função geradora: a) Escreva as equações de movimento nas variáveis Q e P para um oscilador harmônico simples de frequência angular . b) Escreva as equações de movimento nas variáveis Q e P para um oscilador harmônico sobre o qual atua uma força externa . SOLUÇÃO: a) É fácil ver que é uma função geradora do tipo 1. Desse fato, temos que: Como , temos: Comparando (1) com (2): Daí segue que: Estas são as equações da transformação canônica. A Hamiltoneana de um oscilador harmônico simples de frequência angular é dada por: Como não depende explicitamente do tempo, ela se conserva. Então, vamos substituir (3) em (4), a fim de encontrar a função K.
  2. 2. Podemos concluir que Q é uma coordenada cíclica. Então, P é conservado. Isso bate com o fato de que H é conservado então K também vai ser. Também segue que: Então, temos as seguintes equações de movimento: Elas batem com as equações conhecidas de oscilador harmônico simples de frequência angular .b) Novamente, vemos que é uma função geradora do tipo 1. Desse fato, temos que: Como , temos: Comparando (1) com (2):
  3. 3. Daí segue que:A Hamiltoneana de um oscilador harmônico sobre o qualatua uma força externa é dada por:Podemos pensar nesse oscilador como um sistema massa-mola não livre. O fator representa a distensãoadicional da mola causada pela força externa . Então,vamos substituir (3) em (4), a fim de encontrar a funçãoK(Q,P,t).Também segue que:
  4. 4. 02.Qual o significado da transformação canônica criada pela função geradora: Onde é constante. SOLUÇÃO: É fácil ver que é uma função geradora do tipo 2. Desse fato, temos que: Como , temos: Comparando (1) com (2): Para satisfazer o princípio de Hamilton, podemos definir: Assim, a transformação canônica criada pela função geradorarepresenta uma Transformação de escala.03. Prove a identidade de Jacobi para colchetes de Poisson. SOLUÇÃO: Pela definição de colchetes de Poisson, temos que: Utilizando as propriedades dos colchetes de Poisson, temos:
  5. 5. De maneira análoga, temos:Somando (1),(2) e (3), temos:
  6. 6. Com um “pouco” de trabalho meramente matemático, temos:Reorganizando os termos, temos:
  7. 7. Vemos que, devido à simetria dessa soma e ao fato das derivadasparciais mistas de segunda ordem serem iguais, os termos seanulam, provando a identidade de Jacobi para os colchetes dePoisson:

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