1. Resolução da Lista 10 de FF-207
01. Introduzindo a variável . Pede-se:
a) Colchete de Poisson de e , isto é, .
b) Expresse a Hamiltoniana , em função de
e .
c) Use seu conhecimento de Colchete de Poisson para provar que
e são variáveis canônicas.
d) Obtenha uma função geratriz do tipo 1, , para
gerar as transformações canônicas do item c.
e) Escreva a kamiltoniana correspondente.
SOLUÇÃO:
a) Como e , temos . Pela
definição de colchete de Poisson, temos:
Sabemos que:
Então, temos:
b) Seja a Hamiltoniana . Podemos escrevê-la
como:

2. c) Podemos provar que e mostrando que elas
satisfazem os colchetes de Poisson fundamentais:
As duas primeiras são verificadas sem dificuldades, pois só temos
um Q e um P.
Devido a isso também, devemos ter:
Da hipótese, temos:
Então, temos:
Segue que:
Então, podemos concluir que Q e P são variáveis canônicas.
d) Seja a função geradora. Devemos ter:
Sabemos que:
Então, vamos tentar achar p e P em função de x e Q. Isolando p
na primeira equação acima, temos:
Substituindo na equação de P, temos:

3. Agora, devemos resolver o seguinte problema:
Podemos escolher:
Sem perda de generalidade, tomemos g(t) =0. Então:
e) A Kamiltoniana é determinada como:
Temos:
Substituindo, temos:
Assim, temos uma Kamiltoniana nula, isto é, todas as variáveis
são cíclicas, seja ela Q ou P. Assim, é mais fácil resolver o
problema, pois teremos conservações de grandezas e simetrias.

4. 02. Obtenha a função geratriz de uma transformação com a
passagem de e para e
, onde = constante para o movimento de uma partícula livre.
SOLUÇÃO:
Pelo fato de ser uma partícula livre, vamos supor que sua
Hamiltoniana só dependa da energia cinética, isto é:
Vamos também considerar uma transformação canônica
infinitesimal, tal que quando integrar a um tempo finito, tenha
e . Assim, nós queremos uma
solução para e . Como nós vamos
analisar a Hamiltoniana do problema, podemos tomar e
nosso problema passa a ser achar uma solução para
e , com as condições iniciais de
e . Podemos supor a resposta como uma
expansão de Taylor em torno de , isto é:
De maneira análoga para p.
Calculemos então os colchetes de Poisson para tentar encontrar
uma regularidade.
Daí para frente, as derivadas de ordem maior de q são nulas e
não fazem diferença para a série de Taylor.
Fazendo isso para p, temos:
Daí para frente, se anulam todas as derivadas.

5. Então, chegamos a:
Realmente, p se conserva, isto é, é uma constante de
movimento, pois . Então, temos a transformação:
Reescrevendo,
Vamos tomar uma função geradora do tipo 2. Desse fato, temos
que:
Ou seja,
Onde temos como solução:
Tomando g(t) =0 sem perda de generalidade, temos:

6. 03. Considere a seguinte transformação:
a) Demonstre que a transformação é canônica.
b) Ache a Kamiltoniana sabendo que a Hamiltoniana é:
SOLUÇÃO:
a) Vamos mostrar que elas satisfazem os colchetes de Poisson
fundamentais:
Da definição de colchetes de Poisson, já sabemos que:
Agora, vamos mostrar os colchetes alternados:

7. b) Das equações da transformação, temos:
Como o tempo não aparece explicitamente nas equações da
transformação, podemos supor que a função geradora seja da
forma:
Tomando sem perda de generalidade g(t)=0, teremos:
Assim, temos:
Substituindo as transformações diretamente na expressão da
Hamiltoniana, encontraremos a Kamiltoniana.
Os termos dessa soma são simétricos em relação às funções
trigonométricas. Logo, eles vão se anular ou simplificar.
Assim, temos: