Teoria das vibrações

1. EQUACÃO DE LAGRANGE,
9
Lagrange* desenvolveu um tratamento geral de sistemas dinâmicos formulado por
meio das quantidades escalares de energia cinética T, energia potencial U, e tra-
balho W. À medida que o sistema. fica mais con.plicado, torna-se progressivamente
difícil' o estabelecimento de relações vetoriais requerido pelas leis de Newton, quando
então há vantagem considerável na apreciação escalar baseada em energia e trabalho.
Além disto, a formulação das equações de movimento de Lagrange dispensa comple-
tamente a consideração das forças restritivas de articulações c guias sem atrito.
As equações de movimento de um sistema podem ser formuladas por meio de diversos
sistemas de coordenadas. Entretanto, são nçcessárias n coordenadas independentes
para descrever o movimento de um sistema de n graus de liberdade. Tais coorde-
nadas independentes são charTadas coordenadas generalizadas e são usualmente
representadas pelas letras q,.
O movimento de corpos nem sempre é livre, mas sujeito muitas vezes a limitações
predeterminadas. Como exemplo.a Fig. 9.2-1 mostra um pêndulo esférico de compri-

2. mento I. Sua posição. pode ser completamente definida pelas duas coordenadas
independentes 1/J, e, t/J. Nestas ,co,ndições t/J e t/J são coordenadas generali-
zádas, é' o pêndufo esférico representa um sistema de dois graus de liberdade.
Consideremos um sistema de partículas sob a influêncía de várias forças. Se
o sistema está em equilíbrio estático, a resultante Rj das forças atuando sobre
qualquer partícula j deve ser zero, e nulo é o trabalho realizado por estas forças
num deslocamento virtual lirj .
óW = L:RJ·órJ = O
J
Se a força Ri é dividida numa força aplicada Fj e numa, força restritiva fi, há
então equilíbrio entre Fi e fi e nenhuma delas é zero. Limitando nossa discussão
a forças restritivas que não realizam trabalho, tal como a reação de um assoalho
liso, a equação do trabalho virtual se reduz a
A posição do pêndulo esférico pode ser também estabelecida pelas três coor-
denadas retangulares x, y e z, que excedem de um os graus de liberdade do sis-
tema. Entretanto, as coordenadas x, y e z não são independentes, pois elas
estão relacionadas pela equação de restrição .
a qual exprime o princípio do trabalho virtual como apresentado por J. Bemoulli
(1717). Em resumo, a equação acima estabelece que, num sistema em equillbrio
estático, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas num deslocamento virtual
compatível com as restrições é igual a zero.
'Uma das coordenadas pode ser eliminada pela equação acima, reduzindo desta forma
a dois o número de coordenadas necessáriás.
Chamam·se coordenadas supérfluas as que excedem o número de graus de
liberdade do sistema, e é necessário para a sua eliminação número igual de equações
de restrição. Denominam-se de holonômicas as restrições se as coordenadas em
excesso podem ser eliminadas por meio das equações de restrição. Tais restrições
são na forma
Trabalho Virtual em Termos de Coordenadas Generalizadas. Consideremos um
sistema de n graus de liberdade no qual o deslocamento ri possa ser expresso
por n coordenadas generalizadas independentes qj e o tempo t
o deslocamento virtual da coordenada ri é
órJ = 2: ~ óq, (9.34)
, I oq,
As restrições nos sistemas não-holonômicos não são expressas em termos de
coordenadas ou coordenadas e tempo, como na Eq. (9.2-2). Restrições não-holonô-
micas são expressas somente como relações entre as diferenciais, como na seguinte
equação
e o tempo t ilão é envolvido.
Quando o sistema está eIlijequilíbrio, o trabalho virtual pode ser expresso
agora em termos das coordenadas generalizadas qj, pela Eq. (9.3·4) ,
Um deslocamento virtual ax, aO, ar etc., é uma mudança infinitesimal da coorde-
nada' que pode ser concebida de qualquer maneira sem consideração do tempo t, mas
não violando as restrições do sistema,
300
definida como a força generalizada, o trabalho virtual do sistema, expresso em
termos das coordenadas generalizadas, torna-se ~
(9.3· 7)
301

3. Exeml'lo 9.3-1 ,
, Consideremos; para ilustrar o método do trabalho virtual, o problema de se
_-,: ·-'estabelecer a posição de equihbrio -de uma barra rígida limitada no seu mo-
vimento, conforme indicado na Fig. 9.3-1
e a equação para o trabalho virtual torna-se
- aroW = "a8 08 = Qo 08
Qo oc= w'~8
é a força generalizada associada ú coordenada generalizada O.
Usando vetares Unitários i e j ao longo dos eixos x e y (Vide figo ') .3·1 ),
a equação para rG é
A posição da barra é estabelecida completamente pela coordenada O, que
_pode servir como coordenada generalizada. Se se dá à barra um deslocamento virtual
{j8, os dcslocamentos correspondentes lírl, {jr2 e óre dos pontos 1,2 c G devem
ser compatíveis com as restrições do sistema. Eles todos podem ser expressos em
termos de 00, que é a única quantidade independente à qual se pode atribuir
qualquer valor arbitrário. '
Há dois tipos de forças atuando sobre a barra. As forças restritivas são fI e
12 ao passo que a gravidade w é uma força aplicada. Supondo contactos sem
~trito, as forças restritivas fi e 12 são norm-ais aos deslocamentos virtuais orr
e {jr2, respectivamente, e por isso não há trabalho quando a barra é sujeita a um
deslocamento virtual pO. Nestas condições, o trabalho virtual do sistema resulta
apenas da força aplicada:
oW = f,·or, -+- f2·orz + w.orG
_=O+O+w·órG
r'i 1',,(icosO -I jsenO)
(I -- - co(~ Õ)u :Os 0-[ j scnO)
Difcrcnciando em relação a O
or" ' ."((--I sen O)i -I (/ :Os 0-- (' S2 8)j]oO
e tomando o produto escalar com w = - wj, o trabalho virtual, que deve ser
zero, torna-se
que define a posição de equihbrio da barra. O estudante pode verificar o fato dJ
que o centro de massa G ocupa o ponto mais baixo na posição acima e que {jre
é um deslocamento horizontal.
o princípio do trabalho virtual estabelecido para o caso de equillbrio estático pode
ser estendido à dinâmica por meio de um raciocínio exposto por d'Alembert (1743).
Segundo d' Alembert, uma vez 'que a soma das forç~s atuando sobre uma partícula.resulta numa aceleração m/i a aplicação de _uma fo!ça igual a - miri produziria
uma condição de equilíbrio. A equação para a partícula pode então ser expressa como
Uma vez que re é alguma função de O, podemos escrever
orG, ~#00
onde Fi e fi silo aS forças aplicadas e restritivas, respectivamente. Decorre então
do princípio do trabalho virtual que para um sistema de partículas

4. onde o trabalho efetuado pelas torças restritivas fi' é zero novamente. Nestas
condições, para um sistema dinâmico, o princípio do "trabalho virtual requer que a
força aplicada Fi seja substituída por (Fi - mii:i) a qual introduz um novo termo
'Eimii:i • Ó ri' Vamos mostrar agora que este novo termo é relacionado à energia
cinética T pela equação
• Considerando um corpo possível de ser representado por um sistema'de partí.
culas, sua energia cinética é igual a .
T = L; ±m/-,z = L; ±m,i','fi
i j
A posição de qualquer partícula, num sistema de n graus de liberdade, 'pode ser
expressa em termos das n coordenadas generalizadas q" Q2, ••••qn' e em algUns
casos do tempo t.
. ar,. I ar,. f ar,. f- ar,r = -q --.,,--q - - ... --'-fl - '37
' aql I vq22
aq.7' vI
Duas importantes relações resultam destas equações. Primeira. se tomamos a derivada
parcial de r; com relação a tik, ela será igual ao coeficiente de tik
Segundo, o deslocamento virtual de ri a partir da Eq. (9.3-4) é
ar ar ar • ar,
Dr, = -a I Ôq, +a- I Ôq2 -I- '" -LDq. cc I: -' Ôq.
q, q2 aq. ..,aq.
onde se nota que o tempo t não entra na equação (definição de deslocamento
virtual, independente de tempo).
Utilizando a equação acima para ó ri> temos
Na Eq. (9.4-6). 3r/àqk no primeiro termo pode ser substituído por 3t;/3qk'
e a ordem de diferenciação no segundo termo pode ser invertida de modo que
Somando as i partículas, chegamos ao resultado
~ .. ó ~ [d aT aTJ J:
.:.. mir,' r, = "'"' -d -a' - "l:"" uq., '.~I I q. uq.
onde T = lI; m/,2 é a energia cinética do sistema.,
Para completar. o desenvolvimento, o trabalho efetuado pelas forças aplicadas
no deslocamento virtual são expressas da seguinte forma
, • ar
ôW = I; F,·ôr, =1: FI' I; ~ óq.
,. i k'-'lUqk
• ( ar )=:I: :EF,,~ Óq•
• ~I i vq.
Q. = :I:F,,~, vq.
é chamada a força generalizada associada à coordenada qk' As dimensões de Qk
dependerão das dimensões de qk' de modo que se qk é um ângulo 0, a força'
generalizada será um momento.
Voltamos agora as Eqs. (9.4-12) e (9.4.13) à Eq. original (9.4.2)
t (!!.. B: - ~ - Q.) Dq. = O
."' dI aq. uqk
Considerando que as 'nóqk correspondentes aos n graus de liberdade são quanti·
dades independentes, podemos escolhê-Ias de qualquer maneira que quisermos.
Isolando uma das aqi =10 O e considerando zero as restantes óqs' obtemos a equa.
ção de Lagrange para a coordenada qj
!!..aT _ aT _ QJ = O
dI aih aq,

5. Un:a equação .s,emelhante pode ser estabelecida para as 11 coordenadas do sistema,
com a repetição·do processo com as outras coordenadas.
Há poucas variações da equação de Lagrange que podem ser mencionadas
agora. Se temos um sistema conservativo, o trabalho efetuado é igual ao negativo
da energia potencial
Num sistema conservativo, as forças podem ser derivadas dá energia potencial U,
que é uma função das coordenadas generalizadas qj' Expandindo U numa série
de Taylor em volta da posição de equilíbrio, temos, para um sistema de 11 graus
de liberdade
Uo nesta expressão é uma constante arbitrária que podemos considerar igual
a zero.' As derivadas, de U são calculadas na'posição de equilíbrio O e são cons·
tantes quando as qj são quantidades pequenas iguais a zero na posição de equi·
líbrio. Uma vez que U é um'mínimo na posição de equilíbrio, a primeira derivada
(o U/oqj)o é zero, deixando apenas (02
U/oqjoq/)o é termos de ordem mais elevada.
, .
Os termos além da segunda ordem são ignorados na teoria das pequenas osci·
lações em volta da posição de equiIJbrio, e a equação de energia potencial fica redu-
zida a
Assim, em lugar de Qk usamos - (OU/oqk)e reescrevemos a equaçã~ de Lagrange
desta forma
A segunda variante resuI1a do conhecimento que U não é uma função de q,
de modo que definimos um: Lagrangiano L como
A derivada segunda calculada em O é uma constante associada com a rigidez gene-
ralizada '
k jl = (a;:~q)o
e a energia potencial é expressa como
.Quando existem forças não-conservativas no sistema, o trabalho por elas
efetuado pode ser separado na forma
= -}rq)'[k]fq}
e neste caso é possível apresentar a equação de Lagrange para um ,sistemanão-con-
servativo como
li aL_ ~L ,= Qk
dt a(jk aqk
li aT ." aT -+ au =, Qk
dt aqk aqk aqk
Estas últimas formas nos permitem estender ') uso do método de Lagrange aos
sistemas não-conservativos e, em conseqüência, o método de Lagrangc é aplicável
a todos os sistemas dinâmicos, incluindo vibrações amortecidas.
r. =' t ar, q, -+ arl
, /=, aq/ J ai
Considerando um sistem~ escleronômico o~de a~restrições são independentes
do tempo, o último termo da equação acima é zero, e temos

6. ,; 12 - -.0 -.0 ~ ~ . .
I - L..J L..J a 'a qJql
J" 1 I," 1 qJ ql
Portanto, a énergia cinética torna-se ' As equações de movimento eram desacopladas na Seç. 6.7 pela matriz modelo, a
fun de se obter a solução .da vibração forçada' em termo~ das coordenadas normais
do sistema. Aplicamos nesta seção uma técnica semelhante para sistemas contínuos,
expandindo a deflexão em termos dos modos normais do sistema.
Consideremos, por exemplo, o movimento geral de uma viga carregada por uma
força distribuída p(x, t), cuja equação de movimento é
T = -2
1
t JI1I[t f' arl ,arl q qJ1"1 J"',t:1 aqJ aql I I
Permutamos agora a ordem de soma e reescrevemos a·equação acima
T = +. t t MI(tJI1laàrl 'aar,)
J"'I"I 1 qJ ql
Definindo a massa generalizada como
mJI = (tm1a
ar/ ,ar,)
"·1 . qJ aql
a energia cinética pode ser expressa como
e suas condições de contorno. Os.modos normais if>i(x) são também funções orto-
gonais satisfazendo a relação
f
i { O para j --1= i
. m(x)rp,rp;dx =
o Mi para j = i
Representando a solução para o problema geral em termos de if>i(x)
= +[qJ'[m][q}
As equações (9.5.3) e (9.5·10) tornam evidente que k. = k. e m _
D t '. II II jl - mlj'
es a maneIra, as matnzes de massa e de rigidez são simétricas em relação à diagonal.
A. wbstituição de TeU na equação de Lagrange conduz a um grupo de
equações que pode ser expresso pela seguinte equação matricial.
podemos determinar a coordenada generalizada qj (t) por meio da equação de
Lagrartge, estabelecendo previamente as energias cinética e potencial.
Admitindo a relação de ortogonalidade, Eq. (9.6.3), a energia cinética éQu~do os autovetores {q} são coordenadas (principais) normais, os termos
fora da dlagonal da equação matricial são zero e as equações de movimento desa.
copiam para T = -1 {jJ2(x, t)m(x) dx = i~~qAJ f~ip,r/JJm(x) dx
= -t L M,q;
1
onde ~ massa generalizada Mi é definida como
M1
= ( rp,l(x)m(x) dx .
m'/L + kuql = O (9.5.12)
A solução é enÜro a vibração de modo normal q. A
I = i s~nw;f, cuja substituição na
equação diferencial resulta em
ku = -OJ,2mli (9.5-13)
O uso de coordenadas normais eliminará todos os termos k. em, d' ---J- I
.,. . h . . - II 11 on e J T-
e: em consequencla, á a sunphficaçao das expressões das energias cinética e oten-
Cla!para as formas ' p
(9.5-14)
(9.5-15)
T = -i' 2f muq; == i[q}'[m][q}
U = -± ~ kuqr = J[q}'[k][q]
onde L ] simboliza uma matriz diagona!.
308

7. onde a rigidez generalizada é
K, = ( E/[ifi;'(x)F dx
Exemplo 9.6-1
Uma viga simplesmente apoiada de massa Mo é carregada subitamente por
uma força representada na Fig. 9.6-. Determinar a equação de movimento .
. ftJém de TeU, precisamos da força generalizada Qj, que é determinada
por meio .do trabalho efetuado pela força aplicada p (x, t)dx no deslocamento
virtual oqj •
'....["'lli1a1Tp.'" ) w.
-:r1:f' ,.ff"= --.L
-Jrim. ---
, f=C-=--=-- I : I
g(I)
j,OCLO II -I
(b)
óW,c fo
p(x, t)(~ if>/Jq,) dx
= ~ óq, (p(x, t)rp,(x)dx
Q, = J~p(x, t)~Jx) dx
Substituindo na equação de Lagrange
(% (~;) " ~;, -I- ~~ c-c, Q,
a equação diferencial enconttada para qj (t) é
q, +- W!qi = ~ f' p(x, l)ifi,(x) dx
'o .
Solução: Os modos normais da viga são
ifiJx) = .J2sen II;X
w" '-= (IITC)2-J EI/MoJ3
e a massa generalizada é
M =~JI2sen2I1TCXd-=M
"I I x o
• o
Neste ponto é conveniente considerar o caso da carga por unidade de com-
primento p (x, t) ser separá •••el na forma '
p(x, t) = ~o p(x)f(l)
A Eq. (9.6-12) é então reduzida para
, p
q, I- w,'q,. ~, M;rJ(I)
f
i fi.o p(x, t)ifi" dx = g(t) o W( .J2~en I1~X dx
=" (I) IVO..J'2' [sen (l17ex/l) _ x cos (lI1ex/I)J'
g I (IITC/I)2 (IITC/I) o
IV r'll
= - g(I)~ cos IITC
I1TC
. = _.J2llVo (1)(-1)-
I1TC g
I Jir,= T o p(x)rp,(x) dx (9.6-15)
é defInido como fator de participação de modo para o modo i. A solução da
Eq. (9.6-14) é então
q,(l) = q,(O) cos wJ -I· ~, q,(O)sen OJJ
(9.6-16)
-I-(Por,,)w, fI f(ç)sen W,(I - ç) dç
MjO)j o
Considerando que a i-ésima deflexão estática do modo (com q j (t) = O) desen-
volvida em termos de cf>j(x) é p. rjfMjWf, a quantidade
onde g(t) é a cronologia da carga. A equação para qn é então
q" -I- w~q" == _.J2IIV
O(_I)"g(l)
I1TCMo
D,(I) = OJ, ( f(ç) sen w,(t ,- ç)dç
pode ser denominada o fator de carga dinâmica para o i-ésimo modo.
310
a qual tem a solução
(1_(1) . -, ",/'2'111'0 (-1")"( I 'I)
" ll7eM o ÚJ~ -- cos w"
-= -..J'2-/ll'o (-1)"(1 -' cos w I)
I1nM o w;' ~
+ 2..J'2~/:vo(-I )"[I_ cos w (t - t J)J
I1TCMow~ " ,

8. Desta maneira, a deilexão da viga é expressa pela soma
.1'(x, r) == i: q.(r).J:rsen m,lx
• I
Exemplo 9.6-2
Um míssil na sua trajetória é excitado longitudinalmente pelo impulso F(r)
do seu motor de foguete à' extremidade x '" O. Determinar a equação para o
deslocamento u(x, I) e a aceleração li (x. I).
u(x, I) == L:qJt)rpJx)
onde 'Pi(x) são os modos normais do míssil em oscilação longitudinal. A coorde-
nada generalizada qi satisfaz a equação diferen.eial .
[E1y"(x. I»)" + m(x)y(x, r) = -m(x)Yb(/)
Desta maneira, em vez da força por unidade de comprimento F(x, I) ternos a força
de inércia por unidade de comprimento - m (x)ji b (I). Admitindo a solução na
formaSe, em vez de F(r), um impulso unitário atuasse em x '" O, a equação acima
teria a solução ('P;CO)/ Miwi) sen wil para as condições inciais qi (O) '" (Íi (O) =
= O. A resposta, portanto, à forç~ arbitrária F(I) é
qJr) " tp,(O) fr F(ç) sen wJr -- ç) dç
Miú!; o
e o deslocamento em qualquer ponto x é
u(x, r) 'L:rp/x)rp,(O) J" F(ç)sen w/r .-- ç) dç
. MjOJ{ ti
a·equação para a coordenada generalizada .qi torna-se
q, -/ w;q, = -y.(r) ~. fi rpJx) dx
" o
A solução para qi difere então somente do fator - I/Mif~'Pi(X)dx daquela de
um oscilador simples, de maneira que para as condições iniciais y(O) = y(O) = O
q,(r) ~~ ( - ~/i J:tp,(x) dX} ~i J~j'.(ç) sen w,(r -- ç) de;A aceleração q,(t) do modo i pode ser determinada reescrevendo-se a
equação diferencial e substituindo a solução anterior para qi (I)
q,(r) = F(rz,(O) - W,'qi
i
= );-(t)gJ/O) _ p,(O)w, J' F(ç) sen w,(t - ç) de;
M, Mi o
9.7 ORTOGONALlDADE DA VIGA, INCLUINDO INERCIA
ROTA TlVA E DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO
As equações para a viga, incluindo inércia rotativa e deformação por cisa1ha-
mento, foram derivadas na Seç. 8.6. A ortogonalidade para tais vigas não é mais
expressa pela Eq. (9.6-3), mas pela equação
~ L: {F(r)rp,(O)rp,(x) - ~,(O)tp,(X)Wi J' F(ç) sen w,(t - ç) dÇ}
,M, M, o
Determinar a resposta de urna viga cantilever quando se transmite à sua base
um movimento Yb (I) normal ao eixo da viga, conforme indicado na Fig. 9.6-2
a qual pode ser provada da seguinte maneira.
Vamos reescrever por conveniência as Eqs. (8.6-5) e (8.6-6), incluindo um
momento distribuído por unidade de comprimento ;Jl1(x, r)

9. ':L(Eld'fl) -I kAG(tl
y
-- 'fi) - J/iI- ~m_(x, t) O
tlx tlx ,tlx
mji -- (~~,[kAG(~?~--'fi)J - p(x, t) O (8.6-6)
A deflexãc y(x,t) e a inclinação de flexão Ij;(x,t), no caso de osçilação forçada
com excitação p (x,t) e;m (x,t) por unidade de comprimcn to da viga, podem,
ser expressas em tem10S das coordenadas generalizadas
y :L:qj(t)q;}x)
j
ij,l OJ~q,= I~{J~p(x, t)1fI/dx -1- f:~ll(x, t)'fI/ dX}
f
i {OSej4=-i
(1Il1fljlfl,-- J'fIj'fl,) tlx = '"
o Mj se I == I
que define a ortogonalidade para a viga, incluindo inércia rotativa.e deformação
por cisalhamento.
Substiuídas estas somas nas duas equações da viga, obtemos
J:L: iij'flj = :L:qj{ (,l(EI'fl~) I' kAG(IfI~'- 'fIj)} I ~rr(x,t)
J J ( ~ •
m:L: ijjlflj .= :L:qj (,'JkAG(q;>- VI)) -I p(x, t)
j J {.
Entretanto, vibrações de modo-normal são da fonna
Quando uma estrutura é alterad.a pela adição de uma massa ou de uma mola, nós a
denominamos de estrutura vinculada. Por exemplo, a tendência de uma mola é
a de atuar como uma restrição ao movimento da estrutura no ponto da sua aplicação
e, possivelmente, aumentar as freqüências naturais do sistema. Uma massa adicio-
nada, ao contrário, pode diminuir as freqüências naturais do sistema. Tais problemas
podem ser formulados em temlOS de coordenadas generalizadas e a técniea de soma
de modos.
Consideremos a vibração forçada de qualquer uma estrutura de uma dimensão
(isto é, uma coordenada x para definir os pontos sobre a estrutura) excitada por
uma força por unidade de comprin1ento [(x,t) e momento por unidade de com-
primento M(x, t). Se conhecemos os modos normais da estrutura, Wj, e 'Pj(x),
sua denexão em qualquer ponto pode ser representada por
y = q;/x)e'Wj'
'fi "" lfI/x)e
iWj
'
-OJJ1'f1j = :X<EI'fl~) -- kAG(q;~ - 'fIj)
-wJ.mq;j ,= :')kAG(q;~ - 'fIj»)
Os lados direitos deste grupo de equações são os coeficientes das coordenadas gene-
ralizadas qj nas equações da vibração forçada, de modo que podemos escrever
as Eqs. (9.7-3) na fonna
J :L:qj'flj = -:L: qjOJ}J'fIj --- ~l(x, t)
j j
m :L:q/Pj = -:L: qjOJ]mlflj -- p(x, I)
j j
onde a coordenada generalizada qj deve satisfazer a equação
ij,(t) -- OJ;q.(t) == A~Jff(x, 1)q;,(X) tlx -- f M(x, 1)1fI;(X)IIxJ
O lado direito desta equação é 'I/Mj vezes a força generalizada Qj, a qual pode
ser detenninada por meio do trabalho virtual das cargas aplicadas como Qj ==
== 'oW/oqj'
Se, no lugar de cargas distribuídas, temos uma força concentrada F(a, t)
e um momento concentrado M(a,t) em algum ponto x == a, a força generalizada
para tais cargas é encontrada por meio de
ó W ,=F(a, I) óy(a, t) -- M(a, I) óy'(a, I)
== F(a, I) :L:'P,(a) óqj +M(a, I) 1:ço;(a) óq,
.; I
Multiplicando estas duas equações por 'Pj dx e Ij;j dx, somando e integrando,
obtemos
:L:qj fi (m'Pjlfll -- J'fIj'fl,) dx -- :L:qjOJ] r(mq;jq;, -1- J'fIj'fl,) dx
) o J o
= (p(x, 1)IfI,IIx -1- ( ~l(x, t)'fI, dx
Se os q nestas equações são coordenadas generalizadas, eles devem ser coor-
denadas independentes que satisfazem a equação
314
Q, '7 ~~ = F(a, 1)IfI,(a) + M(a, 1)1fI;(a)

10. Estas equações formam o ponto de partida para a análise das estruturas vinculadas,
desde que as restrições sejam representáveis como cargas externas sobre a estrutura.
Como um' exemplo, consideremos prender uma mola torcional e linear à viga
siJpplesmente apoiada da Fig. 9.8-1. A mola linear exerce sobre a viga uma força
igual a
Então, em vez da Eq. (9.5.2), obtemos a equação
iMO + w,zq,(/) = ~-[F(a, I)rpi(a) -I- /I'/(a, I)rp;(a)]
I
I~
.rA;;
r---- x·_-~
Desta maneira, em lugar da Eq. (9.8-8), obteríamos a equação
q = 'I ( .! .Jw'mo9,(a) ~ ri/p/a) 7.i.' :,(:)7 - (:J-F__. j ....J
F(a, I) = -ky(a, I) = -k I: qJI)rpJa)
/ Exemplo 9.8-1
Dar uma aproximação de modo único para a freqüência natural de uma viga
simplesmente apoiada quando ligada a uma massa mo em x = 1/3.
Solução: Quando é usado apenas um modo, a Eq. (9.8-lU) é reduzida a
M,(w; , - w')·= W'/1Iorp;(a)
Resolvendo para W2, obtemos
M (a, t). = - Ky'(a, t) = - K I: qJt)rp~(a)
j
I
1 + ~rp;(a)
M,
Temos para o primeiro modo da viga não·vinculada
Substjtuindo estas equações na Eq. (9.54), obtemos
q, ..:. w;q, = Ar: i-kç',(a) Lqjç'/a) - Kç;(a) r:qj~;Ca)"I
. IL j J_
, ) /T 7CX
9,~X =., -seny
ç'. ( !...) = ..,;7sen :: = .../2 x 0,866
' 3/ J
Jf, = J! = massa efetiva
Assim, sua substituição na equação acima dá o segunite valor para a aproximação
de modo único para a viga vinculada
(W)' I
w, = I + J,5~Q
O mesmo problema tratado por meio da equação de Dunkerley no Exemplo 7.5-5
deu para esta relação o resultado
Os modos normais dos modos vinculados sao harmônicos também e assim podemos
escrever
Se usamos n modos, haverá' n valores de qj e n equações tais como a (9.8-8).
O determinante formado pelos coeficientes de qj conduzirá então às freqüências
naturais dos modos vinculados, e os perfis dos modos da estrutura vinculada são
obtidos pela substituição do qj na Eq. (9.8-1).
Se, em lugar de molas, uma massa mo é colocada num ponto x = a, con.
forme a Fig. 9:8-2, a força exercida por mo sobre a viga é
I
_- 16/110
'M
Um míssil é vinculado numa plataforma de teste por molas lineares e tor·
cionais, conforme indica na Fig. 9.8-3.

11. I ,..;<lJ?(a)
, "'i' D,(o))
K 2: ~ia)cIJ,(a)
i D/01)
O pcrfil do modo duplamcntc'livre é dado cntão por
/(0)
)'(0)
, '" ()'" . , t' 1"(0),,,,( )" (
(
''>'i a '>'i(X) I J -'(-)''>', a ..•>,.I')
y x) 'C I: ya
Y(o), D,(m}
Formular o problema invcrso que é. o de determinar scus modos duplamente
livres por meio dos modos normais do míssil vinculado, os quais são designados
como '*'i e ni·
Solução: O problema é abordado de uma maneira semelhante àquela do problema
direto onde, em lugar de <Pi e wi' utilizamos '*'i e ni. Livramos agora os vín·
culos dos suportes ~Ia introdução de forças opostas -F(a) e -M(a) iguais a
ky(a) c Ky'(a). A fIm de resolver este problema com maior detalhe, começamos
com a equação
Exemplo 9.8·3
Determinar os modos vinculados do rn[ssil da Fig. 9.8·3. utilizando somente
o primeiro modo duplamente livre ":1 (x), Wl, junto com a translação <PT =
= 1, nT = ° e rotação <PR = x. nR = 0, oJlde x é medido positiva·
mente no sentido da cauda do míssil.
-F(a)1>;(a) - M(a)1>;(a)
q, = M,nw - (01/ny]
M T = J dl/l ,~ M
Mi< 'f x' dl/l , .. /.'0 Mp'
M, ' . f q>;(x) <11/1 M
que substitui a Eq. (9.8.8). Fazendo Di/w = Minl(i - (w/ny], o deslocamen·
toemx=aé
( )
_ "cIJ ( )- _ " -F(a)1>f(a) - M(a)1>;(a)1>,(a)
y a - Lr ,a q, - L.r D,(01) onde o modo <Pl (x) foi normalizado de maJleira que M1 = M = massa efctiva.
Os fatores Di depcndentes da frcqüência são
, ( ) _ " ky(a)<lJ1'(a) -I- Ky'(a)1>;(a)1>;(a)
ya - L.r DlO1)
ira) = I:ky(a)cIJ;(a)cIJ;(a) -I- Ky'(a)1>;'(a)
, ' D,(01)
y(a)[1 - k I:1>1'(a)J = y'(a)K 2: 1>';(a)1>,(a)
, D,(01) ,D,(01)
y(a)k :I:cIJ;(a)cIJ,(a) ~~ y'(a)[1 - K :I:1>;'(a)J
, D,(01) i Di(01)
A equação da frcqüência para este problema é a mcsma que a do Excmplo 9.8·2,
excetuados os k ncgativos quc são su'bstituídos por k positivos c <p(x) e w
substituem <I>(x) e n. Substituindo cstas quantidadeS na equação da frcqüência,
tcmos

12. (I- M:'2,[~ + ~ - ~.J}{I __~[_I tp',2(a)]}
~ A p2.1. (I - .1.t Mw; p2.1. - (J -.1.)
- ~{=!!. -L ~(a)tp,(a)}2 ~ O
M2W: p2.1.' (1 - À) --
devem representar funções de- influêneia, onde a (a, x) e Ma, x) são as deflexões
em x devido a uma unidade de carga e momento unitário em a, respectivamente.
Podemos reescrever, nestas condições, a Eq. (9.9-2) na forma
.1.
2
(1 - .1.)-1- (M:;)[ tp;(a) -/- ~ tp?(a)]..t 2 - (M:;)[ I -+ ;~ -+ k~2]..to -.1.)
+ (-kfk~2 (I - .1.) - (M::r ~ ,1.{tp',2(a) + )2[tp,(a) -- atp'.(a)J2} = O
São de interesse, alguns éasos especiais da equação acima e meneionamos
um deles. Se K = O, a equação da freqüência simplifica para
y(x, I) = F(a, I)a(a, x) 1- M(a, t)fi(a, x) _ L:q,(tZ;(X)
.1.2
- {I + (--"-)[1 + a
2
+ tp;(a)]}.1. _1_(~--,)(I -+ (2) = OMw; p2 _ MWj p2
Aqui x = a podia ser tomado negativamente de modo que o míssil ficaria pendu-
rado por uma mola.
A convergência é melhoráda em relação ao método de soma de modos, pela razão
de estar wl no denominador dos termos somados.
No problema de vibração forçada onde F(a. t) e M(a, r) são excitações,
a Eq. (9.8-4) é primeiramente resolvida em relação a qi(t), na maneira convencional,
c em seguida substituída na Eq. (9.9-4) para a del1exão. Quanto aos modos normais
de estruturas vinculadas, F(a. t) e M(a, t) são novamente as forças e momentos
exercidos pelos vínculos, e o problema é tratado de maneira semelhante à da
Seção -9.8. Entretanto, em face da convergência melhorada, menor número de modos
será considerado necessário.
9.9 METODOACELERAÇÃO_MODO
Exemplo 9.9-1
Utilizando o método aceleração-modo, resolver o problema da Fig.9.8-2 de
uma massa concentrada mo ligada à estrutura.
Uma das dificuldades deparadas em qualquer método de Soma de modos diz respeito
à Convergência do processo. Se esta convergência é escassa, torna-se neeessário o
emprego de grande número de modos e assim aumentando a ordem do determinante
da freqüência. A tendência do método aceleraçao-modo é a de superar esta dificul-
dade, melhorando a convergência e, em conseqüência, diminuindo o número de
modos normais necessários.
•O método aceleração-modo começa com a mesma equação diferenciál para a
coordenada generalizada qi' mas com a ordem rearrumada. Por exemplo, podemos
. começar com a Eq. (9.8-4) e escrevê-Ia na ordem
q,(t) = F(a, t)tp/a) -+ M(a, t)~;(a) _ q,(;) (9.9-1)
Miro,. Miw, 01;
Solução: Admitindo oscilações harmônicas
F(a, t) = F(a)e'W<
q,(t) = q,e'Wf
y(x, t) = y(x)c'wt
Substituindo estas equações na Eq. (9.9-4) e fazendo x = a,
. ji(a) = F(a)rx(a, a) -+ W2 ~ qi~~a)
J j
Substituindo esta na Eq. (9.8-1), obtemos
y(x, t) = L:q,(t)tp,(x)
,
= F(a, t) L:Q!.1(a)tpi~'-)-+ M(a, t) L:~;(a)~,~x) _ L:q,(t)~/x)
, M,w, I Miw, ,w
'
.
Notamos aqui que se F(a, t) e M(a, t) fossem cargas estátieas, seria zero o
último termo contendo a aceleração. Portanto os termos
L:tpl(a)tpl~x) = rx(a, x)
i. MiO);
L:tp;(a)tp+:) =, fiCa, x)
.Miw,
Visto que a força exercida por mo sobre a estrutura e
F(a) = /I1ow2ji(a)
podemos eliminar; (a) entre as duas equações acima, obtendo
F(a)2 = F(a)x(a, a) -+ W2 L:qjrpj~a)
/I1oW j wJ
Se substituímos agora esta equação na Eq. (9.8-4) e admitimos o movimento har-
mônico, obtemos a equação

13. Separamos a viga em duas seções, CD e G) ,cujas coordenadas são represen-
tadas por IVI, x; IV2, x; e 1/2, x: Supomos que a deflexão para a seção CD
seja
) . [I - mow1a(a, a)J(wl -- W1)ij, = w4n~Ja) ~ ijJ~;ja)
que representa um grupo de equações lineares em q k' A série represcntadapela
soma, entretanto, convergirá rapidamente por ter wJ no denominador. Em con-
traste com esta vantagem de menor número de modos, há o inconveniente dessas
equações serem da quarta ordem em 0.) e não quadráticas ..
Notamos que as duas funções de modos satisfazem as eondições de força e geomé-
tricas nos limites da seção CD na forma seguinte
w,(O) = O w,(l) = P, + P1
w',(O) = O w',(l) = 7 P, + fp,
" M(O) 2 "(/) _ M(l) _ 2 I 6
1",(0)= EI =yzP, IV, - EI -YZP'--I':P1
"'(0) _ V(O) _ 6 . "'(I) _ V(I) _ 6
w, - EI -l'P1 w'. -ET-l'ho estudo de grandes sistemas estruturais pode ser simplificado pela divisão do sistema·
em subsistemas menores, os quais sào relacionados através das condições de desloca-
mento e força nos seus pon tos de junção. Cada subsistema é representado por funções
de modos, cuja soma permite a satisfação das condições de deslocamento e força
nas junções. Não há necessidade destas funções serem ortogonais ou modos normais
do subsistema, e cada modo utilizado não precisa satisfazer as condições de junção,
desde que a sua soma combinada permita que estas condições sejam satisfeitas. As
equações de Lagrange e, em particular, o método das coordenadas supérfluas, for-
mam a base para o processo de síntese.
A fIm de apresentar as idéias básicas do método de síntese modal, vamos
considerar uma viga simples com uma dobra de 90°, exemplo este que foi utilizado
por W. Hurty*. Admitimos que a viga representada na Fig. 9.10-1 vibre apenas no
plano do papel.
A seguir consideramos a seção G) com a extremidade livre como a origem
das coordenadas W2, x. As seguintes funções satisfarão as condições de contorno
da seção G) da viga
w1(x, I) = f/J,(X)p,(I) + <P4(X)P4(t) + f/J,(X)p,(I) +
(x) (X)4= lp, + T P4 + T P,
U1(X, t) = 1>6(X)P6(t)'+
= 1 P.
onde 1/2 (x, t) é o deslocamento na direção x.
O próximo passo é calcular a massa generalizada por meio da equação
o T-w,
x
I
o
T w,
-1---
_"'~f(2;
mu = r m(x)1>Jx)ep/x) dx
, o
Temos para a subseção CD
ml' = J~ m1>,1>1dx = {m( ~)4dx = O,20ml
111'1= {mep'1>2dx'= J~m(~)'dx~0,166ml=m2'
mu = J~ 1111>11>2dx ~ {me; rdx = 0:1428ml
), • Walte: C. lIurty, ",vi?rations or Struct~ra[ Systems by Component Syntilcsis," lour
Engr. Mech. DIV., Proc. or ASCE (ag05to,1960), pags. 51-69.
)322
A massa generalizada para ~ subseção G) é computada de maneira semelhante
usando 1/>3 e 1/>6

14. m33 1,Oml
m34 0,50ml = m43
m35 = 0,20ml = m53
m44 0,333ml
m45 0,166ml = m54
m55 O,l11ml
m66 1,Oml
Uma vez que não há acoplamento entre o deslocamento longitudinal U2 e o des-
locamento lateral W2. m63 -= m64 = m65 = O.
Encontra-~e a rigidez generalizada por intermédio da equação
kiJ = fo
Elrp;'cf>~' dx
k" = EI rcf>'icf>'t'dx = EI r(~rdx = 4!Jf-
k,z = kZ1 = EI f'J~)(~ndx = 6~f
EI EI
k22 = 12" k" = 28,8"
Todos os outros kij são zero.
Podemos arrumar agora os resultados computados para mij e kij nas matrizes
divididas de rigidez e massa na forma seguinte
0,2000 0,1666: O O ° O
0,1666 0,1428 i ° ° O O
________________ 1 _
I
: 1,0000
I
: 0,5000
: 0,2000
0,5000
0,3333
0,1666
0,2000
0,1666
0,1111
° ° ° O O 1,0000
4 6 I
° O O
°,,
6 12 : O
° O O
I
- - - - - - -1-- -- - -- ---
O O
,
O
° O O
[k] =~!
,
I
(9.10-6)
O
°
I
° O O
°
,,
I
O
°
I
O
° 28,8 OI
I
... _--------
O O O O O O
onde a matriz superior à esquerda refere-se à seção CD e o restante à seção C;D
324
1',(1) + 1I2(1) ~"O
w2
(1) ,= O
w', (I) - I'~(/) =, O
E1[II",'(I) -I- w';(I)] ''o O
P,+P2+P, O
1', -I- 1'. + 1', ~~O
21', -I- 3P2 - P. - 41', = O
21', + 61'2 + 121', =0
Que são. arrumadas na forma matricial
1',
l;
I O O
OIj
pz
O I 1 I O 1',
C~ O (9.10-7)
3
° --- 1 -4 O P.
6 O O 12 O 1',
P.
Considerando que o número total de coordenadas utilizadas é seis e que há
quatro equações restritivas, são duas as coordenadas generalizadas para o sistema
(isto é, há quatro coordenadas supérfluas correspondendo às quatro equaçõ~s
restritivas (Vide Seç. 9.2)). Nestas condições, podemos escolher duas quaisquer
das coordenadas para serem as coordenadas generalizadas q. Sejam PI = (;1 e
P6 = q6 as coordenadas generalizadas e expressemos PI •. ,. P6 em termos de
ql e q6. Isto é efetuado nas seguintes etapas.
I
I O O
O I I
3 O -I
6 O °
~1;:]= l-~-~l{q''}-4 P, -20 q6
12 p, -2 O _
A equação restritiva acimà está agora em termos das coordenadas generalizadas ql
e q6 na forma seguinte

15. PI
I~~ o
P2 -I
P,
o l-~:~~:4,50
{~:}= [CJ{;JP4 -5,0
Ps 0,50
P. I
A Fig. 9.10-2 mostra os perfis dos modos que correspondem às freqüências
acima. Considerando que a Eq.•(9.l0-12) permite a solução dos autove'tores somente
em termos de uma referência arbitrária, q6 p~de ser detenninado com ql = 1,0.
m/[nl][ji} -I- ~![k]fp} = O
substituímos {p} em termos de {q} da equação restritiva (9.1 0-9)
m/[m][C]fq} + ~;[k][C][q} = O
Premultiplicamos pela transposta [c]'
m/[C]'[m][C][q} + ~';[C]'[k][C]}q} = O
As coordenadas P são obtidas da Eq. (9.10-9) e determinamos os perfis de modos
por meio das Eqs. (9.10-1), (9.10-3) e (9.104).
Comparando as Eqs. (9.10-10) e (9.10-11), notamos que em (9.10-10) as
matrizes de rigidez e de massa são 6 X 6 (Vide Eqs 9.10-5 e 9.10-6), ao passo que
as matrizes [C]' [m] [c] e [C]' [k] [c] na Eq. (9.10-11) são 2 X 2. Nestas
condições reduzimos o tamanho do sistema de um problema de 6 X 6 para um
de 2 X 2.
Fazendo {q}= _W2 {q}, aEq.(9.10-ll)apresentaaforma
9-1 Mostrar que o fator de carga dinâmica atinge um valor máximo de 2,0 para urna
força constante aplicada subitamente.
9-2 Se urna força constante aplicada subitamente é aplicada em um sistema no
qual o fator de amorteci~entodó i-ésimo modo é t = c/ccr' mostrar que
o fator de carga dinâmica é dado aproximadamente pela equação
Os valores numéricos das matrizes [ ajj] e [bijl das Eqs. (9.10-5), (9.10-6) e
(9.10-9) são
[
1,1774
[a,)] = [C]'[m][C) =
2,6614
[
7200
[bJ)l ~ [C]'[k][C] = 10:800
2,6614J
7,3206
10,800 ]
19,200
9-3 Determinar o fator de participação de modo para urna força distribuída uni-
formemente.
94 Se uma força concentrada atua em x = a, a carga correspondente por uni-
dade de comprimento pode ser representada por urna f~nção delta I ó (x - a).
Mostrar que o fator de participação de modp torna-se então Kj = 'Pj (a)
e a deflexão é exprimível como
Com o emprego destes resultados numéricos, determinamos as <luas freqüências
naturais do sistema por meio da equação característica da Eq. (9.10-12)
W
1
= 1,172,.f!f.
Y(X I) = Pol, '" p,(a)!p,(x) D(I'
.' El "t <P,!)4 "
onde wJ = ({3jl)4(EI/MI3
) e ((3jl). é o autovalor da equ'ação do modo
normal.
9-5 Para um binário de momento Mo atuando em X = a, mostrar que a carga
p(x) ç o caso limite de duas funções delta. indicadas na Fig. P.9-S à medida
327
fEl
w2 =3,198" mP

16. que € tende para zero. Mostrar também que o fator de participação de modo
para este caso é
igualmente (isto é, que o fator de participação de modo é independente do
número de modos), a solução completa sendo
2Fo'jcos T-T cos 3;-T In(x, I) = /tE (Tr D,(~)+ c;r D3
(1) + ...
Se a força do Probl. 9-9 é concentrada em x = 1/3, determinar quais os
modos que estarão ausentes na solução.
No Probl. 9-10, determinar o fator de participação dos modos presentes e
obter uma solução completa para uma variação arbitrária de tempo da força
aplicada.
Considerar uma viga uniforme de massa M e comprimento 1 suportada por
molas iguais de rigidez total k, conforme indicado na Fig. P.9-12(a). Supor
que a deflexão seja
Ki = 1dPdlx) I = (ft,l)rp;(x)x ••
x x-a
I' I'
:;.{b<6(X-a-<)--x-a_____ e
1
!~ Â
·1
9-6 Uma força concentrada Pof(t) é aplicada· no centro de uma viga uniforme
simplesmente apoiada, conforme a Fig. P.9-6. Mostrar que a deflexão·é dada por
_ Pol' "K,rp;(x) .
y(x, I) - E/ ~ (P,/)' D,
. 2Pop!sen It-T sen 31t-T "sen 51t-]- I= l'T 1t4" D,(t) - ('j"iij' DJ(t) + (5104 Dj(I) ...
9·7 Um binário de momento Mo é aplicado no centro da viga do Probl. 9-6,
como indicado na Fig. P.9-? Mostrar que a deflexão em qualquer ponto
é dada pela equação
(
X t) = Mof2 " rp;(a)p,(x) D(I)
y, EI ~ (ft,l}3 . ,
I
x . x x I2M
o
/2sel) 21T.T s~n 4ltT ,sen 61T.T
= ----n- - (2il'5'ID2(t) + (41T.)' D:(I) - ((ii!)'JD6(t) ...
e escolher <Pl
mostrar que
y(X, I) ~- ip ,(x)q, (I) + ((J2(X)fP2(/)
sen 11'; e '-P2 = 1,0. Utilizando a .equação de Lagrange,
ii, + .i.ii2 + wr,q, = O
It
~.M,I
k k
'2 2'
U 11 IqPo .
rÃ- r f f f Ltiln
.--1..-.+.-1..-12· 2
Figura P.9,8.
~"--"'I ~ 0,5
3 f
-
9-8 Uma viga uniformesimples!llente apoiada recebe subitamente uma carga
cuja distribuição está indicada na Fig. P.9-8, sendo a variação de tempo uma
função degrau. Determinar a resposta y(x,t) em termos dos modos normais
da viga. Indicar quais os modos ausentes e relacionar' os dois primeiros exis-
tentes.
9·9 Uma barra delgada de comprimento I, livre em x = O e fixa em x = 1
é golpeada longitudinalmente por uma força que varia com o tempo con-
centrada na extremidade x = O. Mostrar que todos os modos são excitados
0,01
0,1 0,2 0;5 1,0 2
R'=(~)'w"
Figura P. 9-12. Duas primeiras freqüências naturais do
sistema da Fig. P.9-12.

17. ~
L3-i_- ~J_IJ3 _ 3
Figura P. 9-15.
onde W~l 1f4 (EI/M P) = freqüência natural da viga sobre suportes rígidos
W2 = k/M = freqüência natural da viga rígida sobre molas
22
9-16 Escrever as equações para a aproximação de dois modos ao Prob19-15.
9-17 Repctir o Probl. 9-16, utilizando o método aceleração-modo.
9-18 Mostrar que para o problema de uma mola presa a quaIquer ponto x = a
de uma viga, tanto o método modo-vinculado como ó aceleração-modo resul-
tam na mesma equação quando somente um modo é utilizado, scndo esta
equação
r.,2 _ r.,2 11.2J<_R_+_I)_±_J_<R_-_J_)2_'l_'~_~_RI
~ - ~n 21 ' 11.2 ~ 8
Fazer y(x, t) = (b + sen 1fX) q e utilizar o método de Rayleigh para obter
I ' -
~ = b C~ i{(R -, I) 'F J<R - 1): + ~~R} 9-19 A viga representada na Fig. P.9-19 tem uma mola de rigidez rotacional de K
paI lb/rad na extremidade a esquerda. Utilizando ciois mo'dos na Eq. (9.8-8),
determinar a freqüência fundamental do sistema con1l' uma função de K/Mwl
onde Wj é a freqüência fundamental da viga sÚnplesmente apoiada.
K 1M
2-~' -'~-=:A-
R = (~)2Wn
A Fig. P.9-12 (b) representa um gráfico das freqüências naturais do sistema
9-13 Uma viga uniforme, engastada em ambas as extremidades, é excitada por uma
força concentrada Po/(t) no meio do vão, conformc a Fig. P.9-13. Dcterminar
a deflexão sob a carga e o momento de flexão resultante nas extremidades
engastadas.
,9-20 Dcterminar a freqüéncia fundamental para o caso dc ambas as extremidades
da viga da Fig. P.9-19 serem vinculadas por molas de rigidez K. À medida que
,K se 'aproxima do infinito,o resultado tende a ser o da viga engastada.
9-21 Um avião é esquematizado sob a forma de uma viga uniforme de comprimento
I e massa ,m por unida~e de _compri.mento, com uma J!lassa conc~ntrada Mo
no seu centro, conforme a Fig. P.9-l!.
! 9-14 Se uma carga uniformemente ç1istribuída de variação de tempo arbitrária é
aplicada sobre uma viga cantilever uniforme, determinar o fator de partici-
pação dos três primeÍros modos.
9-1;'; Uma mola de rigidez k é presa a uma viga uniforme, conforme indicado
na Fig. P.9-15. Mostrar que a aproximação de um modo resulta na equação
de freqüência
======@I=====
Utilizando a translação de Mo como uma das coordenadas generalizadas,
escrever as equações de movimento e estabelecer a freqüência natural do modo
simétrico. Utílizar.o primeiro n:ôdo cai1til~ver par; a.asa.
9-22 Para o sistema do Probl. 9-21, determinar o modo anti-simé'tricó utilizando
a rotação da fuselagem como uma das cóordenada~ generalizadas.
9-23 Determinar à nova freqüênCia no caso de tanques 'de: massa M1, de ponta
de asa, seremadicionados ao sistema do Probl. 9-21.
G::,r = 1 + 1,5(~ )(::~:1)

18. Utilizando o método de modos vinculados, mostrar que o efeito da adição de
uma massa ml, com momento de inércia JI, num ponto XI sobre a estru-
tura, é a mudança da freqüência natural WI para
w', = W,
,,)1 + ';,/,qJt(x,) + '/.d, qJ',2(X,)
e da massa generalizada e amortecimento para
VIBRA CÃO ALEA TÓRIA
onde uma aproximação de um modo é utilizada para as forças de inércia.
Formular. por meio da síntese modal o pr~blema de vibração da flexão indi-
cada na Flg. P.9-25. Admitir que os cantos permanecem com 90°.
/,
10
Tratamos. nos Capítulos anteriores da resposta de sistemas dinâmicos e excitaçlro
deterministas, representáveis por uma função mate~ática de tempo. A resposta a
tal excitação é determinista tambéJn.
Com o desenvolvimento de motores a jato e aeronaves de alta velocidade,
surgiu um novo aspecto de vibração, o da vibração variando de uma maneira aleató-
ria, conforme indicado na Fig. 10.1-1. A característica de tal funçlro é a de que nã'o
podemos fazer o prognóstico do seu valor instantâneo num sentido deterrninista.
Apesar das suas variações imprevisíveis, muitos fenômenos aleatórios apresen-
tam certo grau de regularidade estatística que toma possível uma abordagem estatís-
tica para o problema. Por exemplo, é possível predizer a probabilidade de encontrar
Um~ barra de seção transve~sal circular é dobrada em ângulo reto num plano
honzontal, conforme indicado na Fig. P.9-26. Utilizando a síntese modal
estabelecer as equações para a vibração perpendicular ao plano da barra:
Notar que a parte 1 está em flexão e torção. Admitir sua flexão apenas no
plano vertical.
~
X

19. J
)
)
)
)
)
)
)
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)
J
)
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)
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)
)
)
o valor instantâneo da resposta dentro de uma faixa especificada de valores x a
x + tu. Outras quantidades, tais como os valores de média e média quadrática,
podem ser 'estabelecidas pcloseu cálculo, e o conteúdo de freqüências da variável
em questão pode ser determinado por vários métodos baseados na análise de Fourier.
.e necessário um grande número de dados para estabelecer ~ confiabilidade em
qualquer método estatístico. Por exemplo, um avião tem de reunir centenas de regis-
tros do tipo representado na Fig. 10.1-12, a fim de estabelecer a estatística da va-
riação de pressão motivada pela turbulência do ar em determinada rota aérea. Deno-
mina-se cada registro de amostra e a sua coleção completa de. conjullIo. Podemos
computar a m6dia das pressões instantâneas no tempo tI' Podemos também multi-
plicar as pressões instantâneas em cada amostra nos tempos tI e ti + T, e tirar a
média desses resultados para o conjunto. Se tais médias não diferem quando escolhe-
mos diversos valores de ti' então o processo aleatório descrito para o conjunto aci-
ma é chamado de estacionário.
número de vezes, ou durante um longo período de tempo. No caso de variáveis dis.
eretas Xi' o valor esperado é dado pela equação
. I "
E[x] ~~ !1m - I; x,
li-h" n j"'l
Estas operações de cálculo de médias podem ser aplicadas a qualquer variável
tal como x
2
(t) ou x(t) • y(t), e o valor esperado (ou expectativa) é associado à
distribuição de probabilidade da variável.
Há uma relação linear direta entre a entrada e a saída em qualquer sistema linear.
Esta relação, que prevalece também para funções aleatórias, é representada pelá
diagrama de bloco da Fig. 10.2-1. O sistema, caracterizado por sua função de trans-
~
.~-
ferência (Vi de Eq. 4.4-4) e modifica a entrada para a saída.
Considerando um sistema mola-massa de um grau de liberdade com amorte-
cimento viscoso, definido pela equação diferencial .
vimos (Capítulo 3) que a solução geral cOllsiste do termo transiente, o qual depende
das condições iniciais e diminui com tempo devido ao amortecimento, dependendo
a solução particular da excitação. (Vi de Eq. 3.2-11). Dcfl11imos agora a função da
resposta da freqüência como: a relação entre a saída e a entrada sob as condições do
estado permanente, com a entrada igual a uma função llamzúnica de tempo com am-
plitude unitária. e assim excluída nesta consideração a solução transiente.
Sendo a entrada
Se ~ médias do' conjunto são em seguida substituídas por médias de tempo,
e se os resultados computados de cada amostra são os mesmos que os de outra amos-
tra qualquer e iguais à média do conjunto; então o processo aleatório é denominado
de ergódico. Este capítulo tratará somente desta classe de funções aleatórias, para
as quais a média de tempo pode ser adotada com imutabilidade assegurada.
O conceito de média de tempo em todo este capítulo refere-se a longo interva-
lo. As notações mais comuns para esta operação são definidas pela seguinte equação
na qual x (t) .é a variável.
-." I JTxC!) = (X(I» = lim -T X(I) dI
r...•o<> o
O número acima é igual também ao valor esperado de x(t),
definido como a média ou valor. médio de uma quantidade
334
ou E[x(t)], o qual é
amostrada um grande
sua substituição na Eq. (10.2-1) resulta na função da resposta da freqüência H(w)
que é

20. I
H(w) =k~---f-n-())~2-.-t.-l-·())-C número e do seu conjugado complexo, simbolizando por ~. podemos reescrevera
Eq..(lO.2.7) na forma
Notamos que H(w) é uma função complexa de w/wn e do fator de amorteci.
mento t, e tem as dimensões de deslocamento sobre força.* * O valor absoluto
desta quantidade é dado pela Eq. (3.2.7) e sua variação com a freqüência e o amor.
tecimento é representada graficamente na Fig. 3.2·3. Para amortecimento pequeno,
seu pico ocorre para w/wn ~ 1,0 e a agudeza da curva de ressonância é definida
por Q = 1/2 t.
Valor Quadrático Médio. As condições iniciais e a fase t/J são ignoradas nas vibra.
'ções aleatórias por sua pequena significação. Estamos preocupados principalmente
com a energia média, a qual podemos associar à média quadrática de x. O valor
quadrático médio, designado pela notação x2, é encontrado pela integração de x~
'num intervalo de tempo T e tomando seu valor médio de acordo com a equação
Assim, elevando ao qladrado e substituindo na Eq. (10.2·5), o valor quadrático
médio de x é
x2 = F~ lim J... Ir (H2e'2"" + 2HH* + H*e-12"") dt
4 r-~ T o
= F~ H(w)H*(w) = P IH(w) 12
2
-' I Irx2 = tim - x2 di
r-- T o
Na avaliação acima, o primeiro e o último termoS tornam·se zero porque T -+- 00 no
denonúnador, ao passo que o termo do meio é independente de T. A Eq. (10.2.9)
indica que o valor quadrático médio da resposta é igual ao valor quadrático médio
da excitação multiplicado pelo quadrado do valor absoluto da função da resposta
do sistema.
Esta equação pode, evidentemente, ser aplicada à força excitadora ou à resposta.
Por exemplo, se temos uma força harmônica F = Fo sen wt, seu valor'quadrá.
tico médio é
P = fim ~ Jr Fi(l .- cos 2wl) di ... F~
. r.",T 02 ····2
Para deteTnúnar a relação entre a média quadrática da resposta e a média
quadrática da excitação, começamos com a equação da resposta
As vibrações aleatórias contêm freqüências numa distribuição contínua sobre uma
faixa larga. :e de interesse na vibração aleatória a quantidade de energia representada
nas divçrsas freqüências. Abordamos este problema considerando inicialmente uma
função periódica 'F(t) que contém muitas freqüências discretas. Ela pode ser
representada pela parte real da série
adnútindo que estamos interessados na parte real da expressão acima. Uma vez que
para qualquer número complexo a· parte real é igual a uma metade da soma do
onde Fn é um número complexo, e Re significa a parte real da série". Escrevemos
esta equação em termos do seu conjugado complexo na forma
'Muitas vezes o fator dimensional O!k na Eq. 10.2-4) é.considerado junto com a força,
deixando a função da resposta da freqüência como uma quantidade não-dimensional
e deteTnúnamos seu valor quadrático médio a seguir
~
}{(w) = ~
I - (!!!..) + i2C(..":!..)
Wn . <O"
"No exemplo 10.6'3, a função da resposta da freqüência é apresentada também como
sendo a transformada de Fourier da função da resposta do impulso.
336

21. Ne.stascondições, o valor quadrático médio da onda de·muitas freqüências é simples-
mente a soma dos valores quadráticos médios de cada componente harmônico presen-
te, sendo o resultado um espectro discreto de freqüência conforme indicado pela
figo 10.3-1. *
p= [S(f)df
Se uma força excitadora Fneinw.t atua sobre um sistema com função da
resposta da freqüência H(w), sua resposta, conforme a Eq. (10.2-7) é
i .:
."'1 I.ó.W I
k. N H
tf; I~LJ~l1~j w
O Wo 2wo 3wo : flWo:
I I
I I
Assim, para um entrada de muitas freqüências, a resposta quadrática média é a super-
posição da totalidade de tais valores ou
Examinamos a seguir a contribuição da média quadrática no intervalo de
freqüência. Âw. Sendo S(nwo) a densidade do valor da média quadrática no inter-
valo Âw na freqüência nwo, obtemos
- FF*
X" = I; T H(nwo)H*(nwo)
. .
= I; SF(nwo)H(nwo)H*(nwo)ô'W
F F*
S(nw ) = ---"-"
o 2ô,w
1't evidente que quando F(t) contém um número muito grande de componen·
tes de freqüências, a função de densidade discreta S(nwo) aproxima-se de uma fun·
ção de densidade espectral contínua S(w), tal como a representada na Fig. 10.3-2.
O valor quadrático médio de F é então
p = s:S(w) dw (10.3-6)
achamos que Sx(nwo) é também um espectro discreto, igual à densidade espec-
traI da éxcitação modificada pela função da resposta da freqüência. Desta forma,
SF(nwO) e Sx(nwo) podem aparecer como na Fig. 10.3-3. No caso de um espec-
tro contínuo, o somatório da Eq. (10.3-9) é substituído por uma integral e a resposta
quadrática média é dada pela equação
x"= rS(w)H(w)H*(w) dw
o .
Sp (nwo)1
~
o w
11111"'Especificamos na Eq 00.3-1) a parte da série que é expressana Eq. (10.3-2).Assim
um número inteiro positivoe o espectroda Fig.10.3-1 é definidona base de freqüências
e não de ambasas freqüênciaspositivase negativas.

22. Na prática, a função da densidade espectral é dada geralmente em termos da
freqüência f = w/2rr cps e, em conseqüência, a equação toma.se é um registro aleatório de banda estreita que é típico da resposta de um sistema
agudamente ressonante a uma entrada de banda ampla. Sua função de densidade
espectralé concentrada em torno da freqüência da variação instantânea dentro d~
envoltória.
Pode-se medir eletronicamente por meio do circuito da Fig. 10.3·7 a densidade
espectral de um determinado registro. Aquí a densidade espectral é mencionada
como a contribuição do valor
x2
= ( S(f)H(f)H*(f) di
1
k
H(f) = [l - uIJ:n + i(2CUlfn)]
Num sistema ligeiramente amortecido, a função da resposta H(f) vai ao má.
ximo abruptamente na ressonância e, se é larga a densidade espectral da excitação,
como na Fig. 10.3-4, a resposta quadrática média pode ser aproximada pela equação
-lW+AWx'
w
S(w)Aw
x2
;;; /"S(/,,) :,
As Figs. 10.3-5 e 10.3·6 representam funções de densidade espectral caracterís-
ticas para dois tipos comuns de registros aleatórios. O primeiro é um registro relativo
a ruído de banda ampla que tem uma larga função de densidade cspectral. O segundo
S(w) = Iim Ã(x
2
)
Aw -o dw
O mtro de banda-passante da banda passante B = dw passa xCt) no intervalo de
freqüência de w para w + Àw, e a saída é elevada ao quadrado, tirada a média, e
dividida por dw.
Para alta resolução, dw deve ser tão estreito.quanto possível; entretanto, a
banda passante do mtro não pode ser reduzida indefinidamente sem se perder a con-
fiabilidade da medida. Além disso, um registro longo é necessário para a estimativa
real do valor quadrático médio, mas os existentes são sempre de comprimento finito.
341

23. h evidente agora que um parâmetro de importância é o produto do comprimento
do registro pela largura da banda, 2ET, a qual deve ser suficientemente longa. *
Exemplo 10.3-1
Um sistema de um grau de liberdade com freqüência natural wn = ..jkfíii e
amortecimento ~ = 0,20 é excitado pela força
A Fig. I0.3~8 apresenta os espectros da entrada e da saída para o problema.
Os componentes da entrada quadrática média são os mesmos para cada freqüência
e iguais a F
2
/2. O espectro da saída é modificado pela função da resposta da fre-
qüência do sistema.
F(t) = F cos iW,,! + F cos w,,! + F COS1W,,!
1:: F cos mw,,!
m ,[ 2, ]-, 3.2
i~lILL'--- ----- ---- ..
.".g E
g O 0,5 1,0 1,5.
"-l wjwn
~ I'ro
.g~
::l."
~E
.~ O
ro
'"
Determinar a resposta quadrática média e comparar o espectro da saída com o
da entrada.
Solução: A.resposta do sistema é simplesmen te a soma das respostas do sistema de
um grau de liberdade para cada um dos componentes harmônicos da força excitadora
1,0
wjwnI
IH(F:v.) I T 1.29
J161(Õ-:-iO)2k
I
IH(w.) I -fl(~20)2 2.~0
I
IH(1w,,) I.. T, ~;7J:
JHT9Tó-;O-2? "
4>':2 = tg-I
~( = 0,08371
r/J, = tg-I 00 ..00,5071
A. __ 1-12(_., 0142
'I' J 2 - tg ~ -.. -, 71
Exemplo 10.3-2
Deternúnar os coeficientes de Fouder Cn ~ a densidade espectral de potência
da função periódica representada na Fig. 10.3·9.
i cD~F_o~__~ 4tI I 1<
" 2T--' I
x(t) "" : [1,29cos(0,5wn - 0,08311)
+ 2,50 cos (wnt - 0,5011)
+ 0,72 cos (l,5w,,! +0,14211)]
1 ITIl . FCo = -- Fo de;, = ....!l
2T. -T:2 2
c =,.l- Iri2 F e··.!"""{ dç.'= 'Fo ('seli (~n/2»)
" 2T _Ti 2 o ' . 2 nn/2,., .;,.
'Vide Bendat, J. S. e A. G. Piersol em "Random Data" Wiley lnterscience, Nova lorque
(1971) pág. 96.
342
Os valores numéricos de Cn são computados a'segUir e'representados na·Fig. 10.3-10
343

24. 0,'127
.- -./4 5 6
- 0.212
2
F.Cn
1,0
tempO total em que x(t) é menos que XI, a qual é a propabilidade de que xCt)
será encontrada menos que XI'
Figura 10.3-10. Coeficientes de Fourier em função de n.
"" "" Cn
n
"2 sen 2
O O O 0. = 100.
2 . 2
" 1 (2)!:!! =06360.'2 "2 ' 2
2
" O O
3 3~ -I (_.2.) !:!!= -O 2l2~2 3" 2 . 2
4 2" O O
5 5~ I (2)!:!! = O 127~2 5" 2 ' 2
P(x,) = Probo [x(t) < xJ
.' . I
= hm- L;Ât,t-~ t
Se é escolhido para XI um número grande negativo. não haverá prolongamento
negativo da curva além de x I, e por esta razão P(x 1 -+ - 00) =- O. À medida que a
reta horizontal correspondente a Xl é movida para cima, mais de·x(t) se estenderá
negativamente além de XI. e deverá crescer a fração do tempo total na qual x(t)
estende-se abaixo de Xl. conforme indicado na Fig. 1O.4-2(a).Quando X -+ 00,
x(t) estará integralmente na região menos que x = 00, e em conseqüência é certa
a probabilidade de x(t) ser menos que x = 00, ou P(x = 00) = 1,0. Nestas con-
dições, a curva da Fig. 1O.4-2(a) que é cumulativa para x positivo deve crescer
monotonamente de zero para X = - 00 até 1,0 para x = + 00.' A curva é deno-
minada função de distribuição da probabilidade cumulativa P(x).e uma vez que f-; = J';; StCw) d w, <I função da densidade espectral pode ser repre-
sentada por uma série de funções delta como
Com referência à função aleatória de tempo da Fig. 10.4-1, qual é a probabilidáde
do seu valor instantâneo ser menos que (mais negativo do que) algum valor especifica-
do de Xl? Para responder a esta pergunta, traçamos uma reta horizontal no valor
especificado x I e somamos os intervalos .de tempo I::iti durante os quais x(t) é.
menos que Xl' &ta soma dividida pelo tempo total representa então a fração do
344

25. Se desejamos determinar em seguida a probabilidade de x(t) que se encontra
entre Xl e X, -+ ll.Xl, precisamos apenas subtrair P(x,) de P(Xl + ll.x), queé
também proporcional ao tempo ocupado por x(t) na zona Xl a Xl + ll.x.
Definimos agora afunção de-densidade da probabilidade p(x) como
, ,x~ 'I,-' '-xp(x) dx. '. -,-",' ,;
e a Fig. lOA-2(b) mostra ser evidente que p(x) é a inclinação da distribuição da
probabilidade cumulativa P(x). Baseados na equação acima podemos escrever
também
P(x,) = [~p(~) dx
o x---.1l-
Ax
--x--
A área sob a curva de densidade da probabilidade da Fig. IOA-2(b) entre dois
valores de x representa a probabilidade da variável estar neste intervalo. Uma vez
que é certa a probabilidade de x(t) estar entre X = ±
o valor quadrático médio é detem1inado de forma semelhante por meio do segundo
momento .
x' =. J:.~x2
p(x) <Ix
~a área total sob a curva p(x) deve ser a unidade.
A Fig. 1004-3 mostra um diagrama de bloco -de um circuito que efetuará
eletronicamente o cálculo da função de densidade da probabilidade. Com x(t)
como a variável, o analisador mede o tempo cumulativo durante o qual x(t) perma-
nece dentro de um intervalo estabelecidoll.x. Encontra-se a densidade da probabili·
dade dividindo-se esta quantidade por ll.x e r.
que é análogo ao momento de inércia' em relação a x = O, da área sob a curva de
densidade da probabilidade.
A variância 0
2
é definida como o valor quadrático médio em relação à média
aritmética, ou . -
(12 -= f",(x - X)2 p(x) dx
= fo> x
2
p(x) dx - 2.1: r..,xp(x) dx +'(X)2 r~p(x) dx
= x2 - 2(X)2 + (x)2
= x2
_ (X)2
o desvio padrão o é a raiz quadrada positiva da variância. Quando a médiaaritméti.
ca é zero, a = ~ e o desvio padrão é igual ao valor da raiz da média quadrática
(rms).
Figura ](J.4-3. ATU1/isadorde densidade da probabilidade p(x) '~Jim 11m -1- ~ .:lI.
[._0<) 6.X·'O IL.X Distribuições Gaussiana e Rayleigh. Certas distribuições que ocorrem freqüentemen-
te na natureza são a disÚibuição Gàussiana(ou 'normal) e a distribuição Rayleigh,
sendo que ambas podem ser expressas matematicamente. ~Adistribuiçã-o Gaussiana é
uma curva em fonna de sino, simétrica em relação à médi~ aritméti~à (a qual se'rá
admitida como zero) com a seguinte equação '
A média e o valor quadrático médio, defmidos previamente em termos da
média do tempo, são relacionados da seguinte maneira com a função de densidade da
probabilidade. O valor médio x coincide com o centróide da área sob a curva de
densidade da probabilidade p(x), como indicado na Fig. 10.4-4. Ele pode portanto
ser determinado-pelo primeiro momento
)346

26. o desvio padrão a é uma medida da dispersão em relação ao valorinédio; quanto
menor o valor de a mais estreita a curva p(x) (lembrar que a área total é igual a
1,0), conforme indica a Fig. 10.4-5(a).
p(x)
1.0
p(A)
0.6
0.5
A
2 4
Figura J 0.4-6. Distribuição Ray/eigh.
Os valores da média e da média quadrática para a distribuição Rayleigh, deter-
minados por meio do primeiro e do segundo momentos são
-3 -2 -1 o
(b)
S
"' S'" A
2
rnÃ' . Ap(A) dA "-= a2 e-A';7·' dA = -V Tao o 2
S
'" S- AJA2p(A) dA = a2
e-A
';2.' dA = 2a2
u • o
A distribuição Gaussiana é traçada não-dimensionalmente na Fig. lOA-5(b) em
termos de x/a. A equação seguinte nos permite encontrar a probabiIidad~ de x(t)
estar entre ± Àa onde À é qualquer número'inteiro positivo
u
1 I'·Prob [-la S x(t) S la] = ~ e-A
'/2.' dx
a,.,; 2n _'a
Também, a probabilidade de A exceder um valor especificado de' Àa é
.t ,Prob [-.ta::; x(t)::; .ta] Prob[Jxl> .ta]
1 68.3% 31.7%
2 95,4 % 4.6%
3 99.7% 0.3%
S
- A
Prob [A > la] =a2e-A';2.' dA
,.
.t P[A> .ta]
O 100%
1 60.7%
2 13,5%
3 1,2%
A probabilidade de x(t) estar fora de ± Àa é a probabilidade de Ix I exceder Àu.
que é 1,0 menos os valores acima, ou a equação'
2 S~Prob [[xl> la] = a:}'Iit ,. e-A
';2.' dx = erJc(,J-) (10.4-10)
A tendência das variáveis aleatórias limitadas a valores positivos, tais como o
valor absoluto da amplitude A, é muitas vezes a de seguir a distribuição de Rayleigh
que é definida pela equaçã"o
P(A)=:2e-A'/2.' A>O (10.4-11)
A probabilidade da densidade p(A) é aqui zero para A < O e tem o perfIl apresen-
tado na Fig. 10.4-6
348
Três impor,tantes exert1J>losde registros de tempo enco~trados freqüentemente
na prática são apresentados na Fig. 10.4-7, onde'O valor da média é escolhido arbitra-
riamente para ser zero. Mostra-se facilmente que a dístríbl;lição da probabilidade
cumulativa para a onda senoidal é
P(x) = -i + ..!-sen-l~
1t A

27. f f' f (1A
TVV
------~~xll~7-
---=1-=,o
L,.0
para zero. Quando No/2M == O, a distribuição de densidade da probabilidade dos
valores de pico torna-se Gaussiana, ao passo que quando No/2M == 1, como no
caso da banda estreita, a tendência da distribuição de densidade da probabilidade
dos valores de pico é para a distribuição Rayleigh.
Uma especificação para teste de vibração aleatória estabelece para
Valor médio da aceleração == O
Densidade da aceleração, 0,025 g2 cps
Faixa da freqüência, 20 a 2000 cps
Determinar o valor rms da aceleração.
~, O
Solução: O valor rms da aceleração é· a raiz quadrada do prodúto da deilsidade
da aceleração pela largura da fab.a .
No caso do registro de banda-larga, a anlplitude, a fase e a freqüência variam
rodas .aleatoriamente e não é possível uma expressão analítica para seus valores
instantâneos. Encontram-se tais funções em ruído de rádio, na flu tuação da pressão
do motor a jato. na turbulência atmosférica. ete., e a distribuição mais provável da
. probabilidade para tais registros é a Gaussiana.
Quando um registro de banda-larga é colocado através um fi1tro de banda-
estreita. ou um sistema de ressonância onde a largura da banda do filtro é pequena
em comparação com sua freqüência central [o, obtemos o terceiro tipo de onda
que é essencialmente 'uma oscilação de freqüência constante, com amplitude e fase
variando lentamente. A distribuição da probab;lidade para seus valores instantâneos
é a mesma que a da função aleatória de banda larga. Entretanto, os valores absolutos
dos seus picos, correspondendo à envoltória, terão a distribuição Rayleigh.
Outra quantidade de grande interesse é a distribuição dos valores de pico.
Rice*mostra que a distribuição dos valores de pico depende da quantidade No/2M
onde No é o número.decruzamentos zero e 2M é o'número de picos positivos c
negativos. Para uma onda senoidal ou uma banda estreita, No é igual a 2M de m0do
que a relação No/2M == 1. Para um registro aleatório de banda-larga, o número de
picos excederá de muito o número de cruzamentos zero, de modo que No/2M tende
I
p(x) c= 11..../A2 _ Xi
=0
Exemplo 10.4-2
Um sinal aleatório tem uma dellSida(;~ e>pectía! que é constante
en tre 20 e 1200 eps, e zero fora desta faixa de freqüência. Seu valor médio
é de 2,0 pol. Determinar seu desvio padrão e seu valor nus.
Soluç50: Se o valor médio n,tro é zero, temos que usar a Eq. (1DA· 7)
f
~ fl200 .(;2 = S(f) dI = 0,004 d[ == 4,72
(l . 20 '

28. S(f)
(X)' '= 4
I
Tabela Numérica
j !:.j S(!i) Ilf(!il I lf(!ilI2 !:.j S(!i) Ilf (!iW M
cps cps g2/cpS Não-dimensional cps g' unidades
O 10 O 1,0 10 O
10 10 O 1,0 10 O
20 10 0,2 1,1 12,1 2,4
! 30 10 0,6 1,4 19,6 11,8
t 40 10 1,2 2,0 40 48,0
50 10 1,8 1,3 16,9 30,5
60 10 1,8 1,3 16,9 30,5
70 10 1,1 2,0 40 44,0
80 10 0,9 3,7 137 123
90 10 1,1 5,4 291 320
100 10 1,2 2,2 48,4 57,7
110 10 1,1 1,3 16,9 18,6
120 10 0,8 0,8 6,4 5,1
130 10 0,6 0,6 3,6 2,2
140 10 0,3 0,5 2,5 0,8
150 10 0,2 0,6 3,6 0,7
160 10 0,2 0,7 4,9 0,1
170 10 0,1 1,3 16,9 1,7
180 10 0,1 1,1 12,1 .1,2
190 10 0,5 0,7 4,9 2,3
200 10 O 0,5 2,5 O
'210 .'10 O 0,4 1.6 O
ã2 = 7oo.6g2
(1 = ./7oo,6g2 = 26,6g
As probabilidades de haver excesso sobre acelerações especificadas s[o
p[la I> 26,6g] "" 31,7% p[la I> 79,8g] == 0,3%
p[apico >26,6 g] = 60,7% p[apico >79,8g] == 1,2%
Exemplo 10.4-3
A resposta de qualquer estrutura a uma excitação aleatória em um ponto
único pode ser computada por um processo numérico simples, desde que sejam
conhecidas a densidade espectral da excitação e a curva da resposta da freqüên-
cia da estrutura. Considere-se, por exemplo, a estrutura da Fig. 10.4-9(a)
cuja base é sujeita a uma entrada de aceleração aleatória com a função da
densidade espectral de potência representada na Fig. 10A-9(b). Deseja-se
. computar a resposta do ponto p e estabelecer a probabilidade de haver exces-
so sobre qualquer aceleração especificada.
Pode-se obter experimentalmente a função da resposta da freqüência H(j)
para o ponto p, aplicando-se à base um agitador senoidal de freqüência variável com
uma entrada da aceleração constante ao e medindo-se a resposta da aceleração em
p. Dividindo·se a aceleração medida por ao. H(j) aparece como na Fig. 10.4-9(c)~
A resposta quadrática média a~ em p é calculada numericamente por meio
da equação
Correlação é uma medida da similaridade entre duas quantidades. Suponhamos
que temos dois registros, XI (t) e xz(t), conforme a Fig. 10.5-1. A correlação
XI(I)_ ~.~
p~~
~ro~' '.
~c-. ~COO-.J '"' ........,.~
Figura 10.5-1 Correlação enlre x, (t) e x,(I).A tabela numérica seguinte ilustra o processo de computação.
352

29. entre eles é computada pela multiplicação das ordenadas dos dois registros em cada
tempo t e determinando o valor'médio <XI (t)X2 (t) > pela divisão da soma dos
prodUtos pelo seu número. É evidente que a correlação calculada desta maneira será
maior quando os dois registros forem similares ou idênticos. Para registros dissimila-
res, alguns produtos scrão positivos e outros negativos, e assim',sua soma será ~;enor.
Consideremos agora o caso em que X2 (t) é idêntico a Xl (t) mas desl.ocado
para a esquerda de um tempo r, conforme a Fig. 10.5-L Então no tempo t, quando
XI é x(t), o valor de X2 é x(t + r), e a correlação será dada por < x(t)x(t + 7) >.
Aqui, se r = O, temos correlação completa; à medida que r aumenta a correlação
.vai decrescendo.
É evidente que o resultado acima pode ser computado por meio' de um, registro
único, multiplicando-se as ordenadas nos tempos t e t + r e determin:mdo a mé·
dia. Designamos então este resultado a autocorrelação e a chamamos por R (7),
Ela é
R(r) = E[x(t)x(t + r)] = <x(t)x(t -I- '7;)
I JT!l= ~i~ T -Til X(I)X(I + r) di
Visto que o segundo registro da Fig. 10.5·2 pode'ser considerado como atrasado em
relação ao primeiro registro, ou o primciro adiantado em relação ao segundo, é evi·
dente que R(r) = R( - '7) é simétrico em relaçãO à origcm 70= ° e é sempre
menos que R(O).
Funções altamcnte aleatórias, tais como a representada na Fig. 10.5-3 perdem
logo sua similaridade dentro de, um deslocamento curto de tempo. Sua autocorrela-
)354
)
ção, portanto; é uma ponta aguda em 7 = ° que cai rapidamente com ± 7 como'
indicado.
~t'
Para o caso especial de uma onda periódica, a autocorrelação deve ser periódica
do mesmo pcríodo uma vez que se deslocando a onda de um período ela volta à
coincidência novamente. A Fig. 10.5-4 mostra uma onda senoidal e sua autocorre·
lação.
A'
R(T) =""2cos WoT
A autocorrelação para o ruído de banda larga é uma curva com o pico em
7 = O, caindo de cada lado muito rapidamente e aproximando-se de zero. Isto signi·
fica que a correlação ou não existe ou é pequena, exceto perto de r = O, para os
registros aleatórios de banda larga.
,Para o registro de banda estreita representado na Fig. 10.5·5, a autocorrelação
tem aIgumas das caiacterísticas encontradas para a onda senoidal, no sentido de que
ela é novamente urna função p~r com um máximo para r = ° e freqÜência wQ'
correspondendo à freqüência dominante ou central.'
Rcsposta de banda estreil.
rfDrh'anf 71r:AW t
.,V.VJIX1l _1-V=vJ[L
A diferença aparece riO fato de R(r) aproximar-se de zero para r grande no ca-
so de registro de banda estreita. É evidente então que periodicidades ocultas num
355

30. registro aleatório podem ser detectadas pela determinação de R(T) para grandes
valores de 1.
Outras propriedades da funç~o de autocorrelação ficam transferi das para uma
seção adiant?; mostramos agora um diagrama de bloco na Fig. 10.5-6 que apresenta
~,(r) ,= (Z(I)Z(I + r»
,~~([x(l) +y(l»)[x(l + r) -I- y(t -I- r)l)
= (x(l)x(l + r» + (x(l)y(l + r»
+ (y(l)x(1 + r» + <;>(I)y(l + r»
= Rx(r) + Rxy(r) + Ryx(r) + Rir)
Assim a autocorrelação <le uma deflexão em um ponto dado devido a duas cargas
separadas FI (I) e F2 (I)' não pode ser determinada e simplesmente pela soma das
autocorrelaçõcs Rx(T) e Ry (T) que resultam de cada carga atuando separadamente.
Rxy(T) e Ryx(T) são aqui referidas como correlações cruzaclas e, geralmente, elas
não são iguais.
a operação básica para a multiplicação da autocorrelação. O sinal X(I) é atrasado
de T e multiplicado, sendo em seguida integrado e calculada a média. O atraso de
tempo T é fixado durante cada passagem e é mudado em etapas ou continuamente
por uma técnica de varredura fina.
Examinamos na Seç. 10.3 o conteúdo de freqüência de funções periódicas de tempo
que resultam em espectros discretos de freqüência. O conceito da densidade espectral
foi introduzido então como a contribuição quadrática média no intervalo de freqüên-.
cia dividida pelo intervalo de freqüência, aproximando-se esta quantidade de uma
-variação cont{nua à medida que o período se aproxima de um valor grande. Quando
a função da densidade espectral é conhecida, o traballho de se determinar o valor
quadrático médio fica red~zido ao da soma no intervalo da freqüência, de acordo
com a Eq. (10.3-6) .
. As vibrações alea t6rias (;m geral não são peri6dieas, de modo que a análise
da freqüência requer o uso da integral de Pourier. Esta, entretanto, pode ser vista
como um caso limite da série de Fourier à medida que o período se estende para o
infinito. As transformadas de Fourier, que resultam da sua integral, permitem um
tratamento mais extensivo do problema da vibração aleat6ria.
COmeçamos com urna função periódica x(l) que é uma quantidade real que
pode ser expressa pela função
Correlação cruzada. Consideremos duas quantidades X(I) e y(l). A correlação
entre estas duas quantidades é definida pela equação
Rxy(-r:) = E[X(I)y(1 + -r:») = <x(l)Y(1 + -r:»
I J~= ~~~T _~ X(I)y(I +-r:)dl
que também pode ser chamada de correlação cruzada elHre as quantidades x e y.
Muitas vezes tais quantidadés aparecem em problemas dinâmicos. Por exem-
plo, seja X(I) a deflexão na extremidade de urna viga em razio de uma carga FI (I)
em algum ponto especificado. Y(I) é adeflexão no mesmo ponto, devido a uma
segunda carga F2(1) num ponto diferente do primeiro, conforme a Fig. 10.5.7.
JL_ (,(I) .
~(()
.~ JF
,(()
1~---~y(t)
I Jr:> .Cn c. 1: . x(ç)e-In",,~ dç
-T,2 ,
A deflexão resultante de ambas as cargas é então z(l) = X(I) + Y(I), e a correlação
de z(r) como um resultado das duas cargas é
356
e T é o período. A Eq. (10.6-2) indica que C~
pode ser reescrita na forma

31. Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétriea da transfor-
mada de Fourier.
Teorema de Parseval. O teorema de Parseval é um intrumento útil para eonverter
integração de tempo em integração de freqüência. Se XI (f) e X2 (J) são transfor-
madas de Fourier das funções reais de tempo XI (t) e X2 (t) respectivamente,
o teorema de Parseval estabeleee que
A freqüência w = nwo é especificada aqui em intervalos discretos, e por isto
o seu incremento é
L.x,(I)X2(1) dI = [. XI (J)X,(- f) df
'.'~ [~XI(- f)X,U) df
De acordo com esta expressão, substituímos 1fT por !:J.wf21f e notamos que
T -+ 00, !:J.w -+ d w e r-wo -+ w. Assim no easo limite, a Eq. 00.6-3) tarna-se
X1(I)X,(I).c x,(1) r" X, (J)ei
"/' df ,
f xl(t)x,(1) dI r~,",x,(I) [MX,U)e"'/' df dI
..L..X,(f)[L. x,(I)e"·/t dI] df
= [" X,(J)X2(-f)df
que é a integral de Fourier.
Considerando que a quantidade dentro das chaves internas é uma função
somente de iw, podemos reescrever esta equação em duas partes a seguir
X(iw) = r~x(ç)e"iw{ dç (I0.6-5)
X(I) = i-f·" X(iw)eiwr
dw
n _~
Todas as fórmulas anteriores para o valor quadrático médio, autocorrelação e cor-
relação cruzada podem ser expressas agora pelo teorema de Parseval, em termos da
transfo'rmada de Fourier.
A quantidade X(iw) é a transformada de Fourier de x(t), e as duas equações acima
são ,denominadas como o par da transformada de Fourier. A Eq. (10.6-5) reduz a
função· x(t) a seus componentes harmônicos X(iw), enquanto a Eg. 00.6-6) reúne
,estes componentes na função original x(t).
Para medidas na prática, é mais conveniente adotar a freqüência f do que a
freqüência angular w.· Desta forma, há também matematicamente a vantagem de
-reduzir o par da transformada de Fourier às expressões simétricas abaixo
Exemplo 10.6-1.
Expressar o valor quadrático médio em termos da, transformada de Fourier.
Fazendo x I (t) = X2 (t) = x(t), e tirando a média no intervalo T, que pode
variar até "", obtemos
Daqui em diante usaremos sempre que possível esta expressão simétrica da transfor·
mada de Fourier.
358
Exemplo 10.6·2.
Expressar a autoeorrelação em termos da transformada de Fourier. Começa-
mos eom a transformada de Fourier de x(t + 1)

32. X(I + 't}= S:oo X(f)eI2
>[(/h) di
I foo
R(-r) = ~~~T _00 X(I)X(I + r) dI
= lim 1- Joo x(l) foo X(f)e'2>[t
el2>[T di dI
r-oo T -00 _00
= Joo lim 1-{Joo x(l)e'2.[t dl}X(f)e,2.f< di
-00 T-M T -00
= foo "f1im 1-X*(f)X(f)}ei2.[T di
, _00 (r_oo T
Sendo R(r) simétrica em relação a r = O, a última equação pode ser expressa
também na forma
. S(f) = 25:R(r) cos 21tfor dr
Estas são as equações de Wiener-Kinchin, e elas exprimem que 'a função da densidade
expectral pode ser determinada pela função de autocorrelação.
Paralelamente às equações de Wiener-Kinchin, podemos definir a correlação
cruzada entre duas quantidades x(t) e y(t) como
I fT/2';:,lr) = <X(/)Y(I + r» = lim -T X(I)Y(I + r) dI
r-o<> -T/2
= foo lim 1-X*(f)Y(f)eI2>[T di
-00 T-oo T
Rx/or) = foo Sxy(f)ei
2.[T df
onde a densidade espectral é definida como
360
SXy(f) == ~i_~ ~ X*(f)Y(f)
= ~i_~ ~X(f)Y*(f)
= S':,(f) = Sx/-f)
quc é a paralela à Eq. (10.6-12). Ao contrário da autocorrelação, as funções de
correlação cruzada e densidade espectral cruzada não são geralmente funções pares.
Portanto, são mantidos os limites - 00 a + 00. '
Exemplo 10.6-3
Mostrar que a função da resposta da freqüência H(w) é a transformada de
Fourier da função da resposta do impulso g(t).
Solução: De acordo com a integral de convolução, Eq. (4.3-1), a equação da res-
posta em termos da função da resposta do impulso é
X(I) = LJ(ç)g(1 - ç) dç
onde o limite inferior foi estendido a - 00 para abranger todas excitações passadas.
Fazendo r = (t - ~). a integral acima toma-se
X(I) = s:f(1 - r)g(r) dor
X(I) = s:eiw(/-')g(r) dor
= ei~1 ( g(or)e-iWT dr
A comparação deste resultado com a Eq. (10.2-3) mostra que a função da resposta
da freqüência é
H(w) =, f'~g(or)e-iWT
dor
o '
Densidade Espectral pela Transformação de Laplace da Autocorrelação. Usaremos
até aqui as transformadas de Fourier supondo que elas existem para o registro' em
questão. Para as transformadas de Fourier

33. ~
,~
~
~
~
t)
~
~
~
•~
~
~
•~
•~
•
•,
•
•
•~
•
•
•
•.i
•
I
•
S(s) = r.,R(r)e-" dr
I J~f(l) = - F(w)eiwt
dw
271: _~
F(w) = r~f(l)e-iW
' dI
Uma vez que R (7) é uma função simétrica, o limite inferior pode ser mudado para
zero e dobrado o valor da integral.
S(s) = 2 r:R(r)e-" dr
a integração é ao longo do eixo real, de - 00 a + 00.
Suponhamos a mudança do curso da integração para uma reta paralela ao eixo
real, mas abaixo dele uma distância r, como indicado na Fig. 10.6-1 (a). Os limites
da.in tegração Nestas condições, a função da densidade espectra/ pode ser determinada pela tranS-
formada de Laplace da [ulIção de autocorrelação. Para as funções de autoeorrelação
que não têm a transformada de Fourier, a equação acima oferece um processo altero
nativo para a avaliação da função da densidade espectral S(i21Tf).
10.7 RESPOSTA DE ESTRUTURAS CONTINUAS A
EXCITAÇÃO ALEATOR(A
Consideramos aqui o problema da determinação da resposta quadrática média
y2 (x, t) de uma estrutura elástica contínua excitada por uma força aleatória f(x, t)
distribuída. Tratando o problema por meio da soma dos modos normais
são então w = - 00 - ir a w = + 00 - ir, e a integral de Fourier é estendida
para incluir funções para as quais as equações anteriores não podiam ser válidas.
y(x, i) =.2: ~/x)q/I)
j
J J'~--irf(l) ~c - F(w)e""' dw
2n -'"-i,
onde 4J/x) são os modos normais da estrutura, podemos utilizar o nosso conheci·
mento plhio da resposta do sistema de um grau de liberdade, discutida na Seç. 10.2.
Para isto devemos admitir amortecimento proporcional definido por
Se introduzimos agora .I' = iw, é evidente q~e pontos na Fig. 10.6-1(a) giram
90
0
como na Fig. 10.6-1 (b), e o curso da integração torna-se uma linha vertical a
uma distância r à direita da origem. As transformadas de Fourier tornam-se agora
rc(x)rf>/X)rf>k(X) dx = o
.0
f(l) = _1_. Jrfi-" F(s)e" doi'
2m r-i"
F(s) = r...f(l)e-" dI
e são assim convertidas no par de dois lados da lransformada de Laptace.
Consideremos a seguir a Eq. (10.6-12) da função da densidade espectral da
potência
AIj = s:rf>;(x}dm massa ~eneralizada
Fi/) o, S:f(x ,t)rf>'/x) dx = força generalizada
Com i21Tf = iw = .1', a equação acima é reconhecida como a transformada de
Laplace de dois lados
362
Ao estabelecer a resposta quadrática média. de' y(x, t), .devemos considerar
as seguintes somas ..
1·,/, " !

34. - I JT!2y2(X, I) = lim -T y2(X, I) dI
T-H>O' -T12
Bretschneider*. A Fig. 10.7·1 pode representar um tal espectro, para um
determinado estado do mar.
Notamos aqui que estamos envolvidos com a correlação cruzada de q/t) e qk (I)
que, pelo teorema de Parseval. pode ser substituída pela integração da freqüência
das transformadas de Fourier '
I JT!2 J= I
~i~ T -Ti2 q/l)qk(l) dI = _= ~~r:?>T Q/f)Qt(f) df
onde as letras maiúsculas representam as T.F. das quantidades correspondentes em
letras rÚinúsculas. De acordo com a Eq. (10.~.15),notamos também que
S.,••C/) = ~~~~Q/f)Qt(J)
é a densidade espectral cruzada das coordenadas generalizadas, a qual é relacionada
à.densidade espectral cruzada da:orça excitadora, SFjFk(f) (Vide Ed. /0.3.10).
S.,••(J) = Hif)Ht(J)Sp'P.(J)
Na determinação da resposta de uma estrutura de océano a tal excitação, um
caminho é a admissão de forças ondulatórias harmônicas da forma
F(I) = C :E ai cos (rol + ~I)
I
onde para concordar co~ o espectro ondulatório, as amplitudes aj são escolhidas
pela relação seguinte para cada freqüência Wj
É necessário freqüentemente trabalhar estritamente no período do tempo em
que a equação diferencial do moviment.o seja da forma
Pode-se admitir que a fase tPj tenha uma piobabilidade igual entre O e 2~ .e, em
conseqüência, pode ser escolhida fazendo·se girar uma roda de roleta (ou utilIZando
o método de Monte Cado com números aleatórios). Quando somadas todas as fre·
qüências corresponden tes ao aspectro ondulatório, a excitação F(t) é uma função
aleatória de tempo.
Aplicando F(t) à equação diferencial do sIstema sob consideração, a resposta
x(l) é obtida por um computador. A partir da resposta x(t) a correlação R(1) é
computada e o espectro da resposta é obtido por meio da Eq. (10.6.13) ou (/0.6·19)
onde F(t) é admitida como uma função aleatória de tempo e L(x. x, ~) é uma
equação diferencia} que pode ser não-linear. A solução para uma equação eomo
esta seria obtida mais provavelmente no computador digital ou no analógico, sendo
o resultado uma resposta aleatória x(t).
No caso de se querer o espectro da resposta para o problema acima, o primeiro
passo será o de formar a função de auto correlação S(J) = 2 s:R(7:) cos 2nf7:dr
= 2 5:R(7:)e-" d7: (s = i2n/)
o espectro da resposta S(f) será então obtido pela relação Wiener-Khinchin,
Eq. (10.6-13).
Exemplo 10.7·1
As alturas das ondas oceânicas são geralmente distribuídas numa forma Ray·
leigh, comum espectro de freqüência conhecido como o espectro do mar de
'C. L., Brctschncidcr, :'Wavc Variability and Wave Spectra for Wind·Gencratcd Gravily
Waves." T. M. N9 118 Beach Erosion Board, U. S. Army Corps ofEngineers.

35. 10·30 Iniciando com a equação
Spx(w) ~~lim 2-~T F*(iw)X(iw)
'1''"'' n
Jilll ~-F*(FlI)· 5pll
'1' •.•• 2nT
SXF(W) o~ lilll _I_X*F = lim ~.-(F*fI*)F = 5}.11*
'1'_•• ,2nT T- ••• 2nT
S,..(w) '--' S"X<w) ._0 lI(iw)
SXf'(w) Sp(w)
10·31 A equação diferencial para o movimento longitudinal de uma barra fina
uniforme é
Mostrar que para uma força axial arbitrária na extremidade x '= 0, com a
outra extremidade x '= I livre, a transformada de Laplace da resposta é
10·32 Se a força no Probl. 10-31 é harmônica e igual a F(t) '= Fociw1
, mostrar que
/l(x t) = cF"éw
' cosjfOJ!/c)(x/! - I)]
, WAl:.scn(úJ!/C)
. ( ) _ -scn[(wl/c)(x/! - l)]F" ,,,,/
a x, I - scn(w!/c) /[c
10·33 Com S(w) como a densidade espectral da tensão da excitação cm x 0,
mostrar que a tensão quadrática média no Probl. 10-31 é
- 2n c x
0'2 ~ -:L; -I S(wn)scn 2 /ln-!
Y n nn
onde é admitido o amortecimento estrutural. Os modos normais do problema
são