Trabalho de Equações Diferenciais Parciais

EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
ÍNDICE
Introdução ...................................................................................................................2
1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico ..........................................................3
1.1 Métodos de Resolução das EDP....................................................................3
1.1.1 Método da Integração Básica Directa......................................................4
1.1.2 Método de Mudança de Variáveis ...........................................................5
1.1.3 Separação de Variáveis...........................................................................8
2 Série de Fourier ..................................................................................................10
2.1 Funções Pares e Ímpares ............................................................................11
2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares.........................................12
2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos...................................................12
2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda.................................................13
2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier .........................13
Conclusão .................................................................................................................17
Referências Bibliográficas.........................................................................................18
Integrantes do Grupo.................................................................................................19

2
INTRODUÇÃO
A Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos
campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como
sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de
sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria
electromagnética, mecânica quântica, e outros.
Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não
Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico,
Elíptico e Parabólico.
No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de
tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a
equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do
problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.

3
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO
Dada uma EDP na forma, GFU
y
U
E
x
U
D
y
U
C
yx
U
B
x
U
A 














2
22
2
2
onde
todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis
em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo
Hiperbólico se, .
EXEMPLOS.
1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
a)
b)
Solução:
a)
( ) é uma equação diferencial
hiperbólica.
b)
não é uma equação diferencial
hiperbólica.
EXERCÍCIOS.
1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
)
b)
c)
1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP
Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de
uma equação diferencial.

4
1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTA
No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações
Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis,
consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função
arbitrária nas outras variáveis como uma constante.
EXEMPLOS.
1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das
equações diferenciais parciais seguintes:
a) ( )
b) ( )
Solução:
a) ( )
, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e
y, então considera-se como constante uma função em ordem a y.
Logo vem:
( ) ( ), que é neste caso a solução geral.
b) ( )
Integrando primeiro em ordem a vem ( ) ( ) e integrando agora em
ordem a y temos como solução geral
( ) ∫ ( ) ( ).
EXERCÍCIOS
Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes:
a. ( )
b. ( )
c. ( )

5
1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para a EDP ( ) ( ) ( ) Definimos a equação
diferencial característica associada como:
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) As curvas características
associadas são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.
Exemplo de equações características de uma EDP A equação
definida em 2
 ,tem a equação característica ( ) ( )
A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:
É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo
de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que
oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica
associada.
Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)
=0
Onde são números reais. Usando as mudanças de variáveis:
e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :
e
E assim temos:
Neste caso a solução geral é dada por ( ) ( ) ( )
De forma análoga temos:
( )
( ) ( )

6
Assim: ( ) ( )
Ou seja:
Ou em uma notação mais simples:
( )
Analogamente:
( ) ( )
( ) ( )
)
( ) )
Ou mais simplesmente:
( ) ( )
Do mesmo modo:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ou seja:
Ou ainda vem:
( )
EXEMPLO.
Determinar a solução geral para a equação:
Solução:

7
Determinando primeiro a equação característica ordinária vem:
( ) ( ) ( )( )
Integrando cada uma das equações temos
, fazendo
Fazendo também .
Então:
=
( ) ( )
( ) ( )
Ou simplesmente:
Analogamente:
( ) ( )
( ) ( )
Ou apenas:
Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:
( )

8
, Aplicando o método da integração básica directa temos que:
( ) ( ) ( ) que é solução da equação
Com as variáveis originais obtemos a solução:
( ) ( ) ( ) que é a solução geral.
EXERCÍCIOS.
Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação:
a) 0456  yyxyxx
ZZZ
Pelas condições:
yxvyxu 2;34 
1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de
x por uma função de y, como:
( ) ( ) ( )
As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas
variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que:
,
E que ,
EXEMPLOS.
Determine:
a)
b)
Solução:
a)  
Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é
independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são
independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser
uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como
 ou 
Desta forma distinguimos os três casos seguintes:
CASO I
Se as duas igualdades  , então temos:

9
, assim temos as Respectivas
equações auxiliares seguintes:
, onde para x e para 
Dessa forma temos as soluções seguintes:
x x  , assim uma solução particular da EDP
dada é:
U =XY
( x x )  
 x  x onde
CASO II
Se  as igualdades
onde para x e para y
temos que  , assim as soluções respectivas são:
x x  , a solução particular
correspondente é:
( x x ) 
 x  x onde e
representa a unidade imaginária.
CASO III
Se 0, as igualdades
 
onde
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
Se , são soluções particulares de uma equação diferencial em
derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear
também é uma solução, em que são constantes e 0
k
Assim é também solução da equação anterior a expressão:
 x  x  x
 x

10
)
então
pelas equações auxiliares temos que
, então vem:
X= e Y= , assim a solução produto
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 SÉRIE DE FOURIER
A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo( ) é
( ) ∑ ( ) onde: ∫ ( ) ,
∫ ( ) ∫ ( )
EXEMPLOS.
Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado:
) ( ) { ) ( ) { ) ( ) {
Solução:
) ( ) {
A série de Fourier de função f (x) é dada por:
( ) ∑ ( ),
Determinando os coeficientes temos:
∫ ( )–
, Neste caso ∫ ( ) ∫–
∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫ ∫ ∫

11
∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫ ( ) [ ]
( ) [ ( ) ] Então a série de Fourier para a função dada
é: ( ) ∑
[ ( ) ]
) ( ) { ∫ ( )
–
∫ ( )
–
∫ ∫
–
[ ] [ ]
∫ ( )–
∫ ( ) ∫ ∫––
Integrando por partes a segunda parcela temos:
[ ( )] [
( )
] [( ) ]
∫ ( ) ∫ ∫
[ ] [
( )
]
logo a série correspondente é:
( ) ∑ [( ) ]
EXERCÍCIOS.
1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:
) ( ) { ) ( ) {
2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
A função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma
função é par se ( ) ( ) e é ímpar se ( ) ( ).
Vemos que ( ) ( )

12
2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
a) O produto de duas funções pares é par
b) O produto de duas funções ímpares é par
c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função
ímpar
d) A soma ou diferença de duas funções pares é par
e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar
f) Se f é par, ∫ ( ) ∫ ( )
g) Se é ímpar, ∫ ( )
2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS
I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de
Co-senos ( ) ∑
Em que ∫ ( ) e ∫ ( )
II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos:
( ) ∑ , onde ∫ ( )
EXEMPLOS.
1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) ( )
b) ( )
Solução:
a) ( )
Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem:
( ) ( ), mas ( ) ( ) logo a função é ímpar, assim podemos
desenvolver em série de Fourier de senos.
( ) ∑ ,
∫ ( )
∫
∫ [ ]

13
, a série correspondente para este caso é:
( ) ∑ ( ) ,
b) ( )
( ) ( ) , Conclui-se que a função é par.
Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co-
seno.
( ) ∑
∫ ( )
∫ [ ]
∫ ( )
∫ * ( ) +
( ) ∑
EXERCÍCIOS.
Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA
2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER
A equação se chama de oscilação de uma corda
(equação de corda vibrante ), onde é considerado como uma constante positiva, a
menos que se especifique o contrário.

14
CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA
O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma
função ( ), para e , que satisfaça a equação das ondas, as
condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido
como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF.
Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição
de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a
hipótese de extremidades fixas implica que ( ) ( ) ,Para . Que são
chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a
natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o
deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é
abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial ( ). Assim
devem ser dados
( ) ( )
( ) ( ) ; que são chamadas de condições iniciais.
EXEMPLOS
1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima:
( ) ( ) , Para
) ( ) ( ) | ( )
( ) ( )
) ( ) ( ) |
Solução
( ) ( )
) ( ) ( ) | ( )
Separando as variáveis tem-se:

15
Onde as suas equações auxiliares são:
Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se:  ,
Atendendo as condições de fronteira, temos ( ) ( )
0
Esta última equação define os valores próprios
As funções próprias respectivas são ,
As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira
são ( )
( ) ∑ ( )
Como t=0 na última expressão, obtemos então
( ) ∑ ( )
Sendo que e que ∫ ( )
E para determinar , apenas derivamos ( ) em ordem a t e fazemos t=0:
∑ ( )
| ( ) ∑ ( )
Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do
intervalo no intervalo, o coeficiente total ( )deve estar na forma
∫ ( )
∫ ( )
A solução do problema está formada por série, com definidos
respectivamente.
E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso,
( ) , para todo em em consequência,

16
( ) ( )
) ( ) ( ) |
Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de
separação de variáveis obtém-se:
, então atendendo as condições de
fronteira e iniciais vem: ( ) ( )
Então, ∑ ( )
Impondo ( ) ( ) ∑
∑ ( )
( ) ∑
( ) ∑ ( )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as
condições citadas:
a) ( ) ( ) ( ) , ( )
b) ( ) ( ) ( ) , ( )

17
CONCLUSÃO
Portanto, é de salientar que uma EDP na forma,
Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem
das variáveis em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do
Tipo Hiperbólico se, . E para resolver as EDP do tipo hiperbólico,
aplicam-se alguns métodos tais como: método da integração básica directa, método
de mudança de variáveis, separação de variáveis e o princípio de superposição.
Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma
corda pelos métodos de Fourier.
Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico
nos diversos problemas físicos.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed,
USA.
 BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais,
ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.
 FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.
 FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais
Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.
 Hispanoamericana, S. A, (1983), México.
 KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e
EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.
 KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2,
LimusaWiley, (2003), 3 ªed, México.
 PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I
 PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II
 SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.
 SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall

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INTEGRANTES DO GRUPO
 Emília Muteca
 Evaristo Hakombo Oliveira
 Mateus das Neves Bango
 Paulo dos Santos Cambinda
 Francisco Javela Pereira
 Samuel José Domingos Maquengo

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