Resolução da lista 4

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Resolução da lista 4

  1. 1. Resolução da Lista 4 de FF-20701. Uma partícula move-se num plano sobre a influência de uma força, atuando em direção a um centro de força cuja magnitude é:Onde r é a direção da partícula ao centro de força.Encontre o potencial generalizado que resulta em tal força, e dada aLagrageana para o movimento no plano.SOLUÇÃO:Vamos tomar as coordenadas esféricas, pois a força já está descritaem função de r. Como o movimento ocorre no plano, já podemosconsiderar (equação de vínculo).Analisando o a fórmula da força, podemos perceber que o potencialtambém depende da velocidade, i.e. . Onde . Então,podemos relacioná-lo com a força generalizada da seguintemaneira:Calculando a força generalizada, temos:Da equação (1), temos:
  2. 2. Essa equação pode ser separada em duas, onde temos:Resolvendo essas equações, vamos encontrar o potencialgeneralizado:Em coordenadas esféricas, podemos descrever a velocidade como:Assim, a energia cinética fica:Enfim, teremos a seguinte Lagrageana:02. Uma Lagrangeana para um sistema particular pode ser escrita como:
  3. 3. Onde a, b, c são constantes arbitrárias, mas sujeitas às condições . Quais são as equações de movimento? Examineparticularmente os dois casos e .Qual é o sistema físico descrito pela Lagrangeana acima?SOLUÇÃO:As equações de movimento são dadas utilizando-se a fórmulas deEuler-Lagrange.onde , e . Disso, temos:Substituindo em (1), temos:As equações (2) e (3) são as equações de movimento.Quando , temos para que valha a condição. Então,as equações de movimento são:
  4. 4. Analisando as equações (2.1) e (3.1), podemos concluir que omovimento é oscilatório, tanto no eixo x, como no eixo y, análogoao movimento harmônico simples feito por um sistema massa-mola(sem amortecimento e nem forças externas). É como se um blocode massa m estivesse oscilando devido a duas molas de mesmaconstante k, uma presa na direção x e outra na direção y.Quando , temos para que valha a condição.Então, as equações de movimento são:De maneira análoga ao caso anterior, temos a mesma interpretaçãofísica para o sistema descrito pela Lagrangeana.03. Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão tal que tem sua Lagrangeana dada:
  5. 5. onde V é uma função diferenciável de x. Encontre a equação de movimento para x(t) e descreva a natureza física do sistema com base nesta equação. SOLUÇÃO: Utilizando-se a equação de Euler-Lagrange, temos: onde e . Daí, temos:Separando em duas equações, temos:Onde temos:
  6. 6. Onde E é uma constante que representa a energia total do sistema.A outra solução é análoga à feita acima para E=0. Essa diferençaocorre devido à escolha do referencial.Integrando a equação (1) encontramos x=x(t). O que podemosconcluir é que há conservação da energia total do sistema.

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