Resolução da lista 2

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  • Boa tarde. Otimo material. To tendo muitas duvidas nesse assunto, voce teria algum material que poderia me ajudar com a solução de exercícios do livro mecanica analica do nivaldo lemos? Ou poderia me indicar materiais possa me ajudar alem desses que voce postou que são muito bons. Obrigado.
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Resolução da lista 2

  1. 1. Resolução da Lista 2 de FF-20701. Dois corpos de massa m são unidos por um bastão de comprimento l, do qual o centro é vinculado a se mover num círculo de raio a. Escreva a equação da energia cinética nas coordenadas generalizadas. SOLUÇÃO: Como as massas dos corpos das extremidades do bastão são iguais, temos que o centro do bastão é a posição do centro de massas dos corpos. Agora, vamos considerar que o bastão é tangente à trajetória (circunferência, nesse caso) de seu centro que se move a uma velocidade angular de constante. Para escrever as equações de transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas generalizadas em relação ao centro de massa, é necessário primeiro analisar a existência de vínculos holonômicos. Com isso, sabemos que a distância do centro de massa à origem O é constante. Daí, temos o seguinte vínculo holonômico: Com este vínculo, podemos escrever as equações de transformação de coordenadas para o centro de massa que são: Este vínculo também reduz o número de coordenadas independentes, pois antes se tinha 2, que eram os cartesianos x, y e agora só tem 1, que é a coordenada generalizada . Então, através da figura, é fácil ver que:
  2. 2. Logo, fazendo as derivadas temporais de e , teremos: Daí, podemos calcular a energia cinética do sistema como: Calculando e , temos: De maneira análoga, temos que: Assim, concluímos que a energia cinética em coordenadas generalizadas é:02. Obtenha as equações de Lagrange para o movimento de um pêndulo esférico, ou seja, uma massa puntiforme suspendida por uma barra de massa desprezível.
  3. 3. SOLUÇÃO: Podemos pensar inicialmente que o pêndulo esférico tem 3 coordenadas independentes, que são as cartesianas x, y e z. No entanto, o comprimento da barra é constante, o que implica na seguinte equação de vínculo holonômico: Dessa forma, o número de coordenadas generalizadasserá apenas 2, a saber e , como mostra a figura.Assim, temos as seguintes equações de transformação decoordenadas:Fazendo as derivadas temporais, temos:Então, a energia cinética é calculada da seguinte maneira:Já a energia potencial é calculada da seguinte maneira:Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:
  4. 4. Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmula abaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2: Para j = 1, temos = e: De (1) e (2), temos: Para j = 2, temos = e: De (1) e (3), temos: Assim, as equações de Lagrange são:03. Duas massas puntiformes e são conectadas por uma corda através de um buraco em uma mesa lisa, tal que está na
  5. 5. superfície da mesa e está suspensa. Assumindo que possa semover somente na vertical, quais são as coordenadas generalizadasdo sistema? Escreva as equações de Lagrange para o sistema e, sepossível discuta o significado físico que elas podem ter. Reduza oproblema a uma única equação diferencial de segunda ordem eobtenha a primeira integral da equação. Qual é o seu significadofísico? (Considere no movimento tal que nem e nem passapelo buraco).SOLUÇÃO:Como o sistema é composto por duas partículas, teríamos um totalde 6 variáveis independentes para descrevê-lo. No entanto, existemalguns vínculos. Um deles é que a massa se move somente noplano da mesa, logo (considerando o plano da mesa como z= 0). Assim, também podemos descrever a posição de usandocoordenadas polares r, θ. O outro é que só se move no eixo z(vertical), então e . O último vínculo é que as massasestão conectadas pela corda, assim temos que queintegrando tem ,onde k é a constante . Como há 4 equações devínculos holonômicos, tem-se apenas duas variáveis independentes,a saber z e θ. Assim, as coordenadas generalizadas do sistema são ze θ. Com isso, podemos determinar os vetores posições de e .Derivando em função do tempo, temos:Assim, a energia cinética do sistema é:Já a energia potencial do sistema é:
  6. 6. Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmulaabaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2:Para j = 1, temos = e:De (1) e (2), temos:Para j = 2, temos = e:De (1) e (3), temos:
  7. 7. Assim, as equações de Lagrange são:Analisando as equações (**) e (*), vemos que e que é igual ao momento angular damassa na direção . Como sua derivada temporal é igual a zero(ver equação (**)), temos que o momento angular se conserva, edisso podemos tirar que à medida que diminui, ou seja, a massa desce, a velocidade angular de aumenta. De fato, se aLagrangiana do sistema independe de alguma coordenadageneralizada, temos da equação (1) que:E então a grandeza vai se conservar no tempo.Também da equação (**), podemos tirar que ,ou seja, , onde . Substituindo na equação(4), temos:A equação (5) é a equação diferencial de segunda ordem pedida noenunciado. Fazendo a primeira integração, temos:
  8. 8. Substituindo na equação acima, temos: O sentido físico é que a energia mecânica se conserva ao longo do tempo. 04. A partir do Princípio de D’Alembert, mostre que: SOLUÇÃO: A partir da equação de movimento temos:
  9. 9. Onde é o deslocamento virtual da partícula i.Como o trabalho virtual das forças de vínculos é zero, temos:Esse primeiro termo é:Onde é a força generalizada definida como .Já no segundo termo, temos:Como , podemos escrever:Também, como , temos:
  10. 10. Então, podemos concluir que:Considerando que seja de classe , para que se possa garantir aigualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas, i.e., e , pode-se concluir de (2) e (3) que:Também, podemos escrever:Logo, voltando à equação (1), tem-se:
  11. 11. De (*) e (**), podemos provar que:

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