1) Se a função Hamiltoniana não varia com translação, o momento é conservado. 2) A função de Hamilton para um oscilador anarmônico é dada por H=(p^2)/(2m)+(1/2)kx^2+(1/4)λx^4. 3) Para uma partícula com H=(p^2)/(2m)+(1/2)kx^2, a equação de movimento é x''+kx=0. Para H=px, a equação é x'=v0.

1. Resolução da Lista 8 de FF-207
01. Suponha que a função Hamiltoniana de um sistema de
partículas não varie com uma translação infinitesimal. Discuta a
Conservação do Momentum.
SOLUÇÃO:
Se a função Hamiltoniana não varia com uma translação
infinitesimal, então a coordenada generalizada é cíclica, isto
é, não aparece explicitamente na Hamiltoniana e, portanto
. No entanto, pelas equações canônicas, temos que
. Então, é fácil ver o momento generalizado é
conservado no tempo.
02. Obtenha a função de Hamilton para um oscilador anarmônico,
cuja função de Lagrange é:
SOLUÇÃO:
Da Lagrangeana, segue que:
Com isso, vamos escrever a Hamiltoniana utilizando a
transformação de Legendre:
Sabemos que:

2. Fazendo as substituições necessárias para eliminar e
acrescentar , temos:
03. Ache a equação de movimento de uma partícula, cuja função de
Hamilton é:
a)
b)
SOLUÇÃO:
a)
As equações canônicas dessa Hamiltoniana são:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira:
Elevando-se a segunda equação ao quadrado e substituindo o
valor encontrado acima, temos:

3. Para não ficar repetindo, vamos chamar de .
Fazendo a substituição .
Então, integrando:
Onde .
b)
As equações canônicas dessa Hamiltoniana são:
Integrando a primeira equação, temos:
Onde é o momento generalizado inicial.
Substituindo na segunda, temos:
Onde é a posição inicial.
Também, podemos fazer de outra forma, mas a equação de
movimento não vai depender explicitamente do .
Isolando na segunda equação e derivando:

4. Substituindo na primeira equação:
Fazendo , temos:
Para simplificar os cálculos, vamos chamar .
Trocando o de novo na equação, chegaremos ao seguinte
resultado:
Onde são respectivamente a posição e a velocidade
inicial.