Slides Lição 03, Central Gospel, O Arrebatamento, 1Tr24.pptx
Física I para Oceanografia
1. Física I para Oceanografia
FEP111 (4300111)
2º Semestre de 2011
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 10 Rolamento e momento angular
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdir.guimaraes@usp.br
Fone: 3091.7104
2. Rolamento e momento angular
Rolamento descreve o movimento de carros, bicicletas e outros ...
Momento angular é um conceito útil para se entender a física das rotações.
3. Rolamento sem deslizamento
Rolamento é a mistura do movimento de translação do
centro de massa mais o movimento de rotação.
No Rolamento sem deslizamento cada ponto toca apenas
uma vez no chão e a translação acompanha a rotação.
Condição para que não
haja deslizamento
rvCM
Velocidade
de translação
Velocidade
de rotação
rddS rS 2
5. Dinâmica do rolamento
Sem atrito = deslizamento
Com atrito = rolamento
Portanto o atrito é a força
responsável pelo movimento de
rolamento.
rFI atritocmext
cmext maF
Com
racm
Equação para rotação.
Equação para translação.
Quando temos atrito estático (sem deslizamento no ponto de contato)
se considera que não há perda de energia no sistema, ou seja, que o
sistema é conservativo. Isto é aproximadamente correto.
6. Atrito estático
Não há perda de energia
Sistema conservativo.
ncmecext WEW
cm
g
v
h icm
29
10
7 2
Não existem forças externas e nem forças internas dissipativas.
Energia Mecânica se conserva. 2
5
2
mRI
Rolamento sem deslizamento
Exemplo: Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e
7,2 kg, rola sem deslizar a 2,0 m/s . Ela continua a
rolar sem deslizar, ao subir uma rampa até a altura
h, quando atinge o repouso. Determine h.
00 mecE
iiff KUKU
22
2
1
2
1
00 icmcm Imvmgh i
7. Uma bola maciça, de raio R e massa m,
desce rolando um plano inclinado com ângulo
θ, sem deslizar. Determine a força de atrito
e a aceleração do centro de massa.
RFI extcmext
cmext maF Com
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton
à bola (rotação e translação).
Ra
Rv
cm
cm
Rolamento sem deslizamento –
plano inclinado
cmatres maFmgF sin
cm
cmcm
ma
R
aI
mg 2
sin
2
1
sin
mR
I
g
a
cm
cm
Translação:
Rotação:
RFI atcmext
cm
cm
at a
R
I
F 2
8. anel
cilindro
esfera
Rolando de um plano inclinado, quem chegaria primeiro?
2
MkIntegenericame cm
2
2
2 1
sin
1
sin
R
k
g
mR
I
g
a
cm
cm
2
2
1
1
R
k
0.5 para anel
0.66 para cilindro
0.71 para esfera
Portanto esfera chega primeiro ! ! !
2
2
2
1
2
5
2
MRIanel
MRIcilindro
MRIesfera
cm
cm
cm
9. Qual seria o maior ângulo para que não houvesse deslizamento ?
RFI atcmext
cm
cm
at a
R
I
F 2
2
MkIcm
2
2
1
sin
R
k
g
acm
)(
)1(
22
2
2
22
2
2
kR
k
Mgsen
R
k
gsen
R
Mk
a
R
I
F cm
cm
at
Usando que:
Por outro lado: cosMgNF eeat
cos
)( 22
2
Mg
kR
k
Mgsen e
e
k
kR
tg 2
22
)(
racm
10. Qual a velocidade e energia cinética
no final da rampa ?
Ssenh
SaVV if 2
22
0iV
?fV
)1(
2
)1(
2
2
2
2
2
2
R
k
R
kf
gh
sen
hgsen
V
2
2
12
2
1
cmf IMVT
Energia cinética no final da rampa.
2
MkIcm
RV
Usando que: )1( 2
22
2
1
R
k
fMVT
Mgh
gh
MT R
k
R
k
)1(
)1(
2
2
2
2
22
1
Substituindo o valor da velocidade.
Energia cinética final = Energia potencial
Mas e a energia dissipada pelo atrito ?
Força de atrito não realiza
trabalho porque no ponto de
contato não há deslocamento.
Força de atrito apenas converte
parte a energia de translação em
rotação.
11. Bola de Sinuca
Um taco atinge uma bola de bilhar em um ponto a uma distância b acima do
centro da bola. Determine o valor de d para que a bola role, sem deslizar.
b
RFI extcmext
cmext maF Com
Ra
Rv
cm
cm
Translação:
Rotação:
inicialI _
Para rolamento sem deslizamento
Impulso inicial do taco:
t
P
F
ifinicial MVMVPtFI
cmMVtF Taco dá uma velocidade inicial
de translação e rotação.
cmIt
b = parametro
de impacto
12. Rb 5
2
cmIt
2
5
2
MRIcm
FbUsando que:
2
5
2
MRtFb
2
5
2
MRtbF
2
5
2
MRbMVcm
cmMVtF
22
5
R
bVcm
Sentido horário
torque negativo
RVcm Para que a bola
role sem deslizar 22
5
R
bR
Velocidade angular
no sentido horário
b
inicialI _
b = parametro
de impacto
13. Agora, vamos considerar os casos em que o eixo de rotação pode
alterar a sua direção. Isto explicita a natureza vetorial da rotação.
Definimos a direção do vetor velocidade angular como perpendicular
ao plano de rotação e o sentido dado pela regra da mão direita.
A natureza vetorial da rotação
14. A definição mais completa do torque é dada em termos do produto vetorial
Fr
A natureza vetorial do Torque
Fsenr
Torque é um vetor perpendicular ao
plano formado pelos vetores r e F
15. Momento Angular
O momento angular desempenha o mesmo papel na rotação que o
momento linear desempenha na translação.
dt
prd
dt
pd
rFr
)(
vmp
Por analogia à quantidade
de movimento linear
podemos também escrever
Na translação temos:
am
dt
vd
m
dt
vmd
dt
pd
Fres
)(
definição de Newton para a sua segunda lei.
prL
Definimos a Quantidade de Movimento Angular (ou
Momento Angular) em relação à origem, como sendo
I
dt
Ld
segunda lei de Newton na rotação.
16. Momento Angular
A figura ao lado, mostra uma partícula
de massa m, na posição r, se movendo
com uma velocidade v. Ela possui uma
quantidade de movimento linear
prL
vmp
Definimos o Momento Angular em
relação à origem, como sendo
17. Momento Angular
prL
Por analogia à quantidade de movimento linear
IL
Porém, se mudarmos a origem do sistema de
coordenadas, em relação ao plano da órbita,
obtemos um novo valor de L que não é paralelo a
ω.
Isto indica que a última definição não é universal.
prL
vmp
podemos também escrever
18. No entanto, se tivéssemos duas massas simétricas em relação ao
eixo z, L seria paralelo a ω.
Isto mostra que a última definição é válida apenas quando temos
simetria em relação ao eixo de rotação.
Momento Angular
prL
IL
19. A segunda lei de Newton para a translação pode ser escrita como:
dt
pd
F sis
ext
Mais analogias
A segunda lei de Newton para a rotação pode ser escrita em
termos do torque e momento angular como:
dt
Ld sis
ext
Para corpos pequenos e partículas é mais prático usarmos:
Para corpos extensos girando usamos:
prL
mvrL
IL IL
20. momento de inércia (I)
de uma partícula
2
iirmI
2
2
1
IK Energia Cinética Rotacional
Um corpo consiste de 4 partículas pontuais, com massas m, ligadas por
hastes sem massa, como na figura ao lado. O sistema gira com velocidade
angular ω em torno do centro do corpo. (a) Determine o momento de
inércia do corpo. (b) Determine a energia cinética do corpo.
i
iirmI 2
2
2
1
IK
2
4maI
22
2 maK
Energia Cinética Rotacional
21. Vamos fixar o sistema de coordenadas no
eixo da polia, com o eixo z paralelo ao eixo
da polia.
Uma polia sem atrito nos mancais, tem dois
blocos, de massas m1 > m2, ligadas por um
fio de massa desprezível. A polia é disco de
massa M e raio R. Determine a aceleração dos
blocos.
Como os vetores torque, velocidade
angular e momento angular são paralelos
ao eixo z, podemos tratar este
problema, como unidimensional e
trabalhar escalarmente.
21 LLLL pz
vRmvRmILz 21
21 LLLL ptotal
P2
P1
111 prL
vRmsenprL 1111
23. O peso não gera torque
em relação ao eixo que
passa pelo centro de
massa.
Conservação do Momento Angular
Quando o torque externo resultante sobre um sistema é nulo, temos:
0
dt
Ld
ext
cteLsis
Assim para sistemas isolados e sem torque externo
temos a Conservação do Momento Angular do sistema.
fi LL
ffii II
24. Discos sobrepostos
O disco 1 gira livremente com velocidade
angular ωi. Seu momento de inércia é I1. Ele
cai sobre o disco 2, com momento de inércia
I2, que está em repouso. Devido ao atrito
cinético, os dois discos tendem a ter a
mesma velocidade. Determine ωf
0
dt
Ld
ext
cteLL fi
Temos a Conservação do Momento Angular do sistema.
fi III )( 211
if
II
I
21
1
ffii II
25. Portanto, a Energia
Cinética não se conservou
e nem a energia mecânica.
Energia
Vamos verificar a conservação da energia
cinética
I
L
I
I
IK
22
)(
2
1 22
2
Podemos escrever a Energia Cinética de
Rotação como:
2
12
1
ii IK
iif
II
I
II
I
IIK 2
21
2
1
2
122
21
1
212
1
)())((
21
1
II
I
K
K
i
f
if
II
I
21
1
ff IIK 2
212
1
)( se
26. Como o torque externo em relação ao eixo do carrossel é nulo,
há conservação da quantidade de movimento angular
Um parque possui um pequeno carrossel de 3,0 m
de diâmetro e 130 kg.m2 de momento de inércia.
Cinco colegas se colocam próximo à borda, com o
carrossel girando a 20 rpm. Quatro dos colegas
se movam rapidamente para o centro do
carrossel (r= 30 cm). Se a aceleração centrípeta
necessária para atirar o quinto colega para fora
do carrossel é de 4g, determine se este foi
arremessado. (a massa de cada colega é 60 kg)
if LL iiff II
carri ImRI 2
5
2
.287 mkgI f
2
.805 mkgIi
carrf ImrmRI 22
4 sradrpmf /88,52,56
gsmR
R
v
ac 5/9,51 22
2
Arremessado !
sradrpmi /09.20,20
27. Como o torque externo em relação ao eixo do carrossel é nulo, há
conservação da quantidade de movimento angular
Uma criança de 25 kg, corre a 2,5 m/s,
tangente à borda de um carrossel de raio 2,0
m. O carrossel inicialmente em repouso, tem
momento de inércia de 500 kg.m2. A criança
pula sobre o carrossel. Determine a velocidade
angular final do conjunto.
if LL
fff IL
carrf ImRI 2 srad
ImR
Rmv
carr
i
f /21,02
iici RmvvmrL
iff RmvI
28. Como a tensão é radial, não realiza torque sobre a partícula, então há
conservação da quantidade de movimento angular da partícula.
Uma partícula de massa m se move sem atrito
com velocidade v0 em um círculo de raio r0. A
partícula está presa a um fio que passa por um
furo na mesa. O fio é puxado até que o raio do
movimento passe a ser rf.
(a) Determine a velocidade final.
(b) Determine a tensão no fio.
(c) Determine o trabalho realizado pela tensão
sobre a partícula.
if LL 00 vmrvmr ff
r
v
mT
2
f
f
r
vr
v 00
mrvL 3
2
mr
L
T
a)
b)
00mvrmvr ff
29. 3
2
mr
L
T
ff r
r
r
r
dr
mr
L
TdrW
00
3
2
2
0
2
2
11
2 rrm
L
W
f
c)
TdrldFW
30. A mesma condição anterior, porém com o eixo da roda na horizontal.
Como fazer para colocar o eixo na vertical?
O que acontece com a cadeira?
Para pensar !
Uma pessoa está sobre uma cadeira giratória, com a roda de bicicleta com
seu eixo na vertical. Se ela gira a roda, o que acontece com a cadeira?
31. Roda de bicicleta
A “roda de bicicleta” vista na aula consiste em um
corpo em rotação chamado de giroscópio, com o
seu eixo livre para alterar a sua direção.
A quantidade de movimento angular da roda é:
dt
Ld
cmIL
Aplicando-se a segunda lei de Newton para a rotação, temos:
gMrcmres
Giroscópio
Mas também
DMg
cmIL
módulo
32. A velocidade de precessão da roda
em torno do eixo vertical é dada por:
O torque pode mudar tanto a velocidade
de rotação, aumentando a intensidade de
L, como também pode mudar apenas a
direção do vetor momento angular L.
Da mesma forma que a força centrípeda
altera apenas a direção do vetor
velocidade.
dt
Ld
res
LddL
dt
d
p
cm
res
p
I
MgD
L
Movimento de precessão
dt
dL
Ldt
d 1
dt
dL
L
1
33. A colisão é inelástica, não há conservação da energia mecânica do sistema.
Uma barra fina de massa M e comprimento d
está pendurada em um pivô. Um pedaço de massa
de modelar de massa m e velocidade v, atinge a
barra a uma distância x do pivô e se prende a
ela. Determine a razão entre as energias
cinéticas antes e depois da colisão.
mvxvmrLf
2
2
1
mvKi
22
3
1
MdmxI f
f
f
fff
I
L
IK
22
1
2
2
34. if LL mvxvmrLL if
2
2
1
mvKi
)3(
)(
2
3
22
2
Mdmx
mvx
K f
f
f
fff
I
L
IK
22
1
2
2
2
2
3
1
1
mx
MdK
K
i
f
Durante a colisão há uma grande força no pivô, portanto não há
conservação da quantidade de movimento linear.
A força no pivô é radial, não existe torque e temos conservação
da quantidade de movimento angular.
2
22
2
2
1
)3(
)(
2
3
mv
Mdmx
mvx
K
K
i
f
35. Como a tensão não é radial, existe um
torque sobre a partícula, então não há
conservação da quantidade de
movimento angular da partícula.
Considere a situação ao lado. Ela é
semelhante à do problema anterior?
A quantidade de movimento se
conserva? Como varia ω em função
do raio?