Matematica financeira

Curso Técnico em Transações Imobiliárias
Módulo – Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Ms. Paulo Eduardo Durão Rodrigues


SUMÁRIO

Apresentação
Introdução
1- números proporcionais
2- operações sobre mercadorias
2.1 - preços de custo e venda
2.2 - lucros e prejuízos
3- taxa de juros
3.1- homogeneidade entre tempo e taxa 6- capitalização composta
3.2- juro exato e juro comercial 6.1- juros compostos
4- inflação 6.2- montante composto
5- capitalização simples 6.3- desconto composto
5.1- juros simples Bibliografia
5.2- montante simples Questões
5.3- desconto simples Gabarito


APRESENTAÇÃO

Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de
imóveis que conta hoje com praticamente quarenta anos de profissão, e que
sempre se preocupou em oferecer um excelente serviço ao cliente, para
assim, efetuar a venda do produto – o imóvel.

O serviço prestado ao cliente pode ser classificado como, a parte das
relações humanas, no processo de venda. É nesta etapa que devemos
mostrar o conhecimento da linguagem da Matemática Financeira,
informando, orientando e trazendo segurança para o comprador.

Nossa apostila começa com uma matemática básica e fundamental,
necessária para a construção de um alicerce bem estruturado, passando
pelas operações sobre mercadorias, pelas taxas de juros, pela inflação, até
chegarmos aos regimes de capitalização. Vários autores foram pesquisados
na tentativa de se obter bons conteúdos.


APRESENTAÇÃO

No primeiro tópico - Números Proporcionais - foi utilizado como referência o
livro Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática
e introdução ao cálculo, de Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio.
Nessa bibliografia capturamos os fundamentos das razões equivalentes, das
proporções, da divisão em partes proporcionais, da divisão em partes
inversamente proporcionais e das porcentagens. Esses conhecimentos serão
de grande valia para o entendimento e a resolução de alguns exercícios no
final da apostila.

No segundo tópico- Operações sobre Mercadorias– são feitos estudos
(através de exemplos), mostrando-se o cálculo de lucros e
prejuízos, referenciando-se nos preços de compra e venda. Os livros aqui
adotados, Matemática Financeira: noções básicas, de José Lineu Marzagão e
Matemática Comercial e Financeira, de Rogério Gomes de Faria, foram de
grande valia, pois proporcionaram uma visão esclarecedora de vários casos
de negociações de vendas e compras.


APRESENTAÇÃO

No terceiro tópico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o
tempo de aplicação e a taxa de juros em fórmulas de matemática financeira,
bem como, a diferença entre juro exato e juro comercial.
Novamente, os autores Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio são
nossos esteios na elaboração desta lição que, possui também, exemplos
resolvidos para a obtenção de um melhor entendimento sobre o assunto. É
importante compreendermos as taxas, pois as mesmas estão presentes nos
investimentos e empréstimos.

O assunto Inflação (quarto tópico) utiliza-se de uma linguagem bem
tranqüila, baseada no livro Guia da inflação para o povo, de Paul Singer,
possibilitando ao leitor um entendimento geral deste, dito terror, do mundo
econômico.


APRESENTAÇÃO

O estudo do regime de Capitalização Simples é o nosso cenário principal no
quinto tópico da apostila. Aqui, são abordados a conceituação de juros
simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa
acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos.

Na seqüência, o sexto tópico, é feito o estudo da Capitalização Composta.
Neste regime de capitalização são analisados os juros compostos, o
montante composto e o desconto composto. São também estudados o
cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos e a
equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta.

Sabendo-se que todas as negociações financeiras têm como suporte um dos
regimes de capitalização, procurou-se dar ênfase aos dois últimos
tópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem, digitados
no estilo passo a passo. A bibliografia, aqui utilizada, foi o livro Concursos
Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo
Costa que, muito nos auxiliou na formatação das etapas finais destes
estudos.


APRESENTAÇÃO

O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que
conseguir aliar fundamentação teórica à prática, terá um poderoso
instrumento de trabalho nas mãos, além é claro, de clientes para efetuar
negócios.

Prof. Ms Paulo Eduardo Durão Rodrigues


INTRODUÇÃO

O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta
do décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo
sistema econômico, social e político.

Como importantes características do Capitalismo podemos citar:
•a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo)
formatando a economia de mercado;
•o surgimento das grandes empresas;
•as relações de trocas monetárias;
•a preocupação com os rendimentos;
•e principalmente, o trabalho assalariado.


INTRODUÇÃO

Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases,
sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo
Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras
do maior volume do capital em circulação.

Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar:
1ª)Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV);
2ª)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos
lucros (séculos XV ao XVIII);
3ª)Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando
os industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar
que esta terceira fase ainda acontece.


INTRODUÇÃO

Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para
a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se
fazer previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de
juros, montante, descontos, dentre outros, a matemática foi sendo
gradativamente aplicada ao comércio e às finanças;
Conseqüentemente, originando o seu ramo específico, chamado
Matemática Financeira.

A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado
econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam
um grande poder para a execução de serviços.

a
b

1. Números Proporcionais

• Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta
ordenação, como o quociente entre a e b.

a
Então, escrevemos: ou a : b.
b
Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o
seu valor, diferente de zero.
a
( a é o numerador e b é o denominador).
b

Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28.

a 32 32 16 8
Solução: , então . Essas três frações são Razões
b 28 28 14 7
Equivalentes pois dividindo-se, o numerador pelo denominador, em cada uma das
três frações, obteremos o mesmo resultado.
a 8
Resposta: .
b 7


• A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção.

16 8
Exemplo 1: , 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da
14 7
proporção.

Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos”.

12 16
Exemplo 2: As razões e são iguais, logo:
3 4

12 16
, então: 3 x 16 = 4 x 12.
3 4
48 = 48.


• Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise
do exemplo a seguir:

Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5.
Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850
será dividido em três partes.
Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam
representadas, respectivamente, pelas letras X, Y e Z.

850
X= *1 85.
1 4 5

850
Y= *4 340.
1 4 5

850
Z= *5 425.
1 4 5


Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando assim,
que a divisão em partes proporcionais está correta.
No cálculo de cada uma das letras ( X , Y e Z ), devemos sempre dividir o número
principal ( neste caso o número 850 ), pelo somatório das partes proporcionais ( no
exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta
divisão por cada uma das partes proporcionais.


• Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação:

Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos
números 2 e 4.

1 1
1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os e .
2 4

2º passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador
(denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o
mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o
resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que, estes cálculos estão
1 1
acontecendo com as frações e . Como o valor do mínimo múltiplo comum
2 4
2 1
será 4, as frações se modificarão para e .
4 4


3º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados
apenas os numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir
daqui teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais , pois o
número principal ( neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório das
partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma
das partes.

1.200
• 1º parte: * 2 800.
2 1

1.200
• 2º parte: *1 400.
2 1

4º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número
1.200, provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está
correta.


• Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho
com porcentagens (percentagens).

Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária.
Solução: devemos dividir a taxa por 100.
14,45
14,45% = 0,1445. 0,1445 é a forma unitária.
100

3
Exemplo 2: Colocar a fração na forma percentual.
4
Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade
fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico.
3 x
4 100

4 . x = 3 . 100

4x = 300
3 75
x = 75, então 75%.
4 100


Exemplo 3: Calcular 27% de 270.
Solução : transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o
número encontrado por 270.
27
27% = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72,9.
100
72,9 corresponde a 27% de 270.


2. Operações sobre Mercadorias

1.1 - Preços de custo e venda:

Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados às
operações de compra e venda.
Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que
os mesmos, podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de
venda da mercadoria em questão.

Fórmula básica : PRV = PRC + LC

Onde: • PRV = Preço de Venda;
• PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra;
• LC = Lucro obtido na Venda.


1.1 - Lucros e Prejuízos:

O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir:

Exemplo 1: Lucro sobre o custo.

Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o
lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra.

Solução: PRC = 3.000
PRV = 3.850 3.000 100%
PRV = PRC + LC 850 X
LC = PRV - PRC
LC = 3.850 – 3.000 3.000 . X = 100 . 850
LC = 850 X = 28,333%

Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.


Exemplo 2: Lucro sobre a venda.

Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00.
Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda.

Solução: PRC = 550
PRV = 705 705 100%
PRV = PRC + LC 155 X
LC = PRV – PRC 705 . X = 100 . 155
LC = 705 – 550 X = 21,986%
LC = 155 Obs.; O lucro sobre o custo foi de
21,986%.


Exemplo 3:

Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15%
sobre o preço da venda, calcule o mesmo.
Sendo o lucro calculado sobre o
Solução: 430 100% preço da venda, este terá o valor
X 15% de 100% .

100 . X = 430 . 15
X = 64,5
O lucro foi de R$64,50.

Exemplo 4:

Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro,
em porcentagem, sobre o preço de custo.
Sendo o lucro calculado
Solução: PRV = PRC + LC 518 100% sobre o preço de custo,
PRC = PRV – LC 152 X este terá o valor de
PRC = 670 – 152 100%.
PRC = 518
518 . X = 100 . 152
X = 29,344%.


Exemplo 5:

Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de
42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Solução: 142% 1.050 Como o prejuízo é de 42% sobre o
100% X preço de venda, este corresponderá a
100%. O preço de custo corresponderá
142 . X = 100 . 1050 então a 142%.
X = 739,44.
O preço de venda é R$739,44.


Exemplo 6:

Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de
venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00.

Solução: 115% 445
100% X

115 . X = 100 . 445 Como o prejuízo é de 15% sobre o preço
X = 386,96 de venda, este corresponderá a 100%. O
O preço venda de é R$386,96. preço de custo corresponderá a 115%.


Exemplo 7: Utilização de índices.

Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi
de 4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de
R$2.500,00.

Solução: Custo Prejuízo Venda
2.500 P PRV
12 4 8

2.500 PRV
A relação de proporcionalidade entre o
12 8 prejuízo e o preço de venda é estabelecida
12 . PRV = 2500 . 8 pela taxa 4 para 8. Temos assim 8
PRV = 1666,67. unidades de preço de venda para 4
unidades de prejuízo e,
O preço de venda é R$1.666,67. conseqüentemente, para cada 12 unidades
de custo, neste exercício.


3. TAXA DE JUROS

Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituição
financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi
emprestada, mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo
empréstimo”.

Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bônus que
se paga por um capital emprestado.

O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao
dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se
chama Taxa de Juros.


3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa:

Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na mesma
unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada
pela letra i ).

•Considerações Importantes:

1º) - O mês comercial possui 30 dias;
- O ano comercial possui 360 dias;
- O ano civil possui 365 dias.

2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim, para
usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la
para a forma unitária.
Ex.: i = 25,8% forma unitária i = 0,258.


Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial,
equivale a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: ano comercial = 360 dias.
18%
i= 0,05% ao dia. resposta: 0,05% ao dia.
360

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao
mês?

Solução: i = 12% ao ano.
12%
i= 1% ao mês. resposta: 1% ao mês.
12


Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial,
equivale a quantos % (por cento) ao dia?

Solução: mês comercial = 30 dias.
3%
i= 0,1% ao dia. resposta: 0,1% ao dia.
30

Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao
ano?

Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano.
i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao
ano, levando-se em consideração o ano civil?

Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano.
i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano.


3.1 - Juro Exato e Juro Comercial:

Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam
o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a
taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil.

Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois
o ano utilizado é o ano comercial.

i
• Juro Exato J=Cx x n.
365

i
• Juro Comercial J=Cx x n.
360

Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico
capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas
duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem
iguais.


4. INFLAÇÃO

(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o problema
inflacionário).

De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e
cumulativo dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas
sim, o bloco econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços
acontece de forma contínua, prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado.

O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do montante dos
meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda por moeda
legal; mas associado ao aumento do montante, acontece também, um aumento dos
preços.


O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de
carestia.
O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas.
Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar
gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o
pagamento de serviços de água, luz e esgoto.
Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e
eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de
beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos
produtos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família
pobre e um acréscimo no orçamento da família rica.

Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado
peso nas contas mensais, sofre também um aumento.


• Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida:
Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com
vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer.
Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% nos gastos
com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde e 2% nos
gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês.


Solução:
Gasto Gasto no Aumento Aumento
Produtos no orçamento dos produtos dos
orçamento na produtos
forma na forma
unitária unitária
Alimentos 12% 0,12 3% 0,03
Vestuário 10% 0,10 5% 0,05
Plano de Saúde 8% 0,08 4% 0,04
Lazer 5% 0,05 2% 0,02


Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o
gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma
unitária.

Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036.
Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005.
Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032.
Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.

Produtos Aumento do custo do Aumento do custo do
produto na forma produto na forma percentual
unitária
Alimentos 0,0036 0,36%
Vestuário 0,005 0,50%
Plano de Saúde 0,0032 0,32%
Lazer 0,001 0,10%

Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o
aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% =
1,28%.

Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%,
devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal.


5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o
capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final do
período de tempo( n ).

1.1 - Juros Simples:

.i x C = J :opmet ed odoírep mu ed lanif oa C latipac olep odizudorp oruJ ‫٭‬
oa C latipac olep odizudorp oruJ ‫٭‬final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x
n.

Fórmula Básica: J = C x i x n Onde: J = juros simples.
C = capital inicial ou principal.
i = taxa de juros.
n = tempo de aplicação ou prazo de
tempo.


Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de
2% ao mês, qual será o valor dos juros simples?

Solução: J = C x i x n
C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2
i = 2% ao mês = 0,02 J = 353
n = 2 meses J = R$353,00
Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9%
ao ano, qual será o valor dos juros simples?
Solução: J = C x i x n.
C = 550.
9%
i = 9% ao ano 0,75% ao mês = 0,0075.
12
n = 4 meses.
J = 550 x 0,0075 x 4.
J = 16,50.
J = R$16,50.


Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de
R$650,00, sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo
igual a 6 meses.

J
Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C =
i.n

J = 650.
650
i = 5% ao mês = 0,05. C=
0,05 * 6
n = 6 meses. C = 2166,67.
C = R$2.166,67.


Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo
R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i.

J
Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i = .
C.n

J = 105.
105
C = 425. i=
425 * 6
n = 6 meses. i = 0,04117

i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o
resultado na forma percentual devemos multiplicar i por
100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês.

Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês
porque o período de aplicação estava, em meses.


1.1 - Montante Simples:

À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou
principal dá-se o nome de montante simples.

Fórmulas: S = J + C ou S=Cxixn+C

S = C x ( i x n + 1)

Onde: S = Montante Simples.
J = Juros Simples.
i = Taxa de Juros.
n = Período de Aplicação.


Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses,
à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante.

Solução: S = J + C
C = 1550.
24%
i = 24% ao ano 2% ao mês = 0,02.
12
n = 8 meses.
J = C x i x n.
J = 1550 x 0,02 x 8.
J = 248.
S = J + C.
S = 248 + 1550.
S = 1798.
S = R$1.798,00.


Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00,
para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês.

Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1)
S
S = 360.000. (ixn+1)=
C
360.000
i = 16% ao mês = 0,16. (i x n + 1) =
200.000
(i x n + 1) = 1,8.
i x n = 1,8 – 1.
i x n = 0,8.
0,16 x n = 0,8.
n = 5 meses.

A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i
também estar em meses.


1.1 - Desconto Simples:

Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um
desconto (abatimento).

• Algumas considerações:

- Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento.
- Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou
seja, antes da data de vencimento.

D =VN – VA Onde D = Desconto.

•• Desconto Racional ou “Por Dentro”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período
de tempo correspondente.

VA DR VN
Fórmula: Onde: DR = Desconto Racional;
1 i.n 1 i.n
VA = Valor Atual;
VN = Valor Nominal;
i = taxa;
n = Período de Tempo.


Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de
R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento.

VA DR
Solução: VA = 16.000
1 i.n
i = 2,6% ao mês = 0,026
n = 3 meses.

DR = VA x i x n
DR = 16.000 x 0,026 x 3
DR = 1.248
DR = R$1.248,00


Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto
racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses
para o vencimento.

VA DR
Solução: VA = 750.
1 i.n
12%
i = 12% ao ano 1% ao mês = 0,01.
12

DR = VA x i x n
DR = 750 x 0,01 x 5
DR = 37,5
DR = R$37,5.


•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao
período de tempo correspondente.

VA DB VN
Fórmula: Onde: DB = Desconto
1 i.n i.n 1
Bancário;
VA = Valor Atual;
VN = Valor Nominal;
i = Taxa;
n = Período de
Tempo.


Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal
igual à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento.
(Considerar o ano comercial).

DB VN
Solução: VN= 2.700.
i.n 1
18%
i = 18% ao ano 0,05% ao dia = 0,0005.
360

DB = VN x i x n
DB = 2700 x 0,0005 x 33
DB = 44,55
DB = R$44,55.


Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de
5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de
R$42.000,00.

DB VN
Solução: VN = 42.000
i.n 1
i = 5,8% ao mês = 0,058.

DB = VN x i x n
DB = 42.000 x 0,058 x 5
DB = 12.180
DB = R$12.180,00.


• Considerações finais dentro da capitalização simples:

-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n
meses:

Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao
ano, aplicada durante 8 meses.

Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;
2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8
meses;
3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês;
36%
ex.: 3% ao mês.
12
4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses;
ex.: 3% x 8 = 24%.
5º) Resultado Final: 24%.


6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma
remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem
um novo capital (1º montante).

Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros),
sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo
montante. (E assim por diante).

Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período
anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.


6.1 - Juros Compostos:

n
Fórmula: j = C x 1 i 1 Onde: j = Juros Compostos;
C = Capital Inicial;

( 1+i ) n = Fator de Capitalização;
i = Taxa de Juros;

Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização
composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro
obtido?

n
Solução: C = 829,30. j=Cx 1 i 1
3
i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x 1 0,024 1
3
n = 3 meses. j = 829,30 x 1,024 1
j = 829,30 x 1,073742 1
j = 61,15
j = R$61,15.


Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56,
aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.

Solução: C = 777,56.
6% n
i = 6% ao ano = 0,5% ao mês = 0,005. j=Cx 1 i 1
12
n = 2 meses. j = 777,56 x
2
1 0,005 1
j = 777,56 x
2
1,005 1
j = 777,56 x
1,010025 1
j = 7,80 j =
R$7,80.


6.2 - Montante Composto:

Fórmula: s = C x ( 1+i ) n Onde: s = Montante Composto;
C = Capital Principal;
( 1+i ) n = Fator de Capitalização.
i = Taxa de Juros;

Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à
taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses.

Solução: C = 627,43.
i = 2% ao bimestre = 0,02.
n = 6 meses

Como 6 meses correspondem a três bimestres,
o n será igual a 3, pois o período de
capitalização é bimestral.

s = C x ( 1+i ) n
s = 627,43 x (1+0,02) 3
s = 627,43 x (1,02) 3
s = 627,43 x (1,061202)
s = 665,83
s = R$665,83.


Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado
à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.

Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) n
i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072) 4
n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072) 4
s = 15.600,70 x (1,320623)
s = 20.602,64.
s = R$20.602,64.


Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à
taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses.

Solução: s = 7656,70.
18%
i = 18% ao ano 1,5% ao mês = 0,015.
12
n = 4 meses.
s = C x ( 1+i ) n
s
C=
(1 i ) n
7.656 ,70
C=
(1 0,015 ) 4
7.656 ,70
C=
(1,015 ) 4
7.656 ,70
C=
1,061363
C = 7.214,03.
C = R$7.214,03.


Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga
gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses.

Solução: C = 300. s = C x (1+i ) n
s
(1+i ) n =
C
s = 4.800 4.800
(1+i ) 2
300
(1+i ) 2 = 16.
n = 2 meses (1+i ) = 16
memeses 1+ i = 4
i=4–1
i=3

.

- i = 3 representa a taxa na forma unitária;
- Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;
- Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de
tempo n está sendo usado em meses.
- Resposta: i = 300% ao mês.


6.3 - Desconto Composto:

No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale
ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual.

Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.

n
Fórmula: VN = VA x 1 i D = VN - VA

Onde: VN = Valor Nominal;
VA = Valor Atual;
D = Desconto Composto.


Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de
1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.

Solução : VN = 1.250,52.
i = 1,7% ao mês = 0,017.
n = 2 meses.
n
VN = VA x 1 i
VN
VA = n
1 i
1.250 ,52
VA = 2
1 0,017
1.250 ,52
VA = 2
1,017
1.250 ,52
VA =
1,034289
VA = 1.209,06.

D = VN – VA
D = 1.250,52 – 1.209,06
D = 41,46
D = R$41,46.


Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano,
3 meses antes do vencimento.

Solução: VN = 753,53.
18%
i = 18% ao ano 1,5% ao mês = 0,015.
12
n = 3 meses.
n
VN = VA x 1 i
VN
VA = n
1 i

753 ,53
VA = 3
1 0,015
753 ,53
VA =
1,045678
VA = 720,61
VA = R$720,61.


• Considerações finais dentro da capitalização composta:

- Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:

n
1 i 1
Fórmula: M = Dep x
i
Onde: M = Montante;
Dep = Depósitos.


Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um,
efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito.

Solução: Dep = 230.
i = 2% ao mês = 0,02.

n
1 i 1
M = Dep x
i
4
1 0,02 1
M = 230 x
0,02
4
1,02 1
M = 230 x
0,02
1,082432 1
M = 230 x
0,02
0,082432
M = 230 x
0,02
M = 230 x 4,1216
M = 947,96
M = R$947,96.


- Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta:

12
Fórmula: 1 ia 1 im Onde: i a = Taxa anual composta;
i m = Taxa mensal composta.

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%.

Solução:
12
1 ia 1 im
12
1 ia 1 0,03
12
1 ia 1,03
1 ia 1,425760
ia = 1,425760 - 1
ia = 0,425760
Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-
se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o
valor igual a 42,5760%..


BIBLIOGRAFIA

ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora Ática, 263p.
COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. Rio de Janeiro:
Oficina do Autor, 206 p.
CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva.
D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com
complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia Editora
Nacional, 287 p.
FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do
Brasil, 219 p.
MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor,
173 p.
SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo Ensino Médio –
Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p.
SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p.

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