Radiciação

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Radiciação, simplificação de radicais, operações com radicais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) , racionalização de radicais. Relação de exercícios. Conteúdo completo sobre radicais para o 9 ano e ensino médio.

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Radiciação

  1. 1. 1RADICIAÇÃOA radiciação é a operação inversa da potenciação.Sabemos que: a)b)c)Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1, temos, por definição:sinal do radicaln  índice Quando o índice é 2, normalmente não se escreve.a  radicandob  raizRaiz de um número realÍNDICE PARSe n é par, todo número real positivo tem duas raízes.Exemplo:Como o resultado de uma operação deve ser único, determinaremos que:Exemplos:a) c)b) d) 416−O B S E R V A Ç Ã O
  2. 2. 2NÃO existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par.ÍNDICE ÍMPARSe n é impar, cada número real tem apenas uma única raiz.EXERCÍCIOS1- Complete a tabela:radicalíndice 2 3radicando 5 92- Determine as raízes:a) f) l)b) g) m)c) h) n)d) i) o)e) j) p)3- Calcule, caso exista ema) e) i)b) f) j)c) g) l)
  3. 3. 3d) h) m)4- Calcule:a) b) c)d) e) f)g) h) i)POTÊNCIA COM EXPOENTE FRACIONÁRIOSe a é um número real positivo e é um número racional, com m e n inteiros e n > 0, definimos:EXEMPLOS:a) b)Exercícios5- Escreva em forma de potência com expoente fracionário.=6- Escreva em forma de radical.c) =b) d) f)SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
  4. 4. 3 91245 153 15) 5) 7) 9) 4bcde====20246) 9)))gh xi xj a====844 26 68 4)))) am an a xo a xp x====4Simplificar um radical significa reescrevê-lo sob uma forma mais simples e equivalente ao que foidado.Veja a seguir alguns casos de simplificação:1º caso: O índice do radical e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número(diferente de zero).Exemplo: a) = b)c) d)7- Simplifique os radicaisa) = b) c) d)e) f) g) h)i) j) l) m)2º caso: O expoente do radicando é um múltiplo do índice.Divide-se o expoente do radicando pelo índice do radical, extraindo o radicando.Exemplos: a) = 75b) = 74c) = 75d) a³e) = x58- Simplifique os radicais.a) = f) = l) =3º caso: O expoente do radicando é maior que o índice.
  5. 5. 5Nesse caso, decompomos o expoente do radicando em fatores de modo que se tenha expoentesmúltiplos do índice.Exemplos:9- Simplifique os radicais.10- Simplifique os radicais.Ex.: a) 3 3 5x a =2 3 2 74 5 6) c) a) d)a a m mb a x a= == 3 7m =11-Simplifique os radicais.353 454) 49) 9x) 8a) 16a mbcd m====3 83 1054) 27a) 8m) 4) 25efg ah a x====12- Calcule.11743 5)))a xb ac m===73 7745 67 9)))) x)a ab mc mde a=====593 10945 8) 7) 2) 5) 7) 6fghij=====
  6. 6. 633335 35 67 545 5) 36 49) 8 64) 100 64) 125 1) 1 9 8) 100 32 0) 16 1 1) 2. 49 3. 1 0abcdefgh− =+ =− − =− − − =+ − =+ − + =+ − − =− + =13- Determine as raízes.349)25121)1001)8abc=− =− =34527)100016)8132)243def===14- Qual o valor da expressão15,52 ?9+15- Simplifique os radicais.
  7. 7. 7( )2622 6) 121x) 225)) 16mab xc x yd y==+ ==6 43 63 44 10) 81) 27) 8) 49e x yf xg mh a x====16- Qual o valor de expressão( )2 302 275 2− − − −−?17- Qual o valor de expressão3 31 8 4?9 16− + ++18- Qual o valor de expressão 22 7 2 4 ?+ + +19- Simplificando o radical 101024 , temos:a) 6 b) 4 c) 2 d) 020- Simplifique o radical 332.421- Simplifique o radical7512.22- Qual o valor numérico da expressão 22. . 21.x y x y− − , para x = 12 e y = 3.23- Use propriedades dos radicais e consulte a tabela para achar um valor aproximado dos radicais:) 12) 18) 63) 80) 54abcde≅≅≅≅≅2 1,413 1,735 2,236 2,447 2,64≅≅≅≅≅OPERAÇÕES COM RADICAIS
  8. 8. 8Para adicionar ou subtrair, os radicais precisam ser semelhantes.Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo indicie e o mesmo radicando.Exemplos: RADICAIS SEMELHANTES( ) ( RADICAIS NÃO-SEMELHANTES os radicandos são diferentes(  os índices são diferentesExercícios:24- Responda em quais itens abaixo os radicais são semelhantes.3 34) 5 2 e 3 2) 2 7 e 5 7) 4 3 3) 5 e 2 5abc ed−3) 7 2 e 7 3) 3 2 e 6 2) 4 2, 5 2 e 2) 7 5, 2 5 e 5efgh−−ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO1º caso: Os radicais não são semelhantes. Deve-se extrair as raízes (exatas ou aproximadas) Somar ou subtrair os radicais.Exemplos:16 949 252 3+ =− =+ =25- Calcule:) 4 9) 25 16) 49 16) 100 36) 4 1abcde+ =− =− =− =− =33 43 33) 25 8) 27 16) 125 8) 25 4 16) 49 25 64fghij− =+ =− =− + =+ − =
  9. 9. 926- Coloque = ou ≠ para tornar a sentença verdadeira.) 2 5.......... 7 c) 9 4..........5b) 9 4........... 13 d) 16 9..a + ++ − ...... 72º caso: Os radicais são semelhantes.Exemplos:3 35 2 3 26 7 2 7 76 5 2 5+ =− + + =− =27- Efetue as adições e subtrações.4 43 3 3 34 4 4) 2 7 3 7 7 7) 8 3 10 3 5 3 2 3 6 3) 9 5 5 2 5 9 5 5) 5 2 5) 10 5 10 2 10) 3 2 8 2 2 2 2) 8 8 4 8) 7 2 3 2 2 2abcdefgh+ + + =− + − − =− + + + =+ =+ − =− + − =+ − =− + =3 3 3 34 4 4 4 45 5 53 3) 4 6 6 6 2 6 7 6) 25 12 16 12 12 4 12) 27 2 27 3 27 5 27 15 27) 8 8 8 12 8) 6 9 3 9 10 9) 3 16 2 8 3 10 2) 8 10 4 8 4 10 8 8) 6 5 2 6 5 9 6ijlmnopq− + − =− + − =+ + + − =+ − =− + =− + − =+ − − =+ − + =MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAISHá duas situações em que se pode multiplicar ou dividir radicais: quando os índices são iguais e quando sãodiferentes. Iremos estudar somente os índices iguais.Exemplos:445. 74 2.5 310 : 215 6 :3 2====
  10. 10. 10Exercícios28- Efetue as multiplicações e divisões.3 344333 3) 2. 7) 5. 10) 6. 2) 15. 2) 7. 4) 2 3.5 7) 3 7.2 5) 2 5.3 6) 5 3. 7abcdefghi========334 43 34 43 3) 15 : 3) 20 : 2) 15 : 5) 40 : 8) 30 : 10) 12 25 : 2 5) 18 14 :6 7) 10 8 : 2 2) 20 2 :5 3jlmnopqrs=========29- Multiplique os radicais e simplifique os produtos obtidos.553 3) 2. 18) 32. 2) 8. 4) 49. 7abcd====3 3) 4. 2) 3. 12) 3. 75) 2. 3. 6efgh====30- Efetue as multiplicações e divisões.
  11. 11. 115 59 95 33 3) .) a :) a.a a amb ac a===7 74 43 3) 5 : 15) 25. 5) 12 : 2def===POTENCIAÇÃOObserve: Aplicando a definição de potência, temos:= = = =Conclusão:    conservamos o índice e elevamos o radicando à potência indicada.Exemplo:31- Efetue a potenciação de radicais.( ) ( )( ) ( )( )2 23 3235 2556) 7 d) a) 2 e) m) 5abc= == == ( )37 2f) m =32- Calcule as seguintes situações:Exemplo:  ( )44 23 3 3= =( ) ( )( ) ( )( )4 936 436) 5 d) 3) 3 e) 5) 5abc= == == ( )75f) 2 =( ) ( )( ) ( )4 27 32 33 2 73 5. 72. 2m= == =
  12. 12. 1233- Efetue as potências.( ) ( )( ) ( )( )2 232 33537) 3 7 d) 3 5) 4 3 e) 2 2) 2 5abc= == == ( )3f) 5 3 =RADICIAÇÃOVejamos:3 33 36 66) 64 8 2 2) 64 2 2ab= = == =Conclusão:  conservamos o radicando e multiplicamos os expoentes.Simplificando, temos:  .m n m na a=Exemplos: 3 3.2 62.2 45 5 57 7 7= == =34- Escreva, usando um único radical.34 35 3) 8) 5) 2) 3abcd====34 53) 5) 7)) 8efg ah====35- Calcule e simplifique os radicais abaixo.a)
  13. 13. 13b)c)d)RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORESFATOR RACIONALIZANTE  é uma expressão com radical, cujo produto com outro radical torna umaexpressão sem radical.Exemplo  Qual é o fator racionalizante de ?__________________________________________ Qual é o fator racionalizante de 5 ?_________________________________________ Qual é o fator racionalizante de ?________________________________________ Qual é o fator racionalizante de ?_____________________________________ Qual é o fator racionalizante de 3 - 2?_______________________________________36- Escreva o fator racionalizante de cada expressão.) 5 d) 3 7) 10 e) 8 3) 12abc f) 8 1137- Escreva o fator racionalizante de cada expressão.3 235 52 34) 5 d) 8 7) 6 e) 4 8) 9abc 6 5f) 9 238- Escreva o fator racionalizante de cada expressão.) 8 5 d) 3 1) 6 2 e) 5 2 7) 7 5 f) 2 3 5abc+ +− +− −
  14. 14. 1439- Efetue as multiplicações.3 5 52 2 333 6 62 4 237 74 3) 5. 5 d) 6 . 6) 8 7 . 7 e) 4 8 . 8) 5 2 . 2abc 344f) 9 3. 340- Efetue as multiplicações.( ) ( )( ) ( )( ) ( )) 6 2 . 6 2 =) 3 1 . 3 1 =c) 5+2 7 . 5 2 7 =ab− ++ −−RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORESRACIONALIZAR o denominador de uma fração é obter uma fração equivalente com denominador semradical, ou seja, racional. Uma fração não se altera quando numerador e denominador são multiplicados ou divididos por ummesmo número, diferente de zero.1º caso: O denominador é um radical de índice 2.3553 741- Racionalize os denominadores das frações.4 4) e)3 3 27 5) f)2 2 61)5abc2g)7 36 7) h)5 2 3d2º caso: O denominador é um radical com índice diferente de 2.
  15. 15. 155 33768542- Racionalize os denominadores das frações:3 33 245 47 2) f)7 3 55 8) g)2 5 32)3abc 45 72 33 6 27h)3 1010 1) i)4 a5 9) j)6 xde3º caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical.45 253 2+−43- Racionalize os denominadores das frações.
  16. 16. 168)7 21)5 32)7 54)5 31)5 13)5 36)5 3 27)3 5 24 3)4 33)5 75)3 2 210)2 3abcdefghijlm−+−−−+−−+−+−−−

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