Ap mat aritmetica e exercicios resolvidos

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Agradecimento

Agradeço a Deus por me permitir concluir este trabalho, aos meus pais,
esposa e ﬁlhos pela ajuda e apoio, assim como aos colegas que contribuíram
com sugestões, críticas e observações.

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Apresentação

Este trabalho destina-se aos admiradores da Aritmética em geral e particu-
larmente aos candidatos às instituições de ensino em que esta ciência seja uma
referência.
Esta edição, que ora apresenta-se, foi revista e ampliada. Além disso,
procurou-se reforçar as demonstrações dos conceitos e fórmulas, sem perder-se,
entretanto, a objetividade dos exercícios.
Sabe-se que um trabalho deste vulto não se encerra nesta edição, portanto
quaisquer novas sugestões podem ser encaminhadas para o endereço na contra
capa. Desde já agradece-se as novas “proposições”.

Atenciosamente

José Carlos Admo Lacerda

Março de 2.009

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Sumário

1 Numeração 1
1.1 Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Correspondência Unívoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Correspondência Biunívoca . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Conjuntos Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Número Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Associação de Elementos e Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Divisão da Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Sistema de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Base de um Sistema de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Ordens e Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10.1 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10.2 Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.11 Princípios da Numeração para uma Base Qualquer . . . . . . . . 7
1.11.1 Primeiro Princípio: da numeração falada . . . . . . . . . . 7
1.11.2 Segundo Princípio: da numeração escrita . . . . . . . . . 7
1.12 Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12.1 Sistema de Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12.2 Princípios da Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . 7
1.12.3 Classes e Ordens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12.4 Nomenclatura das Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.12.5 Formação e Leitura dos Números Polidígitos . . . . . . . . 10
1.12.6 Numerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12.7 Numerais Cardinais e Numerais Ordinais . . . . . . . . . . 11

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4 SUMÁRIO

1.12.8 Leitura dos Numerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12.9 Valores Posicionais dos Algarismos . . . . . . . . . . . . . 12
1.12.10 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12.11 Quantidade (Q) de Algarismos, na Sucessão dos Números
Naturais, de 1 até N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12.12 Lei de Formação da Quantidade de Algarismos . . . . . . 15
1.12.13 Cálculo Simpliﬁcado de Q em Função de N, e vice-versa . 16
1.13 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Operações Fundamentais (em N) 25
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Complemento de um Número . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Sucessivo (ou sucessor) de um Número Natural . . . . . . 27
2.2.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3 Numerais Multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.4 Tábua de Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.6 Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Prova Real da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.3 Divisão Exata e Divisão Inexata . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.4 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.5 Quantidade de Algarismos do Quociente numa Divisão Exata 46

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SUMÁRIO 5

2.6 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.2 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.4 Propriedades da Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.5 Nótulas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.6 Googol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.7 Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.8 Representação Polinômica de um Número Natural
Polidígito N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.9 Reverso de um Número Natural N . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.10 Número Palíndromo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.12 Proposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6.13 Estimativa da Quantidade de Algarismos de um Produto . 73
2.7 Raiz Quadrada Exata e Raiz Cúbica Exata . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.2 Quadrados Perfeitos e Cubos Perfeitos . . . . . . . . . . . 76
2.7.3 Raízes Quadradas Exatas e Raízes Cúbicas Exatas . . . . . 77
2.8 Expressões Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9 Tabela dos Quadrados dos Números Naturais Inferiores a 100 . . . 79
2.10 Operações Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Numeração Não Decimal 97
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Terminologia das Bases e Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Proposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4.1 Princípio da Numeração Falada . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Representação nas Bases não Decimais . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Mudanças de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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6 SUMÁRIO

3.8 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.9 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.10 Tópico Complementar - Sistema de Numeração Romana . . . . . 108
3.10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.10.2 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Teoria dos Números Primos 123
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.1 Múltiplo de um Número Natural . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.2 Múltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.1.3 Divisores de um Número Natural . . . . . . . . . . . . . . 124
4.1.4 Divisores Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2 Número Primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1 Reconhecimento de um Número Primo . . . . . . . . . . . 125
4.3 Princípio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Crivo de Erathóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Tabela dos Números Primos Menores que 1.000 . . . . . . . . . . 128
4.6 Números Primos Entre Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6.1 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7 Decomposição em Fatores Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.9 Forma Canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.10 Condição Geral de Multiplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.11 Propriedades dos Quadrados e dos Cubos Perfeitos . . . . . . . . 133
4.12 Determinação dos Divisores de um Natural N . . . . . . . . . . . 137
4.12.1 Primeiro modo: Por decomposição em fatores primos . . . 137
4.12.2 Segundo modo: Através das potências dos fatores primos . 139
4.13 Quantidade de Divisores de um Número Natural N . . . . . . . . 140
4.13.1 Determinação da Quantidade de Divisores Ímpares e da
Quantidade de Divisores Pares, de um Número Natural . . 141
4.14 Produto dos Divisores de um Número Natural N . . . . . . . . . 142
4.15 Soma dos Divisores de um Número
Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.16 Soma dos Inversos (Sinv ) de Todos os Divisores Inteiros Positivos
de um Número Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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SUMÁRIO 7

4.17 Soma dos Divisores Pares e dos Divisores Ímpares . . . . . . . . . 146
4.18 Números Primos com um Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.19 Soma dos primos com um natural dado . . . . . . . . . . . . . . 149
4.19.1 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.20 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.21 Tópicos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.21.1 Divisores Próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.21.2 Número Abundante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.21.3 Número Defectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.21.4 Números Amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.21.5 Números Primos Gêmeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.21.6 Números Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.21.7 Lista dos 46 Primeiros Números Primos de Mersenne . . . 152
4.21.8 Número Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.21.9 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.21.10 Propriedades dos Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . 154
4.22 Criptograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.22.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5 Divisibilidade 169
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1.1 Terminologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1.3 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.1 Números Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.2 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2.4 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.5 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.3 Teorema Fundamental da Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4 Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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8 SUMÁRIO

5.4.1 Principais Critérios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.6 Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.7.1 Divisibilidade por 3m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.7.2 Divisibilidade por 11m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.7.3 Regra dos Noves-Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.8 Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.8.1 Indução Empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.8.2 Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.8.3 Princípio da Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . 189

6 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum 209
6.1 Máximo Divisor Comum - MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1.1 Determinação do MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.1.3 Determinação do M.D.C através das Divisões Sucessivas . 212
6.2 Mínimo Múltiplo Comum (em N∗ ) - MMC . . . . . . . . . . . . 219
6.2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2.2 Determinação do MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7 Números Fracionários 237
7.1 Fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.2 Representação das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.2.1 Signiﬁcado dos Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3 Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas . . . . . . . . . . . 238
7.3.1 Frações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.3.2 Frações Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.4 Leitura das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.5 Frações Decimais e Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.5.1 Frações Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

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SUMÁRIO 9

7.5.2 Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.6 Frações Próprias, Impróprias e Aparentes . . . . . . . . . . . . . . 239
7.6.1 Frações Próprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.6.2 Frações Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.6.3 Frações Aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.7 Propriedades das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.8 Frações Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.9 Simpliﬁcação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.10 Fração(ões) Irredutível(eis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.11 Redução de Frações ao Menor Denominador Comum . . . . . . . 242
7.12 Operações com Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.13 Fração Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.14 Fração de Fração(ões) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.15 Números Mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.16 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.17 Expressões Fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.18 Comparação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.19 Frações Inversas ou Recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.20 Frações Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.21 Frações Contínuas Limitadas (noções) . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.22 Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.23 Adição Telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8 Números β-cimais e Números β-nários 273
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.2 Nomenclatura Numa Base Qualquer β . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.3 Leitura dos Números Não Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.4 Leitura dos Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.4.1 Unidades Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.5 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.6 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.7 Números Decimais Exatos e Inexatos . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.7.1 Números Decimais Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.7.2 Números Decimais Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.7.3 Classiﬁcações dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . 280

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10 SUMÁRIO

8.8 Quociente com Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.8.1 Regra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.9 Notação das Dízimas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.10 Classiﬁcação das Dízimas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.10.1 Dízimas Periódicas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.10.2 Dízimas Periódicas Compostas . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.11 Geratrizes de Números β-cimais e β-nários . . . . . . . . . . . . . 282
8.12 Cálculo das geratrizes de período p, onde p = β − 1 . . . . . . . 285
8.14 Natureza de uma Fração Ordinária . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
8.15 Estimativa da Quantidade de Algarismos do Período de uma Dízima 292
8.15.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.16 Quantidade Exata de Algarismos do Período . . . . . . . . . . . . 295
8.16.1 Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.16.2 Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.17 Operações com Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.18 Mudanças de Base Envolvendo Números β-nários e β-cimais . . . 300

9 Radiciação 317
9.1 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.3 Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.3.1 Raiz Quadrada Exata de um Número Natural N . . . . . . 318
9.3.2 Raiz Quadrada de um Número Natural N com Aproximação
de uma unidade por falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.3.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
9.3.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.4 Raiz Quadrada de Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.5 Raiz Quadrada de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.6 Raiz Quadrada de um Número Natural N com uma Aproximação
Fracionária de Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.8 Raiz Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.8.1 Raiz Cúbica Exata de um Número Natural N . . . . . . . 326

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SUMÁRIO 11

9.8.2 Extração da Raiz Cúbica de um Número natural N com
Aproximação de uma unidade por falta . . . . . . . . . . . 327
9.8.3 Teorema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.8.4 Teorema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.8.5 Teorema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.9 Raiz Cúbica de Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.10 Raiz Cúbica de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.11 Extração da Raiz Cúbica de um Número N com uma Aproximação
n/d de Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10 Sistema de Unidades de Medidas 335
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.2 Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.3 Medição de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.4 Unidade de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.5 Grandezas Homogêneas e Grandezas
Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.5.1 Grandezas Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.5.2 Grandezas Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.6 Preﬁxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.7 Medidas de Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.7.1 Unidade Fundamental metro (m) . . . . . . . . . . . . . . 336
10.7.2 Conceitos Decorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.7.3 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.7.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.8 Medidas de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
10.8.1 Unidade Fundamental – metro quadrado (m2 ) . . . . . . 337
10.8.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.8.4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.8.5 Área das Principais Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . 338
10.9 Medidas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.9.1 Unidade Fundamental – metro cúbico (m3 ) . . . . . . . . 341
10.9.2 Múltiplos e submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.10.1 Volume (V) dos Principais Sólidos . . . . . . . . . . . . . 341

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12 SUMÁRIO

10.11 Medidas Agrárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.11.1 Unidade Fundamental - are (a) . . . . . . . . . . . . . . 342
10.11.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.12 Medidas de Capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.12.1 Unidade Fundamental - Litro (L ou l ) . . . . . . . . . . 343
10.12.2 Conceito Decorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.12.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.13 Medidas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.13.1 Unidade Fundamental- Quilograma (kg) . . . . . . . . . 344
10.13.2 Conceito Decorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.14 Quadro Sinóptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.15 Unidades Norte Americanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.16 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11 Arredondamento, Notação Científica e Ordem de Grandeza 359
11.1 Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.1.1 Critérios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.3 Notação Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.5 Ordem de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.5.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12 Razões e Proporções 373
12.1 Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
12.1.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
12.1.2 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.2 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
12.2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

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SUMÁRIO 13

12.3 Razões Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.4 Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.4.1 Proporção Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.4.2 Proporção Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.5 Proporção Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.6 Estudo das Proporções com Quatro Termos . . . . . . . . . . . . 380
12.6.1 Proporção Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.6.2 Propriedade Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.6.3 Proporção Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.6.4 Propriedade Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.7 Terminologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.9 Proporção Contínua com Quatro Termos . . . . . . . . . . . . . . 390
12.10 Média Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
12.11 Média Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
12.12 Terceira Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
12.13 Quarta Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
12.14 Relações entre Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

13 Divisão Proporcional e Regra de Sociedade 395
13.1 Divisão Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
13.3 Divisão em Partes Diretamente Proporcionais . . . . . . . . . . . 397
13.4 Divisão em Partes Inversamente Proporcionais . . . . . . . . . . . 398
13.7 Regra de Sociedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

14 Médias 411
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.2 Médias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.2.1 Média aritmética simples (Ma.s ) . . . . . . . . . . . . . 411

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14 SUMÁRIO

14.2.2 Média geométrica simples (Mg.s ) . . . . . . . . . . . . . 411
14.2.3 Média harmônica simples (Mh.s ) . . . . . . . . . . . . . . 412
14.2.4 Relação entre as médias simples de dois números . . . . . 412
14.3 Médias Ponderadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14.3.1 Média aritmética ponderada (Ma.p ) . . . . . . . . . . . . 413
14.3.2 Média geométrica ponderada (Mg.p ) . . . . . . . . . . . 413
14.3.3 Média harmônica ponderada (Mh.p ) . . . . . . . . . . . . 413
14.4.1 Média e Extrema Razão - Número de Ouro . . . . . . . . 413
14.4.2 Seqüência de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.4.3 O Número de Ouro e a Seqüência de Fibonacci . . . . . . 415

15 Medidas Complexas e Medidas Incomplexas 427
15.1 Medidas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.2 Medidas Incomplexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
15.3 Redução de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.3.1 Primeiro caso: De medidas complexas para incomplexas . 428
15.3.2 Segundo caso: De medidas incomplexas em complexas . . 428
15.4 Operações com Medidas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . 429
15.5.1 Ângulo Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
15.5.2 Unidade de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
15.5.3 Ano Bissexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
15.5.4 Unidades de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

16 Regra de Três 439
16.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
16.2 Análise e Resoluções Teóricas com Regra de Três . . . . . . . . . 440
16.4 Regra Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

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SUMÁRIO 15

17 Porcentagem e Misturas 457
17.1 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
17.2 Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
17.3 Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
17.3.1 Taxa Centesimal (ou Percentual) . . . . . . . . . . . . . . 457
17.3.2 Taxa Milesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
17.4 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.5 Fórmula da Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.6 Taxa Centesimal Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.9 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

18 Operações Sobre Mercadorias 481
18.1 Preço de Custo, Preço de Compra e Preço de Venda . . . . . . . 481
18.2 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
18.3 Análise Sobre a Venda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
18.3.1 Vendas com Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
18.3.2 Fórmulas da Venda com Lucro . . . . . . . . . . . . . . . 482
18.4 Vendas com Prejuízo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
18.4.1 Fórmulas da Venda com Prejuízo . . . . . . . . . . . . . . 482

19 Juros Simples 487
19.1 Juro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
19.1.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
19.2 Fórmula do Juro ao Ano (ja.a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
19.3 Fórmula do Juro ao Mês (ja.m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
19.4 Fórmula do Juro ao Dia (ja.d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
19.5 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
19.6 Taxa Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

20 Miscelânea 499

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16 [CAP. 1: NUMERAÇÃO

.
.
.

Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q ≤ 189, 189 < Q ≤
2.889, . . . poderá gerar um número que não tenha todas as ordens (v. exerc. resolv.
n o 6) .

1.12.13 Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e
vice-versa

Vimos que: Q = (N + 1) × α − (111 . . . 1) algarismos
α 1’s

Se α = 1 → Q = N ou N = Q
Q+9
Se α = 2 → Q = 2N − 9 ou N =
2
Q + 108
Se α = 3 → Q = 3N − 108 ou N =
3
Q + 1.107
Se α = 4 → Q = 4N − 1.107 ou N =
4
.
.
.

Observe uma “lei" regendo o numerador: 9, 108, 1.107, 11.106, 111.105, . . .

1.13 Exercícios Resolvidos
1) Calcular a quantidade de números naturais sucessivos que existem, de 7 até 18.
Resolução:
De acordo com a 1a propriedade, podemos facilmente ver que:
[(18 − 7) + 1] = 12 números.
2) Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 até 10n
(exclusive) ele aparece n × 10n−1 vezes, nas 1a , 2a , 3a ,. . . n-ésimas ordens.
Resolução:
Seja, para efeito de demonstração, o algarismo 7.
1o ) De 0 até 10 (exclusive) o 7 aparece uma única vez, quando escrevemos o
próprio 7.
2o ) De 0 até 100 (exclusive) deveremos analisá-lo nas, 1a e 2a ordens.
Na ordem das unidades u o 7 aparece nos números:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 e 97

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62 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N)

45) Em uma divisão, adiciona-se 16 unidades ao dividendo e 2 ao divisor. Sabendo-
se que o quociente e o resto não se alteraram, qual foi o quociente?
46) Numa divisão inexata, o dividendo é igual a 500 e o divisor 55. Determine o
maior número que se pode subtrair do divisor sem alterar o quociente.
47) Tomando-se para divisor o quociente de uma certa divisão, em que caso se
obtém, para quociente e resto, os mesmos números da primeira divisão?
48) Dividindo-se um número natural A por um outro B, obtém-se um quociente Q
e um resto R. Ao aumentarmos o dividendo A de K unidades e o divisor B de
L unidades, o quociente e o resto não se alteram. Determine o quociente.
49) (CN) Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de
113k + 7 por k + 1 seja exata?
50) Observe o algoritmo seguinte:

43 4
r q

Qual é o menor número que se pode somar ao dividendo, de modo que o quo-
ciente aumente de 500 unidades?
51) Sejam D e d números naturais tais que, o resto da divisão de D por d seja igual
a 4 e o resto da divisão de 14 × D por d seja 17. Ache o resto da divisão de
210 × D por d.

Respostas:

1) 39 28) 1.008
2) 86 29) R × D + R
3) 72 30) 41
4) 138 31) 95
5) 11 32) 9
6) 20 33) 96
7) 241 34) 266
8) 18.905 35) 33
9) 11 36) 3
10) 141 e 21 37) 25
11) 5.831 38) 179, 183, 187, 191, 195 e 199
12) 3.163 39) q × q − 1
13) 832 40) 47
14) 644 41) 3
15) 56 e 840 42) Não há números que satisfaçam
às condições dadas
16) 266.709 43) a ) 8, 16, 24, 32, 40 e 48
17) 131 b) 1, 9, 17, 25, 33 e 41
18) 13 c) 8, 30, 66, 116, 180 e 258
19) 387 d) 8, 18, 30, 44, 60 e 78

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64 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N)

2.6 Potenciação
É qualquer multiplicação onde todos os fatores são iguais.

Ex1 .: 2×2×2

Ex2 .: 3×3

Ex3 .: a ×a × a × ··· ×a

2.6.1 Notação

a × a × a × · · · × a ou am (m ∈ N, tal que m ≥ 2)8
m fatores

m
Em a = p, temos as seguintes nomenclaturas:
a . . . base ou raiz
m . . . expoente ou grau de multiplicidade
p . . . potência

2.6.2 Leitura

A representação am , lê-se: a elevado a m.

Ex.: 24 . Lê-se: dois elevado a quatro.

Obs.: Quando o expoente for 2 ou 3, são utilizadas as palavras quadrado e cubo,
respectivamente.

Ex1 .: 32 . Lê-se: três elevado a dois ou três ao quadrado.

Ex2 .: 53 . Lê-se: cinco elevado a três ou cinco ao cubo.

2.6.3 Potência

Dá-se o nome de potência9 a qualquer produto obtido através da potenciação.

Ex1 .: 23 = 2 × 2 × 2 = 8, onde o 8 é a potência.

Ex2 .: 32 = 3 × 3 = 9, onde o 9 é a potência.
8A notação am é devida a Nicholas Chuquet (1.445 − 1.488) e generalizada por René
Descartes (1.596 − 1.650)
9 No contexto da matemática, esta palavra é atribuida a Hipócrates de Quio (460a.c).

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[SEC. 2.6: POTENCIAÇÃO 71

Substituindo (I) e (II) em (III), teremos:
ba = ab + 36
10b + a = 10a + b + 36
10b − b + a − 10a = 36
9b − 9a = 36
b−a=4
Analisando essa última igualdade, poderemos determinar os algarismos e, con-
sequentemente, os números que satisfazem a condição do problema, ou seja:
b = 9 e a = 5 ⇒ N = 59;
b = 8 e a = 4 ⇒ N = 48;
b = 7 e a = 3 ⇒ N = 37;
b = 6 e a = 2 ⇒ N = 26;
b = 5 e a = 1 ⇒ N = 15
Resp.: 59, 48, 37, 26 e 15
3) (OBM) Para escrever todos os números naturais consecutivos desde 1ab até
ab2, inclusive, foram utilizados 1ab1 algarismos. Determinar o número de
algarismos a mais que precisaremos para escrever todos os números naturais
até aab, inclusive.

Resolução:
(ab2 − 1ab + 1) × 3 = 1ab1
(100a + 10b + 2 − 100 − 10a − b + 1) × 3 = 1.000 + 100a + 10b + 1
(90a + 9b − 97) × 3 − 100a − 10b = 1.001
270a + 27b − 100a − 10b = 1001 + 291
17(10a + b) = 1.292
1.292
ab =
17
ab = 76
Portanto, de 763 até aab ⇒ (776 − 763 + 1) × 3 = 14 × 3 = 42.
Resp.: 42 algarismos
4) (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal
existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)2 − (ba)2 = (cc)2 .
Calcular a + b + c.
Resolução:
(ab)2 − (ba)2 = (cc)2
(10a + b)2 − (10b + a)2 = (10c + c)2
100a2 + 20ab + b2 − 100b2 − 20ab − a2 = 121c2

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[SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 81

4) Se a ∗ b = (a + b)2 − (b − a2 )(a + b)2 + (b + a2 ), determine (1 ∗ 2) ∗ 3.
5) Se a∆b = a · b − 1 e x y = x2 − y2 , determine (4∆2) − (3 2).
6) Se 8@6 = 44, 7@6 = 43 e 7@5 = 32, calcule 8@5.
7) Se 2 ∗ 3 = 7, 3 ∗ 4 = 13, −5 ∗ −2 = 23 e −6 ∗ 1 = 37, calcule 5 ∗ (3 ∗ −5).
8) Se 3∆2 = 11, 5∆4 = 29 e 8∆7 = 71, ache 6∆2.
9) Se 5 ∗ 3 = 6, 7 ∗ 4 = 12 e 8 ∗ 7 = 7, calcule 6 ∗ 2.
10) Se a ∗b representa o maior de a e b, e a#b representa o menor de a e b, calcule
o valor de:
(1#(2 ∗ (3#4))) + (1 ∗ (2#(34))).
11) (CN) Dadas as operações x ∗ y = x + y, x#y = x − y e x∆y = x · y, ache o
valor da expressão: [2 ∗ (8#12)] ∗ {[(3 ∗ 2)#5]∆[10 ∗ (2#(4∆2))]}
12) A operação x ⊗ y = x · y − 3 + x − 3 · y, ache 2 ⊗ (3 ⊗ (4 ⊗ · · · ⊗ (11 ⊗ 12)) . . . ).
13) Se x#y = y(x + y) e x@y = y(y − x), ache 1#(2@3). Huntington C. Mathematics
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

Respostas:

1) 4 8) 38 ou 23
2) 7 9) 8
3) 1
10) 10
4) 264
11) −2
5) 440
6) 33 12) −1
7) 29 13) b

2.11 Exercícios Resolvidos
2
1) Calcular a potência gerada por: 23

Resolução:

2
23 = 2 × 2 × · · · × 2 = 2 × 2 × · · · × 2 = 29 = 512
3 2 fatores 9 fatores

2 2
Na prática, 23 = 2(3 )
= 29 = 512
99
21
2) Calcular a potência gerada por: 23
Resolução:
1o )

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b=2
Substituindo b em (I), teremos: a = 3 × 2 ⇒ a = 6
Resp.: N = 62
11) Um número N é constituído por três algarismos tais que, o das centenas é o
dobro do das dezenas, e o das dezenas é o dobro do das unidades. Determinar
N, sabendo que a soma de seus algarismos é 14.
Resolução:
De acordo com os dados, temos:


 N = cdu . . .
 (I)



 c = 2d . . . (II)
 d = 2u . . .
 (III)




c + d + u = 14 . . . (IV )

Explicitando (II) em função de u, tem-se:
c = 2 × (2u) ou c = 4 × u . . . (V )
Substituindo (III) em (IV ) teremos:
4 × u + 2 × u + u = 14
7 × u = 14
u=2
Substituindo u em (III), tem-se:
d = 2 × 2, donde, d = 4
Substituindo d = 4 em (II), teremos:
c = 2 × 4, donde, c = 8.
Resp.: 842
12) Determinar o quociente e o resto da divisão de 7 × 351 por 5 × 349 .
Resolução:

7 × 351 7 × 32 × 349 63 × 349
49
= 49
=
5×3 5×3 5 × 349

63 5
3 12
63 × 349 5 × 349
3 × 349 12

Resp.: Quociente = 12 e resto = 3 × 349 = 350

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108 [CAP. 3: NUMERAÇÃO NÃO DECIMAL

4a ) A soma gerada por [(10β )n + k], k < β é, na base 10, igual a βn + k.

Obs1 .: Se k = 0, então (10β )n = βn , (∀β)2

Obs2 .: Se k = 1, então (10β )n + 1 = βn + 1, ∀ β

3.10 Tópico Complementar - Sistema de Nume-
ração Romana
3.10.1 Introdução
É um sistema de limitadas aplicações. Elas podem ser encontradas em capítulos
de livros, séculos, relógios de paredes, etc.

Os numerais romanos, são representados por letras e seus valores em ordem cres-
cente são:

I V X L C D M
(1) (5) (10) (50) (100) (500) (1.000)

3.10.2 Regras
1a ) Um traço horizontal colocado sobre um número aumenta mil vezes seu valor, dois
traços aumentam um milhão de vezes e assim sucessivamente.
Ex.:
V = 5.000
V = 5.000.000

Obs.: Os numerais 1.000, 2.000 e 3.000 não são representados por I, II e III e sim
por: M, MM e MMM.

2a ) Os numerais I, X, C e M podem ser escritos, seguidamente, até três vezes.

Ex.: II, XXX, CCC

3a ) Os numerais I, X e C só podem anteceder um dos dois de maior valor que lhes
sucedem a ordem, isto é:

Ex.: I, antes de V ou de X
X, antes de L ou de C
C, antes de D ou de M

Obs.: Nesse caso, subtrai-se o menor do maior.
2 ∀... David Hilbert (1.862 − 1.943).

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140 [CAP. 4: TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS

4.13 Quantidade de Divisores de um Número Na-
tural N
Teorema:
A quantidade de divisores de um número natural N, QD(N) , é dada pelo produto
dos sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos.

Demonstração:
Sabemos que, se N = aα × bβ × cγ × . . . , então:

D(aα ) = {a0 , a1 , a2 , . . . aα }, ou seja, (α + 1) divisores;

D(bβ ) = {b0 , b1 , b2 , . . . bβ }, ou seja, (β + 1) divisores;

D(cγ ) = {c0 , c1 , c2 , ...cγ }, ou seja, (γ + 1) divisores.

Multiplicando-se agora os α + 1 divisores da 1a linha pelos β + 1 divisores da
segunda e, em seguida, os [(α + 1) × (β + 1)] divisores anteriores pelos (γ + 1) divisores
da 3a e, assim, sucessivamente, obteremos a quantidade, QD(N) , de divisores de N,
ou seja:

QD(N) = (α + 1) × (β + 1) × (γ + 1) × . . . Q.E.D

Ex1 .: Determinar a quantidade de divisores de 360.

360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1

360 = 23 × 32 × 51

QD(360) = (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24

Obs.: A quantidade de divisores de um número natural N é um número par, exceto
quando o(s) expoente(s) do(s) fator(es) obtido(s) na decomposição em fatores primos
de N for(em) número(os) par(es).

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[SEC. 4.21: TÓPICOS COMPLEMENTARES 153

31o 216.091 65.050 Slowinski e Gage 1.985
32o 756.839 22.783 Slowinski e Gage 1.992
33o 859.433 258.716 Slowinski 1.994
34o 1.257.787 378.632 Slowinski 1.996
35o 1.398.269 420.921 Armengaud e Woltman 1.996
36o 2.976.221 895.932 Spence e Woltman 1.997
37o 3.021.377 909.526 Clarkson, Woltman e Kurowski 1.998
38o 6.972.593 2.098.960 Hajratwala, Woltman e Kurowski 1.999
39o 13.466.917 4.053.946 Michael Cameron 2.001
40o 20.996.001 6.320.430 Michael Shafer’s 2.003
41o 24.036.583 7.235.733 Josh Findley 2.004
42o 25.964.951 7.816.230 Martin Nowak 2.005
43o 30.402.457 9.152.052 Curtis Cooper e Steven Boone 2.005
44o 32.582.657 9.808.358 Curtis Cooper e Steven Boone 2.006
45o 43.112.609 12.978.189 Edson Smith 2.008
46o 37.156.667 11.185.272 Hans-Michael Elvenich 2.008

4.21.8 Número Perfeito
É todo número igual à soma de seus divisores próprios.

Ex1 .: 6 é um número perfeito9 , pois, 1 + 2 + 3 = 6.
Ex2 .: 28 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Ex3 .: 496 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.

4.21.9 Teorema
Se p for um número primo e 2p − 1 for primo de Mersenne, então
p−1
2 × (2p − 1) é um número perfeito par.

Demonstração:
Como p e 2p − 1, é por deﬁnição um número primo, a expressão geral dos números
perfeitos pares é dada por (I), onde a, b, c, . . . pertence ao conjunto dos números pares
maiores que 2.
De acordo com a deﬁnição de números perfeitos, podemos escrever:
2n × aα × bβ × cγ × · · · = (1 + 2 + 22 + · · · + 2n )(1 + a + a2 + · · · + an )(1 + b +
b + · · · + bn )(1 + c + c2 + · · · + cn ) × · · · − 2n × aα × bβ × cγ × . . .
2

2n+1 × aα × bβ × cγ × · · · = (2n+1 − 1)(1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · +
b )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × . . .
α

(1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · + bα )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × · · · =
2n+1 × aα × bβ × cγ × . . .
2n+1 − 1
9 Questão em aberto: Existem números perfeitos ímpares? Ninguém ainda os encontrou.

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360 = 23 × 32 × 5
ϕ(360) = 23−1 × 32−1 × 51−1 × (2 − 1) × (3 − 1) × (5 − 1)
ϕ(360) = 96

7) Determinar o número de vezes que o fator primo 3 aparece na decomposição, em
fatores primos, do produto dos cinquenta primeiros números naturais, a partir de 1.
Resolução:
Seja 1 × 2 × 3 × · · · × 48 × 49 × 50, a multiplicação que gera tal produto. Como
nos múltiplos de 3 o fator (3), é claro, aparece em sua decomposição, apenas irão nos
interessar os fatores que contenham esses múltiplos, ou seja:

3 × 6 × 9 × · · · × 47 × 48
16 fatores

Decompondo-se, convenientemente, os fatores anteriormente “subchaveados", ter-
emos:

3 × 1 × 3 × 2 × 3 × · · · × 3 × 15 × 3 × 16
32 fatores
Vê-se que de 3 × 1 até 3 × 16 o fator 3 aparece 16 vezes, logo a expressão anterior
pode, também, ser escrita da forma:
316 × 1 × 2 × 3 · · · × 16
16 fatores
Daqui por diante, raciocinaremos de modo análogo ao que já foi feito anterior-
mente. Assim sendo, a expressão anterior ﬁcará:
316 × 3 × 6 × 9 × · · · × 15 ou 316 × 3 × 1 × 3 × 2 × 3 × 3 × · · · × 3 × 5
5 fatores 10 fatores
= 316 × 35 × 1 × 2 × 3 × · · · × 5 ou 316 × 35 × 31
5 fatores
Conservando-se a base 3 e somando-se os expoentes, teremos:
316+5+1 = 322 .
Conclusão: O fator 3 aparece 148 vezes.
Obs1 .: O expoente 148 poderá ser obtido somando-se apenas todos os quocientes
obtidos nas divisões sucessivas do número 100 (último fator) por 3, ou seja:
50 3
2 16 3
1 5 3
2 1 3

ou simplesmente . . .

50 ÷ 3 = 16 ÷ 3 = 5 ÷ 3 = 1
Conclusão: O fator 3 aparece 16 + 5 + 1, ou seja, 22 vezes.

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178 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE

Conclusão: O número dado não é divisível por 1.000, e o resto é igual a 200.
b) Divisibilidade por 9 ou por 3
b.1) Teorema
Um número será divisível por 9 ou por 3, quando a soma de seus algarismos for
um número divisível por 9 ou por 3.
Demonstração:

1a ) Sabemos que:
˙
101 = 10 = 9 + 1 ⇒ 101 = 9 + 1
2 2 ˙
10 = 100 = 99 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1
3 3 ˙
10 = 1.000 = 999 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1
.
.
.
˙
10n = 1 00 . . . 0 ⇒ 10n = 9 + 1
n zero(s)

Vemos que qualquer potência de 10 é igual a um múltiplo de 9 mais 1.

2o ) Seja N = abc . . . stu, um número com n algarismos.

Explicitando-o sob forma polinômica, teremos:

N = a × 10n−1 + b × 10n−2 + c × 10n−3 + · · · + s × 102 + t × 101 + u × 100
ou
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
N = a × (9 + 1) + b × (9 + 1) + c × (9 + 1) + · · · + s × (9 + 1) + t × (9 + 1) + u

3o ) Desenvolvendo e ordenando convenientemente, teremos:
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
N = a × 9 + b × 9 + c ×9 + ··· + s × 9 + t ×9+a + b + c + ··· + s + t + u
múlt. de 9 S alg

˙
N = 9 + (a + b + c + · · · + s + t + u)

Dividindo os dois membros por 9 e aplicando o T.F.D, teremos:

N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9)

Obs.: Como todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3, poderemos escrever:

N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9; 3)

b.1.1) Corolário

O resto da divisão de um número por 9 ou por 3 é o mesmo que o resto da soma
dos algarismos desse número por 9 ou por 3.

Ex.: Veriﬁcar se o número 12.003.100.512 é divisível por 3 e, em seguida, por 9.

Salg = 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 1 + 0 + 0 + 5 + 1 + 2 = 15

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188 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE

Separando de duas em duas ordens da direita para a esquerda tem-se, 7.49.18.18.59.36,
cuja soma é igual a
36 + 59 + 18 + 18 + 49 + 7 = 187 e que dividida por 11 deixa resto igual a 0.

Obs.: 187(87 + 1 = 88 ÷ 11 ⇒ resto 0)

b) 6.432.178

Analogamente, tem-se 6.43.21.78 cuja soma é 78 + 21 + 43 + 6 = 148, que dividida
por 11 deixa resto 5.

Obs.: 148 (48 + 1 = 49) ÷ 11 ⇒ resto5

c) 84.937.052

Da mesma forma, 84.93.70.52, cuja soma 52 + 70 + 93 + 84 = 299, que dividida
por 11 deixa resto 2.

Obs.: 299 (99 + 2 = 101) , 101 (01 + 1 = 2 ÷ 11 ⇒ resto2)

Obs.: O critério de divisibilidade por 11 também pode ser aplicado aos de 33 ou 99.

5.7.3 Regra dos Noves-Fora
A regra dos noves-fora 2 , abreviadamente (n.f) nos permite veriﬁcar se o resultado
de uma operação fundamental, está ou não correto, aplicando o critério de divisibili-
dade por 9.
Se por exemplo, estivermos diante de uma adição, devemos provar que “a soma
dos 9 s fora das parcelas é igual aos 9 s fora da soma das mesmas". Este raciocínio
é análogo para qualquer operação.

Ex1 .: Veriﬁcar, através da regra dos 9 s fora para a igualdade: 578 + 435 = 1.013
1o ) 578 → 5 + 7 = 12, n.f, 3; 3 + 8 = 11, n.f, 2
2o ) 435 → 4 + 3 + 5 = 12, n.f, 3
3o ) 1.013 → 1 + 0 + 1 + 3 = 5, n.f, 5
578 + 435 = 1.013
n.f,2 n.f,3 n.f,5

Observe que a soma dos 9 s fora no 1o membro, ou seja 2 + 3 = 5, n.f , 5 é igual
aos 9 s fora da soma (5), no 2o membro.
Conclusão: A soma está correta.
Ex2 .: Determinar, através da regra dos 9 s fora, o valor de y na igualdade 2.465×
3.214 = 792y510
2.465 × 3214 = 792y510
n.f,8 n.f,1 n.f,6+y
8×1 = 6+y ∴ y = 2
2 Podemos aplicar também a regra dos 6 s, 7 s, 11 s ou 13 s fora.

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222 [CAP. 6: MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

A×B
O quociente gerado por é múltiplo de A e de B, conseqüentemente,
mdc (A; B)
será múltiplo do mmc, ou seja,
A×B
= mmc (A; B) × k ... (I)
mdc (A; B)
Dividindo-se, separadamente, os dois membros da igualdade anterior por B e por
A, teremos:

A mdc (A; B)
1o ) = ×k
mdc (A; B) B
B mdc (A; B)
2o ) = ×k
mdc (A; B) A
A B
Como os quocientes gerados por e são primos entre si,
mdc (A; B) mdc(A; B)
conclui-se que k = 1.
A×B
Substituindo k = 1 em (I), teremos: = mmc (A; B) ou ainda
mdc (A; B)

A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... Q.E.D

Ex.: Veriﬁcar a igualdade anterior, supondo A = 60 e B = 36.

Substituindo 60 e 36 na relação anterior, teremos:

60 × 36 = mdc (60; 36) × mmc (60; 36)
2.160 = 12 × 180
2.160 = 2.160 (ok!)

3a O mmc. de dois ou mais números naturais, onde o maior é múltiplo do(s)
menor(es), é o maior.
˙
Sejam A e B dois números onde A = B.
Se A é múltiplo de B, então A é divisível por B, então, o
mdc (A; B) = B ......... (I)
Vimos anteriormente que A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... (II)

Substituindo (I) em (II), tem-se: A × B = B × mmc (A; B).
Simpliﬁcando, convenientemente, teremos: mmc (A; B) = A ... Q.E.D

Ex1 .: mmc (3; 6) = 6, pois 6 é o múltiplo de 3.

Ex2 .: mmc (4; 8; 16) = 16, pois 16 é múltiplo de 4 e 8, simultaneamente.

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[SEC. 7.12: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 243

D × Q1 ± D × Q2 ± D × Q3 ± · · · = A ± B ± C ± · · · ou

D × (Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · ) = A ± B ± C ± · · · ou ainda,
A ±B ± C ±···
Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · =
D
A B C A ± B ± C ± ···
± ± ± ··· = ... Q.E.D
D D D D
3 2 4 3+2+4 9
Ex1 .: + + = =
11 11 11 11 11
7 1 6:2 3
Ex2 .: − = =
8 8 8:2 4

2o caso: Com Frações Heterogêneas

Regra:
Reduzimos as frações ao mesmo denominador, dividimo-lo por cada um dos de-
nominadores e, em seguida, multiplicamos cada um dos quocientes obtidos pelos seus
respectivos numeradores.

Demonstração:
A C E
Seja ± ± ± · · · uma operação.
B D F
o
1 ) mmc (B, D, F, . . .) = m
m m
2o ) = q1 ⇒ B = ou m = B × q1
B q1
m m
= q2 ⇒ D = ou m = D × q2
D q2
m m
= q3 ⇒ F = ou m = F × q3
F q3
.
. .
. .
.
. . .
A C E A C E
3o ) ± ± ± ··· = ± ± ± ··· (I)
B D F m/q1 m/q2 m/q3
A C E A × q1 C × q2 A × q1 C × q2
4o ) ± ± ± ··· = ± ± ··· = ± ··· (II)
B D F B × q1 D × q2 m m
Como (I) é igual a (II), podemos escrever que:
A C E A C E A × q1 C × q2
± ± ± ··· = ± ± ±··· = ± ±
B D F m/q1 m/q2 m/q3 m m
E × q3
± ···
m
Como as frações são homogêneas, teremos, de acordo com o caso anterior:

A C E A × q1 ± C × q2 ± E × q3 ± · · ·
± ± ± ··· = ... Q.E.D
B D F m

i i

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