Ap mat aritmetica e exercicios resolvidos

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Ap mat aritmetica e exercicios resolvidos

  1. 1. page 1i i Agradecimento Agradeço a Deus por me permitir concluir este trabalho, aos meus pais, esposa e filhos pela ajuda e apoio, assim como aos colegas que contribuíram com sugestões, críticas e observações.i i i i
  2. 2. page 2i i Apresentação Este trabalho destina-se aos admiradores da Aritmética em geral e particu- larmente aos candidatos às instituições de ensino em que esta ciência seja uma referência. Esta edição, que ora apresenta-se, foi revista e ampliada. Além disso, procurou-se reforçar as demonstrações dos conceitos e fórmulas, sem perder-se, entretanto, a objetividade dos exercícios. Sabe-se que um trabalho deste vulto não se encerra nesta edição, portanto quaisquer novas sugestões podem ser encaminhadas para o endereço na contra capa. Desde já agradece-se as novas “proposições”. Atenciosamente José Carlos Admo Lacerda Março de 2.009i i i i
  3. 3. page 3i i Sumário 1 Numeração 1 1.1 Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Correspondência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Correspondência Unívoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Correspondência Biunívoca . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Conjuntos Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Número Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Associação de Elementos e Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Divisão da Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 Sistema de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.9 Base de um Sistema de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.10 Ordens e Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.10.1 Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.10.2 Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.11 Princípios da Numeração para uma Base Qualquer . . . . . . . . 7 1.11.1 Primeiro Princípio: da numeração falada . . . . . . . . . . 7 1.11.2 Segundo Princípio: da numeração escrita . . . . . . . . . 7 1.12 Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12.1 Sistema de Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12.2 Princípios da Numeração Decimal . . . . . . . . . . . . . 7 1.12.3 Classes e Ordens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.12.4 Nomenclatura das Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.12.5 Formação e Leitura dos Números Polidígitos . . . . . . . . 10 1.12.6 Numerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.12.7 Numerais Cardinais e Numerais Ordinais . . . . . . . . . . 11 3i i i i
  4. 4. page 4i i 4 SUMÁRIO 1.12.8 Leitura dos Numerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.12.9 Valores Posicionais dos Algarismos . . . . . . . . . . . . . 12 1.12.10 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.12.11 Quantidade (Q) de Algarismos, na Sucessão dos Números Naturais, de 1 até N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.12.12 Lei de Formação da Quantidade de Algarismos . . . . . . 15 1.12.13 Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e vice-versa . 16 1.13 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Operações Fundamentais (em N) 25 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3 Complemento de um Número . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.4 Sucessivo (ou sucessor) de um Número Natural . . . . . . 27 2.2.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.3 Numerais Multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.4 Tábua de Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.6 Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.2 Prova Real da Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.3 Divisão Exata e Divisão Inexata . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.4 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.5 Quantidade de Algarismos do Quociente numa Divisão Exata 46 2.5.6 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47i i i i
  5. 5. page 5i i SUMÁRIO 5 2.5.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6.2 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.6.4 Propriedades da Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.6.5 Nótulas Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6.6 Googol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6.7 Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6.8 Representação Polinômica de um Número Natural Polidígito N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6.9 Reverso de um Número Natural N . . . . . . . . . . . . . 69 2.6.10 Número Palíndromo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6.11 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6.12 Proposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6.13 Estimativa da Quantidade de Algarismos de um Produto . 73 2.6.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.7 Raiz Quadrada Exata e Raiz Cúbica Exata . . . . . . . . . . . . . 76 2.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7.2 Quadrados Perfeitos e Cubos Perfeitos . . . . . . . . . . . 76 2.7.3 Raízes Quadradas Exatas e Raízes Cúbicas Exatas . . . . . 77 2.8 Expressões Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.9 Tabela dos Quadrados dos Números Naturais Inferiores a 100 . . . 79 2.10 Operações Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.11 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.12 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 Numeração Não Decimal 97 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Terminologia das Bases e Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Proposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.1 Princípio da Numeração Falada . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5 Representação nas Bases não Decimais . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6 Leitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.7 Mudanças de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100i i i i
  6. 6. page 6i i 6 SUMÁRIO 3.8 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.9 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.10 Tópico Complementar - Sistema de Numeração Romana . . . . . 108 3.10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.10.2 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.11 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.12 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4 Teoria dos Números Primos 123 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1.1 Múltiplo de um Número Natural . . . . . . . . . . . . . . 123 4.1.2 Múltiplos Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.1.3 Divisores de um Número Natural . . . . . . . . . . . . . . 124 4.1.4 Divisores Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2 Número Primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2.1 Reconhecimento de um Número Primo . . . . . . . . . . . 125 4.3 Princípio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4 Crivo de Erathóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 Tabela dos Números Primos Menores que 1.000 . . . . . . . . . . 128 4.6 Números Primos Entre Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.6.1 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.7 Decomposição em Fatores Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.8 Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.9 Forma Canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.10 Condição Geral de Multiplicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.11 Propriedades dos Quadrados e dos Cubos Perfeitos . . . . . . . . 133 4.12 Determinação dos Divisores de um Natural N . . . . . . . . . . . 137 4.12.1 Primeiro modo: Por decomposição em fatores primos . . . 137 4.12.2 Segundo modo: Através das potências dos fatores primos . 139 4.13 Quantidade de Divisores de um Número Natural N . . . . . . . . 140 4.13.1 Determinação da Quantidade de Divisores Ímpares e da Quantidade de Divisores Pares, de um Número Natural . . 141 4.14 Produto dos Divisores de um Número Natural N . . . . . . . . . 142 4.15 Soma dos Divisores de um Número Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.16 Soma dos Inversos (Sinv ) de Todos os Divisores Inteiros Positivos de um Número Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145i i i i
  7. 7. page 7i i SUMÁRIO 7 4.17 Soma dos Divisores Pares e dos Divisores Ímpares . . . . . . . . . 146 4.18 Números Primos com um Natural N . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.19 Soma dos primos com um natural dado . . . . . . . . . . . . . . 149 4.19.1 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.20 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.21 Tópicos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.21.1 Divisores Próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.21.2 Número Abundante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.21.3 Número Defectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.21.4 Números Amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.21.5 Números Primos Gêmeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.21.6 Números Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.21.7 Lista dos 46 Primeiros Números Primos de Mersenne . . . 152 4.21.8 Número Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.21.9 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.21.10 Propriedades dos Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . 154 4.22 Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.22.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.23 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.24 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5 Divisibilidade 169 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.1.1 Terminologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.1.3 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.2 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.2.1 Números Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.2.2 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2.4 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2.5 Corolário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3 Teorema Fundamental da Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.4 Critérios de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175i i i i
  8. 8. page 8i i 8 SUMÁRIO 5.4.1 Principais Critérios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.6 Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.7 Tópicos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.7.1 Divisibilidade por 3m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.7.2 Divisibilidade por 11m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.7.3 Regra dos Noves-Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.8 Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.8.1 Indução Empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.8.2 Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.8.3 Princípio da Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . 189 5.9 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6 Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum 209 6.1 Máximo Divisor Comum - MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.1.1 Determinação do MDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.1.3 Determinação do M.D.C através das Divisões Sucessivas . 212 6.1.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.2 Mínimo Múltiplo Comum (em N∗ ) - MMC . . . . . . . . . . . . 219 6.2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.2 Determinação do MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.2.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2.4 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7 Números Fracionários 237 7.1 Fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.2 Representação das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.2.1 Significado dos Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.3 Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas . . . . . . . . . . . 238 7.3.1 Frações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.3.2 Frações Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.4 Leitura das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.5 Frações Decimais e Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.5.1 Frações Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239i i i i
  9. 9. page 9i i SUMÁRIO 9 7.5.2 Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6 Frações Próprias, Impróprias e Aparentes . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6.1 Frações Próprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.6.2 Frações Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.6.3 Frações Aparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.7 Propriedades das Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.8 Frações Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.9 Simplificação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.10 Fração(ões) Irredutível(eis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.11 Redução de Frações ao Menor Denominador Comum . . . . . . . 242 7.12 Operações com Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.13 Fração Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.14 Fração de Fração(ões) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.15 Números Mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.16 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.17 Expressões Fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.18 Comparação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.19 Frações Inversas ou Recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.20 Frações Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.21 Frações Contínuas Limitadas (noções) . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.22 Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.23 Adição Telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.24 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.25 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8 Números β-cimais e Números β-nários 273 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 8.2 Nomenclatura Numa Base Qualquer β . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.3 Leitura dos Números Não Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.4 Leitura dos Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.4.1 Unidades Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.5 Princípios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.6 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.7 Números Decimais Exatos e Inexatos . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.7.1 Números Decimais Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.7.2 Números Decimais Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.7.3 Classificações dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . 280i i i i
  10. 10. page 10i i 10 SUMÁRIO 8.8 Quociente com Aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.8.1 Regra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.9 Notação das Dízimas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.10 Classificação das Dízimas Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.10.1 Dízimas Periódicas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.10.2 Dízimas Periódicas Compostas . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.11 Geratrizes de Números β-cimais e β-nários . . . . . . . . . . . . . 282 8.12 Cálculo das geratrizes de período p, onde p = β − 1 . . . . . . . 285 8.13 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.14 Natureza de uma Fração Ordinária . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.15 Estimativa da Quantidade de Algarismos do Período de uma Dízima 292 8.15.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.16 Quantidade Exata de Algarismos do Período . . . . . . . . . . . . 295 8.16.1 Teorema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.16.2 Teorema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.17 Operações com Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 8.18 Mudanças de Base Envolvendo Números β-nários e β-cimais . . . 300 8.19 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.20 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 9 Radiciação 317 9.1 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.3 Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.3.1 Raiz Quadrada Exata de um Número Natural N . . . . . . 318 9.3.2 Raiz Quadrada de um Número Natural N com Aproximação de uma unidade por falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.3.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 9.3.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.4 Raiz Quadrada de Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.5 Raiz Quadrada de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.6 Raiz Quadrada de um Número Natural N com uma Aproximação Fracionária de Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 9.8 Raiz Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 9.8.1 Raiz Cúbica Exata de um Número Natural N . . . . . . . 326i i i i
  11. 11. page 11i i SUMÁRIO 11 9.8.2 Extração da Raiz Cúbica de um Número natural N com Aproximação de uma unidade por falta . . . . . . . . . . . 327 9.8.3 Teorema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.8.4 Teorema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.8.5 Teorema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.9 Raiz Cúbica de Frações Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 9.10 Raiz Cúbica de Números Decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 9.11 Extração da Raiz Cúbica de um Número N com uma Aproximação n/d de Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 9.12 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 10 Sistema de Unidades de Medidas 335 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.2 Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.3 Medição de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.4 Unidade de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.5 Grandezas Homogêneas e Grandezas Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.5.1 Grandezas Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.5.2 Grandezas Heterogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.6 Prefixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.7 Medidas de Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.7.1 Unidade Fundamental metro (m) . . . . . . . . . . . . . . 336 10.7.2 Conceitos Decorrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 10.7.3 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 10.7.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 10.8 Medidas de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 10.8.1 Unidade Fundamental – metro quadrado (m2 ) . . . . . . 337 10.8.2 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10.8.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10.8.4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10.8.5 Área das Principais Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . 338 10.9 Medidas de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 10.9.1 Unidade Fundamental – metro cúbico (m3 ) . . . . . . . . 341 10.9.2 Múltiplos e submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.10.1 Volume (V) dos Principais Sólidos . . . . . . . . . . . . . 341i i i i
  12. 12. page 12i i 12 SUMÁRIO 10.11 Medidas Agrárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 10.11.1 Unidade Fundamental - are (a) . . . . . . . . . . . . . . 342 10.11.2 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 10.11.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.12 Medidas de Capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.12.1 Unidade Fundamental - Litro (L ou l ) . . . . . . . . . . 343 10.12.2 Conceito Decorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.12.3 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.12.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.13 Medidas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.13.1 Unidade Fundamental- Quilograma (kg) . . . . . . . . . 344 10.13.2 Conceito Decorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.13.3 Múltiplos e Submúltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.14 Quadro Sinóptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 10.15 Unidades Norte Americanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 10.16 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 11 Arredondamento, Notação Científica e Ordem de Grandeza 359 11.1 Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 11.1.1 Critérios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . 359 11.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11.3 Notação Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 11.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 11.5 Ordem de Grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 11.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 11.5.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 11.6 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 12 Razões e Proporções 373 12.1 Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 12.1.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 12.1.2 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.2 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.2.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 12.2.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375i i i i
  13. 13. page 13i i SUMÁRIO 13 12.3 Razões Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.3.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 12.4 Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.4.1 Proporção Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.4.2 Proporção Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.5 Proporção Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.6 Estudo das Proporções com Quatro Termos . . . . . . . . . . . . 380 12.6.1 Proporção Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.6.2 Propriedade Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.6.3 Proporção Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.6.4 Propriedade Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.7 Terminologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.8 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.8.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 12.9 Proporção Contínua com Quatro Termos . . . . . . . . . . . . . . 390 12.10 Média Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 12.11 Média Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 12.12 Terceira Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 12.13 Quarta Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 12.14 Relações entre Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 12.15 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 13 Divisão Proporcional e Regra de Sociedade 395 13.1 Divisão Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 13.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 13.3 Divisão em Partes Diretamente Proporcionais . . . . . . . . . . . 397 13.4 Divisão em Partes Inversamente Proporcionais . . . . . . . . . . . 398 13.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 13.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 13.7 Regra de Sociedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 13.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14 Médias 411 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.2 Médias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.2.1 Média aritmética simples (Ma.s ) . . . . . . . . . . . . . 411i i i i
  14. 14. page 14i i 14 SUMÁRIO 14.2.2 Média geométrica simples (Mg.s ) . . . . . . . . . . . . . 411 14.2.3 Média harmônica simples (Mh.s ) . . . . . . . . . . . . . . 412 14.2.4 Relação entre as médias simples de dois números . . . . . 412 14.3 Médias Ponderadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.3.1 Média aritmética ponderada (Ma.p ) . . . . . . . . . . . . 413 14.3.2 Média geométrica ponderada (Mg.p ) . . . . . . . . . . . 413 14.3.3 Média harmônica ponderada (Mh.p ) . . . . . . . . . . . . 413 14.4 Tópicos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.4.1 Média e Extrema Razão - Número de Ouro . . . . . . . . 413 14.4.2 Seqüência de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.4.3 O Número de Ouro e a Seqüência de Fibonacci . . . . . . 415 14.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 14.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 15 Medidas Complexas e Medidas Incomplexas 427 15.1 Medidas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 15.2 Medidas Incomplexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 15.3 Redução de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 15.3.1 Primeiro caso: De medidas complexas para incomplexas . 428 15.3.2 Segundo caso: De medidas incomplexas em complexas . . 428 15.4 Operações com Medidas Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . 429 15.5 Tópicos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 15.5.1 Ângulo Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 15.5.2 Unidade de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 15.5.3 Ano Bissexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 15.5.4 Unidades de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 15.6 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 15.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 16 Regra de Três 439 16.1 Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 16.2 Análise e Resoluções Teóricas com Regra de Três . . . . . . . . . 440 16.3 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 16.4 Regra Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 16.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448i i i i
  15. 15. page 15i i SUMÁRIO 15 17 Porcentagem e Misturas 457 17.1 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 17.2 Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 17.3 Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 17.3.1 Taxa Centesimal (ou Percentual) . . . . . . . . . . . . . . 457 17.3.2 Taxa Milesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 17.4 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 17.5 Fórmula da Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 17.6 Taxa Centesimal Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 17.7 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 17.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 17.9 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 17.10 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 18 Operações Sobre Mercadorias 481 18.1 Preço de Custo, Preço de Compra e Preço de Venda . . . . . . . 481 18.2 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 18.3 Análise Sobre a Venda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 18.3.1 Vendas com Lucro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 18.3.2 Fórmulas da Venda com Lucro . . . . . . . . . . . . . . . 482 18.4 Vendas com Prejuízo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 18.4.1 Fórmulas da Venda com Prejuízo . . . . . . . . . . . . . . 482 18.5 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 18.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 19 Juros Simples 487 19.1 Juro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 19.1.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 19.2 Fórmula do Juro ao Ano (ja.a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 19.3 Fórmula do Juro ao Mês (ja.m ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 19.4 Fórmula do Juro ao Dia (ja.d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 19.5 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 19.6 Taxa Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 19.7 Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 19.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 20 Miscelânea 499i i i i
  16. 16. page 16i i 16 [CAP. 1: NUMERAÇÃO . . . Cuidado! A quantidade de algarismos nos intervalos 9 < Q ≤ 189, 189 < Q ≤ 2.889, . . . poderá gerar um número que não tenha todas as ordens (v. exerc. resolv. n o 6) . 1.12.13 Cálculo Simplificado de Q em Função de N, e vice-versa Vimos que: Q = (N + 1) × α − (111 . . . 1) algarismos α 1’s Se α = 1 → Q = N ou N = Q Q+9 Se α = 2 → Q = 2N − 9 ou N = 2 Q + 108 Se α = 3 → Q = 3N − 108 ou N = 3 Q + 1.107 Se α = 4 → Q = 4N − 1.107 ou N = 4 . . . Observe uma “lei" regendo o numerador: 9, 108, 1.107, 11.106, 111.105, . . . 1.13 Exercícios Resolvidos 1) Calcular a quantidade de números naturais sucessivos que existem, de 7 até 18. Resolução: De acordo com a 1a propriedade, podemos facilmente ver que: [(18 − 7) + 1] = 12 números. 2) Escolher um algarismo significativo, qualquer, e verificar que de 0 até 10n (exclusive) ele aparece n × 10n−1 vezes, nas 1a , 2a , 3a ,. . . n-ésimas ordens. Resolução: Seja, para efeito de demonstração, o algarismo 7. 1o ) De 0 até 10 (exclusive) o 7 aparece uma única vez, quando escrevemos o próprio 7. 2o ) De 0 até 100 (exclusive) deveremos analisá-lo nas, 1a e 2a ordens. Na ordem das unidades u o 7 aparece nos números: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87 e 97i i i i
  17. 17. page 62i i 62 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N) 45) Em uma divisão, adiciona-se 16 unidades ao dividendo e 2 ao divisor. Sabendo- se que o quociente e o resto não se alteraram, qual foi o quociente? 46) Numa divisão inexata, o dividendo é igual a 500 e o divisor 55. Determine o maior número que se pode subtrair do divisor sem alterar o quociente. 47) Tomando-se para divisor o quociente de uma certa divisão, em que caso se obtém, para quociente e resto, os mesmos números da primeira divisão? 48) Dividindo-se um número natural A por um outro B, obtém-se um quociente Q e um resto R. Ao aumentarmos o dividendo A de K unidades e o divisor B de L unidades, o quociente e o resto não se alteram. Determine o quociente. 49) (CN) Quantos devem ser os números naturais k, de modo que a divisão de 113k + 7 por k + 1 seja exata? 50) Observe o algoritmo seguinte: 43 4 r q Qual é o menor número que se pode somar ao dividendo, de modo que o quo- ciente aumente de 500 unidades? 51) Sejam D e d números naturais tais que, o resto da divisão de D por d seja igual a 4 e o resto da divisão de 14 × D por d seja 17. Ache o resto da divisão de 210 × D por d. Respostas: 1) 39 28) 1.008 2) 86 29) R × D + R 3) 72 30) 41 4) 138 31) 95 5) 11 32) 9 6) 20 33) 96 7) 241 34) 266 8) 18.905 35) 33 9) 11 36) 3 10) 141 e 21 37) 25 11) 5.831 38) 179, 183, 187, 191, 195 e 199 12) 3.163 39) q × q − 1 13) 832 40) 47 14) 644 41) 3 15) 56 e 840 42) Não há números que satisfaçam às condições dadas 16) 266.709 43) a ) 8, 16, 24, 32, 40 e 48 17) 131 b) 1, 9, 17, 25, 33 e 41 18) 13 c) 8, 30, 66, 116, 180 e 258 19) 387 d) 8, 18, 30, 44, 60 e 78i i i i
  18. 18. page 64i i 64 [CAP. 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (EM N) 2.6 Potenciação É qualquer multiplicação onde todos os fatores são iguais. Ex1 .: 2×2×2 Ex2 .: 3×3 Ex3 .: a ×a × a × ··· ×a 2.6.1 Notação a × a × a × · · · × a ou am (m ∈ N, tal que m ≥ 2)8 m fatores m Em a = p, temos as seguintes nomenclaturas: a . . . base ou raiz m . . . expoente ou grau de multiplicidade p . . . potência 2.6.2 Leitura A representação am , lê-se: a elevado a m. Ex.: 24 . Lê-se: dois elevado a quatro. Obs.: Quando o expoente for 2 ou 3, são utilizadas as palavras quadrado e cubo, respectivamente. Ex1 .: 32 . Lê-se: três elevado a dois ou três ao quadrado. Ex2 .: 53 . Lê-se: cinco elevado a três ou cinco ao cubo. 2.6.3 Potência Dá-se o nome de potência9 a qualquer produto obtido através da potenciação. Ex1 .: 23 = 2 × 2 × 2 = 8, onde o 8 é a potência. Ex2 .: 32 = 3 × 3 = 9, onde o 9 é a potência. 8A notação am é devida a Nicholas Chuquet (1.445 − 1.488) e generalizada por René Descartes (1.596 − 1.650) 9 No contexto da matemática, esta palavra é atribuida a Hipócrates de Quio (460a.c).i i i i
  19. 19. page 71i i [SEC. 2.6: POTENCIAÇÃO 71 Substituindo (I) e (II) em (III), teremos: ba = ab + 36 10b + a = 10a + b + 36 10b − b + a − 10a = 36 9b − 9a = 36 b−a=4 Analisando essa última igualdade, poderemos determinar os algarismos e, con- sequentemente, os números que satisfazem a condição do problema, ou seja: b = 9 e a = 5 ⇒ N = 59; b = 8 e a = 4 ⇒ N = 48; b = 7 e a = 3 ⇒ N = 37; b = 6 e a = 2 ⇒ N = 26; b = 5 e a = 1 ⇒ N = 15 Resp.: 59, 48, 37, 26 e 15 3) (OBM) Para escrever todos os números naturais consecutivos desde 1ab até ab2, inclusive, foram utilizados 1ab1 algarismos. Determinar o número de algarismos a mais que precisaremos para escrever todos os números naturais até aab, inclusive. Resolução: (ab2 − 1ab + 1) × 3 = 1ab1 (100a + 10b + 2 − 100 − 10a − b + 1) × 3 = 1.000 + 100a + 10b + 1 (90a + 9b − 97) × 3 − 100a − 10b = 1.001 270a + 27b − 100a − 10b = 1001 + 291 17(10a + b) = 1.292 1.292 ab = 17 ab = 76 Portanto, de 763 até aab ⇒ (776 − 763 + 1) × 3 = 14 × 3 = 42. Resp.: 42 algarismos 4) (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)2 − (ba)2 = (cc)2 . Calcular a + b + c. Resolução: (ab)2 − (ba)2 = (cc)2 (10a + b)2 − (10b + a)2 = (10c + c)2 100a2 + 20ab + b2 − 100b2 − 20ab − a2 = 121c2i i i i
  20. 20. page 81i i [SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 81 4) Se a ∗ b = (a + b)2 − (b − a2 )(a + b)2 + (b + a2 ), determine (1 ∗ 2) ∗ 3. 5) Se a∆b = a · b − 1 e x y = x2 − y2 , determine (4∆2) − (3 2). 6) Se 8@6 = 44, 7@6 = 43 e 7@5 = 32, calcule 8@5. 7) Se 2 ∗ 3 = 7, 3 ∗ 4 = 13, −5 ∗ −2 = 23 e −6 ∗ 1 = 37, calcule 5 ∗ (3 ∗ −5). 8) Se 3∆2 = 11, 5∆4 = 29 e 8∆7 = 71, ache 6∆2. 9) Se 5 ∗ 3 = 6, 7 ∗ 4 = 12 e 8 ∗ 7 = 7, calcule 6 ∗ 2. 10) Se a ∗b representa o maior de a e b, e a#b representa o menor de a e b, calcule o valor de: (1#(2 ∗ (3#4))) + (1 ∗ (2#(34))). 11) (CN) Dadas as operações x ∗ y = x + y, x#y = x − y e x∆y = x · y, ache o valor da expressão: [2 ∗ (8#12)] ∗ {[(3 ∗ 2)#5]∆[10 ∗ (2#(4∆2))]} 12) A operação x ⊗ y = x · y − 3 + x − 3 · y, ache 2 ⊗ (3 ⊗ (4 ⊗ · · · ⊗ (11 ⊗ 12)) . . . ). 13) Se x#y = y(x + y) e x@y = y(y − x), ache 1#(2@3). Huntington C. Mathematics a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Respostas: 1) 4 8) 38 ou 23 2) 7 9) 8 3) 1 10) 10 4) 264 11) −2 5) 440 6) 33 12) −1 7) 29 13) b 2.11 Exercícios Resolvidos 2 1) Calcular a potência gerada por: 23 Resolução: 2 23 = 2 × 2 × · · · × 2 = 2 × 2 × · · · × 2 = 29 = 512 3 2 fatores 9 fatores 2 2 Na prática, 23 = 2(3 ) = 29 = 512 99 21 2) Calcular a potência gerada por: 23 Resolução: 1o )i i i i
  21. 21. page 85i i [SEC. 2.11: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 85 b=2 Substituindo b em (I), teremos: a = 3 × 2 ⇒ a = 6 Resp.: N = 62 11) Um número N é constituído por três algarismos tais que, o das centenas é o dobro do das dezenas, e o das dezenas é o dobro do das unidades. Determinar N, sabendo que a soma de seus algarismos é 14. Resolução: De acordo com os dados, temos:   N = cdu . . .  (I)     c = 2d . . . (II)  d = 2u . . .  (III)     c + d + u = 14 . . . (IV ) Explicitando (II) em função de u, tem-se: c = 2 × (2u) ou c = 4 × u . . . (V ) Substituindo (III) em (IV ) teremos: 4 × u + 2 × u + u = 14 7 × u = 14 u=2 Substituindo u em (III), tem-se: d = 2 × 2, donde, d = 4 Substituindo d = 4 em (II), teremos: c = 2 × 4, donde, c = 8. Resp.: 842 12) Determinar o quociente e o resto da divisão de 7 × 351 por 5 × 349 . Resolução: 7 × 351 7 × 32 × 349 63 × 349 49 = 49 = 5×3 5×3 5 × 349 63 5 3 12 63 × 349 5 × 349 3 × 349 12 Resp.: Quociente = 12 e resto = 3 × 349 = 350i i i i
  22. 22. page 108i i 108 [CAP. 3: NUMERAÇÃO NÃO DECIMAL 4a ) A soma gerada por [(10β )n + k], k < β é, na base 10, igual a βn + k. Obs1 .: Se k = 0, então (10β )n = βn , (∀β)2 Obs2 .: Se k = 1, então (10β )n + 1 = βn + 1, ∀ β 3.10 Tópico Complementar - Sistema de Nume- ração Romana 3.10.1 Introdução É um sistema de limitadas aplicações. Elas podem ser encontradas em capítulos de livros, séculos, relógios de paredes, etc. Os numerais romanos, são representados por letras e seus valores em ordem cres- cente são: I V X L C D M (1) (5) (10) (50) (100) (500) (1.000) 3.10.2 Regras 1a ) Um traço horizontal colocado sobre um número aumenta mil vezes seu valor, dois traços aumentam um milhão de vezes e assim sucessivamente. Ex.: V = 5.000 V = 5.000.000 Obs.: Os numerais 1.000, 2.000 e 3.000 não são representados por I, II e III e sim por: M, MM e MMM. 2a ) Os numerais I, X, C e M podem ser escritos, seguidamente, até três vezes. Ex.: II, XXX, CCC 3a ) Os numerais I, X e C só podem anteceder um dos dois de maior valor que lhes sucedem a ordem, isto é: Ex.: I, antes de V ou de X X, antes de L ou de C C, antes de D ou de M Obs.: Nesse caso, subtrai-se o menor do maior. 2 ∀... David Hilbert (1.862 − 1.943).i i i i
  23. 23. page 140i i 140 [CAP. 4: TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS 4.13 Quantidade de Divisores de um Número Na- tural N Teorema: A quantidade de divisores de um número natural N, QD(N) , é dada pelo produto dos sucessivos de todos os expoentes de seus fatores primos. Demonstração: Sabemos que, se N = aα × bβ × cγ × . . . , então: D(aα ) = {a0 , a1 , a2 , . . . aα }, ou seja, (α + 1) divisores; D(bβ ) = {b0 , b1 , b2 , . . . bβ }, ou seja, (β + 1) divisores; D(cγ ) = {c0 , c1 , c2 , ...cγ }, ou seja, (γ + 1) divisores. Multiplicando-se agora os α + 1 divisores da 1a linha pelos β + 1 divisores da segunda e, em seguida, os [(α + 1) × (β + 1)] divisores anteriores pelos (γ + 1) divisores da 3a e, assim, sucessivamente, obteremos a quantidade, QD(N) , de divisores de N, ou seja: QD(N) = (α + 1) × (β + 1) × (γ + 1) × . . . Q.E.D Ex1 .: Determinar a quantidade de divisores de 360. 360 2 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 360 = 23 × 32 × 51 QD(360) = (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 Obs.: A quantidade de divisores de um número natural N é um número par, exceto quando o(s) expoente(s) do(s) fator(es) obtido(s) na decomposição em fatores primos de N for(em) número(os) par(es).i i i i
  24. 24. page 153i i [SEC. 4.21: TÓPICOS COMPLEMENTARES 153 31o 216.091 65.050 Slowinski e Gage 1.985 32o 756.839 22.783 Slowinski e Gage 1.992 33o 859.433 258.716 Slowinski 1.994 34o 1.257.787 378.632 Slowinski 1.996 35o 1.398.269 420.921 Armengaud e Woltman 1.996 36o 2.976.221 895.932 Spence e Woltman 1.997 37o 3.021.377 909.526 Clarkson, Woltman e Kurowski 1.998 38o 6.972.593 2.098.960 Hajratwala, Woltman e Kurowski 1.999 39o 13.466.917 4.053.946 Michael Cameron 2.001 40o 20.996.001 6.320.430 Michael Shafer’s 2.003 41o 24.036.583 7.235.733 Josh Findley 2.004 42o 25.964.951 7.816.230 Martin Nowak 2.005 43o 30.402.457 9.152.052 Curtis Cooper e Steven Boone 2.005 44o 32.582.657 9.808.358 Curtis Cooper e Steven Boone 2.006 45o 43.112.609 12.978.189 Edson Smith 2.008 46o 37.156.667 11.185.272 Hans-Michael Elvenich 2.008 4.21.8 Número Perfeito É todo número igual à soma de seus divisores próprios. Ex1 .: 6 é um número perfeito9 , pois, 1 + 2 + 3 = 6. Ex2 .: 28 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Ex3 .: 496 é um número perfeito, pois, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. 4.21.9 Teorema Se p for um número primo e 2p − 1 for primo de Mersenne, então p−1 2 × (2p − 1) é um número perfeito par. Demonstração: Como p e 2p − 1, é por definição um número primo, a expressão geral dos números perfeitos pares é dada por (I), onde a, b, c, . . . pertence ao conjunto dos números pares maiores que 2. De acordo com a definição de números perfeitos, podemos escrever: 2n × aα × bβ × cγ × · · · = (1 + 2 + 22 + · · · + 2n )(1 + a + a2 + · · · + an )(1 + b + b + · · · + bn )(1 + c + c2 + · · · + cn ) × · · · − 2n × aα × bβ × cγ × . . . 2 2n+1 × aα × bβ × cγ × · · · = (2n+1 − 1)(1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · + b )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × . . . α (1 + a + a2 + · · · + aα )(1 + b + b2 + · · · + bα )(1 + c + c2 + · · · + cα ) × · · · = 2n+1 × aα × bβ × cγ × . . . 2n+1 − 1 9 Questão em aberto: Existem números perfeitos ímpares? Ninguém ainda os encontrou.i i i i
  25. 25. page 159i i [SEC. 4.23: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 159 360 = 23 × 32 × 5 ϕ(360) = 23−1 × 32−1 × 51−1 × (2 − 1) × (3 − 1) × (5 − 1) ϕ(360) = 96 7) Determinar o número de vezes que o fator primo 3 aparece na decomposição, em fatores primos, do produto dos cinquenta primeiros números naturais, a partir de 1. Resolução: Seja 1 × 2 × 3 × · · · × 48 × 49 × 50, a multiplicação que gera tal produto. Como nos múltiplos de 3 o fator (3), é claro, aparece em sua decomposição, apenas irão nos interessar os fatores que contenham esses múltiplos, ou seja: 3 × 6 × 9 × · · · × 47 × 48 16 fatores Decompondo-se, convenientemente, os fatores anteriormente “subchaveados", ter- emos: 3 × 1 × 3 × 2 × 3 × · · · × 3 × 15 × 3 × 16 32 fatores Vê-se que de 3 × 1 até 3 × 16 o fator 3 aparece 16 vezes, logo a expressão anterior pode, também, ser escrita da forma: 316 × 1 × 2 × 3 · · · × 16 16 fatores Daqui por diante, raciocinaremos de modo análogo ao que já foi feito anterior- mente. Assim sendo, a expressão anterior ficará: 316 × 3 × 6 × 9 × · · · × 15 ou 316 × 3 × 1 × 3 × 2 × 3 × 3 × · · · × 3 × 5 5 fatores 10 fatores = 316 × 35 × 1 × 2 × 3 × · · · × 5 ou 316 × 35 × 31 5 fatores Conservando-se a base 3 e somando-se os expoentes, teremos: 316+5+1 = 322 . Conclusão: O fator 3 aparece 148 vezes. Obs1 .: O expoente 148 poderá ser obtido somando-se apenas todos os quocientes obtidos nas divisões sucessivas do número 100 (último fator) por 3, ou seja: 50 3 2 16 3 1 5 3 2 1 3 ou simplesmente . . . 50 ÷ 3 = 16 ÷ 3 = 5 ÷ 3 = 1 Conclusão: O fator 3 aparece 16 + 5 + 1, ou seja, 22 vezes.i i i i
  26. 26. page 178i i 178 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE Conclusão: O número dado não é divisível por 1.000, e o resto é igual a 200. b) Divisibilidade por 9 ou por 3 b.1) Teorema Um número será divisível por 9 ou por 3, quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 9 ou por 3. Demonstração: 1a ) Sabemos que: ˙ 101 = 10 = 9 + 1 ⇒ 101 = 9 + 1 2 2 ˙ 10 = 100 = 99 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1 3 3 ˙ 10 = 1.000 = 999 + 1 ⇒ 10 = 9 + 1 . . . ˙ 10n = 1 00 . . . 0 ⇒ 10n = 9 + 1 n zero(s) Vemos que qualquer potência de 10 é igual a um múltiplo de 9 mais 1. 2o ) Seja N = abc . . . stu, um número com n algarismos. Explicitando-o sob forma polinômica, teremos: N = a × 10n−1 + b × 10n−2 + c × 10n−3 + · · · + s × 102 + t × 101 + u × 100 ou ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ N = a × (9 + 1) + b × (9 + 1) + c × (9 + 1) + · · · + s × (9 + 1) + t × (9 + 1) + u 3o ) Desenvolvendo e ordenando convenientemente, teremos: ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ N = a × 9 + b × 9 + c ×9 + ··· + s × 9 + t ×9+a + b + c + ··· + s + t + u múlt. de 9 S alg ˙ N = 9 + (a + b + c + · · · + s + t + u) Dividindo os dois membros por 9 e aplicando o T.F.D, teremos: N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9) Obs.: Como todo múltiplo de 9 também é múltiplo de 3, poderemos escrever: N ≡ [a + b + c + · · · + s + t + u](mod. 9; 3) b.1.1) Corolário O resto da divisão de um número por 9 ou por 3 é o mesmo que o resto da soma dos algarismos desse número por 9 ou por 3. Ex.: Verificar se o número 12.003.100.512 é divisível por 3 e, em seguida, por 9. Salg = 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 1 + 0 + 0 + 5 + 1 + 2 = 15i i i i
  27. 27. page 188i i 188 [CAP. 5: DIVISIBILIDADE Separando de duas em duas ordens da direita para a esquerda tem-se, 7.49.18.18.59.36, cuja soma é igual a 36 + 59 + 18 + 18 + 49 + 7 = 187 e que dividida por 11 deixa resto igual a 0. Obs.: 187(87 + 1 = 88 ÷ 11 ⇒ resto 0) b) 6.432.178 Analogamente, tem-se 6.43.21.78 cuja soma é 78 + 21 + 43 + 6 = 148, que dividida por 11 deixa resto 5. Obs.: 148 (48 + 1 = 49) ÷ 11 ⇒ resto5 c) 84.937.052 Da mesma forma, 84.93.70.52, cuja soma 52 + 70 + 93 + 84 = 299, que dividida por 11 deixa resto 2. Obs.: 299 (99 + 2 = 101) , 101 (01 + 1 = 2 ÷ 11 ⇒ resto2) Obs.: O critério de divisibilidade por 11 também pode ser aplicado aos de 33 ou 99. 5.7.3 Regra dos Noves-Fora A regra dos noves-fora 2 , abreviadamente (n.f) nos permite verificar se o resultado de uma operação fundamental, está ou não correto, aplicando o critério de divisibili- dade por 9. Se por exemplo, estivermos diante de uma adição, devemos provar que “a soma dos 9 s fora das parcelas é igual aos 9 s fora da soma das mesmas". Este raciocínio é análogo para qualquer operação. Ex1 .: Verificar, através da regra dos 9 s fora para a igualdade: 578 + 435 = 1.013 1o ) 578 → 5 + 7 = 12, n.f, 3; 3 + 8 = 11, n.f, 2 2o ) 435 → 4 + 3 + 5 = 12, n.f, 3 3o ) 1.013 → 1 + 0 + 1 + 3 = 5, n.f, 5 578 + 435 = 1.013 n.f,2 n.f,3 n.f,5 Observe que a soma dos 9 s fora no 1o membro, ou seja 2 + 3 = 5, n.f , 5 é igual aos 9 s fora da soma (5), no 2o membro. Conclusão: A soma está correta. Ex2 .: Determinar, através da regra dos 9 s fora, o valor de y na igualdade 2.465× 3.214 = 792y510 2.465 × 3214 = 792y510 n.f,8 n.f,1 n.f,6+y 8×1 = 6+y ∴ y = 2 2 Podemos aplicar também a regra dos 6 s, 7 s, 11 s ou 13 s fora.i i i i
  28. 28. page 222i i 222 [CAP. 6: MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM A×B O quociente gerado por é múltiplo de A e de B, conseqüentemente, mdc (A; B) será múltiplo do mmc, ou seja, A×B = mmc (A; B) × k ... (I) mdc (A; B) Dividindo-se, separadamente, os dois membros da igualdade anterior por B e por A, teremos: A mdc (A; B) 1o ) = ×k mdc (A; B) B B mdc (A; B) 2o ) = ×k mdc (A; B) A A B Como os quocientes gerados por e são primos entre si, mdc (A; B) mdc(A; B) conclui-se que k = 1. A×B Substituindo k = 1 em (I), teremos: = mmc (A; B) ou ainda mdc (A; B) A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... Q.E.D Ex.: Verificar a igualdade anterior, supondo A = 60 e B = 36. Substituindo 60 e 36 na relação anterior, teremos: 60 × 36 = mdc (60; 36) × mmc (60; 36) 2.160 = 12 × 180 2.160 = 2.160 (ok!) 3a O mmc. de dois ou mais números naturais, onde o maior é múltiplo do(s) menor(es), é o maior. ˙ Sejam A e B dois números onde A = B. Se A é múltiplo de B, então A é divisível por B, então, o mdc (A; B) = B ......... (I) Vimos anteriormente que A × B = mdc (A; B) × mmc (A; B) ... (II) Substituindo (I) em (II), tem-se: A × B = B × mmc (A; B). Simplificando, convenientemente, teremos: mmc (A; B) = A ... Q.E.D Ex1 .: mmc (3; 6) = 6, pois 6 é o múltiplo de 3. Ex2 .: mmc (4; 8; 16) = 16, pois 16 é múltiplo de 4 e 8, simultaneamente.i i i i
  29. 29. page 243i i [SEC. 7.12: OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 243 D × Q1 ± D × Q2 ± D × Q3 ± · · · = A ± B ± C ± · · · ou D × (Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · ) = A ± B ± C ± · · · ou ainda, A ±B ± C ±··· Q1 ± Q2 ± Q3 ± · · · = D A B C A ± B ± C ± ··· ± ± ± ··· = ... Q.E.D D D D D 3 2 4 3+2+4 9 Ex1 .: + + = = 11 11 11 11 11 7 1 6:2 3 Ex2 .: − = = 8 8 8:2 4 2o caso: Com Frações Heterogêneas Regra: Reduzimos as frações ao mesmo denominador, dividimo-lo por cada um dos de- nominadores e, em seguida, multiplicamos cada um dos quocientes obtidos pelos seus respectivos numeradores. Demonstração: A C E Seja ± ± ± · · · uma operação. B D F o 1 ) mmc (B, D, F, . . .) = m m m 2o ) = q1 ⇒ B = ou m = B × q1 B q1 m m = q2 ⇒ D = ou m = D × q2 D q2 m m = q3 ⇒ F = ou m = F × q3 F q3 . . . . . . . . . A C E A C E 3o ) ± ± ± ··· = ± ± ± ··· (I) B D F m/q1 m/q2 m/q3 A C E A × q1 C × q2 A × q1 C × q2 4o ) ± ± ± ··· = ± ± ··· = ± ··· (II) B D F B × q1 D × q2 m m Como (I) é igual a (II), podemos escrever que: A C E A C E A × q1 C × q2 ± ± ± ··· = ± ± ±··· = ± ± B D F m/q1 m/q2 m/q3 m m E × q3 ± ··· m Como as frações são homogêneas, teremos, de acordo com o caso anterior: A C E A × q1 ± C × q2 ± E × q3 ± · · · ± ± ± ··· = ... Q.E.D B D F mi i i i

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