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Destino: Matemática
Álgebra II
Atividades
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Gerente de projeto:	 Paulo Fernando Silvestre Júnior
	 Editora:	 Olivia Maria Neto
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Bem-vindo às Atividades para impressão do Destino: Matemática.
O material tem o objetivo de auxiliar os alunos na compreen...
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Sumário
1 Números reais
1.1 Números Racionais e
Irracionais
1.1.1	 Definindo os números reais. . . . . . . . . . . . . ....
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  1. 1. www.editorasaraiva.com.br Destino: Matemática Álgebra II Atividades para impressão
  2. 2. Gerente de projeto: Paulo Fernando Silvestre Júnior Editora: Olivia Maria Neto Tradutora: Mariana Braga de Milani Editora assistente: Marília Rodela Oliveira Preparadora de texto: Salvine Maciel Assessoria em Matemática: Maria Ângela de Camargo (coordenação) Edson Ferreira (revisão) Marcos Antônio Silva (revisão) Willian SeiguiTamashiro (revisão) Projeto gráfico e diagramação: Casa Paulistana de Comunicação O uso deste produto é objeto de restrições e limitações de garantia conforme o contrato de licença. Copyright © Saraiva S/A Livreiros Editores.Todos os direitos reservados. Copyright © Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.Todos os direitos reservados. Riverdeep Inc., uma afiliada da Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company, concedeu à Saraiva S/A Livreiros Editores o direito intransferível de localizar, produzir, comercializar e distribuir o Destination Math (Destino: Matemática), Destination Reading e o Destination Learning Management com exclusividade no território nacional. Destination Math, Destination Reading e Destination Learning Management são marcas registradas da Riverdeep Interactive Learning Limited, uma afiliada da Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Saraiva e Destino: Matemática são marcas registradas da Saraiva S/A Livreiros Editores.Todas as outras marcas registradas são propriedades dos respectivos detentores.
  3. 3. Bem-vindo às Atividades para impressão do Destino: Matemática. O material tem o objetivo de auxiliar os alunos na compreensão dos conceitos e na aquisição e desenvolvimento de habilidades à medida que progridem no curso. Estas atividades foram elaboradas com a finalidade de: • manter os alunos focados na apresentação dos conceitos; • dar oportunidade aos alunos de registrar informações apresentadas no programa e refletir sobre o conteúdo dos tutoriais; • permitir que tenham oportunidade de praticar o que aprenderam em cada sequência; • oferecer uma avaliação de conceitos mais ampla em cada sequência; • propor problemas utilizando situações reais e com as quais os alunos possam identificar-se. Para ajudá-lo na condução do trabalho, são propostas duas seções que visam servir de suporte às sequências: • Vamos registrar: enquanto os alunos assistem aos tutoriais, são convidados a registrar informações e a reforçar a compreensão dos conceitos. Também pode servir como um guia dos conteúdos de revisão para que os alunos possam alcançar completo domínio dos conceitos algébricos. • Agora é sua vez!: oferece atividades adicionais para cada sequência. Elas foram elaboradas de modo que os alunos possam realizá-las sem o uso do computador e tenham oportunidade de reforçar os conceitos que estudaram. Além disso, as Atividades para impressão contam com outras duas seções em cada unidade: • Investigando: páginas projetadas para explorar um conceito algébrico que serve como tema de cada unidade. Pode ser utilizada como exploração inicial ou como atividade de culminância. • Avaliação da unidade: verificação de todas as habilidades e conceitos da unidade. Podem servir também como avaliação diagnóstica, ajudando a determinar o conhecimento preexistente do aluno sobre as habilidades e conceitos. As atividades podem ser facilmente adaptadas ao currículo da escola, de acordo com a necessidade dos alunos, com o andamento da aprendizagem coletiva, com o programa de Matemática e estilo pedagógico de cada professor. Palavra ao professor
  4. 4. 4 Sumário 1 Números reais 1.1 Números Racionais e Irracionais 1.1.1 Definindo os números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Radicais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 A função raiz quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Potências e polinômios 2.1 Operações com Polinômios 2.1.1 Potências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Somando e subtraindo polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Multiplicando polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 FATORANDO POLINÔMIOS 2.2.1 Encontrando fatores comuns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Fatorando trinômios do 20 grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Casos especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 A função quadrática 3.1 Funções Quadráticas: Gráficos e Funções 3.1.1 Traçando parábolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Investigando as propriedades das parábolas. . . . . . . . 39 3.1.3 Resolvendo equações do 20 grau por meio de gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau 3.2.1 Fatoração e teorema do produto nulo. . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 A propriedade da raiz quadrada e o método de completar quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.3 Fórmula para resolver equações do 20 grau: a fórmula de Bhaskara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Expressões algébricas e funções polinomiais 4.1 Equações Irracionais e Função Raiz Quadrada 4.1.1 Resolvendo equações irracionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 A inversa da função raiz quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Frações Algébricas, Equações e Funções 4.2.1 Operações com frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.2 Funções racionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.3 Equações fracionárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 Organizando informações 5.1 Exibindo Informações em Gráficos 5.1.1 Diagramas de ramos e folhas e diagramas de caixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.2 Diagramas de dispersão e retas de regressão. . . . . . . 77 Respostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
  5. 5. Atividades para impressão
  6. 6. 7 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Número inteiro Número natural Número racional Raiz Propriedade da densidade Número irracional Número real Objetivos de aprendizagem: Definir números reais. Definir números racionais. Definir números irracionais. Usar o teorema de Pitágoras para provar a existência de números irracionais. Arredondar o valor de uma raiz quadrada dos números reais e localizá-los na reta numerada. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 1: DefininDo os núMeros reais Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Número racional: um número na forma p q , em que p e q são ________________________, e q é diferente de ________________. 2. Um número racional, quando expresso como decimal, pode ser _______________________ ou ____________________________________________. 3. A propriedade da densidade declara que entre quaisquer ____________________ números, terá sempre outro _________________. 4. Um número irracional é aquele que não pode ser representado como uma _____________ entre ______________________________________. 5. Quando expresso na forma decimal, um número irracional não é ______________________ nem ______________________________________. 6. A propriedade da densidade é verdadeira tanto para números ________________________ quanto para ________________________. 7. Juntos, os conjuntos dos números racionais e irracionais formam o conjunto dos números ____________________. 8. O símbolo expressa uma ___________________________________ de qualquer número. 9. Então, 5 é um número irracional e pode ser representado usando um _______________.
  7. 7. 8 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 1: Definindo os Números Reais 1. Escreva cada número racional de três maneiras diferentes utilizando razões equivalentes. a) –6 = ___________; ________; _________. b) 1 5 = _________; ________; _________. c) – 8 3 = _________; ________; _________. d) 2 1 4 = ________; ________; _________. 2. Escreva cada número racional na forma decimal. Se for uma dízima periódica, use um tracinho sobre a parte que se repete. a) 1 4 = ___________________ c) 7 2 = ___________________ b) 9 2 = ___________________ d) 5 7 = ___________________ 3. Que número racional está no ponto médio entre 1,22234 e 1,222346? ______________________________________________________________________________ 4. Dê um exemplo de um número irracional expresso na forma radical e na forma decimal. ____________________ e ____________________ 5. Aproxime a raiz quadrada de cada um dos números reais a seguir para o milésimo mais próximo. Depois, marque as respostas na reta numerada. a) 7­­<________________ c) 22 <______________ b) 35 <______________ d) 14 <______________ A-C5-1.1-S1-2a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ➤➤
  8. 8. 9 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Quadrado perfeito Raiz quadrada Radical Radicando Racionalizar Objetivos de aprendizagem: Calcular a raiz quadrada de um quadrado perfeito. Simplificar a raiz quadrada do produto. Simplificar a divisão de duas raízes. Racionalizar o denominador de uma expressão envolvendo raízes. Somar ou subtrair expressões envolvendo raízes, utilizando a propriedade distributiva. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 2: raDicais Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Na fórmula do comprimento da circunferência, C = 2 r, o número irracional é aproximadamente igual a _____________. 2. Na fórmula da velocidade de uma onda, v = 3,1 p, o valor de p pode ser racional ou irracional, dependendo do valor de ___________, que representa a ____________________ da água. 3. A expressão sob o símbolo de radical é chamada __________________________________. 4. Escreva os primeiros cinco quadrados perfeitos não nulos: ________, ________, ________, ________ e ________. 5. A propriedade dos quadrados perfeitos declara que, se a > 0, então __________________. 6. A raiz quadrada de um número real não negativo é um número real ____________________ ___________. 7. Complete a afirmação: a × b = __________________________. 8. O radicando 250 pode ser simplificado como _______________. 9. Complete a afirmação, considerando a > 0 e b > 0. a b =__________ 10. ______________________ significa converter o _____________________ de uma fração que está sob o radical em um número___________________. 11.Para somar ou subtrair raízes, _________________ os radicandos, simplificando as raízes, e _________________ as raízes equivalentes.
  9. 9. 10 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 2: Radicais 1. Use a propriedade dos quadrados perfeitos para completar cada expressão. a) 81 = (­— )2 = _____________ b) _______ = 252 = ___________ c) _______ = (­— )2 = 12 2. Escreva os cinco primeiros quadrados perfeitos consecutivos maiores que 100. ________; ________; ________; ________ e ________. 3. Expresse cada radical na forma reduzida. a) 160 = ____________ b) 5 108 = ____________ c) – 1 14 490 = ____________ 4. Simplifique o produto (3 43 ) (–2 28). _______________ 5. Simplifique a expressão 3 8 32 . __________________ 6. Racionalize cada denominador. a) 1 6 = ___________ b) 3 11 = ___________ c) 2 7 = ___________ 7. Simplifique estas expressões racionalizando os denominadores. a) 8 32 2 50 = ___________ b) 1000 8 = ___________ c) 36 27 = ___________ 8. Simplifique a expressão 7 2 + 3 18. _______________ 9. A fórmula t = 2d 9,8 informa o tempo, em segundos, que um objeto parado leva para percorrer d metros em queda, onde 9,8 é a aceleração da gravidade, em metros por segundo ao quadrado. Quantos segundos leverá para um objeto percorrer 58,8 m em queda? Escreva a resposta na forma reduzida. ___________________
  10. 10. 11 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Raiz quadrada Domínio Imagem Interpolação Extrapolação Parâmetro Função não afim Objetivos de aprendizagem: Construir o gráfico de um conjunto finito de pares ( , ). Construir o gráfico da função raiz quadrada. Identificar o domínio, a imagem e a lei da função raiz quadrada. Analisar o coeficiente a no gráfico de = a . Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 1: núMeros reais – uniDaDe 1: núMeros racionais e irracionais – sequência 3: a função raiz quaDraDa Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Se representa a área de um quadrado, então _________________________ representa o comprimento de seu lado. 2. Explique como você sabe que a função raiz quadrada não é linear. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3. Por que a relação da raiz quadrada é uma função? _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 4. _______________________ é determinar o valor de uma função entre dois valores conhecidos do _______________________. 5. _______________________ é inferir o valor de uma função em um intervalo não observado a partir de valores em um intervalo já _______________________. 6. Qual conjunto de números descreve o domínio da função raiz quadrada? _______________________________________________________________________________ 7. Qual conjunto de números descreve a imagem da função raiz quadrada? _______________________________________________________________________________ 8. Na equação = 3,1 , o coeficiente 3,1 é chamado _______________________________ . 9. Em gráficos de funções na forma = a , o valor de a afeta a _______________________ do gráfico e determina o _______________________ pelo qual passa o gráfico.
  11. 11. 12 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais – Sequência 3: A Função Raiz Quadrada 1. Complete a tabela a seguir, arredondando os valores de para duas casas decimais. 0 1,3 2,0 2,7 3,4 4,8 5,2 5,9 �� 2. Marque os pontos da tabela no gráfico. 0,50 1 1,5 2,5 3,5 4,5 5,52 3 4 5 6 1 2 3 �� 3. Faça o gráfico da função raiz quadrada = para valores de de 0 a 25. � � � 20 4 6 8 10 122 4 6 8 2 4 6 14 16 18 20 22 24 26 � 4. Identifique o gráfico correspondente de cada equação. a) = 0,7 ______________________ b) = – 2 3 ____________________ c) = 2,4 _______________________ d) = 3 _________________________ e) = – 3 ________________________ x y 0 1 2 3 4 5 �� � � � � � ��
  12. 12. 13 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais 1. Identifique cada número como racional ou irracional. Justifique sua resposta. a) 0,35621 _________________________________________ b) 12,5 7 _____________________________________________ c) 5 _______________________________________________ d) 0,552552 ________________________________________ e) – 9 _____________________________________________ f) 8 _______________________________________________ g) 12,3145 _________________________________________ h) 2,121121112 _____________________________________ 2. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número racional pode ser expresso na forma de decimal exato?______________________________ 3. Sempre, às vezes ou nunca é verdade que um número irracional pode ser expresso na forma de número não decimal? ________________________ 4. Em um triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de comprimento c, o teorema de Pitágoras declara que a² + b² = c². Determine se o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos lados medem 4 unidades e 5 unidades é um número racional ou irracional. Explique sua resposta. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 5. Cada par de números a seguir representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Quais pares representam os catetos de um triângulo retângulo cujo comprimento da hipotenusa é um número irracional? Circule as respostas. a) (12, 5) b) (12, 13) c) (8, 15) d) (2, 4) 6. Marque cada número irracional a seguir na reta numerada. a) 0,2 b) 17 c) 3 d) 1,4 0 1 2 3 4 5 ➤➤
  13. 13. 14 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais 7. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras se a > b e b > 0? Circule a resposta. a) a + b = a + b c) a × b = a × b b) a – b = a – b d) a b = a b , b 0 8. Escreva cada expressão na forma reduzida. a) 75 = ___________________________ f) 96 8 = _____________________________ b) 0,0036 = __________________________ g) 180 – 45 = _____________________ c) 5 × 85 = ____________________­__ h) 3 12 + 4 108 = ___________________ d) 98×14 = ___________________________ i) 9 5 = ___________________________ e) 96 2 = __________________________ j) 2 10 × 5 2 = _______________­­­­________ 9. Quais dos pares ordenados a seguir descrevem pontos que estão no gráfico de = ? Circule as respostas. a) (1,8, 1,34) b) (2, 4) c) (16, 4) d) (4,90, 24) 10. Identifique o gráfico correspondente a cada equação. a) = – 12 5 __________________ b) = 3 –2 ____________________ c) = 1 3 ____________________ d) = – 11 2 __________________ e) = 7 4 ____________________ � x0 1 2 3 4 5 y �� � � � � � �
  14. 14. 15 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais Explorando a vista de uma aeronave Ao voar em um dia claro, é possível avistar objetos até o horizonte. Entretanto, como a Terra é quase uma esfera, não é possível avistar além do horizonte, mesmo utilizando binóculos ou um telescópio. A distância aproximada, em milhas, até o horizonte é dada pela fórmula d = 1,22 , em que representa a altitude em pés. 1. Faça o gráfico desta função, criando uma escala no eixo horizontal com valores de 0 a 35000 e no eixo vertical com valores de 0 a 300. Altitude (pés) 0 �� � � Distânciadohorizonte (milhas) 2. Informe as coordenadas de cinco pontos de referência do gráfico ___________________, __________________, __________________, __________________ e __________________. 3. O que representa o ponto cuja coordenada é zero? _______________________________________________________________________________ 4. Use o gráfico para determinar a distância aproximada para a dezena mais próxima, entre o horizonte e uma aeronave que voa a uma altitude de 30 000 pés. ________________________________________________________________________________ 5. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma aeronave cuja distância do horizonte é de 100 milhas. _______________________________________________________________________________
  15. 15. 16 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 1: Números Reais – Unidade 1: Números Racionais e Irracionais 6. Use o gráfico para determinar a altitude aproximada para o milhar mais próximo de uma aeronave cuja distância do horizonte é de 200 milhas. _______________________________________________________________________________ 7. Calcule, até a dezena mais próxima, a alteração da distância do horizonte conforme a altitude do avião aumenta de 35 000 pés para 25 000 pés. Demonstre seu raciocínio. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
  16. 16. 17 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Potência Base Expoente Objetivos de aprendizagem: Simplificar expressões contendo expoentes negativos e zero. Simplificar expressões envolvendo produto e divisão de potências. Simplificar expressões envolvendo potência de potências. Simplificar expressões envolvendo potência de produtos e frações. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 1: Potências Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Um ________________________ indica o número de vezes que a _____________ é utilizada como fator. 2. Qualquer número real diferente de zero elevado a zero é igual a ______________. 3. a–n =______________, onde a 0 e n é um número inteiro. 4. Um número não nulo elevado a um expoente é igual ao _________________ desse número elevado ao _________________ desse expoente. 5. No exemplo 1011 × 10², você pode multiplicar essas duas expressões porque os fatores têm a mesma ______________. 6. Para qualquer número real não nulo a, ar × as = _____________, onde r e s são _________________________________. 7. Para qualquer número real não nulo a, ar ÷ as = _____________, onde r e s são _________________________________. 8. Para qualquer número real não nulo a, (ar )s = _______________, onde r e s são _________________________________. 9. Para quaisquer números reais não nulos a e b, (ab)n = ___________, onde n é um _________________________________. 10.Para quaisquer números reais não nulos a e b, ( a b )n = __________, onde n é um _________________________________.
  17. 17. 18 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 1: Potências 1. Expresse cada número a seguir como uma potência com uma base formada por um número primo. a) 9 = _______________________ c) 35–1 = ______________________ b) 1 9 = _____________________ d) 1 3–2 = _______________________ 2. 850 = ________________. 3. Aplique as propriedades das potências e simplifique as expressões a seguir: a) b–3 × b8 = _________________ d) 33 × (32 )–2 = _________________ b) –(c4 ) (3c–2 )c = _____________ e) (2 3 4 )5 = ___________________ c) 250 25–6 = _____________________ f) (5 2 )4 = ______________________ 4. A tabela a seguir apresenta a distância aproximada, em quilômetros, entre o Sol e alguns planetas do Sistema Solar. Complete a tabela utilizando notação científica. Planeta Distância aproximada (km) Distância em notação científica Mercúrio Terra Marte Saturno 58 000 000 150 000 000 230 000 000 1 400 000 000 5. Um quilômetro é igual a 1 000 m ou 10³ m. Use notação científica para expressar a distância, em metros, de Saturno ao Sol. __________________________________________
  18. 18. 19 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Monômio Binômio Trinômio Polinômio Ordem decrescente Ordem crescente Inverso da adição (oposto) de um polinômio Objetivos de aprendizagem: Explorar as definições relacionadas às expressões polinomiais. Organizar os termos de um polinômio em ordem crescente e decrescente. Encontrar a soma e a diferença entre dois ou mais polinômios. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 2: soManDo e subtrainDo PolinôMios Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. A área de um quadrado com lados de tamanho pode ser expressa como ____________. 2. Monômio em uma variável é um termo na forma ____________, onde a é um ___________ ________________________, é uma _____________________ e n é um ________________ ________________________. 3. _____________________ é um monômio ou uma soma finita de monômios. 4. A expressão ² + 2 + 1 é um ________________________________, porque é formada por ______________________________________________. 5. Quando os termos de um polinômio são organizados de forma que os expoentes da variável diminuem da ________________ para a ________________, podemos dizer que o polinômio está organizado em ___________________________________________________. 6. Quando os termos do polinômio são organizados de forma que os expoentes da variável aumentam da ________________ para a ________________, podemos dizer que o polinômio está organizado em ___________________________________________________. 7. Para determinar se a soma de dois polinômios está certa, substitua valor por um valor ____________________________. Se você _________________________ as expressões e o resultado for uma _________________________, a soma está correta. 8. Por que ² e 2 não são termos semelhantes? ______________________________________________________________________________. 9. Complete cada quadro com um exemplo de cada tipo de expressão. Monômio Binômio Trinômio
  19. 19. 20 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 2: Somando e Subtraindo Polinômios 1. 2 –3 é um monômio? Explique sua resposta utilizando a definição de monômio. _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2. Simplifique as expressões a seguir e, depois, indique se a expressão resultante é um monômio, binômio ou trinômio. a) –6 + 2 ² + 9 + – 3 = ________________________________________________________ b) 4s23 + 15s – 7s17 – 16s = _____________________________________________________ 3. Some os polinômios a seguir e escreva cada soma em ordem decrescente. a) (5 ² – 3 + 7) + (2 ³ + 5 ² + + 5) = ___________________________________________ b) (–3b4 + b² – b) + (b4 – b² + 4) = ________________________________________________ c) (9c² + 3c – 2) + (7c³ – 3c² – 3c) = ______________________________________________ 4. Subtraia os polinômios a seguir e escreva cada diferença em ordem crescente. a) (7a³ – a) – (–4a³ + 2a) = ______________________________________________________ b) (8 ³ – 2 ² + 1) – (4 ² + – 2) = ________________________________________________ c) (b² + b – 4) – (b³ – 2b² – 4) = __________________________________________________ 5. O painel central de uma janela com três partes tem sua área representada pelo trinômio 2n² + 5n + 3. Cada painel lateral tem área representada pelo binômio n² + 2n. a) Qual é a área total dos dois painéis laterais em termos de n?_______________________ b) Qual é a área do painel central mais a área de um painel lateral em termos de n? ______________________________ c) Qual é a área total dos três painéis da janela em termos de n? _____________________
  20. 20. 21 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Produto Fator Binômio Trinômio Trinômio quadrado perfeito Objetivos de aprendizagem: Usar um modelo de área para representar o produto entre dois binômios. Usar a propriedade distributiva para determinar o produto de dois polinômios. Reconhecer o quadrado de um binômio como um trinômio quadrado perfeito. Reconhecer o produto da soma pela diferença de dois monômios como uma diferença entre dois quadrados. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 1: oPerações coM PolinôMios – sequência 3: MultiPlicanDo PolinôMios Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. A largura da parte frontal de um folheto é representada pelo binômio _________________. 2. Para a parte frontal do folheto, a expressão que demonstra a aplicação da propriedade distributiva a (n + 10) (n + 1) é _____________________. 3. O resultado da multiplicação de dois binômios é a __________________________________ dos quatro ____________________. 4. Para verificar se um produto está certo, _____________________ a variável por um valor e veja se o resultado é uma _____________________. 5. Para todos os números reais a e b, (a + b)² = ______________________________________. 6. Para todos os números reais a e b, (a – b)² é igual ao trinômio _______________________. 7. Para todos os números reais a e b, (a + b)(a – b) = _________________________________.
  21. 21. 22 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios – Sequência 3: Multiplicando Polinômios 1. Expresse a área de cada retângulo deste diagrama como o produto de seu comprimento por sua largura e como um trinômio em termos de n. B A D F H n + 2 n + 8 n n -- 1 C E G a) Retângulo ABDC _____________________=______________________ b) Retângulo CDFE ___________________­___=______________________ c) Retângulo EFHG ______________________=______________________ d) Retângulo ABHG ______________________=______________________ 2. Multiplique (n + 3)(4n – 2) aplicando a propriedade distributiva e, depois, simplifique. 3. Determine o quadrado dos binômios a seguir. Verifique se suas respostas estão certas substituindo a variável por –2. a) (3b + 2)² b) (5 + 3)² 4. ( + 4)( – 4) = ___________________________. 5. O comprimento de uma metade de um cartão comemorativo é n, e sua largura é n + 8. Se esse cartão tem duas metades iguais, qual é sua área em termos de n? Explique como chegou a essa resposta. ___________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
  22. 22. 23 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios 1. Quais das expressões a seguir são equivalentes a 1 4–2 ? Circule a(s) resposta(s). a) 4–2 b) 4² c) 16 d) 1 8 2. Simplifique as expressões a seguir. a) –(8a–6 ) (4a9 ) = ____________________________ b) 15r 3r–5 = ___________________________________ c) 45 × (4³)–3 = ______________________________ d) (–2 0 ³)4 = _______________________________ e) (2sn+2 )³ = _________________________________ f) (4r 7s )³ = ___________________________________ 3. Um ácaro adulto pode medir 0,038 mm. Expresse esse número em notação científica. _______________________________________________________________________________ 4. Os trinômios a seguir representam as áreas de três tapetes retangulares. A: 4n² + 11n – 3 B: 3n² – n – 2 C: 2n² + 14n + 12 a) Que polinômio representa a área de piso coberta pelos tapetes A e B? _______________________________________________________________________________ b) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete C em relação ao tapete A? _______________________________________________________________________________ c) Que polinômio representa a área adicional coberta pelo tapete B em relação ao tapete C? _______________________________________________________________________________ d) Que polinômio representa a área do piso coberta pelos três tapetes? _______________________________________________________________________________
  23. 23. 24 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios 5. Multiplique os binômios (2n + 3)(3n – 4) aplicando a propriedade distributiva nos primeiros termos, nos extremos, nos intermos e nos últimos. 6. Qual é o produto de ( – 5 ) ( + 5)? Circule a resposta. a) ² + 10 – 25 c) ² + 25 b) ² –10 – 25 d) ² – 25 7. Verifique se a resposta que você escolheu na questão 6 está correta, considerando = 3. Demonstre seu raciocínio. 8. O diagrama a seguir representa um jardim retangular com uma fonte retangular no centro. Complete as sentenças expressando as respostas em termos de n. n –1 3n +1 n 2 2 nn + 4 a) O binômio _______________________________ representa a área da fonte. b) O trinômio _______________________________ representa a área total necessária para colocar as flores e a fonte. c) O trinômio _______________________________ representa a área onde as flores podem ser plantadas.
  24. 24. 25 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios Área Uma empresa pretende construir um novo shopping center que ocupará uma área retangular, com um pátio interno destinado ao lazer dos clientes. Três lojas de departamentos já se interessaram em alugar espaço no shopping. Faça o projeto para este shopping com base nas especificações a seguir. O comprimento do shopping é três vezes sua largura. A área mínima que pode ser ocupada pelo shopping é de 30 000 m2 . A área máxima que pode ser ocupada pelo shopping é de 120 000 m2 . A maior loja chama-se Moda Tropical. As outras duas lojas de departamentos têm a mesma área, porém, com dimensões diferentes, e são menores que a loja Moda Tropical. A área do átrio retangular é igual à metade da área da loja Moda Tropical. O shopping precisa ter, no mínimo, 6 lojas para cobrir os custos de construção. O número máximo de lojas no shopping é 10. 1. Complete o diagrama a seguir com seu projeto para o shopping. Pátio central
  25. 25. 26 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 1: Operações com Polinômios 2. Utilizando a variável , escreva as expressões algébricas para cada dimensão e área a seguir. a) Moda Tropical: Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________ b) Loja de departamentos 1 Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________ c) Loja de departamentos 2 Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________ d) Comprimento do átrio Comprimento: _____________ Largura: ______________ Área: _________________ e) Outras lojas do shopping: _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3. Qual será a área do shopping dentro dos limites estabelecidos? ______________________ 4. Com base na área, quais são as dimensões do shopping? Comprimento: ________________ Largura: _______________ 5. O custo do metro quadrado de construção das lojas e do átrio é de R$ 50,00. a) Qual será o custo para construir o shopping que você projetou? _____________________ b) Se o orçamento inicial da construção é de R$ 5.000.000,00, será possível construir o shopping que você projetou? _____________________________________________________
  26. 26. 27 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Fator Número primo Número composto Máximo divisor comum Grau de um monômio Grau de um polinômio Polinômio primo Fator comum Teorema fundamental da Aritmética Objetivos de aprendizagem: Identificar diferenças entre números primos e compostos. Identificar o máximo divisor comum de dois ou mais monômios. Fatorar um polinômio para encontrar o máximo divisor comum. Fatorar um polinômio para encontrar um binômio em comum. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 1: encontranDo fatores coMuns Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Números primos são ____________________________________________ com apenas dois fatores: __________________ e __________________. 2. Por que 1 não é número primo? _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3. Um número inteiro positivo que não é primo nem igual a 1 é um ______________________ __________________________. 4. Para determinar o máximo divisor comum de dois números, encontre os _______________ __________________________ que eles têm em comum e calcule o ____________________ desses números. 5. Para determinar o máximo divisor comum de dois monômios de mesma base, __________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 6. O expoente da variável de um monômio em uma variável é o _____________ do monômio. 7. Qual é o máximo divisor comum de 24n³ e 60n²? _____________ 8. Fatorar um polinômio significa expressá-lo como o __________________________________ ______________________________________________________________________________. 9. O grau de um polinômio é o ______________________ grau dos _______________________ que fazem parte dele.
  27. 27. 28 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 1: Encontrando Fatores Comuns 1. Escreva a fatoração de cada monômio a seguir: a) 60 = _________________________­______ ou ____________________________ b) 155 = ____________________________________________________________ c) 144n² = ____________________________ ou ____________________________ 2. Determine o máximo divisor comum de cada conjunto de monômios a seguir: a) 72 4 , 40 3 : ____________________________ b) 4a5 , –12a4 , 28a³: _______________________ 3. Considere o polinômio 6 ² + 3 . a) Desenhe ou use figuras algébricas como e ², como as exibidas abaixo, para fazer uma representação geométrica da área retangular expressa por esse polinômio. 2 b) Use seu desenho para expressar esse polinômio como produto de dois polinômios. _____________________________________________________________________________ c) Verifique se o produto dos dois fatores representa 6 ² + 3 substituindo por 4. 4. Fatore completamente os polinômios a seguir. a) 12n³ + 20n __________________________________________________ b) 72 4 +40 ³ ___________________________________________________ c) ² + 2 + 5 + 10 _____________________________________________ d) 3m² + 21m + 6m + 42 ________________________________________
  28. 28. 29 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Binômio Trinômio Termo do 20 grau Termo linear Termo constante Forma padrão de uma expressão do 20 grau Objetivos de aprendizagem: Fatorar um trinômio do 20 grau da forma 1 ² + b + c, em que c 0. Fatorar um trinômio do 20 grau da forma 1 ² + b + c, em que c 0. Fatorar um trinômio do 20 grau da forma a ² + b + c, em que a 1. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 2: fatoranDo trinôMios Do 20 grau Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Ao fatorar o trinômio ² + 10 + 24, você está procurando um par de fatores numéricos cujo produto é _____ e cuja soma é ______. 2. Quais são os binômios para ² + 10 + 24? ______________________________________ 3. Um monômio cujo grau é 2 é chamado __________________________________________. 4. ____________________________ é um monômio cujo grau é 1. 5. ____________________________ é outro nome para o monômio cujo grau é 0. 6. A expressão do 20 grau ² + 10 + 24 está escrita na forma geral? Explique sua resposta. ________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7. Se a constante em polinômios do 20 grau que pode ser fatorada é negativa, então os sinais das constantes dos binômios são _______________________. 8. Quais são os binômios de ² + 7 – 12? _________________________________________ 9. Represente a expressão 2r² + 7r + 6 como o produto de dois binômios. _____________________________________________________________________________ 10.Represente a expressão 6n² + 11n – 10 como o produto de dois binômios. _____________________________________________________________________________
  29. 29. 30 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 2: Fatorando Trinômios do 20 Grau 1. Considere o trinômio 2g² + 9g + 10. a) Desenhe ou use figuras algébricas para completar um retângulo cuja área é 2g² + 9g + 10. g2 g 1 b) Use o modelo para expressar o trinômio como o produto de dois binômios ______________________________________________________________________________ c) Verifique seus fatores substituindo g por 2 nos fatores e no polinômio original. 2. Dado o trinômio 5s + s² + 1: a) escreva a expressão do 20 grau na ordem decrescente;___________________________ b) identifique o termo do 20 grau;_________________________________________________ c) identifique o termo linear; _____________________________________________________ d) identifique o termo constante. _________________________________________________ 3. Fatore completamente cada polinômio abaixo. a) ² + 5 + 6 _________________________________________________________________ b) d² – 4d – 32 ________________________________________________________________ c) 2p² + 7p + 3 ________________________________________________________________ d) 3 ² – 7 + 4 ________________________________________________________________ e) 3f² + 3f + 18 ________________________________________________________________
  30. 30. 31 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Trinômio quadrado perfeito Termo do 20 grau Termo linear Termo constante Polinômio do 30 grau Objetivos de aprendizagem: Reconhecer e fatorar um trinômio quadrado perfeito: a² + 2ab + b². Reconhecer e fatorar a diferença entre dois quadrados: a² – b². Fatorar completamente um polinômio dado. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 2: Potências e PolinôMios – uniDaDe 2: fatoranDo PolinôMios – sequência 3: casos esPeciais Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Se um trinômio está na forma a² + 2ab + b², então é um quadrado perfeito e é igual a __________________. 2. O polinômio a² – b² é conhecido como _________________ entre ____________________. 3. Quais são os binômios de 4 ² – 9? ______________________________________________ 4. Se a e b são números reais, a² – b² = _____________________________________________________________________ 5. Fatore 25k² – 144. _____________________________________________________________________________ 6. O polinômio 4 – 64 é um exemplo da diferença entre dois quadrados? Explique sua resposta. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7. Fatore completamente 4 – 64. _________________________________________________ 8. Um polinômio que não pode ser fatorado é __________________. 9. Para fatorar um polinômio, você deve: a) primeiro, verificar quais são os ___________________________ e aplicar a propriedade ________________________ para simplificar a expressão; b) depois, procurar no polinômio restante algum padrão como um ___________________ _______________________________ou uma ______________________________________. 10. Se a e b são números reais e não têm fatores comuns, então a² + b² é um __________ _________________________________________.
  31. 31. 32 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios – Sequência 3: Casos Especiais 1. Complete a tabela a seguir. Forma fatorada Trinômio Caso especial x2 + 18x + 81 x2 --- 6x + 9 x2 -- 25 x2 -- ________ x2 + 81 4x2 -- 80x + 400 (2 +10)2 ( +7) (__________) Diferença de dois quadrados Soma de dois quadrados 2. O que significa “quadrado da diferença” e “diferença entre dois quadrados”? Dê um exemplo de cada. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. Use a substituição numérica para verificar se os exemplos que você deu na questão a são equivalentes.
  32. 32. 33 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios 1. Na primeira etapa de sua técnica para identificar números primos, Eratóstenes eliminava todos os números maiores que 2 múltiplos de 2. Descreva as outras etapas que ele utilizava para identificar os outros números primos menores que 100. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Fatore o número 24 em seus fatores primos. _____________________________________ ou ___________________________________________ 3. a) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número composto _________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________. b) Determine dois números cujo máximo divisor comum é um número primo. _________________ e _________________, cujo mdc = _____________________________. 4. Qual é o máximo divisor comum de b4 e b7 ? ______________________________________ 5. Escreva o máximo divisor comum de cada termo abaixo. Termos Máximo divisor comum 16, 24 64m, 32m, 96m 42x2, 18x3 6. Use o conjunto de figuras algébricas exibido à direita para fazer esta atividade. a) Escreva uma identidade mostrando que o produto de dois binômios é igual a um trinômio. _______________________________________ ______________________________________ b) Verifique sua resposta utilizando a substituição numérica. 1 1 1 1
  33. 33. 34 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios 7. Fatore: a) g² – 10g + 2g – 20 ___________________________________________________________ b) k² + 12k + 36 _______________________________________________________________ c) p² – 6p – 16 ________________________________________________________________ d) 4 ² + 16 + 15 _____________________________________________________________ e) ² + 64 ____________________________________________________________________ f) 16a² – 25 ___________________________________________________________________ 8. Um fábrica produz porta-retratos retangulares de vários tamanhos. A borda de um porta-retrato padrão mede 2 cm. As expressões a seguir representam as dimensões em centímetros de quatro fotos retangulares. Determine a expressão fatorada para a área da borda em torno de cada foto. a) p por p ____________________________ c) d por 2d ___________________________ b) h por 12 ___________________________ d) ² por ² – 12 _____________________­_ � � 2cm 2cm � �2cm 2cm ����
  34. 34. 35 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios Plantas baixas O proprietário de uma casa quer acarpetar uma sala quadrada cujas dimensões são s metros por s metros. Em dois lados adjacentes dessa sala, ele quer colocar 2 m de lajotas em vez de carpete. 1. Utilizando c para representar o comprimento do carpete em metros, desenhe a planta baixa dessa sala. Identifique as partes que serão acarpetadas e as partes que serão cobertas por lajotas. 2. Identifique seu desenho em termos de c e s. 3. Use esses desenhos para ajudá-lo a escrever um polinômio que represente a área total da região quadrada a ser acarpetada e revestida com lajotas. A seguir, escreva o polinômio também na forma fatorada. Polinômio: ___________________________________________________________________ Forma fatorada: _______________________________________________________________ 4. Suponha que o proprietário quer a mesma distribuição de carpete, mas com n metros de lajotas em vez de 2 m. a) No espaço acima, represente a nova planta baixa e identifique todas as partes em termos de c e n. b) Escreva um polinômio que represente a nova área da região revestida de lajotas e da região acarpetada e, depois, escreva-o também na forma fatorada. Polinômio: ___________________________________________________________________ Forma fatorada: _______________________________________________________________
  35. 35. 36 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 2: Potências e Polinômios – Unidade 2: Fatorando Polinômios 5. Que caso especial de polinômio é representado quando a largura de área revestida por lajotas é igual nas duas paredes? _____________________________________________________________________________ 6. Desenhe um exemplo de um piso retangular com carpete e lajotas cuja área total é igual ao produto de dois binômios. 7. Represente a área total do piso, incluindo carpete e lajotas, como um polinômio e, a seguir, na forma fatorada. Polinômio: ____________________________________________________________________ Forma fatorada: _______________________________________________________________ 8. Qual é a vantagem de fatorar um polinômio que representa a área de um piso retangular? ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
  36. 36. 37 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Função quadrática Parábola Função parabólica Valor mínimo de uma parábola Valor máximo de uma parábola Simetria/Eixo de simetria Vértice de uma parábola Função par Objetivos de aprendizagem: Reconhecer que o gráfico de uma equação do 20 grau = a ² é uma função. Identificar o domínio e a imagem da função = a ². Descrever os efeitos do coeficiente a sobre uma curva do gráfico de uma função na forma = a ². Determinar o valor mínimo e o valor máximo da função quadrática na forma = a ². Determinar a equação do eixo de simetria da função quadrática na forma = a ². Determinar as coordenadas do vértice da função quadrática na forma = a ². Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 1: traçanDo Parábolas Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. O que é uma função quadrática? ________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. Na função = a ², o ___________________________ pode ser qualquer número real e o ____________________________ tem que ser maior ou igual a zero. 3. Quando o coeficiente a em = a ² é positivo, a parábola tem concavidade ____________________________. 4. Quando o coeficiente a em = a ² é negativo, a parábola tem concavidade ____________________________. 5. Qual é o valor mínimo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor de a for positivo? _____________________________________________________________________________ 6. Qual é o valor máximo de uma parábola cuja equação está na forma = a ² se o valor de a for negativo? _____________________________________________________________________________ 7. ____________________________ é uma reta que divide uma figura de forma que, quando dobrada, os dois lados da figura coincidem. 8. Qual é a equação do eixo de simetria para uma parábola cuja equação está na forma = a ²? ____________________________ 9. A intersecção de uma parábola com seu eixo de simetria é chamada ____________________________ da parábola.
  37. 37. 38 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 1: Traçando Parábolas 1. Qual(is) da(s) equação(ões) a seguir representam funções parabólicas? Circule a(s) resposta(s). a) = 3 2 b) = 2 c) d = 16 2 2. Determine se as parábolas representadas pelas equações a seguir têm concavidade para cima ou para baixo. a) = –8 ² __________ b) d = 6t² __________ c) a = 25b² __________ 3. a) Quais das parábolas da questão anterior têm um mínimo? _______________________ b) Quais das parábolas da questão anterior têm um máximo?_______________________ c) Qual das parábolas da questão anterior é mais fechada? _________________________ 4. Construa um gráfico da função = 2 ² e responda as questões a seguir. a) Qual é o domínio e a imagem desta função? ______________________________________________________________________________ b) Qual é a equação do eixo de simetria? ______________________________________________________________________________ c) Quais são as coordenadas do vértice desta parábola? ______________________________________________________________________________ d) A parábola tem concavidade para cima ou para baixo? ______________________________________________________________________________ e) Qual é o mínimo ou o máximo da parábola? ______________________________________________________________________________ � � 5 –3 –2 –1 0 1 2 3 10 15
  38. 38. 39 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Função quadrática Parábola Valor mínimo de uma parábola. Valor máximo de uma parábola. Simetria/Eixo de simetria. Vértice de uma parábola. Forma reduzida de uma equação do 20 grau. Forma incompleta de uma equação do 20 grau em duas variáveis. Objetivos de aprendizagem: Examinar as propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + c, em que c  0. Reconhecer que a constante c em uma função quadrática na forma = a ² + b + c é o ponto de intersecção em de uma parábola. Examinar as propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + b . Examinar as propriedades de parábolas com equações na forma = a ² + b + c, em que b  0, c  0. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 2: investiganDo as ProPrieDaDes Das Parábolas Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. O que a constante 1000 na equação = – 4,9 ² + 1000 representa? _____________________________________________________________________________ 2. A parábola definida pela equação do 20 grau = – 4,9 ² + 1000 tem concavidade ________________ e tem um ________________ cuja coordenada é ________________. 3. A forma reduzida de uma função quadrática em duas variáveis é = a ² + b + c, onde a 0, e a, b e c são ______________________. 4. A equação h = – 4,9t2 + vt é uma equação do 20 grau _____________________ em duas variáveis porque a constante c é igual a ______________________. 5. Para determinar o máximo da parábola h = – 4,9t² + 44,1t, primeiro determine o _____________________________ entre os pontos de intersecção da parábola com a horizontal, depois substitua t por esse valor na equação para determinar o valor da _____________________________. 6. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t é ___________________. 7. O valor máximo da parábola cuja equação é h = – 4,9t² + 68,6t ocorre quando t = _________. 8. Se b = 0, então o gráfico de = a ² + c é uma ________________________ cujo eixo de simetria é o _________________________ e cujo _________________________ é (0, c). 9. Se c = 0, o gráfico de = a ² + b tem uma intersecção em e duas _______________ ___________________________, uma das quais é sempre ________.
  39. 39. 40 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 2: Investigando as Propriedades das Parábolas 1. Qual é a intersecção em cada parábola a seguir? a) = 3 ² – 8 – 5 ____________ b) h = 4,9t² + 16t ___________­__ c) d = –4,9t² + 67 ____________ 2. Quais dessas equações representam parábolas que têm = 0 como eixo de simetria? Circule-as. a) = –8 ² + 2 + 16 c) d = 24,9 t² + 125 b) h = 4,9 t² d) h = 4,9 t² + 2t 3. Use os eixos à direita para desenhar uma parábola com as seguintes propriedades: com concavidade para cima, com eixo de simetria cuja equação é = –2 e com um valor mínimo de –3. 4. Qual é o vértice de uma parábola que tem concavidade para baixo se a equação de seu eixo de simetria é = 8 e seu máximo é 15? _____________________________________ 5. Uma pedra é lançada de um penhasco. A distância entre a pedra e o solo em qualquer momento t pode ser calculada utilizando d = – 4,9t2 + 400. a) Qual é o máximo da parábola representada pela equação d = – 4,9 t2 + 400? _______. b) O que o máximo representa? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ � x � � -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2-3-4-5-6-7-8-9 y � -1 0 -3 9 7 5 3 1
  40. 40. 41 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Função quadrática Trajetória Forma reduzida de uma equação do 20 grau em uma variável Intersecção em de um gráfico Solução de uma equação do 20 grau em uma variável Raiz de uma equação Objetivos de aprendizagem: Analisar uma parábola na forma = a 2 + b + c com duas intersecções no eixo , e perceber que a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, tem duas soluções reais. Descobrir que as equações do 20 grau têm, no máximo, duas soluções reais. Analisar uma parábola com apenas uma intersecção no eixo e perceber que a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, tem uma solução real. Perceber que, se uma parábola não tem intersecção com o eixo , a equação do 20 grau correspondente, na forma a 2 + b + c = 0, não tem solução real. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 1: Funções QuaDráticas: gráFicos e Funções – seQuência 3: resolvenDo eQuações Do 20 grau Por Meio De gráFicos Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Somar a constante – 6 no lado direito da equação h = –0,036d² + 1,29d não afeta o termo ___________________ e o termo ___________________ da equação; apenas altera a intersecção vertical do gráfico de ________ para ________. 2. O eixo de simetria intersecta a parábola no seu ___________________. 3. A _________________ ou ________________ de uma equação é um número que, quando colocado no lugar da variável, satisfaz a equação. 4. As ___________________________________________ de uma função são as soluções da equação correspondente quando o valor da ordenada é igual a zero. 5. Qual é o máximo da parábola cuja equação é h = – 0,036d² + 1,29d – 6, arredondado para o décimo mais próximo? ________ 6. Se uma função quadrática tem duas intersecções em , a equação do 20 grau correspondente quando a ordenada é zero tem duas ______________________________. 7. Se uma função quadrática tem apenas uma intersecção em , a equação do 20 grau correspondente quando a ordenada é zero tem exatamente uma ___________________________________. 8. Se uma função quadrática não tem __________________________, a equação do 20 grau correspondente quando a ordenada é zero não tem solução real.
  41. 41. 42 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções – Sequência 3: Resolvendo Equações do 20 Grau por Meio de Gráficos 1. Um jogador de golfe arremessa uma bola, que atinge o chão a uma distância horizontal de 7,6 m de onde foi arremessada. Sua trajetória pode ser representada pela equação h = – 0,06d² + 1,3d + 5, onde h é a altura da bola em cada instante e d é a distância horizontal de onde ela foi arremessada. a) A que altura do solo estava a bola quando foi arremessada? ____________ b) Qual a altura máxima alcançada por ela?____________________________ c) Faça o gráfico da parábola cuja equação é h = –0,06d² + 1,3d + 5. Qual parte deste gráfico corresponde à trajetória da bola? (Dica: Lembre-se que a distância, d, é sempre não negativa.) ___________________________________ 2. Analise as equações da tabela para determinar se a parábola correspondente a cada equação tem uma, nenhuma ou duas intersecções horizontais; se tem concavidade para cima ou para baixo; e se tem um valor máximo ou mínimo. � d � � �10 �5 �5 5 10 15 20 25 h � 20 25 15 10 5 Equação Raízes Concavidade Max./Mín. h = 0,5d2 + 1 y = –3 2 + 6 = 4 2 + 4 – 35 d = –1,9t2
  42. 42. 43 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções 1. Dada a equação = 3 ² + 5x – 7. a) Qual é o termo do 20 grau? __________________ b) Qual é o termo linear? ______________________ c) Qual é o termo constante? ___________________ d) Como você sabe se a equação representa uma parábola? ________________________ e) Qual parâmetro da equação do 20 grau determina a abertura da parábola? _____________________________________________________________________________ f) Qual parâmetro da equação determina se a parábola correspondente tem concavidade para cima ou para baixo? ___________________________________________ _____________________________________________________________________________ g) Qual parâmetro da equação é a intersecção em da parábola? _______________________ 2. Determine se as parábolas que correspondem a cada equação têm um valor mínimo ou máximo. a) h = –4,9t²__________________________________ b) = 5 ² – 2x – 4 ____________________________ c) h = 0,5d² + 1,2d + 2 ________________________ 3. Combine cada parábola a seguir com a equação correspondente: = ² – 1, = – ² + 1. a) b) � � x y � �2�1 1 2 3 40 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 � � � x y � �2�1 1 2 3 40 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 �
  43. 43. 44 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade 4. Analise as equações destas parábolas para determinar o número de soluções reais das equações do 20 grau correspondentes. a) d = 2t2 + 6t ________________________________ b) = 5 ² + 17_______________________________ c) h = 4,9t² + 5t – 6____________________________ d) = ² _____________________________________ Um carro acelera em uma estrada. Se a aceleração for constante, a distância percorrida por ele depois de qualquer intervalo de tempo pode ser calculada utilizando a equação d = 2t²+ vt, onde t é o tempo em segundos, v é a velocidade inicial, em metros por segundo, e d é a distância em metros. 5. Faça o gráfico da função d = 2t² + 4t, com t no eixo horizontal e d no eixo vertical. 6. Suponha que um carro percorre uma estrada com uma velocidade inicial de 4 m/s e acelera por 5 segundos. Qual é o domínio da função que representa o movimento do carro durante este período? ________________________ ________________________ 7. Qual é a imagem da função no intervalo de 5 segundos? _________________________ Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções � –10 –10 –5 0 10 5 15 20 25 30 35 40 45 50 –5 –10 5 10 � d t
  44. 44. 45 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções Movimento uniformemente acelerado 1. Dois alunos estão estudando o movimento de objetos em queda. Um aluno solta uma bola do alto de um prédio, a 50 m do solo. O outro joga uma bola do alto do mesmo prédio. A bola que foi jogada tem velocidade inicial vertical de 10 m/s. As tabelas abaixo apresentam as alturas h1 e h2 de cada bola, b1 e b2 , em vários momentos t, medidos em segundos. a) Marque, neste par de eixos, os pontos que estão na trajetória de cada bola. b) Desenhe e nomeie uma curva com cada conjunto de pontos para representar a trajetória de cada bola. c) Qual bola passou mais tempo no ar? Explique. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ b t h 0 50 1 45,1 1,5 39 2 30,4 2,5 19,4 3 5,9 3,2 0 1 1 b t h 0 50 1 55,1 1,5 54 2 50,4 2,5 44,4 3 35,9 3,2 0 2 2 Tempo (s) � � �� 1 2 3 4 t h Distância(m) 50 40 30 20 10
  45. 45. 46 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 1: Funções Quadráticas: Gráficos e Funções d) Use o gráfico e calcule a altura máxima alcançada por b2 . _______________________ e) Depois de quantos segundos b2 atingiu a altura máxima? ________________________ f) Qual foi a altura máxima de b1 ? ______________________________________________ 2. As equações das parábolas que representam a trajetória de cada bola são: h1 = – 4,9t² + 50 e h2 = – 4,9t² + 10t + 50. a) O que representa o coeficiente do termo linear na equação de h2 ? ______________________________________________________________________________ b) O que representa a constante em cada equação? _______________________________ c) Qual é a velocidade inicial de b1 ?_____________________________________________ 3. A fórmula para determinar a distância horizontal percorrida por um objeto é d = vt, onde d é a distância, v é a velocidade horizontal do objeto e t é o tempo. Supondo que a bola b2 tenha sido lançada com uma velocidade horizontal de 5 m/s, a quantos metros da base do prédio cada bola caiu ao atingir o solo? b1 : _____________________ b2 :_____________________ 4. Use a fórmula da questão anterior e complete a tabela para calcular a distância horizontal entre b2 , ao atingir o solo, e a base do prédio. Usando os eixos a seguir, marque os pontos e desenhe o gráfico de d = vt. 5. O que a forma do gráfico nos diz sobre o movimento da bola? _______________________ _____________________________________________________________________________ Tempo (s) � � �� 1 2 3 4 t d Distância(m) 25 20 15 10 5 0 b t 0 1,0 2,0 3,0 4,0 4,4 2 d2
  46. 46. 47 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 1: Fatoração e teoreMa Do ProDuto nulo Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Segundo o__________________________________________ , se a e b são números reais e ab = 0, então a = 0 ou b = 0. 2. Em uma equação onde o produto de dois binômios é igual a zero, como em 0 = (0,4 + 2) (0,4 – 2), há ______________________ valores possíveis para a variável . 3. Se uma equação do 20 grau em uma variável, , tem duas raízes, o gráfico da equação em duas variáveis tem duas ___________________________________________________ . 4. Uma vez que você saiba os valores das intersecções em , é possível determinar o ____________________________________e o_________________________da parábola. 5. Se 0 = ( + 20), então = __________________ ou + 20 = _____________________ . 6. Como o gráfico da função = ( ² + 20 ) representa a área, , da coroa circular em função de sua largura, , faz sentido selecionar pontos no quadrante________________ . 7. Se + 22 = 0 ou – 2 = 0, então =_________________ ou = ___________________ . 8. Se a fatoração de uma equação do 20 grau na forma a ² + b + c = 0 é igual ao quadrado de um binômio linear, então essa equação tem ____________________________________. 9. As soluções reais da equação do 20 grau a ² + b + c = 0 são as ______________________ da ___________________________________ correspondente = a ² + b + c. Palavras-chave: Teorema do produto nulo Raiz dupla de uma equação do 20 grau Objetivos de aprendizagem: Identificar que a solução de uma equação do 20 grau está na intersecção em da função correspondente. Resolver fatorando pela diferença entre dois quadrados, uma equação do 20 grau completa em uma variável. Resolver, por fatoração, uma equação do 20 grau completa em uma variável. Resolver fatorando, por um trinômio quadrado perfeito, uma equação do 20 grau completa em uma variável.
  47. 47. 48 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau – Sequência 1: Fatoração e Teorema do Produto Nulo 1. A função quadrática = 0,25 ² – 4 é representada pela parábola ao lado. a) Com base no gráfico, quantas intersecções em a parábola tem?________________________ b) Resolva a equação do 20 grau algebricamente com = 0. Demonstre seu raciocínio. 2. Fatore a expressão ² + 4 . ___________________________________________ 3. Use a equação = – 3 ² + 6 , para responder as questões a seguir. a) Quais são as intersecções em da parábola correspondente? ___________________________________ b) Quais são as coordenadas do vértice da parábola? __________________________________________________ c) Usando essa informação, faça o gráfico da parábola. 4. Uma parábola é definida pela equação do 20 grau = 36 ² + 24 + 4. a) Fatore 36 ² + 24 + 4. ______________________________________________________ b) Qual é o valor de quando = 0? ____________________________________________ c) Quantas intersecções em a parábola correspondente tem? _____________________ �5�6 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6 �1 �2 �3 �4 �5 5 4 3 2 1 � � � � �3 �2 �1 1 2 3 4 5 –20 –25 –30 10 5 0 –5 –10 –15 � � � �
  48. 48. 49 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 20 grau – seQuência 2: a ProPrieDaDe Da raiz QuaDraDa e o MétoDo De coMPletar QuaDraDos Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Segundo a__________________________________________________________ , se n² = k, então n = k para qualquer número real k, onde k ≥ 0. 2. A propriedade dos números opostos estabelece que para qualquer número real a, ____________________________________ e______________________________________ . 3. Os dois números 6 5 e – 6 5 são opostos, porque sua ______________________ é zero. 4. Uma forma de calcular em uma equação como ² + 10 = 39 é somar um número nos dois lados da equação para obter um _________________________________ _______________________________no lado esquerdo. 5. Se ( + 5)² = 64, então = _______________________ ou = ______________________ . 6. Qual constante deve ser somada a cada lado da equação –1 = ² – 4 para que o lado direito se torne um trinômio quadrado perfeito? ______________. 7. A equação – 2 = 3 significa que___________________ ou ______________________ . 8. Para determinar as raízes de uma equação do 20 grau na forma = a ² + c quando = 0, você pode aplicar a ____________________________________________________ . 9. Para resolver uma equação do 20 grau na forma a ² + b + c = 0, onde a = 1 e b e c são números racionais, use o método de ________________________________________ . 10. Se a expressão do 20 grau na equação original é prima, as soluções reais serão__________ _______________________________. ______________________________________ . é zero. número nos dois lados da equação para obter um _________________________________ ______________________ . ______________________ . ____________________________________________________ . Palavras-chave: Propriedade da raiz quadrada Método de completar o quadrado Símbolo Propriedade do elemento neutro da soma Propriedade dos números opostos Objetivos de aprendizagem: Encontrar as raízes reais de uma equação do 20 grau usando a propriedade da raiz quadrada. Encontrar as raízes racionais de uma equação do 20 grau usando o método de completar o quadrado. Encontrar as raízes irracionais de uma equação do 20 grau usando o método de completar o quadrado.
  49. 49. 50 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau – Sequência 2: A Propriedade da Raiz Quadrada e o Método de Completar Quadrados 1. Quantas soluções reais existem para a equação do 20 grau 2 = 9? _____________________________________________________________________________ 2. Determine as raízes das equações a seguir aplicando a propriedade da raiz quadrada. a) 2 2 – 18 = 0 _________________ b) 15 2 – 15 = 0 ________________ c) 13 2 – 52 = 0 ________________ 3. Que termo deve ser adicionado à expressão 2 + 2b para torná-la um trinômio quadrado perfeito? ____________________________________________________________ 4. Que termo deve ser adicionado a cada expressão a seguir para que o resultado seja um trinômio quadrado perfeito? a) 2 + 12 : ____________________ b) 2 + 20 : ____________________ c) 2 + 3 : ______________________ 5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2 + 4 – 5 = 0. Demonstre seu raciocínio. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação 2 – 10 + 18 = 0. Demonstre seu raciocínio.
  50. 50. 51 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 3: a Função QuaDrática – uniDaDe 2: soluções algébricas De eQuações Do 2o grau – seQuência 3: FórMula Para resolver eQuações Do 2o grau: a FórMula De bhaskara Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. A fórmula de Bhaskara declara que as soluções de a ² + b + c = 0, onde a, b e c são números reais e a 0 são: ________________________ 2. Na equação do 20 grau 2 ² + 8 – 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________. 3. Expresse na forma radical fatorada. ____________________________________________ 4. Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola correspondente não tem intersecções em , então ela não tem ______________________ _________________________ . 5. O discriminante na fórmula de Bhaskara é a expressão ___________________________. 6. Na fórmula de Bhaskara, o discriminante é o ____________________________________. 7. Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________. 8. Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________ ___________________________________. 9. Se o discriminante for positivo, a equação tem ____________________________________ ___________________________________. – 13 = 0, a = _________, b = _________, c = ________. ____________________________________________ Se a fórmula de Bhaskara for utilizada para resolver uma equação para a qual a parábola , então ela não tem ______________________ ___________________________. ____________________________________. Se o discriminante for negativo, a equação não tem soluções ______________________. Se o discriminante for igual a zero, a equação tem ________________________________ Palavras-chave: Fórmula de Bhaskara Discriminante Objetivos de aprendizagem: Reconhecer os passos para a demonstração da fórmula de Baskhara e interpretar seus significados. Encontrar as raízes reais de uma equação do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara. Usar a fórmula de Bhaskara para identificar se uma equação do 2o grau não tem raízes reais. Usar o discriminante para identificar a natureza das raízes de uma equação do 2o grau em uma variável.
  51. 51. 52 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau – Sequência 3: Fórmula para Resolver Equações do 2o Grau: A Fórmula de Bhaskara 1. Escreva o método, a propriedade ou o teorema utilizado para passar de uma etapa para outra em cada uma das equações a seguir. a) ² = 8; = 8____________________________________________________________ b) ² + 6 = 5; ² + 6 + 9 = 5 + 9 _____________________________________________ c) ( + 3) = 0; = 0 ou + 3 = 0 _____________________________________________ 2. Na equação fg² + hg + j = 0, g é a variável e f, h e j são números reais. Use a fórmula de Bhaskara e expresse o valor de g em termos de f, h e j. _____________________________________________________________________________ 3. Para se aplicar a fórmula de Bhaskara, a equação precisa estar na forma a ² + b + c = 0. Use as propriedades de igualdade para escrever cada uma das equações a seguir nessa forma e identificar os valores de a, b e c. a) ² + 12 = 18 _________________________________ a = ____________ b = ____________ c = ____________ b) 3 ² + 51 = 2 ________________________________ a = ____________ b = ____________ c = ____________ c) 2 – 27 = 8 ²_________________________________ a = ____________ b = ____________ c = ____________ d) + + 2 ² – 2 = –3 + ²_______________________ a = ____________ b = ____________ c = ____________ 4. Use a fórmula de Bhaskara para resolver a equação 5 ² –5 + 1 = 0. Demonstre seu raciocínio.
  52. 52. 53 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau 1. Este gráfico representa o salto de um filhote de canguru. A variável representa a distância horizontal do salto, em metros, e o eixo representa a altura do salto, em metros. A equação da parábola que o representa é = – 0,25x² + 0,5x. a) Quantas soluções tem quando = 0? Por que isso faz sentido quando estamos descrevendo o salto de um canguru?_____________________________________________ _____________________________________________________________________________ b) Qual(is) o(s) valor(es) de quando = 0?___________________ c) Qual foi a distância do salto?______________________________ d) Qual foi a altura do salto? ________________________________ 2. Resolva a equação do 20 grau 0 = m² – 81. Demonstre seu raciocínio. 3. Resolva a equação 20 grau 0 = s (s – 99). Demonstre seu raciocínio. 4. Para usar o método de completar o quadrado para resolver a equação do 20 grau na forma ² + b = c, que termo deve ser somado nos dois lados da equação? _____________________________________________________________________________ 5. Use o método de completar o quadrado para resolver a equação a ² + 18 – 19 = 0. Demonstre seu raciocínio. �1 1 2 3 –0,5 –0,75 –1 1 0,75 0,5 0 0,25 –0,25
  53. 53. 54 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Avaliação de unidade Avaliação da unidade Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau 6. Use a fórmula do 20 grau para resolver a equação 0 = ² + 7 + 5. Demonstre seu raciocínio. 7. O que o discriminante informa sobre as soluções de uma equação do 20 grau? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 8. Calcule o discriminante de cada uma das equações do 20 grau a seguir e, depois, descreva a natureza das soluções. Equação Discriminante Natureza das soluções a) 5 ² + 6 + 5 = 0 b) 6 ² + 6 + 7 = 0 c) 2 ² + 8 + 2 = 0 d) 8 ² + 3 – 4 = 0 9. Quais das equações a seguir correspondem a parábolas com exatamente uma intersecção em ? Circule-as. a) = 5 ² + 10 + 5 b) = 0,25 ² + 2 + 4 c) = 4 ² + 3 + 4
  54. 54. 55 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau O movimento uniformemente acelerado 1. A gravidade afeta todos os objetos em queda. A equação h = 1 2 gt² + c representa a posição de um objeto em queda, onde as variáveis t e h representam o tempo, medido em segundos, e a distância percorrida na queda, medida em metros. As constantes da equação são g e c, onde g é a aceleração constante, – 9,8m/s², e c é a altura da qual o objeto caiu. a) Suponha que um pedregulho cai do topo de um penhasco de 60 m de altura. Que equação você pode escrever para representar a queda do pedregulho em termos de t e h? h =________ t² + _______ b) Use a equação da questão anterior e complete a tabela a seguir. Arredonde os valores de h para o número inteiro mais próximo. t 0 1 2 3 4 h c) Entre quais dois valores de t o pedregulho atingirá o solo? Explique. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ d) Nos eixos ao lado, marque os pontos calculados para a tabela do item b e desenhe a parábola que representa a queda do pedregulho. e) Qual foi a altura máxima, em metros, do pedregulho? _________________________________ f) Calcule o valor de t, para o décimo mais próximo, quando o pedregulho atingiu o solo. Demonstre seu raciocínio. 1 2 3 40 20 40 60 h t
  55. 55. 56 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ InvestigandoInvestigando Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 3: A Função Quadrática – Unidade 2: Soluções Algébricas de Equações do 20 Grau 2. Dois meninos, João e Marcos, estão sobre uma plataforma e atiram bolas para ver quem consegue jogá-las mais longe. A equação que representa a trajetória da bola arremessada por João é = 0,2 ² + + 2. A equação que representa a trajetória da bola arremessada por Marcos é = 0,25 ² + 1,18 + 2. Em cada equação, representa a distância horizontal entre a bola e um menino e representa a altura da bola acima do solo. a) Qual é a altura inicial da bola arremessada pelos meninos? João: __________________ Marcos: ________________ b) Use as duas equações acima e, para cada valor de , calcule os valores de João e Marcos , arredondados para o décimo mais próximo. 0 1 3 5 6 7 João Marcos c) Marque os pontos calculados para tabela e desenhe a trajetória de cada bola. d) Use o gráfico e informe qual menino arremessou a bola mais alto._____________ e) Use o gráfico e aproxime a distância horizontal a que cada jogador arremessou a bola. João: __________________ Marcos: ________________ f) Use a fórmula de Bhaskara e calcule, no espaço abaixo, a maior distância percorrida pela bola. Arredonde a resposta para o décimo mais próximo. 1 2 3 4 5 60 2 1 4 3
  56. 56. 57 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Palavras-chave: Equação irracional Falsa raiz Objetivos de aprendizagem: Reconhecer e resolver uma equação irracional simples. Determinar se uma equação irracional tem uma solução real. Resolver uma equação irracional algebricamente. Determinar se uma equação irracional tem uma falsa raiz. Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 1: resolvenDo equações irracionais Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. ____________________________________ é uma equação em que uma variável está dentro do radical. 2. Se a e b são números reais e a = b, então ____________________. 3. A ____________________ de um número pode ser representada por um expoente igual a ___________. 4. Outra forma de resolver uma equação irracional é reescrever a expressão utilizando o expoente 1 2 ; depois, elevar ao _________________ ambos os lados da equação. 5. Explique como o gráfico do sistema de equações = e = 2 pode ser utilizado para verificar a solução da equação irracional = 2. _______________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 6. ____________________________ é uma solução da equação irracional elevada ao quadrado, mas que não é uma solução da equação irracional inicial. 7. Escreva na forma exponencial: =_________, se ≥ 0. 8. “Uma equação irracional pode não ter solução, ter uma solução ou duas soluções.” Essa afirmação é ________________. 9. Devemos sempre conferir as soluções de uma equação irracional, para não incluir __________________________ no conjunto solução da equação irracional.
  57. 57. 58 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:___________________________________________________Classe: _________ Data:____/____ /_____ Agora é sua vez! Agora é sua vez! Destino: Matemática – Álgebra II – Módulo 4: Expressões Algébricas e Funções Polinomiais – Unidade 1: Equações Irracionais e Função Raiz Quadrada – Sequência 1: Resolvendo Equações Irracionais 1. Calcule o valor de na equação = 5. _____________________________________________________________________________ 2. Faz sentido tentar resolver a equação irracional m = – 49? Explique. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. Calcule o valor de r e verifique o resultado da equação r – 5 – 8 = 0. Demonstre seu raciocínio. 4. Considere as funções = + 2 e = . a) Crie uma escala e construa o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano. De acordo com o gráfico, quantas soluções você espera para a equação + 2 = ? __________________________ b) Resolva a equação irracional + 2 = e demonstre seu raciocínio. c) Qual é a solução da equação + 2 = ? ____________________ d) Qual é a falsa raiz (caso haja uma)?____________________________ � � �� �
  58. 58. 59 Permitidaareproduçãosomenteaoslicenciadosconformecontrato. Nome:__________________________________________________Classe: ________ Data: ___/ ___ /____ Vamos registrar Vamos registrar Destino: MateMática – álgebra ii – MóDulo 4: expressões algébricas e Funções polinoMiais – uniDaDe 1: equações irracionais e Função raiz quaDraDa – sequência 2: a inversa Da Função raiz quaDraDa Faça estas atividades enquanto interage com o Tutorial 1. Função ___________________ é uma função em que cada valor de no contradomínio corresponde a um e somente um valor de no domínio da função. 2. A função __________________________ é obtida pela inversão de duas variáveis da função bijetora. 3. Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora, a relação obtida também é uma _______________, que é a _______________ da função inicial. 4. A inversa de f( ) é representada pela notação ________. Lê-se “função inversa de .” 5. Se f( ) = , então o domínio de f –1 ( ) é a ______________ da função f( ). 6. Se f( ) = , então a imagem de f –1 ( ) é o ______________ de f( ). 7. A equação da reta de simetria de uma função bijetora e sua função inversa é _______________. 8. A inversa da função = ² não é uma _______________, porque, para cada valor não nulo de , há _______ valores correspondentes para . 9. A relação entre os pontos ( , ) no gráfico da inversa de = ² é ________________. 10.Você pode investigar a inversa de uma função que não é bijetora restringindo seu ________________. variáveis Quando você faz a ____________________ das variáveis de uma função bijetora, _______________, que é a _______________ da Palavras-chave: Função inversa Função bijetora Objetivos de aprendizagem: Representar graficamente a inversa de uma função irracional e determinar esta equação. Determinar a equação da reta de simetria entre uma função irracional e sua função inversa. Verificar a função inversa de uma parábola restringindo seu domínio.

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