Semelhança em figuras planas

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Semelhança em figuras planas

  1. 1. 1
  2. 2. SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE PROPORCIONALIDADE• Razão de segmentoA razão entre dois segmentos AB e CD é a divisão de suas medidas, tomadas na mesma unidade.Sejam os segmentos AB e CD , a razão entre eles é CD 5 , ou seja: AB é 3/5 de CD. AB 3 2
  3. 3. SEGMENTOS PROPORCIONAIS• Se quatro segmentos AB, CD,EF ,GH formam AB EF a proporção CD = GH ,dizemos que AB e CDsão proporcionais a EF e GH AB EF = CD GH 2 4 = 3 6 3
  4. 4. Feixes de retas e reta transversalFeixes de paralelas Reta transversal• Um conjunto de retas • A reta que concorre (corta) de um plano, todas o feixe de paralelas é paralelas entre si, é chamada reta transversal. chamado de feixe de Temos que: q  r  s e a retas paralelas. reta t é a transversal.• Temos que: t  r  s• 4
  5. 5. TEOREMA DE TALES• Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre uma são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados sobre outra. 5
  6. 6. Exemplos: Teorema de Tales• Exemplo 1:Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas transversais. 6
  7. 7. Exemplo 2São observadas as seguintes proporções: 7
  8. 8. Exemplo de aplicação do Teorema de Tales. 8
  9. 9. SEMELHANÇA EM FIGURAS PLANAS Ampliação, redução, homotetia 9
  10. 10. Ampliação e Redução Redução: a figura II foi obtida aAmpliação: a figura II foi obtida a partir de redução da figura Ipartir de ampliação da figura I I II 10
  11. 11. Relações entre as medidas das figurasRelação entre os lados Relação entre os ângulos• Considerando a1, b1 e c1 os lados • Considerando a figura I, e seus da figura I e h1 a sua altura. respectivos ângulos: , ,• Considerando a2, b2 e c2 os lados • Considerando a figura II e seus da figura II e h2 a sua altura temos: respectivos ângulos: ´, , h1 1 c1 2 1 ; h2 2 c2 4 2 • Usando um instrumento para medir h1 c1 ângulos, verificamos que:Assim temos que h2 c2 • = , , ´, , Verificando a mesma relação em a1,b1 e a2, b2 , verificamos que as • Assim, em uma ampliação ou figuras são proporcionais, onde redução, os lados correspondentesh1 = ½ h2 ou h2 = 2 h1 aumentam proporcionalmente, e os e semelhantemente aos outros ângulos são congruentes (iguais). lados. 11
  12. 12. TRIANGULOS SEMELHANTESOs lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes. 12
  13. 13. Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança. Figuras semelhantes e não semelhantes • Qual das figuras é semelhante ao modelo? • As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo, porém não são consideradas semelhantes pois não possuem formas iguais e dimensões proporcionais. 13
  14. 14. Homotetia: transformação de figuras planas• A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada, marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais pontos.• O ponto O é denominado centro de homotetia.• As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes. 14
  15. 15. Centro de homotetia• O ponto H é o centro de • As figuras são homotetia. semelhantes. 15
  16. 16. Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes.• Consideremos os polígonos • O perímetro da figura abcde é abaixo: a+b+c+d, e o perímetro da figura a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’. Assim, a razão entre os perímetros é : a b c d e a b d e Da afirmação II, concluímos que: a b c d e k (a b c d e ) Assim: a b c d e k a b d e Concluímos então que os perímetrosI) São semelhantes, com constante são proporcionais. de proporcionalidade igual a k.II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e sucessivamente. 16
  17. 17. Área de figuras semelhantes• Consideremos os retângulos R1 e • A razão entre as áreas é: R2, semelhantes: A a b A2 a b Como: a = 3 a’, b = 3b’ então:• Sejam a, b, c e d o lados de R1, e a’, b’, c’ e d’ os lado de R2. A a b 3a 3b 32 a b • Temos que: A2 a b a b a b a 9 b 3 3; 3 Assim: a 3 b 1 A 32 ; A 32 A2• A área de R1 é : A a b A2 1• A área de R2 é: A2 a b 17
  18. 18. Razão entre perímetro e área de figuras semelhantes• Perímetro: a razão entre • Área: a razão entre suas seus perímetros é igual à áreas é igual ao quadrado razão entre quaisquer dois da razão entre quaisquer lados correspondentes dois lados correspondentes. P A1 2 1 k k P2 A2 18
  19. 19. Posições relativas de duas retas• Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço:• Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.•• Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum. 19
  20. 20. Posições relativas de duas retas• Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.• Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90° . 20
  21. 21. Ângulos opostos pelo vértice• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 21
  22. 22. Ângulos opostos pelo vértice• Dois ângulos opostos pelo vértice tem a mesma medida.• Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos:• x = z; y = k 22
  23. 23. Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma reta transversal Consideremos as retas e ângulos abaixo:• Temos que r e s são paralelas .• Os ângulos a, e, c e g são congruentes.• Os ângulos b, d, f e h são congruentes. 23
  24. 24. Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo• Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180° . 24
  25. 25. Triângulos• Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os três ângulos.• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos correspondentes aos lados iguais também são iguais.• Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos também são distintos. 25
  26. 26. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS• Dois triângulos são semelhantes quando tem os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.• Indicamos:  ABC  A BC 26
  27. 27. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS• Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado outro triângulo, este será semelhante ao primeiro.• Consideremos Pelo Teorema de os triângulos Tales:CAB e CEF, temos: CE CF EF ˆCEF ˆ CAD CA CB AB ˆCFE ˆ CBA Assim: ˆECF ˆ ACB CAB CEF 27
  28. 28. Casos de semelhança de triângulos• AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.• LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo por eles compreendido tem a mesma medida, eles são semelhantes.• LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os tres lados correspondentes proporcionais, eles são semelhantes. 28
  29. 29. LAL (lado – ângulo – lado)Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente. 29
  30. 30. AA (ângulo – ângulo)Os ângulos correspondentes são congruentes, então ostriângulos são semelhantes. 30
  31. 31. LLL (lado – lado – lado)Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos sãosemelhantes. 31
  32. 32. Relações métricas no triângulo retângulo• Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° .• Seja ABC o triângulo retângulo• Os elementos de um triângulo recebem denominações especiais:• O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa;• Os lados b e c, são os catetos. b h c 32
  33. 33. Relações métricas no triângulo retângulo Ao traçarmos a altura AD, relativa àNo triangulo retângulo ABC temos: hipotenusa, obtemos • h: medida da altura relativa à hipotenusa; • m: medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa; • n: medida da projeção do cateto AC sobre a hipotenusa.• Hipotenusa: a• Catetos b e c 33
  34. 34. Relações métricas no triângulo retângulo• Seja o triangulo retângulo • Os triângulos EBA e EAC ABC. são semelhantes. Concluímos também que os triângulos EBA, EAC e ABC são semelhantes.
  35. 35. Relações métricas no triângulo retângulo• Explorando a semelhança dos triângulos temos:•  ABC  EBA BC AB a c c2 a n (1) AB BE c n•  ABC  EAC BC AC a b b2 a m (2) AC EC b m AE BE h n•  EBA  EAC EC AE m h h2 m n (3)• Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos: a h b c 35
  36. 36. Relações métricas no triângulo retângulo• Somando membro a membro as relações (1) e (2) e observando que m+n = a, obtemos: b2 a m b2 c2 a m a n b2 c2 a (m n)  b2 c2 a2 c2 a n a• Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, temos: 2 2 2 a b c 36
  37. 37. TEOREMA DE PITÁGORAS• “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.” 2 2 2 a b c 37
  38. 38. Demonstração do Teorema de Pitágoras• O vídeo representa uma demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras: 38
  39. 39. Relações métricas no triângulo retângulo• Quadro resumo: • Da semelhança de triângulos temos as seguintes relações: c2 a n b2 a m h2 m n a h b c a m n a2 b2 c2 39

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