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Probabilidades Probabilidades Document Transcript

  • Probabilidades Introdução IESDE Brasil S.A. De acordo com um estudo realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Ge­ ografia e Estatística), a quantidade de mulheres no Brasil é maior que a de homens. As informações de 2007 destacam que existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres. Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais rela­ cionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas impor­ tantes. Evidentemente, essa “desproporção” de mulheres em relação à quantida­ de de homens varia de acordo com a região. Segundo estudiosos em de­ mografia, a quantidade de homens é maior no interior dos estados, onde as atividades ligadas à agricultura são mais exploradas. Já nos grandes centros urbanos, a mortalidade masculina, tanto infantil quanto adulta, é maior do que a feminina, principal razão pela qual a quantidade de mulheres é maior nessas áreas. Observe uma interessante tabela que apresenta a quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres em algumas grandes cidades brasileiras no ano de 2007: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Curitiba Porto Alegre Belo Horizonte São Paulo Salvador Fortaleza Belém Rio de Janeiro Recife 95,3 93,3 93,1 91,0 90,7 89,1 89,1 88,5 87,8 Fonte: IBGE Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres (IBGE) Fonte: IBGE Com o auxílio dessa tabela é possível calcular o percentual de homens em Recife, por exemplo. Em outras palavras, ao se escolher uma pessoa ao acaso em Recife, a tabela permite calcular a probabilidade de essa pessoa ser um homem. As probabilidades são designadas por eventos. Entre as informações an­ teriores, alguns eventos seriam “uma mulher em Recife” ou “um homem em Porto Alegre”. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcen­ tagem, por um número de 0% a 100%. A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento im­ possível ocorrer é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Barry White reaparecer e cantar a música “You’re the first, the last, my everything” é 0 ou 0%. A figura a seguir apresenta algumas designações possíveis de eventos e suas correspondentes probabilidades: 248 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades certo 1 a 100% provável chances iguais 0,5 a 50% improvável impossível 0 a 0% Antes de definir o conceito de probabilidade, fique atento às próximas ideias relacionadas à probabilidade. Espaço amostral e evento aleatório Dado um experimento, o conjunto formado por todos os seus resultados possíveis é denominado espaço amostral. Denotando por S o espaço amos­ tral no lançamento de um dado, temos que: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6 } Quando realizamos um experimento, geralmente estamos em busca de alguns resultados de nosso interesse. Esses resultados constituem o que de­ nominamos evento. Mais formalmente, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, o evento A formado pelos resultados pares do dado é o sub­ conjunto A = {2; 4; 6} contido em S. Outros exemplos de eventos no lança­ mento de um dado seriam B = {1; 3; 5}, correspondendo aos números ímpa­ res; C = {1}, aos números menores que 2, ou D= {3;6}, aos números múltiplos de 3. Dessa forma, enquanto que espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer sub­ 249 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades conjunto do espaço amostral. Como podemos calcular a probabilidade de o resultado do lançamento de um dado comum ser par, por exemplo? A probabilidade de o resultado ser par é obtida dividindo o número de elementos do evento A (apenas os pares) pelo número de elementos do espaço amostral (todos os números), ou seja: n (A) 3 1 = = = 0,50 = 50% p(A) = n (S) 6 2 Como se observa, o conceito de probabilidade baseia-se em uma opera­ ção de divisão. Probabilidade de um evento A probabilidade de ocorrer um evento A, contido em um espaço amostral S, é o número real dado por: n (A) p(A) = n (S) ou número de resultados favoráveis p(A) = número de resultados possíveis Exemplo 1: Considerando um experimento aleatório que consiste no lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de as duas moedas apresentarem faces iguais? O espaço amostral do experimento, conjunto formado por todos os resul­ tados possíveis do experimento, é dado por: S = {(Ca, Ca); (Ca, Co); (Co, Ca); (Co, Co)} O evento A formado pelos resultados que apresentam duas faces iguais é dado por: A = {(Ca, Ca); (Co, Co)} Logo, a probabilidade de se obter duas faces iguais no lançamento de 250 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades duas moedas comuns é igual a: 2 1 p(A) = = = 0,50 = 50% 4 2 Exemplo 2: Considere novamente a tabela e responda: Curitiba 95,3 Porto Alegre 93,3 Belo Horizonte 93,1 São Paulo 91,0 Salvador 90,7 Fortaleza 89,1 Belém 89,1 Rio de janeiro 88,5 Recife Fonte: IBGE Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres (IBGE) 87,8 a) Escolhida uma pessoa ao acaso em Recife, calcule a probabilidade de ser um homem. Em Recife existem 87,8 homens para cada grupo de 100 mulheres. Então, devido à proporção, pode-se considerar a quantidade de elemen­ tos do espaço amostral como sendo a soma 87,8 + 100 = 187,8. Dessa forma, a probabilidade de se obter um homem, na escolha de uma pessoa ao acaso, é igual a: número de homens em Recife 87,8 = 0,468 = 46,8% p(homem em Recife) = número de pessoas em Recife 187,8 Conclusão: os dados indicam que 46,8% das pessoas de Recife são do sexo masculino. b) Qual é o percentual de mulheres em Curitiba? Em Curitiba existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres. Logo, o percentual de mulheres em Curitiba é igual a: número de mulheres em Curitiba 100 = 0,512 = 51,2% p(mulher em Curitiba) = número de pessoas em Curitiba 195,3 251 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Exemplo 3: Existem 4 200 estudantes em um colégio. O gráfico de setores a seguir apresenta a distribuição das preferências de profissões entre os alunos. Se um aluno desse colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de pre­ ferir Direito? 630 1764 Medicina Direito 840 Engenharia Outros 966 A probabilidade de escolher ao acaso um aluno que prefere o curso de Direito, denotada por P(D), é dada por: número de alunos que preferem Direito p(D) = número total de alunos do colégio 966 23 = = 0,23 = 23% p(D) = 4 200 100 Portanto, 23% dos alunos do colégio preferem o curso de Direito. Exemplo 4: Considere um baralho comum, composto de 52 cartas, sendo 13 delas de espadas ( ). Thinkstock. a) Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a proba­ bilidade de ser uma carta de espadas? 252 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Todas as cartas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas. Logo, a probabilidade de a carta retirada ser de espadas é dada por: número de cartas de espada p(espadas) = número de cartas do baralho 13 1 = = 0,25 = 25% p(espadas) = 52 4 b) E qual a probabilidade de não ser de espadas? Se, das 52 cartas, 13 são de espadas, então as 39 restantes não são de espadas. Assim, a probabilidade de a carta não ser uma figura é P(não de 39 espadas) = . 52 No exemplo anterior, observe que: 13 39 52 + = = 1. 52 52 52 Isso ocorre sempre que dois eventos são complementares. P(espadas) + P(não de espadas) = Exemplo 5: Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja 2/3? O saco contém 20 bolas no total, todas não azuis. Se acrescentarmos x bolas azuis, o saco ficará com (20 + x) bolas no total. Se na retirada a pro­ babilidade de ocorrer uma bola azul deve ser 2/3, então x deve satisfazer a equação: P(Azul) = ou 2 3 x 2 = 20 + x 3 Resolvendo, temos: 3x = 40 + 2x x = 40 Logo, devem ser colocadas 40 bolas azuis. 253 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Exemplo 6: Observe o hexágono regular representado na figura: Escolhendo-se aleatoriamente três vértices do hexágono anterior, qual a probabilidade de ser formado um triângulo equilátero? 3 O total de maneiras de escolhermos três vértices do hexágono é C6 = 20 Para que seja formado um triângulo equilátero, temos as duas possibili­ dades representadas a seguir: Assim, a probabilidade do triângulo formado ser equilátero é igual a 2 1 P= = = 0,10 = 10% 20 10 Eventos complementares Se A é um evento qualquer, designamos o evento complementar de A por A. Dois eventos A e A são complementares em relação ao mesmo espaço amostral S, quando A A = e A A = S. Para ilustrar, observe no diagrama os eventos A e A de um espaço amos­ tral S: 254 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades S A A Considere um espaço amostral S, finito e não vazio, e um evento A S. Sendo n(A) o número de resultados do evento A, podemos escrever n(A) + n(A) = n(S) dividindo todos os termos por n(S): n(A) n(A) n(S) + = n(S) n(S) n(S) Substituindo as probabilidades correspondentes, temos: P(A) + P(A) = 1 Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é sempre igual a 1. Observação: Se os eventos A e A são complementares, então A é complementar de A e, analogamente, A é complementar de A. Assim, a relação anterior permi­ te calcular a probabilidade de um deles, conhecendo-se a probabilidade do outro. Exemplo 1: Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é o dobro de ocorrer coroa. Lançando essa moeda uma única vez, qual a proba­ bilidade de ocorrer cara? Considere que a probabilidade de ocorrer coroa seja x, P(Co) = x. Dessa forma, a probabilidade de ocorrer cara será 2x, ou seja, P(Ca) = 2x. Como os dois eventos são complementares, podemos escrever: P(Ca) + P(Co) = 1 2x + x = 1 3x = 1 255 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades x = 1/3 Logo, a probabilidade de ocorrer cara é 1/3 0,3333 = 33,33%. Exemplo 2: Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é apresentada no gráfico: 6 5 4 3 2 1 0 16 17 18 19 20 21 No eixo horizontal são apresentadas as idades dos alunos e no eixo verti­ cal o número de alunos correspondente a cada idade. Com base nos dados do gráfico, determine: a) O número total de alunos do curso. O número total de alunos do curso pode ser obtido somando a quantida­ de de alunos em cada categoria de idade. Assim, o número total de alunos é igual a: 4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20 alunos b) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser de, no mínimo, 18 anos? Ter no mínimo 18 anos é ter 18, 19, 20 ou 21 anos. Existem 3 + 1 + 2 + 5 = 11 alunos com no mínimo 18 anos. Logo, a probabilidade de um aluno escolhi­ do ao acaso ter no mínimo 18 anos é igual a: P = 11/20 = 0,55 = 55%. c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser 17 anos ou menos? Os alunos que têm 17 anos ou menos são os que têm 17 ou 16 anos. Exis­ 256 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades tem 9 alunos com 17 anos ou menos. Portanto, a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter 17 anos ou menos é igual a: P = 9/20 = 0,45 = 45% Pode-se observar que os eventos “ter no mínimo 18 anos” e “ter 17 anos ou menos” são complementares e, por isso, a soma das probabilidades resul­ ta 100% (55% + 45%). Probabilidade da união de eventos Um baralho comum é constituído por 52 cartas distintas: Ace 2 3 4 5 6 7 8 9 T Jack Queen King Clubs Dia­ monds: Hearts: Spades: Das 52 cartas, 12 são figuras: {K , K , K , K , Q , Q , Q , Q , J , J , J , J } As 40 cartas restantes não são figuras. Suponha que uma carta seja esco­ lhida ao acaso de um baralho completo. Considere os seguintes eventos: • A: a carta é uma figura • A: a carta não é uma figura A probabilidade de a carta escolhida ser uma figura é igual a: 12 p(A) = 52 A probabilidade de a carta escolhida não ser uma figura é: 257 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 40 52 Observe que os eventos são complementares: 12 40 52 + + =1 p(A) + p(A) = 52 52 52 Exemplo: p(A) = Num colégio existem 1 500 alunos, sendo que exatamente 600 encon­ tram-se no Ensino Médio. Os demais são alunos do Ensino Fundamental. Se um aluno do colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ser do Ensino Médio? E qual a probabilidade de ser do Ensino Fundamental? O que podemos dizer sobre esses eventos? Existem 1 500 alunos, sendo 600 do Ensino Médio e 900 do Ensino Fun­ damental. Logo, a probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Médio é igual a: 600 = 0,40 p(Médio) = 1 500 A probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Fundamental é igual a: 900 = 0,60 p(Fundamental) = 1 500 Os eventos são complementares e, portanto, verificam a condição: p(Médio) + p(Fundamental) = 0,40 + 0,60 = 1 Retornando ao cálculo de probabilidades com o auxílio de um baralho, vamos considerar a seguinte situação: Retirando uma carta ao acaso de um baralho comum, qual a probabilida­ de de ser uma figura ou uma carta de copas? Um baralho possui 12 figuras e 13 cartas de copas entre suas 52 cartas. Como estamos interessados nas figuras ou nas cartas de copas – podendo ser ambas – começaremos adicionando as probabilidades correspondentes: 12 13 + p(figura) + p(copas) = 52 52 Entretanto, existem 3 cartas que são simultaneamente figuras e de copas: 258 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 12 figuras K K Q J 13 de Copas A 2 Q K Q K 3 4 J Q 5 6 J 7 8 9 10 J 3 figuras de copas Portanto, não encontraremos a resposta simplesmente adicionando as probabilidades. Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as figuras quanto entre as de copas, é preciso subtrair a probabilidade de a carta retirada ser uma figura de copas. A probabilidade de a carta ser uma figura de copas é igual a: 3 p(figura de copas) = 52 Logo, a probabilidade de a carta ser uma figura ou de copas é: 12 13 3 + – p(figura de copas) = 52 52 52 12 + 13 – 3 22 = p(figura de copas) = 52 52 O resultado mostra que, das 52 cartas do baralho, exatamente 22 delas são figuras ou de copas, pois 22 = 12 + 13 – 3 Esse exemplo ilustrou o cálculo da probabilidade da união de dois eventos: Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral A, a probabilida­ de do evento A B é igual à probabilidade do evento A, adicionada à proba­ bilidade do evento B, subtraída da probabilidade do evento A B: p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 259 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Podemos provar a validade dessa relação para quaisquer eventos A e B de um mesmo espaço amostral S. Da teoria dos conjuntos, podemos escrever: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) Dividindo todos os termos por n(S), temos: n(A B) n(A) n(B) n(A B) = + – n(S) n(S) n(S) n(S) Substituindo as probabilidades correspondentes, temos: p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) De forma equivalente, podemos também utilizar algumas palavras con­ venientes em substituição das operações entre conjuntos: p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A e B) Nesse caso é conveniente lembrar que “A ou B” significa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, ou seja, ocorrer A, ocorrer B ou ocorrer ambos. Exemplo: Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Se retirarmos uma bola aleatoriamente dessa urna, qual a probabilidade dela conter um número múltiplo de 2 ou de 5? Evento A: múltiplos de 2 A = {2; 4; 6; ...; 100} 50 múltiplos de 2 Evento B: múltiplos de 5 B = {5; 10; 15; ...; 100} 20 múltiplos de 5 Evento A B: múltiplos de 10 (2 e 5) B = {10; 20; ...; 100} A Probabilidade de A 10 múltiplos de 10 B: B) = p(A) + p(B) – p(A B) 50 20 10 60 + – = = 0,60 = 60% p(A B) = 100 100 100 100 A probabilidade da união de dois eventos pode ser simplificada nos casos em que os eventos não apresentam elementos comuns. p(A 260 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é impossível ocorrerem simultaneamente. Isto é, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, se A B= . S A B No lançamento de um dado comum, por exemplo, os eventos A: “o número observado é maior que 4” e B: “o número observado é menor que 3” são mutu­ amente exclusivos: A = {5; 6} e B = {1; 2} A B= Observe que dois eventos mutuamente exclusivos não apresentam resul­ tados comuns. Dessa forma, se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusi­ vos, a probabilidade de ocorrer A e B é igual a zero, ou seja: p(A B) = 0 Consequentemente, a probabilidade de A babilidades de A e B: p(A B resume-se à soma das pro­ B) = p(A) + p(B) Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos, a probabilidade de A B é igual à soma da probabilidade do evento A com a do evento B: p(A B) = p(A) + p(B) Exemplo 1: Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho, qual a proba­ bilidade de ser um rei ou uma dama? 261 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente reis e damas. Os eventos “ser um rei” e “ser uma dama” são, portanto, mutuamente exclusi­ vos. Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho, a probabili­ dade de a carta retirada ser um rei ou uma dama é a soma das probabilidades individuais de cada evento: p(rei ou dama) = p(rei) + p(dama) 4 4 + 52 52 8 2 + 15,38% p(rei ou dama) = 52 13 Logo, a probabilidade é aproximadamente igual a 15,38%. p(rei ou dama) = Exemplo 2: A tabela apresenta os resultados de uma pesquisa, realizada em um co­ légio, quanto à preferência dos alunos na modalidade de esporte praticado. Cada aluno escolheu um único esporte. Esporte Atletismo Basquete Futebol Natação Vôlei Total Quantidade de alunos 15 30 65 25 35 170 Escolhendo ao acaso um aluno que tenha participado da pesquisa, responda: a) Qual a probabilidade de preferir futebol? A probabilidade de preferir futebol é igual a: 65 13 = 0,3824 = 38,24% 170 34 b) Qual a probabilidade de preferir atletismo ou vôlei? p(futebol) = A probabilidade de preferir atletismo ou vôlei é igual a: p(atletismo ou vôlei) = p(atletismo) + p(vôlei) 262 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades p(atletismo ou vôlei) = 15 35 50 + = 0,2941 = 29,41% 170 170 170 Exemplo 3: Em um colégio, uma pesquisa tinha por objetivo saber quantos alunos estavam matriculados em algum curso de idiomas. Essa pesquisa revelou que 250 alunos estudavam espanhol, 430 estudavam inglês, 50 estudavam espanhol e inglês, e 170 não estudavam idioma algum. Escolhendo aleato­ riamente um aluno que participou da pesquisa, qual a probabilidade de que ele estude somente um dos idiomas? Observe o diagrama a seguir: inglês espanhol nenhum 380 50 200 170 Escolhendo ao acaso um aluno que participou da pesquisa, a probabili­ dade de que ele estude somente um dos idiomas é igual a: p= 380 + 200 580 29 = = = 0,725 = 72,5% 380 + 50 + 200 + 170 800 40 Probabilidade da intersecção de eventos Uma das mais importantes relações da teoria das probabilidades é a pro­ babilidade da intersecção de eventos. Tanto problemas relacionados a acon­ tecimentos sucessivos quanto a simultâneos podem ser resolvidos com o auxílio dessa ferramenta. Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B, indicada por p(A B), é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B, dada a ocorrência de A: p(A B) = p(A) . p(B/A) Observação: Observe que p(A B) = p(B p(A B) da seguinte maneira: A). Assim, podemos também expressar 263 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades p(A B) = p(B) . p(A/B) Exemplo 1: Considere um baralho comum composto por 52 cartas. Ao retirarmos uma carta ao acaso desse baralho, qual a probabilidade de ser um rei de copas? O baralho possui apenas um rei de copas (K ). Logo, a probabilidade é dada por: 1 52 A probabilidade da intersecção de eventos pode ser utilizada para calcular a probabilidade de obtermos um rei de copas. Para tanto, bastaria considerar­ mos que o rei de copas é uma carta que simultaneamente é “rei” e é “de copas”. Observe: p(rei de copas) = p(rei de copas) = p(rei e copas) p(rei de copas) = p (R e C) Desmembrando a probabilidade da intersecção num produto, temos: p(rei de copas) = p(R) . p(C/R) A probabilidade de uma carta escolhida ao acaso ser um rei é igual a: 4 52 Existem 4 reis no baralho sendo que, destes, apenas um é de copas. Logo, a probabilidade de a carta escolhida ser de copas, sabendo-se que é um rei, é igual a: p(R) = 1 4 Assim, podemos escrever: p(C/R) = 4 1 . 52 4 1 p(rei de copas) = 52 O resultado mostra que podemos calcular a probabilidade desmembran­ do o evento simultâneo “rei de copas” em dois outros. p(rei de copas) = 264 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Exemplo 2: Considere uma urna composta por 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 brancas. Se duas bolas forem retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição, qual a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca? Há na urna 10 bolas, sendo 3 azuis. Logo, a probabilidade de a primeira ser 3 azul é p(A1) = . Após a retirada da primeira bola azul, restam 9 bolas, sendo 7 10 delas brancas. Assim, a probabilidade de a segunda ser branca, dado que a pri­ 7 meira foi azul, é p(B2 / A1) = . 9 Portanto, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é dada por: p(A1 B2) = p(A1) . p(B2 / A1) 3 7 . 10 9 7 0,2333 = 23,33% p(A1 B2) = 30 Nesse exemplo podemos perceber que a relação da probabilidade de in­ tersecção de eventos também pode ser utilizada na resolução de problemas relacionados a eventos sucessivos. p(A1 B2) = Exemplo 3: Uma urna tem 5 bolas, sendo 3 amarelas e 2 brancas. Duas bolas são reti­ radas, aleatoriamente e sem reposição, dessa urna. Qual a probabilidade de que ambas sejam amarelas? p(A1 e A2) = p(A1) . p(A2 /A1) p(A1 e A2) = 3 2 6 3 . = = = 0,30 = 30% 5 4 20 10 Exemplo 4: O corpo docente de uma escola é formado por 4 professores de Matemá­ tica e 16 professores de outras disciplinas. Três professores serão escolhidos ao acaso para acompanhar os alunos em uma viagem. Qual a probabilidade de que seja escolhido exatamente um professor de Matemática? Sendo “M” um professor de Matemática e “O” um professor de outra disci­ plina, vamos calcular a probabilidade de ocorrer o resultado MOO. 265 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades p(M e O e O) = 4 16 15 . . 20 19 18 Devemos agora considerar que se o sorteio se desse em outra ordem também teríamos um professor de Matemática e dois de outras disciplinas, ou seja, os resultados OMO e OOM também são válidos. Logo, a probabilida­ de calculada inicialmente deve ser multiplicada por 3: p(1M e 2O) = 4 16 15 8 . . .3= 20 19 18 19 Probabilidade condicional Considere uma pesquisa realizada com 50 estudantes de um colégio sobre a preferência de estudo entre os cursos de Administração e Economia. Os resultados da pesquisa encontram-se na próxima tabela: Curso Administração Economia Total Masculino 10 5 15 Feminino 20 15 35 Total 30 20 50 Sexo Interpretando adequadamente as informações da tabela, vamos relacio­ ná-las com o cálculo de probabilidades por meio do próximo exemplo. Exemplo: Escolhendo ao acaso um estudante da pesquisa, responda: a) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino? Sendo p(M) a probabilidade de o estudante ser do sexo masculino, p(M e A) de o estudante ser do sexo masculino e preferir administração, e p(A/M) de o estudante preferir administração, sabendo-se que é do sexo masculino, temos: 15 ou p(M) = 0,30 = 30% 50 O resultado indica que 30% dos alunos são do sexo masculino. p(M) = b) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino e preferir administração? 266 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 10 ou p (M A) = 0,20 = 20% 50 O resultado indica que 20% dos alunos são do sexo masculino e preferem administração. p(M e A) = c) Sabendo-se que é do sexo masculino, qual a probabilidade de preferir administração? 10 2 ou p (A / M) = 0,6667 = 66,67% 15 3 O resultado indica que, dos alunos do sexo masculino, 66,67% destes são do sexo masculino. p(A / M) = d) O que se pode concluir dividindo o resultado do item (b) pelo do item (a)? Vamos dividir os resultados mencionados: 10 p (M A) 10 50 10 50 = . = = p(A / M) = 15 p (M) 50 15 15 50 O quociente da divisão de p(M A) por p(M) é a resposta do item (c). Tal relação sugere que podemos obter o valor de uma probabilidade condicio­ nal, p(A/M), dividindo a probabilidade de intersecção, p(M A), pela proba­ bilidade da condição, p(M). Quando representamos uma probabilidade por p(A/B), estamos nos referindo à probabilidade do evento A na certeza da ocorrência do evento B. Assim, nesse caso, o evento B é certo, enquanto o evento A é incerto. A probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento possível B, re­ presentada por p(A/B), é igual à probabilidade do evento A B dividida pela probabilidade do evento B: p(A / B) = p (A B) , p(B) 0 p (B) É importante destacar que o cálculo de uma probabilidade condicional é derivado de um raciocínio simples. Isto é, na probabilidade condicional p(A/B), a condição é a ocorrência certa de B. Logo, o espaço amostral do experimento é reduzido apenas ao evento B, que passa a ser denominador do quociente, ou seja, p(B) é denominador. Se essa condição é certa, natu­ ralmente deve ocorrer no numerador. Portanto, o evento incerto, A, deve ocorrer simultaneamente ao B. Assim, o numerador é p(A B). Isso explica a fórmula da probabilidade condicional. 267 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Em geral, p(A/B) não é igual a p(B/A). Isso ocorre porque, apesar de ambas as probabilidades condicionais apresentarem o mesmo numerador, cada uma delas tem um denominador diferente, já a condição considerada não é a mesma. Observe: p (A B) , p(A) 0 p (A) Exemplo 1: p(B / A) = Um pescador sai diariamente para pescar, com probabilidade de 30% em dias de chuva e de 80% nos demais dias. Se onde ele mora a probabilidade de chuva num dia qualquer é de 40%, então: a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã? Sendo: p(P) a probabilidade de pesca em um dia qualquer; p(C/P) a probabilidade de chuva em um dia de pescaria; p(C) = 40% a probabilidade de ocorrer chuva num dia qualquer; p(C) = 60% a probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer; p(P/C) = 30% a probabilidade de pesca em um dia de chuva; p(P/C) = 80% a probabilidade de pesca em um dia de não chuva, temos: p(P) = p(C P) + p(C P) p(P) = p(C) . p(P / C) + p(C) . p(P / C) p(P) = 40% . 30% + 60% . 80% 40 30 60 80 . + . 100 100 100 100 12 48 60 + = = 60% p(P) = 100 100 100 b) Qual é a probabilidade de chuva em um dia de pescaria? p(P) = p(C P) p(P) 12% 12 1 = = = 0,20 = 20% p(C / P) = 60% 60 5 p(C / P) = 268 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades O resultado indica que, das vezes em que o pescador vai pescar, em 20% delas chove. Exemplo 2: Dois dados não viciados foram lançados. a) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7? O espaço amostral do experimento é o conjunto S dado por: (1;1),  (1;2),  (1;3),  (1;4),  (1;5),  (1;6) (2;1),  (2;2),  (2;3),  (2;4),  (2;5),  (2;6) (3;1),  (3;2),  (3;3),  (3;4),  (3;5),  (3;6) S= (4;1),  (4;2),  (4;3),  (4;4),  (4;5),  (4;6) (5;1),  (5;2),  (5;3),  (5;4),  (5;5),  (5;6) (6;1),  (6;2),  (6;3),  (6;4),  (6;5),  (6;6) Existem 6 pares ordenados que fornecem soma 7. Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 7 é igual a: 6 1 = 36 6 b) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 5? p(Soma 7) = Existem 4 pares ordenados que fornecem soma 5. Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 5 é igual a: 4 1 = 36 9 c) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5? p(Soma 5) = Se sabemos que a soma não foi igual a 5, desconsideramos, do espaço amostral, os pares ordenados (1; 4), (2; 3), (3; 2) e (4; 1). Logo, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5, é igual a: p(Soma 7 / não 5) = 6 6 3 = = 36 – 4 32 16 269 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Thinkstock. Distribuição binomial de probabilidades Um esportista dispara flechas em um alvo. Suponha que, em uma tentati­ va qualquer, ele tenha 80% de chance de acertar o alvo na região destacada, independentemente de outro disparo. Se ele realiza cinco disparos, qual a probabilidade de acertar exatamente dois deles? Em cinco disparos, ele deve acertar 2 e errar 3, logo, sendo p(A) = 80% a probabilidade de ele acertar o alvo e p(E) = 20% a probabilidade de ele não acertar, temos: p(2 Acertos) = p(A) . p(A) . p(E) . p(E) . p(E) p(2 Acertos) = 80% . 80% . 20% . 20% . 20% p(2 Acertos) = (0,80)2 . (0,20)3 Entretanto, se os dois acertos e os três erros ocorressem em outra ordem, também teríamos o resultado pretendido. Logo, é preciso ainda escolher 2 2 acertos entre os 5 disparos. Isso pode ser feito de C5 maneiras. Logo, a probabilidade de apenas 2 acertos em 5 disparos é dada por: 2 p(2 Acertos) = C5 . (0,80)2 . (0,20)3 5.4 . 0,64 . 0,008 2.1 p(2 Acertos) = 10 . 0,64 . 0,008 p(2 Acertos) = p(2 Acertos) = 0,0512 = 5,12% 270 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades A probabilidade de ele, em 5 disparos, acertar exatamente 2 deles é 5,12%. Esse exemplo ilustrou uma situação em que utilizamos a ideia de proba­ bilidade binomial. Considere um experimento aleatório que será realizado n vezes e com as seguintes características:  cada resultado do experimento pode ser classificado em apenas uma de duas categorias: sucesso ou fracasso;  os eventos são independentes;  p é a probabilidade de um sucesso e (1 – p) é a de um fracasso. Nessas condições, a probabilidade de ocorrer um número k de sucessos é dada por: k p(k sucessos) = Cn . pk . (1 – p)n–k; k = 0, 1, 2, ..., n As probabilidades destacadas na fórmula anterior constituem-se, em termos, de um binômio de Newton. Por isso a denominação binomial. Exemplo 1: Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ob­ termos 2 caras e 4 coroas? Vamos inicialmente calcular a probabilidade de obtermos cara nas duas primeiras vezes e coroa nas outras quatro vezes: 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . = 2 2 2 2 2 2 64 No entanto, observe que poderíamos obter duas caras e quatro coroas em outra ordem. O total de maneiras de escolher as duas posições em que 2 as caras irão aparecer é C6 = 15. p (CaCaCoCoCoCo) = Assim, devemos multiplicar a primeira probabilidade obtida por 15, ou seja: p (2Ca e 4Co) = 1 15 . 15 = 64 64 271 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Portanto, a probabilidade de obtermos 2 caras e 4 coroas em 6 lançamen­ tos de uma moeda comum é 15/64. Exemplo 2: Um aluno não estudou para uma prova de Matemática e, por isso, não sabia resolver questão alguma de uma prova composta por 10 questões com 5 alternativas cada uma, onde apenas uma era correta. Se esse aluno res­ pondeu todas as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha acertado exatamente 4 questões da prova? 1 A probabilidade de o aluno acertar uma questão “no chute” é . Conse­ 5 4 quentemente, a probabilidade de ele errar é . Assim, a probabilidade de o 5 aluno ter acertado exatamente 4 questões da prova é igual a: 4 6 1 4 1 4096 172032 4 p(4 acertos) = C10 . . = 210 . 0,088 = 8,8% . = 5 5 625 15625 1953125 Exemplo 3: Um casal pretende ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas? A probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas é igual à soma das probabilidades de nascer 4 ou 5 meninas. Probabilidade de nascer exatamente 4 meninas em 5 crianças: 4 1 1 1 5 4 . = p(4 meninas) = C5 . 2 2 32 Probabilidade de nascer 5 meninas em 5 crianças: 5 0 1 1 1 5 . = p(5 meninas) = C5 . 2 2 32 Portanto, a probabilidade do nascimento de 4 ou 5 meninas em 5 crian­ ças é dada por: 6 3 p(4 meninas ou 5 meninas) = . = 0,1875 = 18,75% 32 16 Exemplo 4: Suponha que, no trajeto de carro do colégio até sua casa, a probabilidade de um semáforo estar aberto (luz verde) seja igual 1/3. Considere também que existam um total de 4 semáforos não sincronizados nesse trajeto. 272 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades a) Qual a probabilidade de que exatamente dois semáforos estejam abertos? A probabilidade de o semáforo estar é 1/3 e a de não estar aberto é 2/3, logo: 12 22 2 . p(2 abertos) = C4 . 3 3 4 . 3 1 4 24 p(2 abertos) = 0,2963 = 29,63% . . = 2 . 1 9 9 81 b) Qual a probabilidade de que exatamente três semáforos não estejam abertos? Se exatamente três não estiverem abertos, apenas um estará aberto, então: 1 1 23 1 . p(1 aberto) = C4 . 3 3 1 8 32 p(1 aberto) = 4 . . = 0,3951 = 39,51% 3 27 81 c) Qual a probabilidade de que exatamente k semáforo(s), k = 0, 1, 2, 3, 4, esteja(m) aberto(s)? 1 k 2 4–k k . , k = 0, 1, 2, 3, 4 p(k abertos) = C4 . 3 3 Ampliando seus conhecimentos O próximo texto foi extraído do livro Matemática, Cadê Você?: Sobre Números, Personagens, Problemas e Curiosidades. Pesquisa com pergunta proibida (PAENZA, 2009, p. 156-158) Esse exemplo mostra uma maneira sutil de evitar um problema. Suponha­ mos que alguém queira pesquisar um grupo de pessoas sobre um tema críti­ co, delicado. Digamos, por exemplo, que se queira averiguar a porcentagem de jovens que consumiram alguma droga durante o Ensino Médio. É possível que a maioria se sentisse incomodada se tivesse que responder sim. Naturalmente, isso destruiria o valor de verdade da pesquisa. Como fazer então para “contornar” o obstáculo do pudor ou incômodo que a pergunta gera? 273 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades No exemplo, o entrevistador quer perguntar a cada aluno se ele consumiu alguma droga durante o Ensino Médio e diz a ele que o método que vão usar é o seguinte: O jovem entrará numa “cabine cega”, como se fosse votar, e se disporá a jogar uma moeda. Ninguém está vendo o que ele faz. Só lhe pedem que res­ peite as regras: 1) se saiu cara, ele deve responder “sim” (seja qual for a resposta verdadeira); 2) se saiu coroa, deve responder a verdade. De qualquer forma, a única testemunha do que o jogador faz ou diz é ele mesmo. Com esse método, esperam-se pelo menos 50% de respostas positivas (que são as que provêm da “estimativa” de que saiu cara na metade das vezes). Em contrapartida, quando alguém diz que não, é porque a resposta verdadeira é não. Ou seja, esse jovem não se drogou. Entretanto, suponhamos que haja 70% das respostas positivas (disseram que sim). Isso não quer dizer algo? Ou seja, não é tentador dizer que com esses dados seria possível tirar alguma conclusão? Como sempre, convido-o a pensar um pouco sozinho. E, depois, continue com o raciocínio. Qualquer que seja o número de respostas positivas, era esperado de antemão que houvesse (ao menos) 50% delas. E isso acontece porque se supõe que, como a moeda não está viciada, deveria sair cara na metade das vezes. Com esse dado somente, sabe-se que, ao sair da cabine, a metade dos participantes deve dizer que sim. Mas, ao mesmo tempo, há outros 20% de respostas que são afirmativas e NÃO provêm do fato de que a moeda deu cara. Como interpretar esse dado? O fato é que isso está dizendo que, das vezes em que saiu coroa (que é a outra metade das vezes), 20% dos alunos disseram sim, que se drogaram. Como consequência, poderíamos inferir (e o convido a pensar comigo) que pelo menos 40% dos alunos foram consumidores de alguma droga. Por quê? Porque, dos 50% restantes, 20% (nada menos!) responderam que sim. E, justa­ mente, 20% desses 50% significam 40% das pessoas. Esse sistema evita “marcar” quem responde sim e expô-lo a uma situação embaraçosa. Por outro lado, mantém viva a possibilidade de pesquisar o que se pretende. 274 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Atividades de aplicação 1. As colunas a seguir relacionam designações de eventos com probabi­ lidades de ocorrência dos eventos. Associe as colunas corretamente: I. Muita chance de ocorrer ( ) 0,5 II. Evento certo ( )0 III. Pouca chance de ocorrer ( ) 0,93 IV. Chances iguais ( ) 0,08 V. Evento impossível ( )1 2. Considere o lançamento de duas moedas distintas. Descreva o espaço amostral S do experimento e o evento A formado pelos resultados que apresentam duas caras. Logo após, calcule a probabilidade de ocorrer o evento A. 3. Paulo está rifando uma bicicleta em sua escola. A rifa é constituída de 100 diferentes números. Se você compra quatro desses números, que probabilidade tem de ganhar a bicicleta? 4. Sorteando um número natural não nulo de 1 a 100, qual a probabilida­ de de ele ser um: a) número par? b) número divisível por 3? c) número cujo algarismo das unidades é 7? d) número primo? 5. Em uma caixa encontram-se 30 bolas numeradas de 1 a 30. Ao se reti­ rar uma bola ao acaso da caixa, calcule: a) a probabilidade de o número da bola retirada ser par. b) a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo de 5. c) a probabilidade de o número da bola ser par ou múltiplo de 5. 6. Em uma escola foi feita uma pesquisa com os alunos do terceiro ano do Ensino Médio sobre o hábito de leitura de duas revistas A e B. Dos 275 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 250 alunos consultados, 112 afirmaram ler a revista A, 77 a revista B e 22 as duas revistas. Se um aluno do terceiro ano dessa escola é escolhi­ do ao acaso, calcule: a) a probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas. b) a probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas. c) a probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B. 7. Em uma universidade, os alunos que ingressaram no início desse ano estão divididos em três áreas, de acordo com a tabela a seguir: Área Masculino Feminino Tecnologia 335 590 855 Humanística 845 Biológica 410 465 Se escolhermos ao acaso um aluno dessa universidade, calcule a pro­ babilidade de que ele seja do sexo masculino ou da área biológica. 8. Em uma caixa encontram-se 5 bolas verdes, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Se retirarmos, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas dessa caixa, calcule a probabilidade de: a) as duas bolas serem verdes. b) a primeira bola ser preta e a segunda azul. c) as duas bolas serem da mesma cor. 9. Uma amostra de um lote de peças contém 5 peças defeituosas e 15 peças perfeitas. Retirando-se, sem reposição, três peças do lote, calcu­ le a probabilidade de que: a) as três peças sejam defeituosas. b) pelo menos uma peça seja defeituosa. c) exatamente uma peça seja defeituosa. 276 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 10. Dois jogadores, Lucas e João, lançam um dado. Lucas vencerá o jogo se o número da face voltada para cima do seu dado for maior do que ou igual ao número da face voltada para cima do dado de João. Calcu­ le a probabilidade de que Lucas vença o jogo. 11. Ana disse para Bruno: “Vou lançar um dado sem que você veja. Se você acertar, em uma única tentativa, o número da face voltada para cima, lhe dou R$10,00”. Suponha que Ana, após lançar o dado, informe a Bru­ no que o número da face voltada para cima é ímpar. Qual a probabili­ dade de que Bruno ganhe os R$10,00? 12. Em uma universidade, a eleição para reitor reunirá dois candidatos A e B. Na última pesquisa, realizada com um grupo de 500 alunos, foi fornecida a seguinte tabela: Candidato Masculino Feminino Total A 120 135 255 B 150 58 208 Branco/nulo 23 14 37 Total 293 207 500 Escolhendo aleatoriamente um aluno da universidade que participou da pesquisa, calcule: a) a probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar no candidato A. b) a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a inten­ ção de votar no candidato A. c) a probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­ do que é do sexo masculino. 13. Um dado “honesto” é lançado 10 vezes. Qual a probabilidade de a face voltada para cima exibir um número primo exatamente 4 vezes. 14. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 80%. Ao realizar 5 disparos, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo exatamente 3 vezes? 277 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Referências ASIMOV, Isaac. Cronologia das Ciências e das Descobertas. Rio de Janeiro: Civi­ lização Brasileira. BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática. 472 p. v. 2. Edição reformulada. DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática – o talento para lidar com números e a evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2004. GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997. _____. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006. GAZETA DO POVO, 25 set. 2008. Vida e Cidadania, p. 7. HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. 3. ed. Porto Alegre: Globo, 1952. IEZZI, Gelson et al. Matemática – ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual, 2006. 352 p. v. 1. LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática). LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1. _____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 2. _____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 3. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1. PAENZA, Adrian. Matemática, Cadê Você?: sobre números, personagens, proble­ mas e curiosidades. Tradução de: LEMOS, Maria Alzira Brum. Rio de Janeiro: Civili­ zação Brasileira, 2009. 285 p. 278 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 2002. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995. _____. Os Números Governam o Mundo: folclore da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Ediouro, 1999. 398 p. 279 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades Gabarito 1. A associação correta é I-0,93; II-1; III-0,08; IV-0,5, V-0 2. Lançando duas moedas o espaço amostral é S = {(Ca,Ca); (Ca,Co); (Co,Ca); (Co,Co)}, no qual “Ca” representa face cara e “Co” coroa, e o evento A formado por duas caras é A = {(Ca,Ca)). Logo, a probabilidade teórica é P(A) = 1/4 = 0,25 = 25%. 3. A probabilidade de Paulo vir a ser sorteado é P = 4/100 = 0,04 = 4%. 4. Existem 100 números naturais possíveis de serem sorteados, sendo que 50 deles são pares (2, 4, 6, ..., 100); 33 deles são múltiplos de 3 (3, 6, 9, ..., 99); 10 deles têm o algarismo das unidades igual a 7 (7, 17, 27, ..., 97) e 25 deles são primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97). Logo, as probabilidades são dadas por: a) P(par) = 50/100 = 0,50 = 50% b) P(múltiplo de 3) = 33/100 = 0,33 = 33% c) P(unidade igual a 7) = 10/100 = 0,10 = 10% d) (primo) = 25/100 = 0,25 = 25% 5. a) Na caixa temos 15 bolas com números pares. Logo, a probabilidade 15 1 = = 0,5 = 50%. de o número da bola retirada ser par é 30 2 b) Na caixa temos 6 bolas com números múltiplos de 5. Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo 6 1 = = 0,2 = 20%. de 5 é igual a 30 5 c) Observe que na caixa temos 3 bolas com números pares e múlti­ plos de 5. Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser par ou 15 6 3 18 3 + – = = = 0,6 = 60%. múltiplo de 5 é igual a: 30 30 30 30 5 280 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 6. Observe os diagramas a seguir: A B 112 - 22 = 90 22 77 - 22 = 55 Nenhuma 83 a) A probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas é 90 + 55 145 29 = = . 250 250 50 83 . 250 c) A probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B é b) A probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas é 90 + 22 + 55 167 = . 250 250 7. O total de alunos é igual a 845 + 590 + 410 + 335 + 855 + 465 = 3 500. Sendo p(M ou B) a probabilidade do aluno ser do sexo masculino ou da área biológica, temos: p(M ou B) = 845 + 590 + 410 590 + 855 590 2700 27 + – = = . 3500 3500 3500 3500 35 8. a) Sendo p(V1 e V2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser verde e a segunda também, temos: 5 4 2 . = . 10 9 9 b) Sendo p(P1 e A2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser preta e a segunda azul, temos: p(V1 e V2) = 3 2 1 . = . 10 9 15 c) As duas bolas podem ser verdes, pretas ou azuis. Assim, temos: p(P1 e A2) = p(V1 e V2) + p(P1 e P2) + p(A1 e A2) = 5 4 3 2 2 1 28 14 . + . + . = = . 10 9 10 9 10 9 90 45 281 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 9. a) Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que as três peças sejam defeituosas, temos: 5 4 3 1 . . = 20 19 18 114 b) Podemos, inicialmente, calcular a probabilidade de que nenhuma peça seja defeituosa. p(D1 e D2 e D3) = Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que nenhuma peça seja defeituosa, temos: p(D1 e D2 e D3) = 15 14 13 91 . . = 20 19 18 228 Assim, a probabilidade de que pelo menos uma das peças seja de­ feituosa é igual a: 91 137 = 228 228 c) Sendo p(1D e 2D) a probabilidade de que uma peça seja defeituo­ sa e duas peças sejam perfeitas, temos: P=1– 5 15 14 35 . . .3= 20 19 18 76 10. Para que Lucas vença a partida, deverá obter em seu dado um número maior do que ou igual ao número do dado de João. Logo, sendo p(LV) a probabilidade de Lucas vencer o jogo, temos: p(1D e 2D) = 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 21 p(LV) = . + . + . + . + . + . = = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 36 36 11. O espaço amostral do experimento é o conjunto {1; 3; 5}, pois sabemos que o número da face voltada para cima é ímpar. Logo, em uma única 1 tentativa, a probabilidade de que Bruno ganhe os R$10,00 é . 3 A partir da informação de que o resultado é ímpar, a escolha deve re­ cair entre um de três números (1, 3 ou 5). Por isso, a probabilidade inicial igual a 1/6 passa a ser 1/3 com a informação de que o número é ímpar. 282 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Probabilidades 12. a) A probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar no candidato A é igual a: 120 6 = P= 500 25 b) A probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a in­ tenção de votar no candidato A é igual a: 135 9 = 255 17 c) A probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­ do que é do sexo masculino é igual a: P= 150 293 13. O número de maneiras de escolher as 4 vezes que um número primo 4 irá aparecer é C10 = 210. A probabilidade de que o número da face voltada para cima seja primo é igual a: P= 3 1 P (primo) = = 6 2 Consequentemente, a probabilidade de que o número não seja primo também é igual a: 1 2 Portanto, a probabilidade de obtermos um número primo exatamente 4 vezes é igual a: 14 16 1 10 1 210 105 4 . = 210 . = 210 . P (4 vezes) = C10 . = = 2 2 2 1024 1024 512 P (não primo) = 14. A probabilidade de o atirador acertar o alvo exatamente 3 vezes é igual a: 43 12 64 1 640 3 . = 10 . . = P (3 vezes) = C5 . (0,8)3 . (0,2)2 = 10 . 5 5 125 25 3125 283 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br