Questões de
raciocínio lógico – Aula 3
Emerson Marcos Furtado*
Tópicos abordados:
 Análise combinatória
 Probabilidade
1.	...
Questões de raciocínio lógico – Aula 3

2.	 Com os símbolos 0 e 1, um programador deseja gerar códigos cujos
comprimentos ...
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atriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana inf...
Questões de raciocínio lógico – Aula 3

de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos
e apenas entre si, ...
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e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique
ao menos uma ca...
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13.	(CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes)
diferentes: ...
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16.	(ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio
e Beto) e ...
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2.	 ( )  e uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos,
S
que poderão ...
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21.	(ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 6 bailarinas, de modo
que três del...
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24.	(ESAF) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascim...
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1.	 E
	

Uma das cadeias a ser construída tem a forma: 000112222.

	

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2 . S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2048

	

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Portanto, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a
equipe.

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Destes, exatamente 48 deles eram qualificados.

	

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Ou seja, exatamente 120 sequências possuem os quadros de Gotuzo
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3 . 4 . 3 = 36.

	

Portanto, entre 300 e 900, existem 36 números inteiros, cuj...
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Questões de raciocínio lógico – Aula 3

	

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Pai: 4 pretas + 2 brancas.

	

Namorado: 3 pretas + 2 brancas.

	

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Das 12 bailarinas candidatas, exatamente uma delas tem 18 anos.
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Questões de raciocínio lógico – Aula 3

	

O valor 0,1667 não é inferior a 1/103, ou 0,001.
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Se o primeiro cartão...
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Contagem e probabilidade

  1. 1. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Emerson Marcos Furtado* Tópicos abordados: Análise combinatória Probabilidade 1. (ESAF) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Matemática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em História. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que esse aluno esteja tendo sérias dificuldades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a: a) 50%. b) 25%. c) 1%. d) 33%. e) 20%. 2. (CESPE/UnB) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma assertiva a ser julgada. 1. Deseja-se formar uma cadeia de símbolos com os números 0, 1 e 2, de modo que o 0 seja usado três vezes, o número 1 seja usado duas vezes e o número 2, quatro vezes. Nessa situação, o número de cadeias diferentes que podem ser formadas é maior que 1 280. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br * Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Licenciado em Matemática pela UFPR. Professor de Ensino Médio de colégios nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992; professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996; professor da Universidade Positivo, de 2000 a 2005; autor de livros didáticos destinados a concursos públicos, nas áreas de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico e Estatística; sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Práxis, de 2003 a 2007; sócio-professor do Colégio Positivo de Joinville desde 2006; sócio-diretor da empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005; autor de material didático para o Sistema de Ensino do Grupo Positivo, de 2005 a 2009; professor do CEC – Concursos e Editora de Curitiba, desde 1992, lecionando as disciplinas de Raciocínio Lógico, Estatística, Matemática e Matemática Financeira; consultor da empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba, de 1998 a 2000; consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, de qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999; membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (IPROCADE) desde 2008; autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.
  2. 2. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 2. Com os símbolos 0 e 1, um programador deseja gerar códigos cujos comprimentos (números de símbolos) variem de 1 a 10 símbolos. Nessa situação, o número de códigos diferentes que poderão ser gerados não passa de 2 046. 3. Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe. 4. Uma empresa de engenharia de software recebeu muitas inscrições de candidatos a um cargo de programador. Somente 60% dos inscritos eram qualificados. Um teste de aptidão foi aplicado para ajudar a analisar as inscrições. Dos qualificados, 80% passaram no teste, que aprovou também 20% dos não qualificados. Nessa situação, se um inscrito passou no teste (ou se foi reprovado), a probabilidade de ele ser qualificado é maior que 86%. 3. (ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a: a) 20. b) 30. c) 24. d) 120. e) 360. 4. (ESAF) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7 e que a probabilidade de ambas, Ana e Be2 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  3. 3. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 atriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação, recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: a) 1/7. b) 1/3. c) 2/3. d) 5/7. e) 4/7. 5. (Funrio) Quantos números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos, existem entre 300 e 900? a) 36. b) 24. c) 27. d) 48. e) 64. 6. (Cesgranrio) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna, retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par? a) 15. b) 20. c) 23. d) 25. e) 27. 7. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 3
  4. 4. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10. b) 14. c) 20. d) 25. e) 45. 8. (CESPE/UnB) Para formar-se um anagrama, permutam-se as letras de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra VALOR. Com base nessas informações, julgue os próximos itens, relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR. 1. ( ) O número de anagramas distintos é inferior a 100. 2. ( ) O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6. 3. ( ) O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15. 4. ( ) O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a 44. 9. (Funrio) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é: a) 120. b) 140. c) 160. d) 180. e) 200. 10. (ESAF) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro 4 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  5. 5. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80. b) 72. c) 90. d) 18. e) 56. 11. (FCC) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Contas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de: a) 25%. b) 20%. c) 12,5%. d) 10%. e) 7,5%. 12. (Funrio) Um número natural é primo quando ele é divisível exatamente por dois números naturais distintos. Escolhendo, ao acaso, um número natural maior que zero e menor que 17, é correto afirmar que a probabilidade desse número ser primo e deixar resto 1 na divisão por 4 é: a) 1/8. b) 3/16. c) 3/8. d) 7/16. e) 1/4. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 5
  6. 6. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 13. (CESPE/UnB) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus ( ), espadas ( ), copas ( ) e ouros ( ). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. 1. ( ) probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um A baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13. 2. ( ) abendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de S cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52. 3. ( ) probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura A ou ser uma carta de paus é igual a 11/26. 14. (ESAF) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas essas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a: a) 1/2. b) 1/3. c) 1/4. d) 2/3. e) 3/4. 15. (Cesgranrio) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a) 150/216. b) 91/216. c) 75/216. d) 55/216. 6 e) 25/216.parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, Esse material é mais informações www.videoaulasonline.com.br
  7. 7. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 16. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: a) 1 920. b) 1 152. c) 960. d) 540. e) 860. 17. (FCC) Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cinco idiomas. Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, há um único professor que ministra aulas desses dois idiomas, é correto afirmar que o número de professores dessa escola é: a) 5. b) 7. c) 10. d) 14. e) 20. 18. (CESPE/UnB) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1. ( ) e os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo S permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 7
  8. 8. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 2. ( ) e uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, S que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11 000 códigos distintos. 3. ( ) número total de códigos diferentes formados por 3 letras O distintas é superior a 15 000. 19. (ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e três pretas. Ana guardou todas essas blusas – e apenas essas – em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: a) 4/5. b) 7/10. c) 3/5. d) 3/10. e) 2/3. 20. (FCC) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou? a) 224. b) 210. c) 168. d) 144. e) 96. 8 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  9. 9. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 21. (ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a: a) 85. b) 220. c) 210. d) 120. e) 150. 22. (CESPE/UnB) Cartões numerados sequencialmente de 1 a 10 são colocados em uma urna, completamente misturados. Três cartões são retirados ao acaso, um de cada vez, e uma vez retirado o cartão não é devolvido à urna. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 1. ( ) probabilidade de os três cartões retirados constituírem, A na ordem em que foram retirados, uma sequência ordenada crescente, é inferior a 1/103. 2. ( ) e o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número S 10, então a probabilidade de o terceiro cartão ser um número menor do que 5 é igual a 1/2. 23. (ESAF) Dez amigos, entre eles Mário e José, devem formar uma fila para comprar as entradas para um jogo de futebol. O número de diferentes formas como essa fila de amigos pode ser formada, de modo que Mário e José fiquem sempre juntos, é igual a: a) 2! 8! b) 0! 18! c) 2! 9! d) 1! 9! e) 1! 8! Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 9
  10. 10. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 24. (ESAF) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento de menina” são eventos independentes. Desse modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a: a) 2/3. b) 1/8. c) 1/2. d) 1/4. e) 3/4. Gabarito 1. B Vamos organizar as informações segundo alguns diagramas, observe: Matemática História 1% 6% 4% A partir dos percentuais, podemos calcular os percentuais de alunos que têm sérias dificuldades em apenas uma das disciplinas: Matemática 5% História 1% 3% 6% 10 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 4%
  11. 11. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Se o aluno escolhido tem sérias dificuldades em História, então o percentual correspondente a 4% constitui o novo universo de alunos. Matemática História 5% 1% 3% 6% 4% Pelo diagrama, observa-se também que 1% dos alunos tem sérias dificuldades em Matemática e História. Matemática História 1% 5% 3% 6% 4% Logo, se um aluno está tendo sérias dificuldades em História, a probabilidade de que também esteja tendo sérias dificuldades em Matemática é dada por: 1 p= 1% 4% = 100 4 = 1 100 . 100 4 = 1 4 = 0,25 = 25% 100 O cálculo esclarece que a cada 4 alunos que têm sérias dificuldades em História, um deles também tem em Matemática, ou seja, 25%. 2. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 11
  12. 12. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 1. E Uma das cadeias a ser construída tem a forma: 000112222. A quantidade de cadeias que podem ser formadas com esses símbolos é igual ao número de permutações de 9 elementos com 3 repetições do algarismo 0, com 2 repetições do algarismo 1 e com 4 repetições do algarismo 2: 3, P9 2, 4 = 9! 3! . 2! . 4! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4! 3 . 2 . 1 . 2 . 1 . 4! = 9.8.7.6.5 6.2 = 1 260 Logo, o número de cadeias é menor que 1 280. 2. C 1 símbolo 2 símbolos 2.2=4 3 símbolos 2.2.2=8 4 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 = 16 5 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 6 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 7 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 8 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 9 símbolos 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 512 10 símbolos Assim, podendo utilizar de 1 até 10 símbolos, a quantidade total de códigos é dada por: S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024. 12 De acordo com o sistema binário em que apenas os símbolos 0 e 1 são utilizados, temos: Multiplicando essa equação por 2, temos: 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1 024 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  13. 13. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 2 . S = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2048 2 . S = (4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024) + 2048 2 . S = (S – 2) + 2 048 2 . S = S – 2 + 2 048 2 . S – S = 2 048 – 2 S = 2 046 Portanto, o número de códigos diferentes que poderão ser gerados não passa de 2 046. 3. C Inicialmente, temos: A 10 pesquisadores B 8 A equipe será formada por 5 pesquisadores. 1.ª hipótese: A e B participam do trabalho. Nesse caso, escolhemos os outros 3 pesquisadores entre os 8 restantes: 3 C8 = 8! 3! . (8 - 3)! = 8 . 7 . 6 . 5! 3 . 2 . 1 . 5! = 8.7.6 6 = 8 . 7 = 56 2.ª hipótese: A e B não participam do trabalho. Assim, escolhemos os 5 pesquisadores entre os 8 restantes: 5 C8 = 8! 5! . (8 - 5)! = 8 . 7 . 6 . 5! 5! . 3 . 2 . 1 = 8.7.6 6 = 8 . 7 = 56 Os pesquisadores A e B ou participam juntos ou não participam da equipe. Logo, a quantidade de equipes nessas condições é dada por: 56 + 56 = 112. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 13
  14. 14. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Portanto, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe. 4. E Vamos supor que a empresa tenha recebido 100 inscrições. Se 60% dos inscritos eram qualificados, então: 100 inscrições 60 qualificados 40 não qualificados Se, dos qualificados, 80% passaram no teste, então 20% não passaram. Assim, podemos classificar os qualificados em aprovados ou reprovados, ou seja: 0,80 . 60 = 48 qualificados aprovados. 0,20 . 60 = 12 qualificados reprovados. Assim, podemos escrever: 48 aprovados 12 reprovados 100 inscrições 40 não qualificados 60 qualificados Se 20% dos não qualificados foram aprovados, então 80% dos qualificados foram aprovados, ou seja: 0,20 . 40 = 8 não qualificados aprovados. 0,80 . 40 = 32 não qualificados reprovados. Dessa forma, temos: 100 inscrições 14 48 aprovados 60 qualificados 12 reprovados 40 não qualificados 8 aprovados 32 reprovados Observe que a quantidade de aprovados é igual a 48 + 8 = 56. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  15. 15. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Destes, exatamente 48 deles eram qualificados. Assim, entre os aprovados o percentual de qualificados é dado por: 0,857 = 85,7% 56 7 Portanto, a probabilidade de ele ser qualificado não é maior que 86%. p= 48 = 6 3. D Vamos representar os quadros por G1, G2, G3, P1, P2 e P3, em que os quadros G simbolizam os quadros de Gotuzo e os quadros P simbolizam os de Portinari. Como são todos distintos, a quantidade de maneiras de ordenarmos é dada por: 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Entretanto, nem todas as 720 sequências apresentam os quadros de Gotuzo em ordem cronológica. Vamos supor que a correta ordem cronológica dos quadros do Gotuzo seja: G1 G2 G3 Nas 720 sequências possíveis, todas as ordenações dos quadros de Gotuzo foram consideradas. Observe quais são essas ordenações: G1 G2 G3 G1 G3 G2 G2 G1 G3 G2 G3 G1 G3 G1 G2 G3 G2 G1 São 6 ordenações possíveis. Das 6 ordenações apenas uma delas se apresenta em ordem cronológica. Assim, podemos considerar que a cada 6 ordenações realizadas, uma delas tem os quadros do Gotuzo em ordem cronológica. Dessa forma, a quantidade de maneiras deve ser igual a um sexto da quantidade total de sequências, ou seja: 6! 3! = 720 6 = 120 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 15
  16. 16. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Ou seja, exatamente 120 sequências possuem os quadros de Gotuzo em ordem cronológica. 4. B p(A) = 3/7 probabilidade de Ana estar em Paris. p(B) = 2/7 probabilidade de Beatriz estar em Paris. p(A e B) = 1/7 probabilidade de Ana e Beatriz estarem em Paris. Deseja-se calcular a probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está. Tal probabilidade pode ser representada por p(B/A) e é dada por: p(B/A) = p(A e B) p(A) Substituindo as informações do enunciado, temos: 1 p(B/A) = 7 = 1 · 7 = 1 3 7 3 3 7 Logo, sabendo-se que Ana está em Paris, a probabilidade de Beatriz também estar é igual a 1/3. 5. A Para que o número esteja compreendido entre 300 e 900, é necessário que comece com 3, 5 ou 7, e que tenha exatamente 3 algarismos. Logo, existem 3 possibilidades de escolha para o algarismo das centenas (3 ou 5 ou 7). Escolhido o algarismo das centenas e observando que os algarismos devem ser distintos, qualquer outro algarismo ímpar pode ser escolhido para as dezenas, com exceção do algarismo utilizado nas centenas. Logo, existem 4 escolhas possíveis para as dezenas. 16 Existem 5 algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9. Escolhidos os algarismos das centenas e das dezenas, restam 3 opções de escolha para o algarismo das unidades. Dessa forma, utilizando o princípio multiplicativo, a quantidade total de escolhas é dada por: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  17. 17. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 3 . 4 . 3 = 36. Portanto, entre 300 e 900, existem 36 números inteiros, cujos algarismos são todos ímpares e distintos. 6. C Conjunto das bolas verdes: {V1, V2, V3, V4, V5}. Conjunto das bolas brancas: {B1, B2, B3, B4, B5, B6}. Vamos calcular a quantidade de extrações considerando duas hipóteses: a 1.ª bola é verde e par, ou a 1.ª bola é verde e ímpar. 1.ª hipótese: a 1.ª bola é verde e par. 1.ª bola 2 opções de escolha (V2 ou V4). 2.ª bola 4 opções de escolha (V2 /V4 ou B2 ou B4 ou B6). 2.ª hipótese: a 1.ª bola é verde e ímpar 1.ª bola 2.ª bola 3 opções de escolha (V1 ou V3 ou V5). 5 opções de escolha (V2 ou V4 ou B2 ou B4 ou B6). Assim, é possível retirar uma primeira bola verde e par (2 opções) e, para cada bola verde e par, retirar uma segunda bola par (4 opções), ou retirar uma primeira bola verde e ímpar (3 opções) e, para cada bola verde e ímpar, retirar uma segunda bola par (5 opções): 2 . 4 + 3 . 5 = 8 + 15 = 23. 7. A Utilizando a fórmula de combinações simples, temos: Cp = n n! p!(n – p)! onde n é a quantidade de elementos distintos disponíveis e p é a quantidade de elementos distintos escolhidos entre os n elementos disponíveis. Vamos supor que o grupo seja formado por x moças. Como qualquer cumprimento é realizado por duas pessoas, não importando a ordem, Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 17
  18. 18. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 a quantidade de cumprimentos entre duas moças é dada por: C2 = x x! 2! . (x – 2)! = x . (x – 1) . (x – 2)! 2 . 1 . (x – 2)! = x . (x – 1) 2 A quantidade de cumprimentos entre dois homens é dada por: 15! 15 . 14 . 13! 15 . 14 = = = 105 C2 = 15 2! . (15 – 2)! 2 . 1 . 13! 2 Se houve um total de 150 cumprimentos, então a soma das quantidades de cumprimentos entre moças e entre homens é igual a 150, ou seja: x . (x – 1) + 105 = 150 2 x . (x – 1) = 150 – 105 2 x . (x – 1) = 45 2 x . (x – 1) = 90 O produto de dois números positivos consecutivos é igual a 90 apenas para: x = 10 e x – 1 = 9. Logo, 10 moças estavam presentes. 8. 1. E Para calcular a quantidade de anagramas, basta permutarmos as cinco letras, sem qualquer repetição. Logo, a quantidade de anagramas é dada por: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. Logo, a quantidade não é inferior a 100. 2. C 18 Fixando as letras V e L, as demais podem ser permutadas. Se a palavra tem 5 letras, então apenas 3 delas podem ser trocadas de lugar. Dessa forma, a quantidade de anagramas que começam por VL é dada por: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  19. 19. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6. 3. E A palavra VALOR é composta por duas vogais. A escolha da vogal do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). Escolhida a vogal do início, a vogal do final pode ser escolhida de uma única maneira. As três demais letras que ficarão entre as duas vogais extremas podem ser trocadas de lugar. Logo, a quantidade de anagramas que começam e terminam com vogal é dada por: 2 . 1 . P3 = 2 . 1 . 3 . 2. 1 = 12. Dessa forma, a quantidade não é superior a 15. 4. E A palavra VALOR é composta por duas vogais e 3 consoantes. A escolha da vogal do início do anagrama pode ser feita de 2 maneiras (A ou O). A escolha da consoante do final da palavra pode ser feita de 3 maneiras (V ou L ou R). As três demais letras que ficarão entre a vogal do início e a consoante do final podem ainda ser trocadas de lugar. Assim, a quantidade de anagramas que começam com vogal e terminam com consoante é dada por: 2 . 3 . P3 = 2 . 3 . 3 . 2. 1 = 36. Logo, a quantidade não é superior a 44. 9. A A palavra CHUMBO é composta por 6 letras distintas. Fixada a letra C, as demais (5 letras) podem ser permutadas. Logo, a quantidade de anagramas que começam com a letra C é dada por: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. 10. B Pedro pode escolher o seu lugar de 10 maneiras. Escolhido o lugar de Pedro, Paulo pode escolher o seu lugar de 9 maneiras. Logo, Pedro e Paulo podem escolher os seus lugares de: 10 . 9 = 90 maneiras. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 19
  20. 20. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Desse total, vamos encontrar a quantidade de maneiras em que eles estão sentados juntos, ou seja, sem qualquer cadeira vazia entre eles. Se numerássemos as cadeiras, constataríamos que, juntos, eles poderiam sentar nas seguintes 9 opções: (1 e 2); (2 e 3); (3 e 4); (4 e 5); (5 e 6); (6 e 7); (7 e 8); (8 e 9); (9 e 10). Entretanto, ainda é possível considerar que na cadeira 1 pode sentar Pedro e na cadeira 2 pode sentar Paulo, ou vice-versa. Logo, ambos podem sentar juntos de: 9 . 2 = 18 maneiras. Assim, se das 90 maneiras possíveis, subtrairmos as 18 em que ambos estão juntos, obteremos a resposta: 90 – 18 = 72. Portanto, o número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a 72. 11. A A escolha de 2 processos entre os 8 pode ser feito de: 8! 8 . 7 . 6! 8.7 = = = 28 C2 = 8 2! . (8 – 2)! 2 . 1 . 6! 2 As escolhas de dois números consecutivos são as seguintes: {1, 2}; {2, 3}; {3, 4}; {4, 5}; {5, 6}; {6, 7}, {7, 8}. Logo, existem 7 escolhas favoráveis a dois números consecutivos. A probabilidade de escolhermos dois números consecutivos é dada pelo quociente entre a quantidade total de escolhas e a quantidade de escolhas favoráveis. Assim, a probabilidade é dada por: p= 7 28 = 1 4 = 0,25 = 25% 12. A 20 O espaço amostral é formado pelos números inteiros maiores que 0 e menores que 17, ou seja, são 16 números: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  21. 21. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Observe que 1, 5, 9 e 13 são os únicos números do espaço amostral quer deixam resto 1 quando divididos por 4: 4.0+1=1 4.1+1=5 4.2+1=9 4 . 3 + 1 = 13 Entretanto, dos números que deixam resto 1 quando divididos por 4, apenas 5 e 13 são primos, ou seja, são apenas 2 números nessas condições. Logo, a probabilidade de o número escolhido ser primo e deixar resto 1 na divisão por 4 é dada por: p= 2 16 = 1 8 13. Das 52 cartas do baralho, exatamente 4 são reis, 4 são damas e 4 são valetes. Assim, 12 das 52 cartas são figuras. 1. C A probabilidade da carta ser uma figura qualquer é dada por: p= 12 52 = 3 13 2. E Das 52 cartas do baralho, apenas uma delas é um ás de ouro. Logo, a probabilidade de obtermos um ás de ouro é igual a 1/52. Por outro lado, as outras 51 cartas são diferentes do ás de ouro. Ou seja, a probabilidade de a carta não ser o ás de ouro é dada por: p= 51 52 3. C Existem 12 figuras e 13 cartas de paus. Das 52 cartas do baralho, exatamente 3 delas são figuras de paus. São elas: rei de paus, dama de paus e valete de paus. Logo, para calcular quantas cartas são Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 21
  22. 22. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 figuras ou de paus devemos adicionar a quantidade de figuras (12) com a quantidade de cartas de paus (13) e, do resultado obtido, subtrair a quantidade de cartas que são simultaneamente figuras e de paus (3). Assim, a quantidade de cartas que são figuras ou de paus é dada por: 12 + 13 – 3 = 22. Logo, a probabilidade da carta ser uma figura ou de paus é dada por: p= 22 52 = 11 26 14. B Se uma das faces é cara, certamente a moeda de duas coroas não foi escolhida. Assim, a moeda escolhida pode ser a moeda comum, com uma cara e uma coroa, ou a moeda com duas caras. Como uma face cara está visível, das quatro faces (duas da moeda comum e duas da moeda com duas caras), apenas 3 faces ainda são possíveis. Entre as 3 faces possíveis, uma é coroa (moeda comum) e duas são caras (moeda com duas caras). Logo, das 3 faces possíveis, exatamente uma delas é coroa. Logo, a probabilidade é dada por: p= 1 3 15. B A probabilidade de o número 6 aparecer no 1.º lançamento é igual a 1/6. A probabilidade de o número 6 não aparecer no 1.º lançamento é igual a 5/6. O número 6 deve aparecer, no máximo, até o 3.º lançamento. Assim, o número 6 pode aparecer no 1.º lançamento ou, caso não apareça no 1.º, pode aparecer no 2.º ou, caso não apareça no 2.º, pode aparecer no 3.º. Dessa forma, temos: p= 1 6 + p= 22 5 . 1 5 + . 5 6 6 6 6 1 5 25 6 + . 1 6 . 36 216 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  23. 23. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 p= 36 + 30 + 25 p= 216 91 216 16. A Para calcularmos a quantidade de maneiras em que Caio e Beto ficam juntos, podemos considerar a dupla como se fosse um único elemento. Assim, poderíamos permutar apenas dois elementos (Caio e Beto como sendo um elemento e o outro menino como sendo o outro elemento). Além disso, o Caio e Beto podem ficar juntos de duas diferentes maneiras: Caio e Beto ou Beto e Caio. Logo, a quantidade de maneiras de Caio e Beto ficarem juntos é dada por: P2 . 2 = 2! . 2 = 2 . 1 . 2 = 4. O mesmo ocorrerá com as meninas. Vamos considerar Ana e Beatriz como sendo um único elemento a ser permutado. Assim, seriam cinco meninas (Ana e beatriz como sendo um único elemento e outras cinco meninas). Da mesma forma, Ana e Beatriz também podem ser trocadas entre si de lugar. Portanto, a quantidade de maneiras de Ana e Beatriz ficarem juntas é dada por: P5 . 2 = 5! . 2 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 2 = 240. Além disso, é possível trocar de lugar os grupos, ou seja, colocar o grupo dos meninos à esquerda e o das meninas à direita ou vice-versa. Nessas condições, a quantidade total é dada por: 4 . 240 . 2 = 1 920. 17. C A cada dois idiomas, há exatamente um professor. Logo, a quantidade de professores é igual ao número de escolhas que se pode fazer de dois idiomas entre os cinco disponíveis. Dessa forma, a quantidade de professores é dada por: 5! 5 . 4 . 3! 5 . 4 = = = 10 C2 = 5 2! . (5 – 2)! 2 . 1 . 3! 2 18. 1. C Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 23
  24. 24. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então a 1.ª letra pode ser escolhida de 26 maneiras. Escolhida a 1.ª letra, a 2.ª letra pode ser escolhida de 25 maneiras. Escolhidas a 1.ª e a 2.ª letras, a 3.ª pode ser escolhida de 24 maneiras. Escolhidas a 1.ª, a 2.ª e a 3.ª letras, a 4.ª pode ser escolhida de 23 maneiras. Assim, a quantidade de protocolos é dada por: 26 . 25 . 24 . 23 = 358 800. Logo, podem ser gerados menos de 400 000 protocolos distintos. 2. E Se a empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, então apenas as 21 consoantes poderão ser utilizadas. Existem 21 maneiras de escolher o código de um único caractere. Para calcular a quantidade de códigos com 2 caracteres, é preciso escolher as duas letras que o compõe. Existem 21 escolhas para o 1.º caractere e, escolhido o 1.º, existem também 21 escolhas para o 2.º caractere. Assim, existem 21 . 21 = 441 códigos distintos com exatamente 2 caracteres. Raciocinando da mesma maneira, podemos calcular a quantidade de códigos com 3 caracteres. A escolha do 1.º caractere pode ser feita de 21 maneiras, a escolha do 2.º caractere também de 21 maneiras, bem como a escolha do 3.º que pode ser escolhido de 21 maneiras. Dessa forma, existem 21 . 21 . 21 = 9 261 códigos distintos com 3 caracteres. Portanto, a quantidade total com um, dois ou três caracteres é dada por: 21 + 21 . 21 + 21 . 21 . 21 = 21 + 441 + 9 261 = 9 723. Logo, não é possível obter mais de 11 000 códigos distintos. 3. C O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é dado por: 26 . 25 . 24 = 15 600. Assim, o número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15 000. 19. D 24 Mãe: 4 pretas + 5 brancas. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  25. 25. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Pai: 4 pretas + 2 brancas. Namorado: 3 pretas + 2 brancas. Total de blusas: 4 + 5 + 4 + 2 + 3 + 2 = 20. Das 20 blusas que ganhou, 4 blusas pretas são presentes de sua mãe e 2 blusas brancas são presentes de seu pai, ou seja, 4 + 2 = 6 blusas. Logo, a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual a: p= 20. A 6 20 = 3 10 A senha começa com o algarismo 8, logo, existe uma única opção de escolha para o 1.º algarismo. Se os algarismos são distintos e 8 é um deles, existem 4 opções de escolha para que a senha seja representada por um número par, ou seja, o último algarismo pode ser 0, 2, 4 ou 6. Dos algarismos que existem no sistema decimal, dois deles já foram considerados (1.º e 4.º algarismos). Escolhidos o 1.º e o 4.º algarismos, o 2.º algarismo pode ser escolhido de 8 maneiras possíveis, pois é distinto dos dois primeiros já considerados. Escolhidos o 1.º, o 2.º e o 4.º algarismos, restam 7 opções de escolha para o 3.º. Logo, a quantidade de senhas que poderiam ser obtidas a partir das lembranças de Teófilo é dada por: 1 . 8 . 7 . 4 = 224. 21. C O grupo deve ser formado por 6 bailarinas. Se apareceram 12 candidatas, com idades de 11 a 22 anos, todas com idades distintas, certamente as 12 idades das bailarinas correspondem aos números inteiros de 11 a 22, ou seja, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 e 22. Logo, existem 7 bailarinas com menos de 18 anos. Como exatamente 3 bailarinas com menos de 18 anos devem ser escolhidas, a quantidade de escolhas é dada por: 7! 7 . 6 . 5 . 4! 7.6.5 = = = 7 . 5 = 35 C3 = 7 3! . (7 – 3)! 3 . 2 . 1 . 4! 6 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 25
  26. 26. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 Das 12 bailarinas candidatas, exatamente uma delas tem 18 anos. Como uma delas das escolhidas deve ter exatamente 18 anos, existe uma única possibilidade de escolha. Das 6 bailarinas escolhidas, 3 devem ter menos de 18 anos, uma deve ter exatamente 18 anos e, portanto, apenas 2 devem ter idade superior a 18 anos. Mas, das 12 bailarinas candidatas, 4 delas tem idade superior a 18 anos. Assim, devemos escolher 2 bailarinas que possuem mais de 18 anos entre as 4 bailarinas candidatas. Isso pode ser feito da seguinte maneira: C2 = 4 4! 2! . (4 – 2)! 4 . 3 . 2! = 2 . 1 . 2! = 4.3 2 =6 Assim, se devem ser escolhidas 3 bailarinas com menos de 18 anos, exatamente 1 com 18 anos e 2 com mais de 18 anos, então a quantidade total de maneiras com que essas escolhas podem ser feitas é dada por: 35 . 1 . 6 = 210. Portanto, o número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir desse conjunto de candidatas é igual a 210. 22. 1. E Escolhidos três números distintos de 1 a 10, a sequência formada e crescente destes três números sempre será única. Assim, a quantidade de sequências crescentes será obtida pela quantidade de escolhas de três números quaisquer e distintos de 1 a 10, ou seja: 10! 3! . (10 – 3)! 10! (10 – 3)! = 10 . 9 . 8 . 7! 7! = 10 . 9 . 8 = 720 Assim, a probabilidade é dada por: p= 26 3 . 2 . 1 . 7! A quantidade total de escolhas ordenadas de três números distintos é dada por: = 10 . 9 . 8 . 7! = 120 720 = 1 6 ≅ 0,1667 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  27. 27. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 O valor 0,1667 não é inferior a 1/103, ou 0,001. 2. C Se o primeiro cartão for o número 7 e o segundo for o número 10, então restam 8 cartões disponíveis, uma vez que os dois primeiros cartões não são devolvidos. Existem exatamente 4 números menores que 5 (1, 2, 3 ou 4). Logo, a probabilidade é dada por: p= 4 8 = 1 2 23. C Para que Mário e José fiquem juntos, podemos considerá-los como se fossem um único elemento. Assim, nesse raciocínio, existiriam P9 maneiras de formarmos a fila. Entretanto, Mário pode vir à frente de José, ou José pode vir à frente de Mário, ou seja, ainda é necessário efetuar a troca de lugares entre os dois. Assim, a quantidade de modos que essa fila de amigos pode ser formada, com Mário e José juntos é dada por: P9 . P2 = 9! . 2! = 2! . 9! 24. D Os três bebês podem ser do mesmo sexo sendo do sexo masculino ou do sexo feminino. A probabilidade de o 1.º bebê ser do sexo masculino é igual a 1/2. Como os nascimentos são independentes, a probabilidade de o 2.º bebê também ser do sexo masculino é igual a 1/2. Da mesma forma, a probabilidade de o 3.º filho ser do sexo masculino é igual a 1/2. Logo, a probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino é igual a: 1 1 1 1 . . = p= 2 2 2 8 A probabilidade de os 3 bebês serem do sexo feminino é igual à probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino. Assim, a probabilidade de os 3 bebês serem do mesmo sexo pode ser obtida multiplicando por 2 a probabilidade de os 3 bebês serem do sexo masculino. Portanto, a resposta é dada por: p= 1 8 .2= 2 8 = 1 4 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br 27
  28. 28. Questões de raciocínio lógico – Aula 3 28 Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br

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