Integral definido

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Integral definido

  1. 1. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1 Integral definido 1) Definição do integral definido. ∑∫ = →∆ ∞→ ∆= n i ii ix n b a xufdxxf 1 0 )()( lim , 1−−=∆ iii xxx , ( )iii xxu ,1−∈ . 2) Funções integráveis. ► A função )(xf continua em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . ► A função elementar )(xf é integrável em [ ] fDba ⊂, . ► A função )(xf com um número finito de pontos de descontinuidade de a 1 espécie em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . ► A função )(xf monótona em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . 3) Propriedades do integral definido. ► 0)( =∫ a a dxxf ; ► ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf )()( ; ► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e R∈βα, , então a função )()( xgxf ⋅+⋅ βα é integrável em [ ]ba, e
  2. 2. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 2 [ ] ∫∫∫ +=⋅+⋅ b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função )(xf é integrável em [ ]ba, e ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( , ba < ; ► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, , então a função )()( xgxf ⋅ é integrável em [ ]ba, ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então ela é integrável em [ ] [ ]badc ,, ⊂ ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ca, e [ ]bc, , então ela é integrável em [ ]ba, e ∫∫∫ =+ b a b c c a dxxfdxxfdxxf )()()( ; ► Se )(xf é integrável em [ ]ba, e 0)( ≥xf , então 0)( ≥∫ b a dxxf , ba < ; ► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥ , então ∫∫ ≥ b a b a dxxgdxxf )()( , ba < ; 4) Teorema do valor médio. ► Sejam: a) )(xf integrável e continua em [ ]ba, , b) )(xg integrável em [ ]ba, , c) 0)( ≥xg (ou 0)( ≤xg ) [ ]bax ,∈∀ , então [ ]ba,∈∃λ tal que ∫∫ =⋅ b a b a dxxgfdxxgxf )()()()( λ . Corolário: Se 1)( =xg , então ))(()( abfdxxf b a −=∫ λ .
  3. 3. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 3 O valor ∫− = b a dxxf ab f )( 1 )(λ chama-se valor médio da função )(xf em [ ]ba, . 5) Teorema fundamental do calculo integral. Seja )(xf integrável em [ ]ba, . Porque no integral ∫ b a dxxf )( a variável de integração é muda para qualquer [ ]bax ,∈ consideremos ∫= x a dttfxF )()( . ► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função ∫= x a dttfxF )()( é continua em [ ]ba, . ► Se )(xf é continua em [ ]ba, , então a função ∫= x a dttfxF )()( é derivável em [ ]ba, e )()()( xfdttfxF x a = ′         =′ ∫ . Daqui concluímos que qualquer função continua em [ ]ba, admite primitiva em [ ]ba, e uma das primitivas é a função ∫= x a dttfxF )()( . 6) Regra de Barrow. ► Se )(xf é continua em [ ]ba, e )(xF é uma primitiva de )(xf então: )()()( aFbFdxxf b a −=∫ . ► Com ∫= )( )( )()( xb xa dttfxF e )(tf continua em [ ])(),( xbxa tem-se: [ ] .)())(()())(( )())(()())(())(())(()()( )( )( xaxafxbxbf xaxaFxbxbFxaFxbFdttfxF xb xa ′⋅−′⋅= =′⋅′−′⋅′= ′ −= ′         =′ ∫
  4. 4. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 4 7) Integração por partes. ► Se )(xuu = e )(xvv = têm derivadas continuas no segmento [ ]ba, , então ( ) ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ b a b a b a dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( , isto é, ( ) ∫∫ −⋅= b a b a b a xduxvxvxuxdvxu )()()()()()( . 8) Integração por substituição. ► Se a função )(xf é continua em [ ]ba, e a função [ ] [ ]batg ,,:)( →βα tem derivada continua em [ ]βα, e bgag == )(,)( βα então )())(()())(()( tdgtgfdttgtgfdxxf b a ∫∫∫ =′⋅= β α β α . 9) Aplicações do integral definido. a) A área duma região plana. ► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e { })()(:),( xfyxgbxaOxyyxA ≤≤∧≤≤∈= , então [ ]∫ −= b a dxxgxfS )()( .
  5. 5. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 5 b) Comprimento duma linha no plano. ► Se AB é um arco da linha plana dada por )(xfy = com [ ]bax ,∈ e )(xf continua em [ ]ba, , então o comprimento l do arco é: [ ]∫ ′+= b a dxxfl 2 )(1 . ► Se AB é um arco da linha plana dada por )(ygx = com [ ]dcy ,∈ e )(yg continua em [ ]dc, , então o comprimento l do arco é: [ ]∫ ′+= d c dyygl 2 )(1 . c) Volume do sólido de revolução em torno do eixo xO . ► Com 0)()( ≥≥ xgxf e [ ]bax ,∈ tem-se: [ ]∫ −⋅= b a dxxgxfV )()( 22 π .
  6. 6. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 6 d) Volume do sólido de revolução em torno do eixo yO . ► Com 0)()( ≥≥ yy ψϕ e [ ]dcy ,∈ tem-se: [ ]∫ −⋅= d c dyyyV )()( 22 ψϕπ .

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