04 pa e pg

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04 pa e pg

  1. 1. MATEMÁTICA P.A. E P.G. 1. SEQÜÊNCIA 2.2 Classificação Dada a progressão aritmética (PA) 1.1 Definição (a1, a2 ,L, an ,L) de razão r, essa seqüência pode ser Define-se como seqüência a toda função f de classificada em: N em R que associa a um número n ∈ D(f ) um núme- * Crescente, quando sua razão r for positiva, ro f (n) ∈ CD(f ) na forma f (n) = an . Em símbolos, temos: ou seja, r > 0 . f : N* → R Decrescente, quando sua razão r for negati- n → an va, ou seja, r < 0 . Constante, quando sua razão r for nula, ou a. Lei de formação seja, r = 0 . É toda sentença matemática que expressa o va- 2.3 Termo Geral lor de an em relação a n. Na progressão aritmética (a1, a2 ,L, an ,L) po- 1.3 Representação usual demos perceber que, ao escrevermos os termos da Seqüência finita: (a1, a2 ,L, an ) . seqüência, a razão é somada (n − 1) vezes até a che- Seqüência infinita: (a1, a2 ,L, an ,L) gada em an, usando tal fato podemos estabelecer que: Exemplos: an = a1 + (n − 1).R , em que R representa a razão E.1) Expresse os 4 primeiros termos da se- da Progressão Aritmética. qüência an = n2 − 3n . 2.4 Propriedades Resolução: Cada termo, a partir do segundo, representa n = 1 ⇒ a1 = 12 − 3 ⋅ 1 = −2 a média aritmética entre o seu termo ante- cessor e o seu termo sucessor, ou seja, n = 2 ⇒ a2 = 22 − 3 ⋅ 2 = −2 an−1 + an+1 an = , ∀n ∈ N − {0,1 . } n = 3 ⇒ a3 = 32 − 3 ⋅ 3 = 0 2 n = 4 ⇒ a4 = 42 − 3 ⋅ 4 = 4 Em uma progressão aritmética, se desta- Seqüência (− 2,−2,0,4,L) carmos os termos ak , am , an e ap , tais que E.2) Expresse os 5 primeiros termos da se- k + m = n + p , então os elementos gozam da a1 = 2 propriedade abaixo: qüência (an ) =  an+1 = an ⋅ 2, ∀n ∈ N * ak + am = an + ap (se k + m = n + p ) . Resolução 2.5 Representações especiais n = 1 ⇒ a2 = a1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4 Progressão aritmética de 3 termos. n = 2 ⇒ a3 = a 2 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8 (x − R, x, x + R ) , PA de razão R. n = 3 ⇒ a 4 = a3 ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16 Progressão aritmética de 4 termos. n = 4 ⇒ a5 = a 4 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 32 (x − 3R, x − R, x + R, x + 3R ) , PA de razão 2R. Seqüência: ( 2, 4,8,16,32,L) Progressão aritmética de 6 termos. (x − 5R, x − 3r, x − R, x + R, x + 3R, x + 5R ) , PA de ra- 2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA zão 2R. 2.6 Soma dos n primeiros termos da PA 2.1 Definição Como foi visto nas propriedades, a soma dos Define-se como progressão aritmética a toda pares de termos a1 e an , a2 e an−1, a3 e an− 2 ,L é constan- seqüência (an ) , tal que: te. Logo, podemos estabelecer a relação abaixo. a1 = a (an ) = an = an−1 + R , ∀n ∈ N − {0,1}  { Sn = a 1 + a 2 + a3 + … + a n-2+ an-1+ a n  Razão: +  R = an − an −1 Sn = an + a n-1+ an-2+ … + a 3 + a 2 + a1 Podemos perceber, na forma acima, que a pro- nas colunas as somas são iguais gressão aritmética (PA) representa o conjunto de se- qüência em que um termo é a soma do termo anterior 2Sn = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + L + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) por uma constante, denominada razão (a partir do se- 144444444 2444444444 4 3 São n parcelas e devemos destacar que a escolha da parcela gundo termo). para representação poderia ser outra, pois sao todas iguais % Editora Exato 18
  2. 2. ( a1 + an ) .n = ( a2 + an −1 ) .n = ...  x x  Sn =  , , xq, xq3  , q3 q  PG de razão q2. 2 2   3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Progressão geométrica de 6 termos.  x x x  Define-se como progressão geométrica (PG) a  , , , xq, xq3 , xq5  ,  q5 q3 q  PG de razão q2. toda seqüência (an ) , tal que:   a1 = a ∈ R 8. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DA  ( an ) = an = an−1 ⋅ q , ∀n ∈ N − {0,1} { PG  Razão: a q = n , an−1≠0  an−1 Indicaremos por Sn a soma dos n primeiros Podemos perceber, na forma acima, que a pro- termos da progressão geométrica (a1, a2 ,L, an ) , de ra- gressão geométrica (PG) representa o conjunto de se- zão q. qüências em que um termo é o produto do termo Sn = a1 + a2 + a3 + L + an−1 + an (I) ( xq ) ⇒ anterior por uma constante, denominada razão (a par- q ⋅ Sn = a2 + a3 + a4 + L + an + an⋅q (II) tir do segundo termo). Equação I – II, temos: 4. CLASSIFICAÇÃO Dada a progressão geométrica (PG) Sn − qSn = a1 − an⋅q , escrevendo an em relação ao (a1, a 2 , ..., an ) de razão q, essa seqüência pode ser termo a1 e a razão. classificada em: Sn(1− q) = a1(1− qn ) Crescente, quando a1>0 e q>1 ou a1<0 e a1(1− qn ) Se q ≠ 1 então Sn = , . 0<q<1. 1− q Decrescente, quando a1>0 e 0<q<1 ou a1<0 Para q =1, encontramos Sn = n ⋅ a1 , pois a PG é e q>1. constante e todos os elementos são iguais a a1. Constante, quando a1 = 0 e q ∈ R ou a1 ≠ 0 e q = 1 9. LIMITE DA SOMA Alternante, quando a1 ≠ 0 e q < 0 . Se uma PG infinita satisfaz a condição q < 1, 5. TERMO GERAL então a soma de seus elementos tenderá para um va- a1 Na progressão geométrica (a1, a 2 , ..., an ) pode- lor limite dado por: S = . 1− q mos perceber que, ao escrevermos os termos da se- qüência, a razão é multiplicada (n − 1) vezes até a 10. PRODUTO DOS N PRIMEIROS TER- chegada em an, usando tal fato podemos estabelecer MOS DE UMA PG que: O produto dos n primeiros termos da a n = a1.q n −1 , em que q representa a razão da Pro- PG (a1, a 2 , ..., an ) é dado por: gressão Geométrica. n(n −1) 6. PROPRIEDADES (Pn )2 = (a1 ⋅ an )n ou Pn = a1 ⋅ q n 2 Cada termo, a partir do segundo, representa EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a média geométrica entre seu termo ante- cessor e seu termo sucessor, ou seja, 1 Na progressão aritmética (1,4,7,10,...) escreva o an = an−1 ⋅ an+1, ∀n ∈ N − {0,1 . 2 } 10º e o 20º termo. Em uma progressão geométrica, se desta- Resolução: carmos os termos ak , am , an e ap , tais que I) a10 = a1 + (10 − 1) ⋅ R a10 = 1+ 9 ⋅ 3 k + m = n + p , então os elementos gozam da a10 = 28 propriedade abaixo: ak ⋅ am = an ⋅ ap (se k + m = n + p) . a20 = a1 + (20 − 1) ⋅ R 7. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS II) a20 = 1+ 19 ⋅ 3 a20 = 58 Progressão geométrica de 3 termos. x   , x, xq  , q  PG de razão q.   Progressão geométrica de 4 termos. Editora Exato 19
  3. 3. 2 Na PA (2,5, x ) , determine x. a n = a1 + (b − 1) .r Resolução a 21 = 5 + ( 21− 1) .r r = 11− 8 = 3 Usando a propriedade da média, temos: a 21 = 5 + 20.3 = 65 2+ x 5= ⇒ 2 + x = 10 ⇒ x = 8 . 2   EXERCÍCIOS Na seqüência finita  1, 7 ,13,19, 25, 31, 37  po-  { { { { { { {  a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7  1 (PUC-SP) O número de múltiplos de 7 entre demos perceber que: a1 + a5 = a3 + a3 = a2 + a4 = 26. ob- 1.000 e 10.000 é: serve que, para a soma de índices iguais, podemos a) 1280 afirmar que a soma dos elementos correspondentes b) 1284 são iguais. c) 1282 d) 1286 e) 1288 3 Na progressão geométrica (1,2,4,8,16,...) escreva o 10º e o 20º termo. Resolução: 2 (MACK-SP) Calcular a razão de uma P.A> de I) a = a ⋅ q 10 1 10 −1 12 termos, cujos extremos são–28 e 60. a10 = 1⋅ 210 −1 a) 5 b) 6 a10 = 29 c) 7 d) 8 a20 = a1 ⋅ q20 −1 e) 9 II) a20 = 1⋅ 219 a20 = 219 3 (MACK-SP) Numa progressão aritmética de 100 termos, a3 = 10 e a98 = 90 , a soma de todos os 4 Na PG (2,4,x), determine x. termos é: Resolução: a) 10.000 Usando a propriedade da média, temos: b) 9.000 c) 4.500 42 = 2 ⋅ x ⇒ x = 8 . d) 5.000 E.2) Na seqüência finita e) 7.500    2, 6 ,18, 54,162, 486,1458  podemos perceber que:  { { { { { { 13 2  a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7  4 (UFPR) A soma de todos os números inteiros de a1⋅a5 = a3 ⋅ a3 = a2 ⋅ a4 = 324 . Observe que, para a soma 1 a 100, divisíveis por 3, é igual a: de índices iguais, podemos afirmar que o produto dos a) 1382 elementos correspondentes são iguais. b) 1200 c) 1583 d) 1683 5 Determinar o sétimo termo da seqüência definida e) 1700 2n + 7 por an = 7 Resolução: 5 (BANDEIRANTES-SP) O valor do 22.° termo an = 2n + 7 - an termo geral. de uma P.G. que tem a1 = q = 2 é: 7 a) 512 2 Definir o 7º termo (a 7 = ?) b) 1024 a7 = 2.7 + 7 14 + 7 21 = = =3 c) 1024 2 7 7 7 d) 2048 e) 2048 2 6 (ITAJUBÁ) Dada a progressão (5, 8, 11, ...), de- termine 0 21.° termo: Resolução: a21=? Fórmula do termo geral: Editora Exato 20
  4. 4. 6 (UGF-RJ) Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e 12 (UFSC) Sabendo que a seqüência o quinto termo é 324. A razão dessa P. G. é: (1− 3x, x − 2, 2x + 1) é uma P. A. e que a seqüência a) 3 (4y, 2y − 1 y + 1) é uma P.G., determine a soma dos , b) 4 números associados à(s) proposição(ões) verda- c) 5 deiras(s): d) 2 01) A P.A. é crescente. e) ½ 1 02) O valor de y é . 8 7 Qual o primeiro termo da P. G. crescente em que 04) A soma dos termos da P. A. e zero. a3 = 24 e a7 = 384? 3 08) − é a razão da P. G. 2 a) 2 16) O valor de x é 2. b) 4 c) 5 d) 6 GABARITO e) 7 1 D 8 (FGV-SP) A média aritmética dos seis meios ge- 2 D ométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é: 3 D a) 48 4 D b) 84 c) 128 5 D d) 64 6 A e) 96 7 D 8 B 9 (UFRJ) Numa P. G., a1 = 3 e a3 = 12 , a soma dos oito primeiros termos positivos é: 9 A a) 765 10 A b) 500 c) 702 11 B d) 740 12 31 e) Nenhuma. 10 (CESCEA-SP) A soma dos termos de uma P. G. infinita 3. Sabendo-se que o primeiro termo é i- gual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é: 2 a) 27 1 b) 4 2 c) 3 1 d) 27 3 e) 8 11 (FEI-SP) Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, ...), se sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos. b) 8 termos. c) 7 termos. d) 6 termos. e) 5 termos. Editora Exato 21

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