Gestão de projetos - Exercício 7

Gestão de Projectos
Exercício 7 - Enunciado

Fernando Durão

Gestão e Teoria da Decisão

7 - Considere um empreendimento definido pelas actividades A a E para as quais as precedências directas, durações
médias (em dias), e variâncias (em dias2) são indicadas no quadro seguinte:
Actividade
A
B
C
D
E

Precedência
A
B
C

Duração média
10
20
16
30
25

Variância
4
23
4
36
8

a) Trace a rede de actividades, determine o caminho crítico e respectiva duração média
b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar:
b1) menos de 50 dias
b2) mais de 52 dias
b3) entre 50 e 52 dias
c) Calcule de forma exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses
simplificativas admitidas pelo PERT.
d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ?
1

Exercício 7 - Resolução

Fernando Durão

i

2

C-16

Rótulo– µdi , j
(FTi,j)

j

4

E-25



1

3

D-30
(1)

5

Rede de actividades

2


Fernando Durão


10

C-16
(0)

2
0

26

10

TMTi

Rótulo– µd i , j
(FTi,j)

i

26

TMCj

TMTj

j

4
Caminho crítico (C.C.): 1, A, 2, C, 4, E, 5
(A – C – E)

0

E-25
(0)


TMCi

1

Duração total, DT , do projecto (variável aleatória)

D-30
(1)

3
20

21

DT = d A + dC + d E

5
51

1) Média da distribuição da duração total do projecto, µ DT :
51

µ D = µ d + µ d + µd ;
T

A

C

µ D = 10 + 16 + 25 = 51 dias

E

T

2
2) Variância da distribuição da duração total do projecto, σ DT :
2
2
σ D = σ 2 d + σ 2 d + σ 2 d ; σ D = 4 + 4 + 8 = 16 dias 2
T

A

C

E

T

3) Distribuição da duração total do projecto (T .L.C.):
a

DT ∼ N

(µ

DT

)

,σ DT ;

a

DT ∼ N ( 51, 4 )

3


Fernando Durão

b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar:
b1) menos de 50 dias


P ( DT < x ) = P ( Z < z ) , com x = 50 dias, Z =

DT − µ DT

e z=

σD

T

x − µ DT

σD

=

T

P(Z < z) = Φ(z)

50 − 51
= −0.25
4

0 .4 0 1 3

P ( Z < −0.25 ) = Φ ( −0.25 ) = 1 − Φ ( 0.25 ) = 1 − 0.5987 =
b2) mais de 52 dias

P ( DT > x ) = P ( Z > z ) , com x = 52 dias, Z =

DT − µ DT

σD

e z=

x − µ DT

T

P(Z > z) = 1− P (Z ≤ z) = 1− Φ ( z)
P ( Z > 0.25 ) = 1 − P ( Z ≤ 0.25 ) = 1 − Φ ( 0.25 ) = 1 − 0.5987 =

σD

T

=

52 − 51
= 0.25
4

0 .4 0 1 3

b3) entre 50 e 52 dias

P ( x1 < DT < x2 ) = P ( z1 < Z < z2 ) , com x1 = 50 dias, x2 = 52 dias
Z=

DT − µ DT

σD

T

, z1 =

x1 − µ DT

σD

T

=

x2 − µ DT 52 − 51
50 − 51
= −0.25, z2 =
=
= 0.25
σ DT
4
4

P ( z1 < Z < z2 ) = P ( Z < z2 ) − P ( Z < z1 ) = Φ ( z2 ) − Φ ( z1 )
P ( −0.25 < Z < 0.25 ) = Φ ( 0.25 ) − (1 − Φ ( 0.25 ) ) = 2 × Φ ( 0.25 ) − 1
0 .1 9 7 4
= 2 × 0.5987 − 1 =

4


Fernando Durão

TMCi
10

26

10

2
0

C-16
(0)

3

D-30
(1)

26

TMTi

i

TMCj

(FTi,j)

TMTj

j

4

0

E-25
(0)


c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses

1

20

21

5
51

51

Caminhos (sequências de arcos) de nó 1 para nó 5
I) A, C, E (Caminho crítico)
II) B, D
(Caminho subcrítico)
Caminhos sem actividades comuns

5


Fernando Durão



a) Médias das distribuições das durações dos caminhos I e II , µ DI e µ DII :

µ D = µd + µ d + µ d = 10 + 16 + 25 = 51 dias
I

A

C

µ D = µd + µd
II

B

E

= 20 + 30

D

= 50 dias

2
2
b) Variâncias das distribuições das durações dos caminhos I e II , σ DI e σ DII :
2
2
σ D = σ d2 + σ d2 + σ d = 4 + 4 + 8 = 16 dias 2
I

A

C

E

2
σ D = σ d2 + σ d2
II

B

= 23 + 36 = 59 dias 2

D

(σ
(σ

)

DI

= 16 = 4 dias

DII

= 59 ≅ 7.68 dias

)

c) Distribuições das durações dos caminhos I e II :
a

DI ∼ N

(µ

DI

)

a

a

, σ DI , DI ∼ N ( 51, 4 ) ; DII ∼ N

Note bem : DI ± DII ∼ N

(µ

DI

± µ DII ,

(σ

2
DI

(µ

DII

2
+ σ DII

)

a

, σ DII , DII ∼ N

( 50, 7.68)

))

d ) DI e DII são variáveis aleatórias independentes porque são somas distintas de variáveis aleatórias
independentes (por hipótese ou aproximação), pelo que é válida a fórmula:
P ( DI ∈ AI , DII ∈ AII ) = P ( DI ∈ AI ) P ( DII ∈ AII ) , AI e AII regiões / intervalos das variáveis DI e DII
Note bem: Seja DT ,a duração total do projecto, então
1) DT ≤ x sse DI ≤ x e DII ≤ x;
2) DT ≥ x sse DI ≥ x ou DII ≥ x (ou inclusivo)

6


Fernando Durão


c1) menos de 50 dias

P ( DT < x ) = P ( DI < x, DII < x ) = P ( DI < x ) P ( DII < x ) = P ( Z I < z I ) P ( Z II < z II ) ,
com x = 50 dias, Z I =

DI − µ DI

σD

I

, Z II =

DII − µ DII

σD

II

, zI =

x − µ DI

σD

I

=

x − µ DII 50 − 50
50 − 51
= −0.25, zII =
=
= 0.0
4
7.68
σ DII

P(Z < z) = Φ(z)
P ( Z I < zI ) P ( Z II < z II ) = Φ ( z I ) Φ ( zII ) = Φ ( −0.25 ) Φ ( 0.00 )
= (1 − Φ ( 0.25 ) ) Φ ( 0.00 ) = (1 − 0.5987 ) × 0.5 ≅

0 .2 0 0 7

Note bem : Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b1), pode - se concluir que :
A probabilidade da duração do projecto ser inferior à duração do caminho crítico do método PERT,
determinado pelas durações médias das actividades, é sobreestimada relativamente à probabilidade
mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos com probabilidade significativa de se
tornarem críticos.

7


Fernando Durão



c2) mais de 52 dias

P ( DT > x ) = P ( DI > x ∨ DII > x ) = P ( DI > x ) + P ( DII > x ) − P ( DI > x, DII > x )
= P ( DI > x ) + P ( DII > x ) − P ( DI > x ) P ( DII > x )
= P ( Z I > z I ) + P ( Z II > z II ) − P ( Z I > zI ) P ( Z II > z II ) ,
com x = 52 dias, Z I =

DI − µ DI

σD

I

, Z II =

DII − µ DII

σD

, zI =

II

x − µ DI

σD

I

=

x − µ DII 52 − 50
52 − 51
= 0.25, z II =
=
≅ 0.26
4
σ DII
7.68

P ( Z I > z I ) + P ( Z II > z II ) − P ( Z I > z I ) P ( Z II > z II )
= (1 − P ( Z I ≤ z I ) ) + (1 − P ( Z II ≤ zII ) ) − (1 − P ( Z I ≤ z I ) ) (1 − P ( Z II ≤ z II ) )
= (1 − Φ ( z I ) ) + (1 − Φ ( z II ) ) − (1 − Φ ( z I ) ) (1 − Φ ( z II ) ) = (1 − Φ ( 0.25 ) ) + (1 − Φ ( 0.26 ) ) − (1 − Φ ( 0.25 ) ) (1 − Φ ( 0.26 ) )
0 .6 3 9 2
= (1 − 0.5987 ) + (1 − 0.6026 ) − (1 − 0.5987 )(1 − 0.6026 ) =
Note bem : Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b2), pode - se concluir que :
A probabilidade da duração do projecto ser superior à duração do caminho crítico do método PERT,
determinado pelas durações médias das actividades, é subestimada relativamente à probabilidade
mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos com probabilidade significativa de se
tornarem críticos.

8


Fernando Durão


c3) entre 50 e 52 dias

P ( x1 < DT < x2 ) = P ( DT < x2 ) − P ( DT < x1 ) = P ( DT < 52 ) − P ( DT < 50 )
P ( DT < 52 ) = 1 − P ( DT > 52 ) , com P ( DT > 52 ) = 0.6392 ( sub − alínea c2 )
P ( DT < 52 ) = 1 − P ( DT > 52 ) = 1 − 0.6392 = 0.3608
P ( DT < 50 ) = 0.2007 ( sub − alínea c1 )
P ( 50 < DT < 52 ) = P ( DT < 52 ) − P ( DT < 50 ) = 0.3608 − 0.2007 ≅

0 .1 6 0 1

9


Fernando Durão

d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ?


P ( DII > DI ) = P ( ( DII − DI ) > 0 ) = P ( Z > z ) ,
com Z =

( DII − DI ) − ( µ D

− µ DI

II

2
2
σD +σD
II

I

) e z = 0 − (µ

DII

− µ DII

2
2
σD +σD
II

) = 0 − ( 50 − 51) =
59 + 16

1
≅ 0.1155
8.66

I

P ( Z > z ) = 1 − P ( Z ≤ z ) = 1 − Φ ( z ) = 1 − Φ ( 0.1155 ) ≅ 1 − 0.5458 = 0.4540
Φ ( z ) ≅ Φ ( z1 ) +

Φ ( z2 ) − Φ ( z1 )
( z − z1 ) Interpolação linear
z2 − z1

Φ ( 0.1155 ) ≅ Φ ( 0.11) +

Φ ( 0.12 ) − Φ ( 0.11)
0.5478 − 0.5438
0.0055 = 0.5460
( 0.1155 − 0.11) = 0.5438 +
0.12 − 0.11
0.01

10

Exercício 8 - Enunciado

Fernando Durão


Foi nomeado coordenador de determinado estudo que é constituído, de acordo com a metodologia adoptada, por 11
actividades cujas durações médias (em dias) e variâncias (em dias2) se apresentam a seguir:
Actividade
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K

Precedência
C, E e H
G
I
D
B, C, E e H
G, D
D
K
I

Duração
Média
Variância
21
8
27
9
14
6
15
0
25
8
14
5
20
7
22
7
19
2
21
7
13
4

a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ?
b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de
28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais
alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação.
c) Qual a probabilidade de a actividade J se tornar crítica ?
d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a),
haverá uma multa de 100 000 €.
d1) Quanto estaria disposto a pagar por uma metodologia alternativa que garantisse a conclusão do estudo sem multa.
d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ?
11


Fernando Durão


Tabela com actividades reordenadas
Actividade
D
G
B
E
H
I
C
K
J
A
F

Precedência
G
D
G, D
D
I
I
K
C, E e H
B, C, E e H

Duração
Média
Variância
15
0
20
7
27
9
25
8
22
7
19
2
14
6
13
4
21
7
21
8
14
5

12


Fernando Durão

i
I-19

7

1

6

H-22

5

3

B-27

(FTi,j)

j

4

K-13

8

A-21

9

Rede de actividades

J-21

2

C-14



13


Fernando Durão

TMTi

i
15

15

34

I-19
(0)

2

TMCj

(FTi,j)
47

K-13
(1)

7

TMTj

j

48

8
J-21
(1)

0

34

C-14
(0)

(11)

0

1

H-22
(6)

6
26

48

(6)

20

B-27
(8)

3
20

26

A-21
(0)

5

9

69

69

48

(7)


TMCi

4
48

55

Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC), Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos e folgas totais das
14
actividades calculados


Fernando Durão

TMTi

15

15

34

I-19
(0)

2

34

47

K-13
(1)

7

TMTj

j

48

8
J-21
(1)

C-14
(0)

0

TMCj

(FTi,j)

i

(11)

0

1

H-22
(6)

6
26

48

(6)

20

B-27
(8)

3
20

26

A-21
(0)

5
(7)


TMCi

9

69

48

Média da dsitribuição da duração
total do projecto, µ DT :

4

µ D = µ d + µd + µd + µ d
T

48

69

55

D

I

C

A

µ D = 15 + 19 + 14 + 21 = 69 dias
T

Rede de actividades com identificação do caminho crítico: 1, D , 2, I, 7, C, 5, A, 9

15


Fernando Durão


b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de
28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais
alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação.

16 ≤ dG ≤ 28, FTG = 6, dG = 20
a) 16 ≤ dG < 26, caminmho crítico único : D, I , C , A
b)

dG = 26, dois caminhos críticos : D, I , C , A e

G, H , A
c) 26 < dG ≤ 28, caminho crítico único: G, H , A

16


Fernando Durão



A actividade J pode tornar-se crítica se e só se o único caminho de nó 1 (evento início do projecto) para
o nó 9 (evento conclusão do projecto) que inclui a actividade J, consistindo da sequência das
actividades D-I-K-J, se tornar crítico.
Com excepção do caminho crítico D-I-C-A (tomando como durações das actividades as suas durações
médias) e do caminho subcrítico que inclui a actividade J (caminho D-I-K-J), todos os demais
caminhos de nó 1 para nó 9, consistem de sequências de actividades caracterizadas por folgas totais que
se podem considerar elevadas/significativas quando comparadas com os desvios padrão associados às
distribuições das durações.
Como aproximação, a resposta à questão fica assim reduzida ao cálculo da probabilidade da duração
total, DII, do caminho subcrítico D-I-K-J, igualar ou exceder a duração total, DI, do caminho crítico
D-I-C-A. Note, contudo, que as duas durações totais, DII e DI, não são somas distintas de variáveis
aleatórias independentes (as durações das actividades). Mas a diferença das duas durações totais é
uma soma algébrica de variáveis aleatórias independentes, permitindo invocar um dos Teoremas de
Limite Central (Lindeberg-Feller).

P( DII ≥ DI ) = P(d D + d I + d K + d J ≥ d D + d I + dC + d A )
= P(d D + d I + d K + d J − d D − d I − d C − d A ≥ 0)
= P(d K + d J − dC − d A ≥ 0)

17


Fernando Durão



Segundo o Teorema de Limite Central (TLC de Lindeberg-Feller), a soma algébrica de n variáveis
aleatórias independentes com médias e variâncias finitas é uma variável aleatória que tende
assintoticamente para a distribuição Normal com média igual à soma algébrica das médias das variáveis
aleatórias independentes e variância igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias independentes.
Pelo TLC , a soma S = ( d K + d J − dC − d A ) tem como distribuição de probabilidade aproximada a
distribuição N

( µS , σ S ) ,

2
2
2
2
2
com média µ S = µ d K + µ d J − µ dC − µ d A = − 1 e variância σ S = σ d K + σ d J + σ dC + σ d A = 25.
a

Em resumo S ~ N

( −1, 5).

Assim P ( DII ≥ DI ) = P (d K + d J − dC − d A ≥ 0)
= P ( S ≥ 0) = P ( Z ≥ z ) = 1 − P ( Z ≤ z ) = 1 − Φ ( z ),
com Z =

S − µS

σS

ez=

0 − µS

σS

=

0 − (−1)
= 0.20
5

Concluindo (com cálculos)
P( DII ≥ DI ) = P ( Z ≥ 0.20 ) = 1 − P ( Z ≤ 0.20 )
= 1 − Φ ( 0.20 )
= 1 − 0.5793 = 0.4207

18


Fernando Durão



Introduzir uma nova variável aleatória (discreta), que podemos designar por M (de Multa), e definida
como se segue:

0,
P( M = 0) = P( DT ≤ DT + 3)
M =
100000, P( M = 100000) = 1 − P( M = 0) = P( DT > DT + 3)
DT = µ DT = 69 dias
Média (ou valor esperado) de M , µ M , dada por

µM =E ( M ) =

∑

xP( M = x)

x ={0,100000}
2
Variância de M ,σ M , dada por
2
σ M =E

{( M − E ( M )) } = ∑ ( x − E ( M ))
2

2

P( M = x)

x ={0,100000}

No âmbito da Estatística clássica, assente no paradigma da repetibilidade de uma experiência aleatória,
para um número suficientemente elevado de experiências, teremos pago, em média, uma multa igual ao
valor esperado da variável M, pelo que vale a pena pagar um custo adicional de até E(M) para garantir
19
a conclusão do projecto até 72 dias.


Fernando Durão



Fazendo contas, tem-se;
1) Cálculo de P ( DT ≤ DT + 3) = P ( DT ≤ 72)
P ( DT ≤ DT + 3) = P ( DT ≤ 72) = P ( Z ≤ z )= Φ ( z ) ,
com Z =

DT − µ DT

σD

ez=

T

72 − 69
= 0.75
4

P( DT ≤ 72) = Φ ( 0.75 ) =0.7734
2) Cálculo de P ( M = 0) e P ( M = 100000)
P ( M = 0) = P ( DT ≤ 72)
= 0.7734
P ( M = 100000) = 1 − P ( DT ≤ 72) = 0.2266
3) Cálculo de E ( M )
E ( M ) =0 × P ( M = 0) + 100000 × P( M = 100000) = 0 × 0.7734 + 100000 × 0.2266 =

2 2 6 6 0 €

2
4) Cálculo da variância de M ,σ M
2

2

2

2

2
σ M = ( 0 − 22660 ) P ( M = 0) + (100000 − 22660 ) P( M = x) = ( 0 − 22660 ) × 0.7734 + (100000 − 22660 ) × 0.2266

= 1733383678€ 2
2
σ M = σ M = 41634€

20


Fernando Durão



Vimos da resolução das alíneas b e c do exercício no. 7 que a P(DT > x), calculada com base no
caminho crítico determinado pelas durações médias das actividades, é subestimada face à
probabilidade P’(DT > x) que tem também em consideração caminhos subcríticos com probabilidade
significativa de se tornarem caminhos críticos.
Para além do caminho crítico D-I-C-A (caminho I), o caminho subcrítico D-I-K-J (caminho II) tem
probabilidade significativa (igual a 0.4207) de se tornar caminho crítico (vidé resolução da alínea c),
pelo que se impõe a tentativa de cálculo mais exacto da probabilidade do acontecimento DT > 72 dias
(ou do acontecimento complementar DT ≤ 72 dias). O procedimento é similar ao desenvolvido nas subalíneas c1 e c2 do exercício no. 7, com a importante diferença de as durações dos dois caminhos, DI e
DII, não serem agora variáveis aleatórias independentes, porque as durações de duas actividades (D e I)
serem comuns às somas de definição de DI e DII,

21


Fernando Durão



P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DT ≤ 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 )
Contudo P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) ≠ P ( DI ≤ 72 ) × P ( DII ≤ 72 ) , devendo usar-se probabilidades condicionais
P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) P ( DII ≤ 72 ) = P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) P ( DI ≤ 72 )
Substituindo
P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) P ( DI ≤ 72 ) < P ( DI ≤ 72 ) , pois 0 < P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) < 1
(Ter presente que a correlação entre os DI e DII é claramente positiva)
P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) P ( DII ≤ 72 ) < P ( DII ≤ 72 ) , pois 0 < P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) < 1
∴ P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) < min ( P ( DI ≤ 72 ) , P ( DII ≤ 72 ) ) e
P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) > 1 − min ( P ( DI ≤ 72 ) , P ( DII ≤ 72 ) )

Cálculos
 D − 69 72 − 69 
P ( DI ≤ 72 ) = P  I
≤
 = P ( Z ≤ 0.75 ) = Φ ( 0.75 ) = 0.7734
4 
 4
 D − 68 72 − 68 
≤
P ( DII ≤ 72 ) = P  II
 = P ( Z ≤ 1.094 ) = Φ (1.094 ) ≅ 0.8445
13
13 

P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) > 1 − min ( 0.7734,0.8445 ) = 0.2266

22


Fernando Durão



Probabilidades estimadas por simulação de Monte Carlo1
(Resultados de simulação com 5000 replicações/corridas)
P ( DII ≥ DI ) ≅ 0. 4126 (valor teórico: 0.4207)
P ( DI > 72 ) ≅ 0.2240 (valor teórico: 0.2266)
P ( DII > 72 ) ≅ 0.1258 (valor teórico: 0.1555)
P ( DT > 72 ) ≅ 0.3132 ( valor teórico: maior que 0.2266 )
.3132
P ( DI > 72 | DII > 72 ) ≅ 0.2909
P ( DII > 72 | DI > 72 ) ≅ 0.1634
Com os valores estimados, por simulação, das probabilidades da variável M
P( M = 100000) = P ( DT > 72) = 0.3132
P( M = 0) = 1 − P ( DT > 72)

= 0.6868,

o valor estimado de E ( M ) é
E ( M ) ≅ 0 × P( M = 0) + 100000 × P ( M = 100000) = 0 × 0.6868 + 100000 × 0.3132 =

3 1 3 2 0 €

,

pelo que aceitaria o custo de metodologia alternativa de 30 000 €.
1

Assumindo, adicionalmente, que as distribuições das durações das actividades são aproximadas por distribuições
23
normais com médias e variâncias dadas. Vidé slide seguinte com o código MATLAB


Fernando Durão


ANEXO
Código MATLAB
% Médias, mu, e variâncias, s2, das distribuições das
durações das actividades A, C, D, I, K, J
mu_A = 21; s2_A = 8;
mu_C = 14; s2_C = 6;
mu_D = 15; s2_D = 0;
mu_I = 19; s2_I = 2;
mu_J = 21; s2_J = 7;
mu_K = 13; s2_K = 4;
% Número de replicações
N_Replicacoes = 5000;
% Inicializar vectores das durações dos caminhos I e II
D_I = zeros(N_Replicacoes,1);
D_II = zeros(N_Replicacoes,1);
% Gerar replicações por amostragem das distribuições
% normais que aproximam, por hipótese de trabalho, as
% distribuições das durações das actividades.
for i = 1:N_Replicacoes
d_D
d_I
d_C
d_A
d_K
d_J

=
=
=
=
=
=

mu_D+sqrt(s2_D)*randn(1,1);
mu_I+sqrt(s2_I)*randn(1,1);
mu_C+sqrt(s2_C)*randn(1,1);
mu_A+sqrt(s2_A)*randn(1,1);
mu_K+sqrt(s2_K)*randn(1,1);
mu_J+sqrt(s2_J)*randn(1,1);

% Calcular durações dos caminhos I e II
D_I(i) = d_D+d_I+d_C+d_A;
D_II(i) = d_D+d_I+d_K+d_J;
end

% CONTINUAÇÃO
% Calcular vector das durações do projecto
D_T = max([D_I D_II]')';
% Calcular/estimar probabilidades marginais e
conjuntas
Prob_D_II_ge_D_I = …
length(find(D_II >= D_I))/N_Replicacoes *100
Prob_D_I_gt_72 =…
length(find(D_I > 72))/N_Replicacoes*100
Prob_D_II_gt_72 =…
length(find(D_II > 72))/N_Replicacoes*100
Prob_D_T_gt_72 =…
length(find(D_T > 72))/N_Replicacoes*100
Prob_D_I_gt_72_or_Prob_D_II_gt_72 = …
length(find(D_I > 72 | …
D_II > 72))/N_Replicacoes*100
Prob_D_I_gt_72_and_Prob_D_II_gt_72 = …
length(find(D_I > 72 & …
D_II > 72))/N_Replicacoes*100
% Calcular/estimar probabilidades condicionais
II = find(D_II > 72);
Prob_D_I_gt_72_Given_D_II_gt_72 =…
length(find(D_I(II) > 72))/length(II)*100
I = find(D_I > 72);
Prob_D_II_gt_72_Given_D_I_gt_72 =…
length(find(D_II(I) > 72))/length(I)*100

24

Anexo : Distribuição Normal
Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)
1
Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx =
−∞
2π


z

Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4

0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997

0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997

0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997

∫

0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997

z

−∞

e

−

x2
2

dx,

0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

Φ (−z ) = 1− Φ ( z )
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997

0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997

Φ( z)
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997

0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998

25

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