Modelagem matemática aplicada ecologia

1. MODELAGEM
MATEMÁTICA
APLICADA NA
ECOLOGIA

4. O QUE SÃO MODELOS MATEMÁTICO?
O uso dos métodos e técnicas
matemáticos e estatísticos para
resumir ou descrever uma coleção
de dados biológicos para procurar
padrões nos dados e permitam que
inferências podem ser tiradas do
processo ou população estudados.

5. POR QUE MODELAR?
Para identificar os mecanismos básicos possíveis envolvidos nos
processos ecológicos;
Para revelar e interpretar as contradições ou falta de consistência dos
dados;
Para assistir na confirmação ou rejeição das hipóteses;
Para prever a performance do sistema sob condições ainda não
testados;
Para fornecer informação sobre os valores de parâmetros que
experimentalmente não são acessíveis; e
Para formular hipóteses novos e estimular novas pesquisas;

6. PARA QUE SERVE MODELOS?
SOLUÇÕES: Analíticas, numéricas e qualitativas
INTERPRETAÇÃO: O que a solução significa em termos do problema
original?
PREVISÕES: O que o modelo sugere o que vai acontecer com mudança
dos parâmetros?
VALIDAÇÃO: Os resultados são consistentes com as observações
experimentais?
“Modelos são ferramentas para pessoas que pensam,
não muletas para pessoas que não pensam.”
M. E. Soulé

7. 35% de todos os artigos de Evolution & Ecology usam os modelos matemáticos

8. 60% de todos os artigos da American Naturalist usam modelos matemáticos

10. A resolução pode ser uma equação e/ou representada por
gráficos.
Como os parâmetros afeta os variáveis?
Os resultados do modelo se ajustam aos dados existentes?
Análise de sensitividade: os resultados são robustos?
O que implicam ou sugerem os resultados?
O que nos informa que é novo e que não entendemos
antes?
Quais previsões podem ser realizadas?
A SOLUÇÃO MATEMÁTICA

11. O PROCESSO DE MODELAGEM
O ponto de partida é a BIOLOGIA e não a
matemática.
A parte mais difícil da modelagem é a
identificação de um problema interessante a
pesquisar.
Resolver as equações é a parte mais fácil.

12. Os modelos não são
explicações totais e
nunca sozinhas podem
proporcionar uma
solução completa a um
problema biológico ou
ecológico.
ATENÇÃO...

13. O ciclo de presa e predador foi previsto de um modelo matemático
Vito Volterra Alfred Lotka

14. Paul Pierre Lévy
vôos de Lévy

18. PROPAGAÇÃO DE DOENÇAS

19. Povo hadza

20. Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes
e outros ninhadas pequenas?
QUAL A HIPÓTESE?

21. Hipótese: em cada espécie, os pais devem maximizar o número
de filhotes que sobrevivem. A sobrevivência é determinada por
quantos filhotes podem ser alimentados.
Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes
e outros ninhadas pequenas?

22. Por que alguns pássaros têm ninhadas grandes
e outros ninhadas pequenas?

23. TÉCNICAS DE MODELAGEM
ANALÍTICA
–Usa somente a matemática

24. TÉCNICAS DE MODELAGEM
SIMULAÇÃO
–Simulação por computador

26. KARL PEARSON
Matemático britânico conhecido
como sendo o criador da
Estatística Aplicada

27. COEFICIENTE LINEAR DE PEARSON
Mede a força do relacionamento linear entre
valores pareados x e y na amostra

28. O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por:
sendo que,
mente.respectivaY,eXdepadrãodesviosossãoSeS
mente,respectivaY,eXdeamostraismédiasassãoYeX
YX
2
11
2
2
11
2
111



















n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yynxxn
yxyxn
r
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

29. Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função
f(x) = 3+x2
x
xfxxf
f
x 



)()(
lim´
0
x
xxxx
x
xx
xxf






23)(3
)(
222
xxx
x
xxx
f
xx
2]2[lim]
2
[lim´
0
2
0





xx
dx
d
xf
dx
d
dx
df
f 2]3[)]([´ 2

DERIVADA

30. Um pacote pequeno de biscoito mais
uma bala custa R$ 1,10
Se o pacote de biscoite custa R$ 1,00 a
mais do que a bala.
Qual o valor da bala?
UM QUESTIONAMENTO

31. É uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das
respectivas derivadas.
Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y,
derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.
Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam
como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas.
EQUAÇÃO DIFERENCIAL

32. Quão rápido cresce o número de bactérias ?
Qual a velocidade de crescimento das bactérias?
MATEMÁTICA NA PRÁTICA

33. Não crie um modelo complexo!
Sempre comece com o modelo mais simples possível.

34. “Se duas explicações podem explicar as
observações, devemos escolher a
explicação que postula menos entidades
ou processos ou que exige o número
menor de premissas independentes.”
“Não deve aumentar, além do necessário,
o número de entidades necessárias para
explicar qualquer coisa.”
A solução mais simples é sempre a melhor!
A NAVALHA DE OCCAM
Guilherme de Occam
Filosofo inglês do século XIV

36. Quais as vantagens e desvantagens ao viver em grupo?
Carduelis carduelis (pintassilgo-europeu)

37. Tamanho do bando Elevação da cabeça
(por minuto)
1 11
2 9
3 7
4 6
5 5
6 5
7 4
VANTAGEM: Mais tempo se alimentando e menos tempo vigiando predadores

38. VANTAGEM: Mais tempo se alimentando com menos tempo vigiando predadores

39. Tamanho do bando Elevação da cabeça
totais do bando
inteiro (por minuto)
1 11
2 18
3 21
4 22
5 27
6 28
7 30

40. DESVANTAGEM: A vigilância total do bando inteiro cresce com o seu tamanho

41. Tamanho do bando Tempo para captura
uma semente
(segundos)
1 1.70
2 1.50
3 1.40
4 1.30
5 1.50
6 1.20
7 1.15

42. VANTAGEM: O tempo total para captura uma semente diminui em bandos maiores

43. Tamanho do bando Intervalo de vôo
(segundos)
2 1.50
3 1.80
6 1.80
8 2.00
8 2.70
13 2.80
16 5.70
16 6.00

44. DESVANTAGEM: Com um maior grupo, são forçados a voarem para mais longe

45. CONCLUSÃO
Indivíduos em pequenos bandos procuram por predadores mais frequentemente.
Mas, a taxa total de vigilância para o bando inteiro enquanto forrageia cresce com
o seu tamanho.
O tempo total para um indivíduo capturar alimento diminui em bando maiores.
Mas, o tempo gasto pelos indivíduos se movendo entre plantas aumenta.

46. Quais as vantagens e desvantagens ao viver em grupo?
VANTAGEM: Mais tempo de alimentando e menos tempo vigiando
DESVANTAGEM: Em grupos maiores são obrigados a se deslocar para mais longe.

47. Volume de água (m3/há-1) Produtividade (Kg/há-1)
600 16000
1400 22000
1700 25000
2500 28000
Qual o volume ótimo de água para a maior produtividade de melancia?

49. Com um volume de 2320,99 m3/h-1 consegue a maior produtividade de 28388,95 kg/h-1

52. OUTRO QUESTIONAMENTO
Um indivíduo é descrito da seguinte maneira:
“Ele é muito tímido e retraído, invariavelmente prestativo, mas com
pouco interesse nas pessoas ou no mundo real. De índole dócil e
organizada, tem necessidade de ordem e estrutura, e uma paixão
pelo detalhe.”
PERGUNTA-SE? Há maior probabilidade dessa pessoa ser um
bibliotecário ou um fazendeiro?

53. A ESTATÍSTICA não
pode ser ignorada

54. Há mais de vinte fazendeiros homens para
cada bibliotecário homem.
E AGORA?
Há maior probabilidade dessa pessoas ser um
bibliotecário ou um fazendeiro?

56. A baleia-bicuda-de-cuvier (Ziphius cavirostris)
parece ter sua área de alimentação associada a
inclinação e profundidade do assoalho marinho.
Para estudar essas baleias um pesquisador definiu
um transecto de 5 Km (Oeste → Leste), a partir da
costa, onde estudou o comportamento da Baleia.
Os dados de profundidade foram medidos nas
seguintes distâncias (Km) do transecto:
Distância
(km)
Profundidade
(km)
0 -0,1
0,5 -0,5
1 -0,98
1,35 -1,2
1,72 -1,4
2,05 -0,95
2,4 -1,05
3 -1,9
3,3 -2,33
3,77 -2,88
4 -2,85
4,5 -2,1
5 -2,2
MATEMÁTICA NA PRÁTICA

57. Uma hipótese é que a baleia concentre esforço de
forrageio em profundidades intermediárias (entre
1Km e 1,5Km) em terrenos com inclinações negativas.
Se essa hipótese estiver correta, pergunta-se:
Onde espera encontrar mais baleias ao longo da
transecção?