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Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.     ...
Classificação        Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetr...
Geometria Espacial Poliedros regulares        Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regular...
Geometria Espacial Relação de Euler        Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que  V  ...
Poliedros platônicos        Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concor...
Prismas         Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,  , um polígono convexo  R  contido em  e uma re...
Para cada ponto  P  da região  R , vamos considerar o segmento  , paralelo à reta  r  :
Assim Temos:        Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes  paralelos a  r .
Geometria Espacial Elementos do prisma        Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
<ul><li>bases:as regiões poligonais  R  e  S   </li></ul><ul><li>altura:a distância  h  entre os planos  </li></ul><ul><li...
<ul><li>Classificação </li></ul><ul><li>       Um prisma pode ser: </li></ul><ul><li>reto: quando as arestas laterais são ...
                                                                                                                          ...
  Secção        Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. ...
Áreas        Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguinte...
   Vejamos um exemplo.        Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base  a  e aresta lateral  h , temos:
Paralelepípedo        Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo  reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípe...
Diagonais da base e do paralelepípedo        Considere a figura a seguir: Diagonais da base e do paralelepípedo        Con...
   Na base ABFE, temos:                                                                                                   ...
Área lateral       Sendo  A L   a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: A L = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc ...
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões  a ,  b  e  c  é dado por: V = abc        Como o produto de du...
Cubo        Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, a...
Diagonais da base e do cubo        Considere a figura a seguir: d c =diagonal do cubo d b  = diagonal da base Na base ABCD...
No triângulo ACE, temos: Área lateral        A área lateral  A L   é dada pela área dos quadrados de lado  a : A L =4a 2
Área total        A área total  A T   é dada pela área dos seis quadrados de lado  a : A T =6a 2
Volume        De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta  a  é dado por: V= a . a . a ...
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  1. 3. :                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    Poliedros       Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos
  2. 4. Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.     Poliedros convexos e côncavos       Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos .         Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
  3. 5. Classificação       Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: tetraedro: quatro faces pentaedro: cinco faces hexaedro: seis faces heptaedro: sete faces octaedro: oito faces icosaedro: vinte faces
  4. 6. Geometria Espacial Poliedros regulares       Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.        Existem cinco poliedros regulares:
  5. 7. Geometria Espacial Relação de Euler       Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V - A + F = 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F , o número de faces. Observe os exemplos:                                                                                       V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2 V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2
  6. 8. Poliedros platônicos       Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler.        Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
  7. 9. Prismas        Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R :
  8. 10. Para cada ponto P da região R , vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
  9. 11. Assim Temos:       Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a r .
  10. 12. Geometria Espacial Elementos do prisma       Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  11. 13. <ul><li>bases:as regiões poligonais R e S </li></ul><ul><li>altura:a distância h entre os planos </li></ul><ul><li>arestas das bases:os lados ( dos polígonos) </li></ul><ul><li>arestas laterais:os segmentos </li></ul><ul><li>faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A </li></ul><ul><li>Classificação </li></ul><ul><li>      Um prisma pode ser: </li></ul><ul><li>reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; </li></ul><ul><li>oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. </li></ul>
  12. 14. <ul><li>Classificação </li></ul><ul><li>      Um prisma pode ser: </li></ul><ul><li>reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; </li></ul><ul><li>oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. </li></ul><ul><li>Veja: </li></ul><ul><li>                                                                              </li></ul>Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares: prisma reto prisma oblíquo
  13. 15.                                                                                                                                                  Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Prisma regular triangular Prisma regular hexagonal
  14. 16.   Secção       Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.         Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
  15. 17. Áreas       Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face ( A F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral ( A L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.       No prisma regular, temos: A L = n . A F (n = número de lados do polígono da base) c) área da base ( A B ): área de um dos polígonos das bases; d) área total ( A T ): soma da área lateral com a área das bases A T = A L + 2A B
  16. 18.   Vejamos um exemplo.       Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h , temos:
  17. 19. Paralelepípedo       Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
  18. 20. a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto
  19. 21. Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo. Geometria Espacial Paralelepípedo retângulo       Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c da figura:       Temos quatro arestas de medida a , quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c ; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.  
  20. 22. Diagonais da base e do paralelepípedo       Considere a figura a seguir: Diagonais da base e do paralelepípedo       Considere a figura a seguir: d b = diagonal da base d p = diagonal do paralelepípedo
  21. 23.   Na base ABFE, temos:                                                                                                                           No triângulo AFD, temos:                                                                                                                                                                                  
  22. 24. Área lateral       Sendo A L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: A L = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A L = 2(ac + bc) Área total       Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: A T = 2( ab + ac + bc) Volume       Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
  23. 25. Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a , b e c é dado por: V = abc       Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A B pela medida da altura h:
  24. 26. Cubo       Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
  25. 27. Diagonais da base e do cubo       Considere a figura a seguir: d c =diagonal do cubo d b = diagonal da base Na base ABCD, temos:
  26. 28. No triângulo ACE, temos: Área lateral       A área lateral A L é dada pela área dos quadrados de lado a : A L =4a 2
  27. 29. Área total       A área total A T é dada pela área dos seis quadrados de lado a : A T =6a 2
  28. 30. Volume       De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: V= a . a . a = a 3

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