(Apostila função)

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(Apostila função)

  1. 1. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 1 ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: NO :
  2. 2. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 2 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Ele está sempre presente na relação entre duas grandezas variáveis. Assim são exemplos de funções: - O valor a ser pago numa corrida de táxi é função do espaço percorrido; - A área de um quadrado é função da medida do seu lado; - O consumo de combustível de um automóvel é função, entre outros fatores, da velocidade. Observe que as relações que vimos a seguir têm duas características em comum: - A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável dependente; - Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente. As relações que têm essas características são chamadas de funções. Exemplos: 1) Nos itens abaixo, estão descritas algumas relações entre variáveis. Em cada caso, identifique a variável independente e a dependente. a) O número de refrigerante que uma pessoa compra e a quantia a ser paga. Resolução: b) A duração de uma chamada telefônica e o custo da chamada. Resolução: 2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa de R$ 6,00 , denominada bandeirada mais uma parcela variável de R$ 0,90 por km rodado. Determine: a) A função que representa o preço P de uma corrida em função de x quilômetros rodados. Resolução: b) O preço de uma corrida de 12 km. Resolução: c) A distancia percorrida por um passageiro que pagou R$ 96,00 pela corrida. Resolução:
  3. 3. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 3 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função quando cada elemento x do conjunto A está associado a um, e somente um, elemento y do conjunto B. Indica-se por: Quando estas condições descritas na definição não forem satisfeitas, existirá apenas uma relação (R). Daí, concluímos que toda função é uma relação mas, nem toda relação e uma função. Observe os exemplos com diagramas: As figuras 1, 2 e 3 representam funções. Note que cada elemento do conjunto domínio A tem uma única chegada no conjunto contradomínio B. Chamamos de conjunto imagem (Im) aos elementos de B que se relacionaram com os elementos de A. No conjunto contradomínio pode sobrar elemento. A letra f acima do diagrama indica que a relação especial é uma função. fig.1 fig.2 fig.3 As figuras 4, 5 e 6 representam apenas relações. Note que na fig. 4 alguns elementos de A têm duas chegadas em B, na fig. 5 sobrou um elemento de A sem relacionar-se com B e, finalmente, na fig. 6 um único elemento de A têm várias chegadas em B. A letra R acima do diagrama indica ser apenas uma relação. fig.4 fig.5 fig.6 Exemplos 1) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. a) Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. Resolução: b) Se for uma função de A em B, determine o domínio, a imagem e o contra-domínio de f. Resolução: 2) Seja a função f: definida por f(x) = x2 - 7x + 9. Determine: f: A B
  4. 4. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 4 a) O valor de f(-1) Resolução: b) Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. Resolução: 3) Dadas as funções f(x) = 4x + 3 e g(x) = x2 + a. Sabendo que f(2) - g(1) = 3, calcule o valor de a. Resolução: 4) Dada a função f: definida por f(x) = ax + b, com a e b ℜ∈ . Determine a e b, sabendo que f(1) = 3 e f(2) = 5. Resolução: DOMINIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL Quando trabalhamos com uma função, é importante sabermos qual o domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a variável independente. Em muitos casos, o domínio e o contradomínio não vêm explicitados, devemos, então, considerar como domínio o conjunto de todos os números reais que podem ser colocados no lugar da variável independente na fórmula da função, obtendo, após os cálculos, um número real, já, o contradomínio será os números reais. Exemplos 1) Encontrar o domínio das funções: a) f(x) = 3x2 - 4x + 2 b) f(x) = 42 53 − − x x Resolução: Resolução: c) f(x) = 44 −x d) f(x) = 4 33 2 5 − − + + − x x x x Resolução: Resolução:
  5. 5. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O sistema de coordenadas ortogonais é composto por: - Duas reta perpendiculares entre si, onde a reta horizontal é o eixo x (abscissas) e a reta vertical o eixo y (ordenadas). - O cruzamento das duas retas é a origem do sistema. - As retas dividem o plano em quatro partes iguais chamadas de quadrantes. O gráfico é conjunto de todos os pontos (x;y) do plano cartesiano, com x∈D e y∈Im. Para isso, consideremos os valores do domínio da função o eixo x e as respectivas imagens no eixo y. Exemplos: 1) Construir o gráfico das funções: a) BA:f → , definida por f(x) = x + 2, sendo A = { -1; 0; 1; 2 } e B = { 1; 2; 3; 4; 5 } b) f: definida por f(x) = x + 2
  6. 6. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 6 ANALISANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES A partir do gráfico de uma função, podemos obter informações importantes sobre o comportamento dessa função, como: - O domínio e a imagem. - Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. - Os intervalos para os quais a função é crescente, decrescente ou constante. - Os intervalos para os quais a o valor da função é positivo e negativo. - O valor máximo ou mínimo que a função atinge. - O (s) valor (es) da(s) raiz(es) da função. Como reconhecer quando um gráfico representa uma função Como para cada valor de x do domínio devemos ter em correspondência um único y do contradomínio, é possível identificar se um gráfico representa ou não função, traçamos retas paralelas ao eixo y. Para ser função, cada reta vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o gráfico em um único ponto. Como determinar o domínio e a imagem da função - O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo x (abscissas) - A imagem de uma função é obtida pela projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo y (ordenadas) Exemplo D(f) = }6x/1x{ ≤≤ℜ∈ Im(f) = }5y2/y{ ≤≤ℜ∈
  7. 7. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 7 Como determinar as raízes ou os zeros de uma função Graficamente a(s) raiz(es) de uma função é(são) a(s) a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) onde o gráfico encontra o eixo x (abscissas). Exemplo Como determinar o intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante - Se aumentarmos o valor da variável independente e aumentar os valores da imagem, temos função crescente. - Se aumentarmos o valor da variável independente e diminuir os valores da imagem, temos função decrescente. Se aumentarmos o valor da variável independente e não alterar os valores da imagem, temos função constante. Valor máximo e Valor mínimo de uma função Logo, os números 2 e 5 são as raízes ou os zeros da função constante decrescente crescente y o x y o x X1 X2 f(x1) f(x2) máximo mínimo Valor máximo f(x2) Valor mínimo f(x1)
  8. 8. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) (Unesp) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. resp: 156 – 2,5n b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. resp: 15 semanas 2) (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5(F - 32)/9,onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. resp: 95 b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? resp: 160 3) (Fuvest) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: resp: b a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x 4) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: a) C(n) = 200 000 + 0,50 resp: c b) C(n) = 200 000n c) C(n) = n/2 + 200 000 d) C(n) = 200 000 - 0,50n e) C(n) = (200 000 + n)/2 5) (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Expresse a taxa de inscrição em função do número de semanas transcorridas desde o início do curso: resp: a a) T = 12,50 (12 - x) b) T = 12,50x c) T = 12,50x -12 d) T = 12,50 (x + 12) e) T = 12,50x + 12 6) (Puccamp) Durante um percurso de x km, um veículo faz 5 paradas de 10 minutos cada uma. Se a velocidade média desse veículo em movimento é de 60 km/h, a expressão que permite calcular o tempo, em horas, que ele leva para percorrer os x km é: resp: b a) (6x + 5)/6 b) (x + 50)/60 c) (6x + 5)/120 d) (x/60) + 50 e) x + (50/6) 7) Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. resp: a) R1 é uma função de A em B, D = A, Im = {0; 4; 16} b) não é função
  9. 9. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 9 8) Dados os conjuntos A = {-1; 0; 1; 2} e B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}, faça o diagrama das relações abaixo, e diga, qual delas é uma função A em B. resp: b a) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = x2 – 2 } b) R1 = {(x;y) ∈ AxB/ y = 2x + 1 } 9) Dado o conjunto A = { -2; -1; 0; 1}, determine o conjunto imagem da função f: A→ℜ definida por f(x) = 1 – x2 . resp: Im = { -3; 0; 1} 10) Seja a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2 -10x+8. Calcular: a) f(4) resp: -16 b) Os valores de x de modo que f(x)=-1. resp: 1 e 9 11) Dadas as funções f(x)= 2 1 x + 1 e g(x) = x2 -1, calcule f(6)+g(-2). resp: 7 12) São dadas as funções f(x)= 3x+1 e g(x)= 5 4 x + a . Sabendo que f(1)-g(1)= 3 2 , calcule o valor de a . resp: 38/15 13) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= ax + b, com a, b ∈ℜ, calcule: a) a e b sabendo que f(1)=4 e f(-1)= -2; resp: a=3 e b=1 b) f(4). resp: 13 14) Dada a função f: ℜ→ℜ definida por f(x)= x2 -x-12, determine a de modo f(a+1) = 0. resp: -4 ou 3 15)Encontrar o domínio das funções: a) y=3x+4 resp: D=ℜ b) f(x)=x2 -3x+6 resp: D=ℜ c) f(x)= 4 93 + + x x resp: D=ℜ-{-4} d) f(x) = 84 52 + + x x + 3 75 + − x x resp: D=ℜ-{-3;-2} e) f(x)= 81 10 2 − − x x - 7 35 + − x x resp: D=ℜ-{-9;-7;9} f) f(x)= 63 −x resp: D={x∈ℜ/ x≥2} g) f(x)= 44 5 +x + 4 102 + − x x resp: D={x∈ℜ/ x≥5} 16) Construa os gráficos das funções, e dê o domínio e a imagem: a) f: A→B, definida por f(x) = x2 +1, sendo A={-1,0,1} e B={1,2,3,4} b) f: A→B, definida por f(x) = 3x+1, sendo A=[-1,2] e B=[-4;8] c) f: A→B, definida por f(x)=-4x, sendo A=]-2,1/2] e B= [-10,5] resp: a) y b) y c) y 7 ● ● 8 ● 2 ● 1 ● -1 o 1 x -1 0 2 x -2 0 x ● -2 -2 ● D={-1,0,1} e IM={1,2} D=[-1,2] e IM=[-2,7] D=]-2,1/2] IM=[-2,8[
  10. 10. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 10 17) Os gráficos abaixo representam gráficos de funções. a) y b) y c) y o x o x o x Resp: a, b e c 18). (Ufes) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 80 ≤≤ t , e esboce o gráfico da função P. Resp: P(t) = - 1250t + 10000 ( 80 ≤≤ t ) 19) (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que: ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. ( ) 20 foi o ano de maior lucro. ( ) 25 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano Resp: F V F F V
  11. 11. APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES – ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 11 20) (Uff) O gráfico da função f está representado na figura: Sobre a função f é FALSO afirmar que: a) f(1) + f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) - f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) Resp: e Prof. Carlinhos Bibliografia: Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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