O documento apresenta uma coleção de conceitos e propriedades de áreas fundamentais da matemática como probabilidades, funções, trigonometria e números complexos.

1. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- PROBABILIDADES –
Prop. Distributiva: A ∪ ∩) =A ∪ ∩ ∪)
(B C ( B) (A C ; A ∩ ∪) =A ∩ ∪ ∩)
(B C ( B) (A C
Leis de De Morgan: A∩ = ∪
B A B A∪ = ∩
B A B ; P ( A) = −P ( A)
1 P ( A ∪) = ( A) + ( B ) − ( A ∩)
B P P P B
n º acont. favoráveis
Prob. Condicionada (acontecer A sabendo que B aconteceu): P( A ∩ B ) Lei Laplace: P ( A) =
P( A / B) = n º acont. possiveis
P( B)
Acont. Independ.: P ( A ∩) = ( A).P ( B )
B P
; P ( A / B ) = ( A)
P
. A B = − = ∩
A B A B
Acont. Diferença( A realiza-se sem que B se realize ): P ( A | B ) = ( A) − ( A ∩)
P P B ; B ⊂ ⇒ A | B ) = ( A) − ( B )
A P( P P
n!
Permutações Pn = n! Arranjos (a ordem importa) : s/ repetição
n
Ap = c/ repetição
n
A' p = n p
(n − p)!
n!
Combinações (não há repetição e ordem não importa):
n
Cp =
p!. ( n − p)!
n
Binómio Newton ( a + b ) n = ∑n C p a n − p b p ( a + ) 3 = 3 + a 2b + ab 2 + 3
b a 3 3 b ( a + ) 4 = 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + 4
b a 4 6 4 b
p =0
n
C p = nCn − p
n
C p + nC p +1 = n +1C p +1
T p + 1 = nC p a n − p b p
Tp = nC p −1 b p −1a n − p +1
Prop. Triângulo Pascal:
n n n
Dist. Prob. : 0 ≤ pi ≤ 1 ∧ ∑p
i =1
i =1 valor médio µ = ∑ xi × pi
i =1
variância σ 2 = ∑( xi − µ) 2 × pi
i =1
desvio padrão σ = σ2
n!
Coef. Binomial
n
Cr = P ( X = ) = Cr p r ×1 − ) n −
r n
( p r
( n=nº experiências e r=nº sucessos )
r!. (n − r )!
Curva Normal :
Intervalo Probabilidade
]µ − σ , µ + σ [ 68.27%
Estandardização da variável Z =
X −µ
σ
N ( µ, σ) ] µ − 2σ , µ + 2σ [ 95.45%
] µ − 3σ , µ + 3σ [ 99.73%
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2. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- FUNÇÕES -
PROP. POTENCIAS : PARIDADE
m+ n Função par: f(-x) = f(x)
a ×a = a
m n
Função ímpar: f(-x) = - f(x)
Função quadratica :
a m ÷ a n = a m− n
f ( x) = ax 2 + bx + c
a m × b m = ( a × b) m CASOS NOTÁVEIS :
y = a ( x − h) 2 + k
a ÷ b = ( a ÷ b)
m m m
(a + b) = a 2 + 2ab + b 2
2
 b b2  ESTUDO COMPLETO FUNÇÃO :
(a m ) n = a m× n (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 Vértice : V   −
 2a ;c− 
4a 
y 1º − Obter esboço= h gráfico com calculadora
x
do
  2º − Dominio
a 0 = 1 se a ≠ 0 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 3º − Continuidade
1 − b ± b 2 − 4ac 4º − Coordenadas pontos intersecção com eixos
−n
a = n
Propriedades Módulos :
Zeros : x = 5º − Simetria
a
m
x−a = a− x
x − a = b ⇔ x − a = b ∨ x − a = −b
x − a < b ⇔ x − a < b ∧ x − a > −b
2a
.
6º − Extremos e monotonia
7º − Sentido das concavidades
V (h,k )
8º − Equações das assimptotas
x
n
am = a n
x − a > b ⇔ x − a < −b ∨ x − a > b 9º − Contradominio
y =log a x ⇔ y =x
a y = x ⇔ y =x
ln e log a ( x. y ) =log a x +log a y
x 1
 
log a   = log a x − log a y log a b = log a ( x p ) =p. log a x
y logb a
log b 1
log b x =log a x . log b a log a b = log a n
x = log a x log a a =1
log a n
log a 1 = 0 log a a x = x a log a x
=x
ex −1 ex sen x ln( x +1) ln x ln x
lim =1 lim = +∞ lim =1 lim =1 lim =1 lim =0
x →0 x x →+∞ x p x →0 x x →0 x x →1 x −1 x →+∞ x
un PERÍODO DE UMA FUNÇÃO (T )
 x
n
 x 
lim 1 +  = e x lim 1 +
 u  = ex
 f ( x) = sen(kx) T =
2Π
 n  n  k
2Π
f ( x) = cos(kx) T =
k
p( x) a x n + a1 x n −1 + ... + an Π
Assimpt. função racional f ( x) = = 0 m f ( x) = tan(kx) T =
q( x) b0 x + b1 x m −1 +... + bm k
a0
Assimpt. Vert. zeros de q ( x ) Assimpt. Horiz. y= ( se n = m) y = 0 ( se n < m) não existe ( se n > m)
b0
f ( x) b = lim [ f ( x) −m x ]
Assimpt. Obliq. y =mx +b m = lim x→ ∞
+
x →+∞ x
f (b) − f (a ) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 )
Taxa variação média t .m.v.[ a , b ] = Definição derivada f ' ( x0 ) = lim ou f ' ( x0 ) = lim
b −a x →x 0 x − x0 h →o h
'
 u  u´.v − u.v´
Regras Derivação : (u + )' = ' + ' (u.v )' = '.v + .v '
  = (u n )' = . u n − .u´ ( a u )' = ´.a u . ln a
1
v u v u u n u
v v2
u' u' x'
(e u )' =u´.e u (ln u )' = (log a u )' = ( sen x )' = '. cos x
x (cos x )' = x '. sen x
− (tg x )' =
u u . ln a cos 2 x
'
1 1 1 1
Alguns exemplos:   =− 2 ( x )' = (ln x)' = (e x )' = e x Der. Composta: ( f 0 g )`( x0 ) =f ` [g ( x0 ) ]× `( x0 )
g
 x x 2 x x
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3. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- TRIGONOMETRIA -
sen α 1 1 1
sen 2α cos 2 α 1
+ = tg α = 1+ = tg 2α + 1 = cos ( a −) =
b cos a. cos b +sen a.sen b
cos α tg 2α sen 2α cos 2 α
cos ( a + ) =
b cos a. cos b −sen a.sen b sen ( a + ) =
b sen a. cos b +cos a.sen b sen ( a − ) =
b sen a. cos b −cos a.sen b
cos ( 2a ) =cos 2 a −sen 2 a sen ( 2 a ) = . sen a . cos a
2
tg a + tg b tg a − tg b 2 . tg a
tg ( a + b) = tg ( a − b) = tg ( 2a ) =
1 − tg a .tg b 1 + tg a .tg b 1 − tg 2 a
π π π π 3π
Ângul 0º ou 0 30º ou 45º ou 60º ou 90º ou 180º ou π 270º ou rad
o rad 6 4 3 2 rad 2
rad rad rad rad
1 2 3
sen α 0 1 0 -1
2 2 2
3 2 1
cos α 1 0 -1 0
2 2 2
tg α 0 3
1 3 -- 0 --
3
sen (−α ) = − sen α π π 3π
sen ( − α ) = cos α sen ( + α ) = cos α sen ( − α ) = − cos α
2 2 2
Reduções ao 1º quadrante: cos ( −α ) = cos α
π π 3π
tg (−α ) = −tg α cos ( − α ) = sen α cos ( + α ) = − sen α cos ( − α ) = − sen α
2 2 2
3π sen (π − α ) = sen α sen (π + α ) = − sen α sen (2π − α ) = −sen α
sen ( + α ) = − cos α
2 cos (π − α ) = − cos α cos (π + α ) = − cos α cos ( 2π − α ) = cos α
3π
cos ( + α ) = sen α tg (π − α ) = −tg α tg (π + α ) = tg α tg (2π − α ) = −tg α
2
Equações trigonométricas: sen x =sen α x = +kπ x
⇔ α 2 ∨ πα
= − +k
2 πk ∈
, Ζ
cos x =cos α x = +kπ x
⇔ α 2 ∨ =− +k
2 α πk ∈
, Ζ tan x =tan α x = +πk ∈
⇔ α k , Ζ
Circulo trigonométrico:
π
2
+1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
co
sn x =
e
eixo h
dos ca h
senos tan x cs
o x = co
h
sin x co x
tan x =
ca ca
π -1 eixo dos co-senos 0
x
+1
2π
cos x
TEOREMA PITÁGORAS
h2 = c 2 + c 2
o a
eixo
das
tangentes h= c 2 +c 2
o a
-1
3π
2
c =
o h2 − c 2
a
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4. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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- NÚMEROS COMPLEXOS -
b 
Forma algébrica nº complexo: z = +
a bi Conjugado de z: z =a −bi Módulo de z: r = z = a 2 +b 2 Argumento de z: θ = arg z = tan −1  
a 
Forma trigonométrica: z = . cis θ
r ou z = . (cos θ i . sen θ
r + )
27 4
i = −1 i 2 =−1 i 3 = −i i 4 = +1 i 4 n =1 i 4 n +1 =i i 4 n + =−
2
1 i 4 n + =−
3
i Exemplo : i 27 = i3 porque 3 6
2 Inverso
z Conjugado Simétrico a b
z ×z =n º real z= z = z cis (−θ ) − z = z cis (θ + π ) z −1 =
1 1
= cis (−θ )
( a +bi ) −1 = − 2 i
z z z a 2 +b 2 a +b 2
Operações com nº complexos (fórmulas de Moivre) :
z1 r θ + 2 kπ
z1 × 2 =1 × cis (θ + 2 )
z r r2 θ z n = n cis ( n .θ
r ) ,n ∈Ζ = 1 cis (θ1 − θ2 )
n r cis θ = n r . cis , k ∈Ζ
1
z2 r2 n
2Π
Nota: todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os argumentos (não negativos mínimos) estão em progressão aritmética de razão .
n
Nota: as n raízes de índice n têm por imagem os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio n z .
Domínios planos e condições de variável complexa:
Circunf. de centro z1 e raio r : z − z1 = r
Diagrama Argand
Mediatriz do segm. recta entre z1 e z2 : z −z1 = z −z2
Im
Semiplano limitado por mediatriz segm rect entre z1 e z2 , ao qual pertence z1 : z −z1 ≤ z −z 2
b
Recta vertical x=a+r : Re ( z − 1 ) =
z r
Exemplo: Re( z ) ≥ a representa o semiplano fechado definido pela recta x=a , que fica à direita da recta.
a Re
Recta horizontal y=b+r : Im ( z − 1 ) =
z r
Semi-recta origem afixo z1 q forma com Ox um ang α : arg ( z − 1 ) =
z α
- SUCESSÕES –
un+ − n ≥
1 u 0 ⇒crescente un + − n ≤
1 u 0 ⇒decrescente
u1 + un ub − u a
Progressão Aritmética : u n + − n =r
1 u un = 1 + n − ) . r
u ( 1 Sn = ×n r=
2 b−a
un+1 1− r n
Progressão Geométrica : =r u n =u1 . r n −1
S n = u1 .
un 1− r
- GEOMETRIA –
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5. “Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei
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Distância entre 2 pontos d =PQ = ( x2 − 1 ) 2 + y 2 −y1 ) 2
x ( sendo P ( x1 , y1 ) e Q ( x 2 , y 2 )
Mediatriz de [AB] : ( x −1 )2 + y − 1 )2 = x − 2 )2 + y − 2 )2
x ( y ( x ( y sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
 fo cos ( ±c , 0 )
x2 y2 vértices ( ±a , 0) ( 0, ±b )
Eq. Circunf. centro (x1,y1) raio r : ( x − 1 )2 + y − 1 )2 = 2
x ( y r Eq. Elipse 2
+ 2 = 1 e ( a > b) sendo eixo maior :: 2 a
a b eixo menor 2 b
c = a 2 −b 2

Vectores
Elipse y
a
. .
b AB = − = x2 − 1 , y2 − 1 )
B A ( x y sendo A ( x1 , y1 ) e B ( x 2 , y 2 )
-a c +a x
2 2
Soma de vectores u + = x1 + 2 , y1 + 2 )
v ( x y sendo u ( x1 , y1 ) e v ( x 2 , y 2 ) Norma vector: u = x1 + y1 se u ( x1 , y1 )
 x + x2 y1 + y2 
Ponto médio [AB] M  1 ,  se A = ( x1 , y1 ) e B = ( x 2 , y 2 )
 2 2 
Eq. Vectorial recta ( x, y ) =( x0 , y0 ) + (u1 , u 2 )
k k∈ℜ contém o pto A( x , y ) e tem direcção de u (u , u )
0 0 1 2
 x = x0 + k u1 x − x0 y − y0
Eq. Paramétricas recta  Eq. Cartezianas recta =
 y = y0 + k u 2 u1 u2
y2 − y1
Declive recta m = tan α = Equação recta q contém P(x1,y1) e declive m: y − 1 = .( x − 1 )
y m x Eq. Reduzida: y =mx +b
x2 − x1
m' = m ⇒ r // s
r : y = mx + b 
Relação entre declives de duas rectas:   1 Produto escalar: u .v =ac +bd se u =( a , b ) e v =( c , d )
s : y = m' x + b' m' = − ⇒ r ⊥ s
 m
a .b
Produto vectorial: u . v = u . v . cos (u , v ) ou a . b = a . b . cos θ Âng. entre 2 vectores: cosθ = Projecção: proj a b = b . cos θ
a.b
b.a
proj a b = Teorema co-senos a 2 = 2 + 2 − bc . cos Â
b c 2
a
Eq. plano a ( x −1 ) + ( y − 1 ) +( z −1 ) =
x b y c z 0 contém o pto ( x1 , y1 , z1 ) e é ⊥ u ( a, b, c )
Eq. geral do plano ax + + + =
by cz d 0 plano ⊥a u ( a, b, c )
b×h
TRIÂNGULO : A =
2
CIRCULO : P = 2.π .r A = π .r 2
B+b
TRAPÉZIO : A = ×h
2
Áreas e Volumes:
PRISMA e CILINDRO : V = Abase × h
Abase × h
PIRÂMIDE e CONE : V =
3
4.π .r 3
ESFERA : V =
3
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