10 eac proj vest mat módulo 2 trigonometria

MÓDULO II – PARTE 10 MATEMÁTICA
Projeto
Vestibular Trigonometria Prof. Bruno Vianna

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Peguemos agora um, quadrado ABDC de lado x ao traçar a
diagonal BC temos o triângulo retângulo isósceles ABC,
Palavra derivada do grego: (trigonos = triângulo , abaixo representado:
metrein = medir). B
Tais noções estão ligadas às relações existentes
entre lados e ângulos de um triângulo retângulo. A partir
delas desenvolveu-se esse importante ramo da Matemática, 45º x 2
com aplicações por exemplo, na Navegação, na Engenharia, x
etc, principalmente na Física, especificamente no estudo de
fenômenos periódicos do som, luz e na eletricidade, entre
45º
outros.
A C
B x
1- Triângulo Retângulo:

β Logo aplicando Pitágoras:
2 2 2
c hipot = x + x
a
hipot = 2. x 2
α

C A hipot = x 2
b
Medidas dos lados (a → hipotenusa. b e c → catetos) Aplicando as definições vistas inicialmente, temos:

Definimos os números trigonométricos para um ângulo x 1 2 2
agudo α de um triângulo retângulo ABC, pelas relações: sen 45º = = . =
x 2 2 2 2
c cateto oposto
sen α = x 1 2 2
a hipotenusa
cos 45º = = . =
x 2 2 2 2
b cateto adjacente
cos α = x
a hipotenusa tg 45º = =1
x
c cateto oposto
tg α = Agora peguemos um triângulo eqüilátero ABC de lado x, ao
b cateto adjacente traçar a altura AH temos o triângulo retângulo AHC abaixo
representado A
b cateto oposto
sen β = hipotenusa
a
30º
x
c cateto adjacente x 3
cos β = hipotenusa 2
a
cateto oposto
b 60º
tg β = cateto adjacente
c C
H
x
Observe que: α + β = 90º e que: 2
Obs: HC é x / 2 pois AH é mediana da base e Â = 30º pois AH
sen α = cos β ; cos α = sen β e tgα = 1
também é bissetriz.
tgβ
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Projeto

Aplicando as razões trigonométricas, temos: 02) Olhando para o triângulo ao lado, é correto afirmar que:
x x 3 (A) sen β = 12/13
ˆ
13
sen 30º =
2 = 1 sen 60º =
2 = 3 (B) sen α = 12/13
ˆ α 5
x 2 x 2 (C) cos β
ˆ = 5/13
β
(D) tg β = 12/13
ˆ
12
x 3 x (E) tg α
ˆ = 5/12

cos 30º =
2 = 3 cos 60º =
2 = 1
x 2 x 2
03) Considerando a figura abaixo o valor de x é:

x
(A) 4 2
2 1 3 3
tg 30º = = . = (B) 6
x 3 3 3 3
(C) 6
2 (D) 4 3
x 3 (E) 6 3
tg 60º =
2 = 3
x
2 04) (UERJ-03-1ªfase) -Um barco navega na direção AB,
próximo a um farol P, conforme a figura abaixo.
Portanto temos:

30º 45º 60º
Sen 1 2 3
2 2 2
Cos 3 2 1
2 2 2
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
Tg 3 3 embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a direção
1
3 AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o
navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol,
forma um ângulo de 60º com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a:
01) Calcule o lado x dos triângulos retângulos abaixo:
B (A) 500 (B) 500 3 (C) 1.000 (D) 1.000 3
05) (Cefet) Calculando o valor de x na figura a seguir obtém-
a) b) se:
8 2
x
30º 45º (A) 720 2 22,5º 180 32
C A
(B) 720
x
(C) 360 2 45º
c) x 60º
(D) 360

9 (E) 180 2
x
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06) (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 , estão na beira de um rio A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o
de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra chão ( h = RT ) é:
margem. Sabendo que P1 P2 = 63 m , os ângulos
(A) 2,5 m (B) 3,0 m (C) 3,7 m
BP1 P2 = α e BP2 P1 = θ e que
ˆ ˆ
(D) 4,5 m (E) 5,2 m
tgα = 2 e tgθ = 4 , determine a distância (em metros)
entre as margens. 09) (AFA) O acesso ao mezanino de uma construção deve ser
feito por uma rampa plana, com 2m de comprimento. O
07) (Rural 2000-2ª F) Os “pardais eletrônicos”, filmadoras ângulo α que essa rampa faz com o piso inferior (conforme
utilizadas para flagrar os motoristas em alta velocidade, têm figura) para que nela sejam construídos 8 degraus, cada um
sido espalhados cada vez mais pela cidade do Rio de Janeiro e com 21,6 cm de altura, é, aproximadamente, igual a
causado discussões e controvérsias entre os motoristas e a
O
Prefeitura da Cidade.Uma das filmadoras foi colocada em um (A) 15
poste vertical, formando com o mesmo um ângulo de 30º . O
(B) 30 2m
Após 0,125 segundo da passagem do carro pela direção do
O
poste o veículo foi fotografado.Considerando que a (C) 45
velocidade do automóvel, do momento em que passou pelo
(D) 60
O α
poste até o momento da fotografia foi de 32 m/s, determine
a altura (H) da filmadora.

10) (ESPCEX-96) De posse da figura abaixo, e sabendo que as
circunferências são tangentes entre si e que ambas
tangenciam os lados do ângulo AÔB, pode-se concluir que o
valor de sen α é igual a:

R+r A
(A)
R−r
R −r
(B)
R + r R
08)(UFF-2004-1ªf)A figura a seguir esquematiza uma situação
obtida por meio de um sistema de captação e tratamento de R
(C) r
imagens, durante uma partida de vôlei. R+r 2α B
O

R2
(D)
R+r
R2
(E)
R−r

Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores
que estão olhando para a bola com um ângulo de visada de
30º, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos
(pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m
( PM = QN = 2,0 M ) que a distância entre os
jogadores é igual a 1,5 m (MN = 1,5 M ) e que cosα = 4
3.

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ARCOS E ÂNGULOS

Unidades de medida:
Ângulo → graus.
Arcos → radianos.

Relação: π = 180º

Conversões:

Ex 1) 30º quantos radianos ?

π 180º 30π π
= >> 180 x = 30π >> x = =
x 30º 180 6

2π
Ex 2) quantos graus ?
3

2 ⋅ 180º 360º
= = 120º
3 3
Relações trigonométricas
CICLO TRIGONOMÉTRICO

sen x tg x
90º

II I
180º 0º cos x
360º
III IV

1) Relação Trigonométrica Fundamental:
270º
2 2
sen x + cos x = 1
Redução ao 1º quadrante
sen x
90º sen x
tgx =
cos x
180º - x x
2) Razões Inversas
cos x 1 1 1
180º 0º sec x = cos sec x = cot g x =
360º cos x sen x tgx
2 2
sec a = 1 + tg a
x + 180º 360º - x
2 2
cossec a = 1 + cotg a
270º

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EXERCÍCIOS: 18) (UFF-2000) - Considere os ângulos α , β e γ conforme
1 π representados no círculo.
11) Dado cos x = , e 0 < x < , calcular sen x e tg x
3 2 y

2 2
12) (Cesgrario) Se sen x = , o valor de tg x é:
3
1 5 3 4 2
(A) (B) (C) (D) (E) β α
5 5 2 5 2 1
γ x
13) Dados sec x= 2 e (x pertence ao 1ºquadrante),

calcular sen x, cos x, tg x, cossec x, e cotg x.

14) (Rural – 2001)
Pode-se afirmar que:

(A) cos α < cos β (B) cos γ > cos α
Dentre os conjuntos abaixo, o que está contido no conjunto (C) sen α > sen β (D) sen β < cos γ
solução da equação acima é (E) cos β < cos γ

19) (UERJ-03-1ªfase) Observe a matriz a seguir.

3 π
15) (UNIRIO) - Sendo sen x = e0<x< , calcule
2 2
sec x − cos sec x
y= Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte
1 − cot g x
resultado:
2 3
1 1 3 (A) 1 (B) sen x (C) sen x (D) sen x
(A) -2 (B) (C) - (D) - (E) 2
2 2 2
cos a − sen a 0
π 20)(UNIRIO-00-1F) O valor de sen a cos a 0 é:
16) (UFF) - Considere o ângulo θ ≠ k , k ∈ Z.
2 0 0 2
Sobre o produto :
(A) 4 (cos a + sen a)
sen θ . cos θ . tg θ . cotg θ . sec θ . cossec θ,
(B) 4
pode-se afirmar que é igual a: 2 2
(C) 2 (cos a – sen a)
3 2 (D) 2
(A) 1 (B) (C) 0 (D) − (E) -1
2 2 (E) 0

17) (UFF-97) - Para θ = 89º, conclui-se que: π π
21) (Rural-99) A expressão tg
2
− sec 2 , vale:
3 3
(A) tg θ < sen θ < cos θ
(B) cos θ < sen θ < tg θ
3 2 1 1
(C) sen θ < cos θ < tg θ (A) (B) − (C) (D) – (E) –1
(D) cos θ < tg θ < sen θ 2 2 2 2
(E) sen θ < tg θ < cos θ

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22) (UFF-2011- 2ªF- Grupos G e H) Fixado um sistema de 26) (UFF) O valor de log cotg 10º + log cotg 80º é:
coordenadas retangulares no plano, sejam A=(3,0), O=(0,0) e 3
P um ponto sobre o círculo de centro em O = (0,0) e raio 1. (A) zero (B) 1 (C) −
2
Sabe-se que a medida, em radianos, do ângulo θ = AÔP , 2 3
(D) −
 π 2
(E)
3
indicado na figura, pertence ao intervalo  0,  e que o
 2 27) Seja y = ln cotg 1º + ln cotg 2º + l cotg 3º + ... + ln cotg
segmento AP é tangente ao círculo no ponto P. Determine: 88º + ln cotg 89º. Pode-se concluir que y é igual à:
cotg 4005º
(A) zero (B) 1 (C) e

(D) cotg 4005º (E) π

28) (Espcex-01) Para todo 0 < x < 2π

a) o comprimento do cateto AP do triângulo retângulo AOP. simplificando a expressão:
b) o seno do ângulo θ = AÔP . 1 1 1 1
+ + +
c) as coordenadas do ponto P. 1 + sen x 1 + cos x 1 + sec x 1 + cos sec 2 x
2 2 2

obtem-se o valor:
23) (UFRJ) - Resolva a equação para x ∈ [0,2π]:
(A) ½ (B) 1 (C) 2 (D) -1 (E) 0
sen x . tg x . sec x = cos x . cotg x . cossec x.
Relações métricas num triângulo qualquer
2
24) (Rural –99) O número de soluções da equação 2 cos x -
3 cos x - 2 = 0 no intervalo [0,π] é: 1) Lei dos Senos (ou Lei de Lamy): (*)

(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 4 (E) 3 Num triângulo qualquer, a razão entre um lado e o
seno do ângulo oposto é constante e igual à medida do
25) (UFF-95) Assinale qual dos gráficos abaixo representa os diâmetro do círculo circunscrito.
pontos M e N, extremidades dos arcos que são soluções da
equação sen x = tg x.
M
(A) (B)
a b c
= = = 2R
sen A sen B sen C
M N

2) Lei dos Cossenos: (*)
N Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de
(C) (D) M um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos
outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois
lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
N M N

(E) M

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos θ
N

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II) ADIÇÃO DE ARCOS Função Tangente

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

cos (a + b) = sen a . sen b - cos a . cos b

cos (a - b) = sen a . sen b + cos a . cos b

DUPLICAÇÃO DE ARCOS

sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a – sen a

tga + tgb
tg (a + b ) =
EXERCÍCIOS
1 − tga ⋅ tgb
29) Calcule x no triângulo abaixo:

tga − tgb
tg (a − b ) = x
1 + tga ⋅ tgb a)

2m
2 tga
tg 2a = 120º

1 − tg 2 a
1m
b)
III) Funções trigonométricas 45º

Função Seno x

30º

12

c)
12

Função Cosseno 60º

R = 3 cm

30) Num triângulo ABC são dados Â = 60º; B = 45º e BC =
4cm. Determine a medida de AC.

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31) Duas árvores localizam-se em lados opostos de um lago. 1 3
O ângulo entre as linhas de visão de um observador que as vê 36) Se sen a = e cos b = (a e b ∈ IQ). Calcule:
é de 120º e o ângulo formado por uma dessas linhas e a linha
3 5
que une as árvores é de 45º. Sabendo que a 3ª linha mede
a) sen (a + b) =
100 m, qual é à distância entre as árvores?
b) cos (a + b) =
32) (UFRJ-2001-PNE) Os ponteiros de um relógio circular
medem, do centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, c) sen (a – b) =
e 1 metro, o das horas.
d) cos (a – b) =
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros
quando o relógio marca 4 horas.
37) Sabe-se que a é um arco do 1º quadrante e que sen a =
33) (UFRJ-02-PE) O objetivo desta questão é que você
4
, calcule :
demonstre a lei dos cossenos. Mais especificamente, 5
considerando o triângulo da figura abaixo, mostre que a) sen 2a =

b) cos 2a =

c) tg 2a =

38) (PUC) - Se sen x = 3/5 , um possível valor de sen 2x é :

(A) 4/5 (B) 6/5 (C) 5/12
(D) 24/25 (E) 12/13
34) (Unicamp) A água utilizada na casa de um sítio é captada
e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de 39) (PUC) No intervalo 0 ≤ x ≤ π, o número de raízes da
distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o equação sen 2x - sen x = 0 é:
ângulo formado pelas direções: caixa-d’água – bomba e
caixa-d’água – casa é de 60º. Se pretende-se bombear água (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de
2
encanamento serão necessários? 40) O valor de (sen 22,5º + cos 22,5º) é:

35) O paralelogramo ABCD está dividido em triângulos 1− 2
eqüiláteros congruentes, de lados unitários, conforme sugere (A)
a figura.
2
D
C 1+ 2
N (B)
2
2+ 2
(C)
M 2
A B 2− 2
(D)
2
(E) 1
A distância MN é igual a:
41) (UFRJ-2004-PE)
(A) 4 3 (B) 5 2 (C) 3 5 2 2
A equação x – 2x cos θ + sen θ = 0 possui raízes reais iguais.
(D) 2 7 (E) 6
Determine θ, 0 ≤ θ ≤ 2π

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42) (UERJ-98-1ªFase) Um holofote está situado no ponto A, a
30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao
plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma
parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base B,
conforme demonstra a figura abaixo:

Enquanto o eixo gira com uma velocidade angular de módulo
constante, o piloto dispõe de um
comando que pode expandir ou contrair o cilindro hidráulico
BD, fazendo o ângulo variar,
para que o avião suba ou desça.

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a
medida do ângulo CÂD corresponde a:
(A) 60º
(B) 45º A medida do raio r da trajetória descrita pelo ponto A, em
(C) 30º função do ângulo θ , equivale a:
(D) 15º
(A) 6 sen θ (B) 4 sen θ (C) 3 sen θ (D) 2 sen θ
43) (UERJ-06-1º EX) Observe as situações abaixo, nas quais
um homem desloca uma caixa ao longo de um trajeto AB de 45) (UFRJ-97)- Seja x tal que sen x + cos x = 1.
2,5 m.
Determine todos os valores possíveis para:

sen 2x + cos 2x.

46) (ESPCEX - 1996) O retângulo ABCD está dividido em três
quadrados, como mostra a figura abaixo. Nestas condições,
pode-se concluir que α + β vale:
D C

As forças F1 e F2, exercidas pelo homem nas duas situações, )α )β )γ
têm o mesmo módulo igual a 0,4 N e os ângulos entre suas A
direções e os respectivos deslocamentos medem θ e 2θ . B
π π γ γ
(A) −γ (B) +γ (C) (D) (E) π − γ
Se k é o trabalho realizado, em joules, por F1, o trabalho 2 2 3 2
realizado por F2 corresponde a:
47)(EsPCEx 1999) Sendo
k k 2 +1 2
(A) 2k (B) (C) (D) 2k -1 π π π π π 4π 16π
2 2 X = + + + .... e Y = + + + + ..... ,
3 6 12 4 5 25 125
44) (UERJ-01) Em um parque de diversões há um brinquedo
o valor de sen (X + Y ) é
que tem como modelo um avião. Esse brinquedo está ligado,
por um braço AC, a um eixo central giratório CD, como ilustra
a figura abaixo: − 3+ 2 − 6+ 2 − 6− 2
(A) (B) (C)
2 4 2

6− 2 3− 2
(D) (E)
4 2
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48)(EsPCEx 1999) Na figura abaixo estão representados os 52) (UERJ-2009-ESP)
gráficos das funções reais Considere o teorema e os dados a seguir para a solução desta
f(x)=cos x e g(x)=log x. questão.
O valor de x que satisfaz a equação log x = cos x está entre
(A) 0 e 1
(B) 1 e 1,6
(C) 1,6 e 2,4
(D) 2,4 e 3,2
(E) 3,2 e 4,0

Calcule tg(a − b + c).

49) (Espcex-97) A figura abaixo representa o gráfico da 53) (UERJ-2ªF) -Lembrando que:
função definida por f(x) = a cos (bx). Os valores de a e b são, cos (a+b) = cos a cos b - sen a sen b e
respectivamente: sen (a+b) = sen a cos b - sen b cos a :

a) demonste as identidades:
(A) 1 e 2
1) cos (2θ) = 2 cos θ - 1
2
(B) -1 e ½
2) cos (3θ) = 4 cos θ - 3 cos θ
3
(C) 1 e ½
(D) -1 e 1
b) Usando a identidade cos(3θ) = 4 cos θ - 3 cos θ , mostre
3
(E) -1 e 2
que cos 40º é raiz da equação :
3
8x - 6x + 1 = 0

54) (UFRJ-2010) Dois quadrados de lado L estão, inicialmente,
perfeitamente sobrepostos. O quadrado de cima é branco e o
de baixo, vermelho. O branco é girado de um ângulo Ɵem
50) (UFF-99)- A expressão:
torno de seu centro O, no sentido anti-horário, deixando
π 
cos( x + π ) + sen + x − tg( − x) + cot g x , em que 0 visíveis quatro triângulos vermelhos, como mostra a figura a
2  seguir.
π
<x< , é equivalente a:
2
2
(A) (B) x (C) 2 . cos 2x
sen2 x
Determine a soma das áreas dos quatro triângulos
tg x vermelhos em função do ângulo Ɵ.
(D) (E) x . cotg x
x
55) (UERJ-99-2ªfase) Observe o gráfico da função f, que
51) (UFF-2010-2ªfase) Nos itens abaixo, arccos denota a possui uma imagem f(x) = |2 sen (2x)| para cada x real.
função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π ]e
arctg denota a função inversa da função tangente restrita ao
intervalo

a) Calcule o arccos(cos( )).

b) Calcule sen(arctg(-1)).
a) Sendo C o ponto de interseção do gráfico com o eixo x, D a
c) Verifique que para todo origem e tangente ao gráfico de f, calcule a área do
x ϵ [-1,1]. retângulo ABCD.

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Projeto

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b) Mostre graficamente que a equação | 2 sen (2x) | = x tem Resolução de Algumas Questões
três soluções.
Justifique a sua resposta. Questão 22)

GABARITO:
01) a) x=1 b) x = 2 c) x = 3 3 02) B

03) A 04) B 05) B 06) 84 m

07) 4 3m 08) C 09) D 10) B
Questão 51)
11) senx = 2 2 e tgx = 2 2 12) D 13) Aula a) Como arccos é a função inversa da função cosseno restrita
3 ao intervalo [0,π ] , segue-se que:
14) E 15) E 16) A 17) B

18) E 19) D 20) C 21) E

2 2  
22) a) 2 2 b) c) P =  1 , 2 2 
3 3 3 
  c) Tem-se:
π 3π 5π 7π
23) , , , 24) A 25) C
4 4 4 4

26) A 27) A 28) C

4 3
29) a) 7 b) 6 2 c) 30) 4 6
3 3

31) 50 6 32) 7 m 33) Dem
pois, para x ∈
[−1,1], arccos(x)∈ ] e, nesse intervalo, a
[0,π
função seno é não negativa.
34) 70 m 35) 2 7 36) aula
Questão 52)
37) aula 38) D 39) B

π 3π
40) C 41) e 42) B
4 4

43) D 44) C 45) -1 e 1

46) E 47) B 48) B
Questão 54)
49) B 50) A
Os quatro triângulos vermelhos são triângulos retângulos e
π 2 congruentes. A soma de suas áreas é dada por 2xy , com
51) a) b) − c) Dem 52) – 32 x = a cos θ e y = a sen θ.
5 2

53) Dem 54)

55) a)2π b) Dem
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Projeto

Como o lado do quadrado mede L, segue da figura que, a cos
θ + a + a sen θ = L

Questão 55)

a) AD = 2 CD = π e Área( ABCD) = 2π

b)

A interseção do gráfico de f com o da função y=x2 é um
conjunto de três pontos, logo essa equação tem 3 raízes.

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10 eac proj vest mat módulo 2 trigonometria

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