Aula 2 matrizes
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Este documento apresenta os principais conceitos de matrizes em três frases: 1) Matrizes são representadas por tabelas onde cada elemento tem uma linha e coluna, permitindo operações como adição e subtração quando tiverem a mesma ordem. 2) Existem vários tipos de matrizes como quadrada, nula e identidade, e operações como transposta, oposta e multiplicação por um número. 3) A multiplicação de matrizes será explicada nas próximas aulas, com exercícios propostos de adição, subtração e multiplicação por um número.
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Aula 2 matrizes
- 1. AULA 02 GEOMETRIAANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Professor: João Alessandro MATRIZES
- 3. 1.1 POSTULADOS E AXIOMAS Postulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitos primitivos e aceitamos sem demonstração. Exemplos: a) Existe reta, e numa reta, bem como fora dela há infinitos pontos. b) Existe plano, e num plano, bem como fora dele há infinitos pontos. Exemplo a Exemplo b
- 4. Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados. Exemplos: a)Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² b) Teorema Angular de Tales: O Teorema nos diz que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo QUALQUER é igual à 1800 . 1.2 TEOREMAS
- 5. Corolário: é uma decorrência imediata de um teorema. Exemplos: o comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado possui comprimento a é dado por . Isso é um corolário do Teorema de Pitágoras. Lema: é um teorema que é usado como um passo intermediário para atingir um resultado maior, provado em outro teorema. Normalmente o lema tem pouca serventia além de servir ao propósito do teorema que o utiliza, mas isto não é uma regra, e a classificação entre lemas e teoremas é arbitrária. 1.3 OUTROS 2a
- 6. 2 – MATRIZES
- 7. 2. MATRIZ Conheça e veja a tabela de Notas do 2º Ano do Ensino Médio de 2 alunos em 2013: Pois é! Vou ter quePois é! Vou ter que estudar mais este ano!!!estudar mais este ano!!! Pois é Baby... EstePois é Baby... Este ano menos Pedroano menos Pedro Paulo e Alex naPaulo e Alex na cabeça e maiscabeça e mais estudo!!!estudo!!! Maria Setembrina Rick Martini
- 8. TABELA DE NOTAS Alunos/Notas 1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre Média Anual Resultado Maria Setembrina 40 60 40 60 50 Reprovada Rick Martini 20 40 30 30 30 Reprovado A IDÉIA DE MATRIZ É A IDÉIA DE UMA TABELA: PARA A MATEMÁTICA, CHAMAREMOS LINHA DE (i) E COLUNA DE (j), AMBAS COM LETRA MINÚSCULA. PORTANTO NA TABELA ACIMA TEMOS: i = 3 e j = 7
- 10. 2.2 TIPOS DE MATRIZES [ ] = = 01 4 3 :EXEMPLO AtipoDo- coluna.únicaumaPossui- :COLUNAMATRIZB) 543 :EXEMPLO AtipoDo- linha.únicaumaPossui- :LINHAMATRIZA) mx1 1xn A A [ ] = == = = 497 6815 1410 62 83 ;3 :EXEMPLO n.mPortanto colunas.denúmeroaoigualélinhasdenúmeroO- :QUADRADAMATRIZD) 000 000 :EXEMPLO 0.valemmatrizdaelementososTodos- :NULAMATRIZC) CBA A
- 11. 2.2 TIPOS DE MATRIZES = = −− −− =− − − = 12810 1043 Aatranspostmatriz 1201 84 103 :EXEMPLO colunas.pelaslinhasasnteordenadamese-trocandoobtidaÉ- :TRANSPOSTAMATRIZF) 798 543 : 798 543 :EXEMPLO A.-pordarepresentaéAdeopostamatrizA- matriz.umadeelementocadadesinalose-trocandoobtidaÉ- :OPOSTAMATRIZE) t aeA AopostaMatriz A
- 13. 2.3 IGUALDADE DE MATRIZES ( ) BA PORTANTO BeA ba Definição ijij = − − = − − = =⇔= == : 798 543 798 543 :EXEMPLO BA :TEMOSn,xmTIPO,MESMODOMATRIZES ,bBE)(aASENDO: ijij
- 14. 2.4 ADIÇÃO DE MATRIZES ( ) :EXEMPLO BA :TEMOSn,xmTIPO,MESMODOMATRIZES ,ijbBE)ij(aASENDO: ijbijaijcC Definição +=⇔+= == −+ − 01 52 40 52 04 11 = 53 52 31 É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. + = Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
- 15. 2.5 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ( ) −− − = −− −− = −= = = −=⇔−= == 72 54 9253 10548 :. 95 104 23 58 :EXEMPLO BA :TEMOSn,xmTIPO,MESMODOMATRIZES ,bBE)(aASENDO: ijij C C BAC PORTANTOBeA bacC Definição ijijij
- 16. 6. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ = = = = = =⇔= = 46 1016 2.23.2 5.28.2 .2 :.2 23 58 :EXEMPLO .. :TEMOSREAL, NÚMEROr UMEn,xmTIPO,DOMATRIZ ,)(aASENDO: ij B B AB PORTANTOreA arBArB Definição ijij
- 17. 2.7 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES SERÁ VISTO EM QUADRO-NEGRO NAS PRÓXIMAS AULAS. AGUARDEM!!!!
- 18. 3 – EXERCÍCIOS
- 19. 3. EXERCÍCIOS a) A + B b) B – A c) 2A d) B – I2
- 20. 3. EXERCÍCIOS