Sugestão de projeto para os alunos de 2 ano do Ensino Médio, na disciplina de Matemática, utilizando o software Poly

1. LANTE – UFF
PÓS-GRADUAÇÃO EM NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO
DA MATEMÁTICA
DISCIPLINA: INFORMÁTICA EDUCATIVA I
TUTOR: CARLOS RENATO
ALUNA: FABIANA CHAGAS DE ANDRADE
PROJETO FINAL
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS POLIEDROS E RELAÇÃO
DE EULER UTILIZANDO O SOFTWARE POLY
MARÇO 2015

2. OBJETIVOS
Para nortear nosso projeto, utilizaremos a teoria pós-construtivista, que
tem como uma de suas características a interação aluno-aluno e aluno-
professor. Nessa teoria, o conhecimento é construído de maneira coletiva, e os
recursos tecnológicos podem e devem facilitar esse aprendizado, pois motivam
os alunos a trocar informações na realização das atividades. Logo, os objetivos
do projeto, construído com base nessa teoria são:
• Promover a interação entre discentes e docentes,
• Melhorar a visão espacial dos alunos com o manuseio do
software Poly, desenvolvendo as habilidades de visualização descritas
por GUTIÈRREZ (1996, p.10);
Percepção de figura base: habilidade de identificar uma figura
específica isolando-a de um fundo complexo.
Constância perceptual: habilidade de reconhecer que algumas
propriedades de um objeto (real ou em uma imagem mental) são
independentes do tamanho, cor, textura ou posição, e permanecer não
confuso quando um objeto ou figura é percebido em diferentes
orientações.
Rotação mental: habilidade de produzir imagens mentais
dinâmicas para visualizar uma configuração em movimento.
Percepção de posições no espaço: habilidade de relacionar um
objeto, figura ou imagem mental em relação a si mesmo.
Percepção de relações espaciais: habilidade de relacionar vários
objetos, figuras e/ou imagens mentais uns com os outros ou
simultaneamente consigo mesmo. Discriminação visual: habilidade de
comparar vários objetos, figuras e/ou imagens mentais para identificar
semelhanças e diferenças entre eles.
• Melhorar o rendimento dos alunos em questões do SAERJ
(Sistema de Avaliação da Educação do Estado do Rio de Janeiro)
envolvendo planificação de poliedros e relação de Euler.

3. PÚBLICO ALVO, TEMPO DE DESENVOLVIMENTO E LOCAL
O projeto se destina aos alunos do 2º ano do Ensino Médio, e
será realizado no final do 1º Bimestre de 2015, contemplando o currículo
mínimo da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro. A
primeira parte do projeto será desenvolvida em sala de aula e a segunda
parte no laboratório de informática, em um total de quatro horas-aula,
divididas em dois dias.
DESCRIÇÃO (DESENVOLVIMENTO DO PROJETO)
O professor iniciará a aula conceituando Geometria Espacial e a
importância de seu estudo. Também serão definidos poliedro convexo e
poliedro regular:
Geometria Espacial: corresponde a área da matemática que se
encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que
possuem mais de duas dimensões.
Poliedro: Do grego - poly (muitas) + edro (face)
Poliedro convexo: Sabe-se que um plano divide o espaço
tridimensional em duas regiões. Admita-se o poliedro em uma dessas
regiões e verifique-se se o mesmo se mantém todo nessa região,
qualquer que seja a face que pertença ao plano. Se isso acontecer, o
poliedro chama-se convexo, do contrário, será côncavo.
Poliedro regular: São os poliedros cujas faces são polígonos
regulares iguais entre si, e cujos ângulos poliédricos são todos iguais.
Com os termos definidos, o professor irá mostrar, com ajuda do
projetor, diversos poliedros no software Poly, tais como: hexaedro,
pirâmides, prismas, octaedro etc.
O professor irá manipular cada um dos poliedros, girando-os a fim
de que os alunos compreendam seu formato, e em cada em deles serão
comentadas suas propriedades, o formato de suas faces, sua
nomenclatura e outras informações que forem julgadas importantes.

4. Em cada poliedro, os alunos deverão registrar a quantidade de
vértices, faces e arestas, que serão contadas em junto com o professor,
em uma tabela como abaixo:
Nome do
Poliedro
Número de
Vértices
Número de
Faces
Número de
Arestas
Vértices +
Faces
Além dos registros, o professor irá utilizar o recurso de “abrir” os
poliedros, mostrando sua planificação, que é um recurso muito
interessante do Poly, para que os alunos criem uma imagem mental da
cada uma. É importante destacar que as cores, o layout do software e
sua dinâmica contribuem para motivar os alunos, favorecendo o
aprendizado.
Após a tabela ter sido preenchida, o professor deve motivar os
alunos para que encontrem alguma relação entre a penúltima e a última
coluna. Espera-se que os alunos, em grupos, consigam concluir a
relação de Euler, observando que última coluna sempre excederá em
duas unidades a penúltima.
Em um segundo momento, os alunos resolverão alguns
problemas em grupo, utilizando a relação de Euler para descobrir algum
dos elementos de um poliedro. Alguns exemplos de exercícios estão
abaixo:
01.(FAAP/SP) Num poliedro convexo, o número de arestas
excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Solução:
De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6
Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade
acima:

5. V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6 F = 8
02.(FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces
com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse
poliedro?
Solução:
Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9
Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38
Atenção: As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao
contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada
duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número,
na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:
A = 38 ÷ 2 = 19.
Usando, agora, a Relação de Euler, temos:
V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 V = 12.
03. Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas
é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?
Solução:
Usando a relação de Euler, temos:
V + F = A + 2
V + 8 = 12 + 2 => V = 6

6. Na segunda aula ocorrerá o segundo momento do projeto: os
alunos estarão divididos em grupos de três na sala de informática.
Cada grupo irá manusear o software Poly livremente durante 10
minutos, e o professor ensinará as funcionalidades do programa. É
interessante que o aluno gire, “abra” diferentes poliedros, a fim de
ampliar sua visão espacial.
Abaixo temos um exemplo da Esfera Geodésica de freqüência 6:
Após essa atividade, os alunos seguirão um roteiro de exercícios a
serem executados e seus registros anotados na folha como abaixo:

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FANTI, Ermínia de L.C. , Explorando Poliedros Convexos no Ensino Médio
Com o Software Poly, UNESP, São Paulo. Disponível em
http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/explorando-
poliedros-convexos---prof.-erminia,-cida-e-helia.pdf . Acesso em 06.mar.2015
GUTIERREZ, Angel. Visualization in 3-Dimensional Geometry: In Search of a
Framework. University of Valence, Spain, 1996. Disponível em:
http://www.uv.es/gutierre/archivos1/textospdf/Gut96c.pdf . Acesso em: 06 mar.
2015.
Sites consultados: (acesso em 06.mar.2015)
http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/poly1.pdf
http://cantinhodocalazans.blogspot.com.br/2013/09/poliedrosexercicios-
resolvidos-usando.html
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php
http://www.todamateria.com.br/geometria-espacial/