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SUMÁRIORESUMO ...............................................................................................................
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ABSTRACTThe purpose of this thesis is to show the difficulties of many students at the beginning oftheir Elementary School...
LISTA DE ILUSTRAÇÕES                                                                                                      ...
Figura 23: Contagem por agrupamento................................................................................... 31F...
Figura 47: Jogo virtual......................................................................................................
1. INTRODUÇÃO                    O presente trabalho busca relacionar as dificuldades que os alunos dos anosiniciais do en...
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A origem do algoritmo da divisão data dos primórdios da própriamatemática, ou seja, nasceu da necessidade de resolver prob...
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Não podemos afirmar qual a melhor técnica para o ensino do algoritmo dadivisão, mas dois aspectos essenciais contribuem pa...
2. REVISÃO DE LITERATURA                      Inicialmente essa pesquisa preocupa-se em fundamentar o estudo doalgoritmo d...
Lima (2010) e Moreira (2002); apontam as dificuldades dos alunos doprimeiro ciclo do ensino fundamental com relação ao ens...
E finalmente, Gallego (2007) que nos traz uma definição das ideias departição e cotição presentes na divisão.             ...
3. AS DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS ALUNOS NA REALIZAÇÃODO ALGORITMO DA DIVISÃO                    Voltando a análise pr...
alguns números o agrupamento das unidades, das dezenas e das centenas são exatos e, quandoisso acontece, imediatamente, es...
número mil, ao lado o número vinte e por fim o quatro. Estamos falando de um número comsete algarismos ao invés de quatro ...
dedo mínimo valerá seis, o anular sete, o médio oito, o indicador nove e o polegar dez.Quando quisermos multiplicar dois n...
subtração, a criança tem muita dificuldade em compreender o que significa “vai um” ou “pedeum emprestado”, pelo fato do si...
Sem dúvidas essa é uma técnica de divisão rápida e eficiente. Porém não ébem compreendida pelos alunos. Por que dividimos ...
Distribuímos as dezenas.                           Figura 7: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado          ...
número em unidades, dezenas e centenas nas ilustrações relacionadas ao material douradotratamos da operação de multiplicaç...
desenvolvimento de aprendizagem da criança “valorizando o erro como meio paracompreender a construção de conceitos matemát...
comparação multiplicativa e disposição retangular. Em função disso, o aluno pode           utilizar operações e raciocínio...
São alunos de áreas conflagradas que na sua maioria nunca saíram dela, ouseja, todas as atividades em família e de lazer s...
14 anos. Por isso foi necessário ler as questões de forma explicativa. Houve a preocupação empropor questões cujo problema...
Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de compor atravésda soma unitária das parcelas a partir do valor de...
3.   Contagem por agrupamento                 Essa é uma resolução bem comum quando se inicia o ensino da divisão coma ide...
A reação dos alunos foi imediata e um comentário merece atenção: “É comose tivesse dividindo aos poucos?”. A pergunta most...
Optaram por essa técnica por julgar ser mais fácil a divisão de dez porcinco, ao invés de sessenta por cinco. Após efetuar...
Questão 3: Cada caderno custa 2 reais. Quantos cadernos podemos comprar com 14 reais?                  Dentre os 4 grupos ...
Questão 4: Rita comprou 5 canetas e pagou 15 reais. Se cada caneta custa o mesmo preço,quanto pagou por cada caneta?      ...
Questão 5: A girafa tem 6 metros de altura. O canguru tem 2 metros. Quantas vezes agirafa é maior que o canguru?          ...
Ao final da resolução concluíram que: “A girafa tem o triplo do tamanho docanguru”.Questão 6: Doze crianças estão em filas...
“O problema nos propõe que são 12 pessoas distribuídas igualmente em 3 filas”. Então umaluno disse: “É conta de dividir!”....
conceitos serem formalizados pela escola. Nessa resolução foi possível relacionar a ligaçãoentre a multiplicação e a divis...
Esse conceito deve ser trabalhado com muita cautela, pois já não é simples compreender aassociação das expressões “ganhar”...
4. DIFICULDADES RELACIONADAS COM A PRÁTICA PEDAGÓGICA                  Tradicionalmente, a maioria das escolas do ensino f...
entre os conhecimentos cujos conteúdos são passados de forma linear. Não se pode confundirtreinar com aprender, pois apena...
Trabalho final   algoritmo da divisão -uma abordagem conceitual nos anos i…
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  1. 1. UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁCURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Denise Gomes da Silva ALGORITMO DA DIVISÃO:Uma abordagem conceitual nos anos iniciais do Ensino Fundamental Rio de Janeiro 2012
  2. 2. Denise Gomes da Silva ALGORITMO DA DIVISÃO:Uma abordagem conceitual nos anos iniciais do Ensino Fundamental Monografia apresentada à banca examinadora do Curso Superior de Licenciatura em Matemática do Campus Praça XI da Universidade Estácio de Sá, como requisito parcial à obtenção do título de Graduado com Licenciatura Plena em Matemática. Orientador: Prof. MSc. Maria Inmaculada Chao Cabanas Universidade Estácio de Sá Rio de Janeiro 2012 i
  3. 3. Denise Gomes da Silva ALGORITMO DA DIVISÃO: Uma abordagem conceitual nos anos iniciais do Ensino Fundamental Esta monografia foi apresentada em 15 de Junho de 2012 e julgada adequada paraobtenção do título de Graduado com Licenciatura em Matemática, por ter sido aprovada emsua forma final pela banca examinadora do Curso de Licenciatura em Matemática daUniversidade Estácio de Sá.BANCA EXAMINADORA: ______________________________________________________ Orientador – Prof. MSc. Maria Inmaculada Chao Cabanas Universidade Estácio de Sá ____________________________________________________ Examinador – Prof. Helena Theodoro Lopes Universidade Estácio de Sá ____________________________________________________ Examinador – Prof. Vinícius Ribeiro Pereira Universidade Estácio de Sá Rio de Janeiro 2012 ii
  4. 4. Dedico este trabalho de conclusão da graduação aos meus pais, irmãos,familiares e amigos que de muitas formas me incentivaram e ajudaram para que fosse possível a concretização deste trabalho. iii
  5. 5. AGRADECIMENTOS Agradeço a toda a minha família, e, em especial aos meus pais, Vera LuciaGomes e Adhemar Souza por me mostrarem o valor de uma conquista, do conhecimento e doamor, sempre me incentivando a crescer e por todo amor e dedicação que sempre tiveramcomigo. Às minhas irmãs Dirlene Gomes e Adriana Gomes, por todocompanheirismo, amor e amizade nos momentos mais difíceis. À minha vovó Dirlene Augusta, por me ensinar a ter paciência. À minha guia espiritual, por entender minhas fraquezas e acompanhar-menessa jornada. Aos meus amigos, pela verdadeira amizade, e, em especial aos que estavamsempre ao meu lado. À minha professora e orientadora, Maria Inmaculada, pela sabedoria,paciência e estímulo na realização da pesquisa. Aos membros da banca examinadora, pela assistência, disposição econtribuições. À professora orientadora da intervenção, Helena Theodoro Lopes pela forçae compreensão da nossa ausência nas aulas da disciplina. Por fim, a todos contribuíram direta ou indiretamente para que esse trabalhofosse realizado meu eterno agradecimento. iv
  6. 6. “A melhor escola ainda é o lar, onde a criatura deve receber as bases do sentimento e do caráter. Os estabelecimentos de ensino, propriamente do mundo, podem instruir, mas só o instituto da família podeeducar. E por essa razão que a universidade poderá fazer o cidadão, mas somente o lar pode edificar o homem.” (Emmanuel – Francisco Cândido Xavier) v
  7. 7. SUMÁRIORESUMO ................................................................................................................................viiABSTRACT ...........................................................................................................................viiiLISTA DE ILUSTRAÇÕES ..................................................................................................ix1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................12 REVISÃO DE LITERATURA ............................................................................................63 AS DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS ALUNOS NA REALIZAÇÃO DOALGORITMO DA DIVISÃO .................................................................................................9 3.1 Fundamentação teórica ...................................................................................................16 3.2 Metodologia ...................................................................................................................18 3.3 Análise ............................................................................................................................19 3.3.1 O que observamos a partir dessas análises ............................................................294 DIFICULDADES RELACIONADAS COM A PRÁTICA PEDAGÓGICA ................325 POSSÍVEIS CAMINHOS PARA O ENSINO DO ALGORITMO DA DIVISÃO .......396 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................547 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................57 8 ANEXO ..............................................................................................................................60 vi
  8. 8. RESUMOO presente trabalho tem como objetivo mostrar as dificuldades dos alunos dos anos iniciais doensino fundamental na realização do algoritmo da divisão, explicando as possíveis causas queos levam a apresentarem tal dificuldade e, ainda, analisar as dificuldades relacionadas àprática pedagógica, por meio de questionamentos e de reflexões sobre a abordagem doconceito da divisão em sala de aula. Para tal realizou-se uma pesquisa qualitativa cujo foco é aresolução de problemas através dos conhecimentos prévios, no qual envolvem as ideias departição e cotição presentes na divisão, e, com isso, analisou-se como os alunos compreendemas diferentes abordagens de um conteúdo e que estratégias didáticas utilizam para resolveresses problemas. Com base nessas estratégias apresentamos o algoritmo das subtraçõessucessivas. A pesquisa fundamentou-se na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud quevisa à análise do erro e a intervenção pedagógica como metodologia de ensino. Diante dasestratégias didáticas observamos que os alunos possuem múltiplas experiências cotidianasrelacionadas ao conhecimento matemático que lhes permitiram resolver problemas variadosde divisão sem a utilização do algoritmo tradicional. Essas experiências são necessárias paranortear o trabalho pedagógico diante da resolução de problemas em consonância com astendências metodológicas, com a história da matemática, com o uso de material didáticoconcreto, com as novas tecnologias e com os jogos. Após a análise dos aspectos didáticospresentes no contexto histórico e na prática pedagógica atual acerca do ensino dos conteúdose conceitos necessários a realização do algoritmo da divisão apontou-se possíveis caminhospara seu ensino, todavia entendemos que a qualidade do ensino depende da integração entre aescola, a família e a sociedade.Palavras-chave: Algoritmo da divisão, Teoria dos Campos Conceituais, Prática pedagógica. vii
  9. 9. ABSTRACTThe purpose of this thesis is to show the difficulties of many students at the beginning oftheir Elementary School regarding algorithm division. It will explain the possible causes ofthese difficulties and analyze the problems related to pedagogical practices by mean ofconsidering the issues of, and reflecting on, the concept of divisions in the classroom. Itwas archived a qualitative research whose focus is the solving of problems thoughtprevious knowledge involving partition and metrics present in division. Furthermore, howthe students understand the different approaches of this content, and which strategies maybe used to solve these problems. Based on these findings the successive subtraction methodis presented. The research was underpinned by the theory of Conceptual Fields made byVergnaud, that consists of the analysis of error and pedagogical intervention as a teachingmethod. Faced with these strategies, we observe that the students have multiple everydayexperiences related to the mathematic knowledge that allow us to solve many problems ofdivision without the utilization of traditional algorithm. These experiences are necessary tolead the pedagogical work according to the market tendencies, the history of themathematic, the use of teaching material, the new technologies and games withinElementary education. After analysing all the teaching aspects presents in the historicalcontext and in the current pedagogical practice, it was possible to propose some methodsfor teaching algorithm division. However, we understand that the teaching quality depends,primarily, on the integration between school, family and society.Keywords: Algorithm division, Theory of Conceptual Fields and Pedagogical practice. viii
  10. 10. LISTA DE ILUSTRAÇÕES PáginaFigura 1: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo....................................................... 13Figura 2: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo....................................................... 13Figura 3: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 14Figura 4: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 14Figura 5: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 14Figura 6: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 14Figura 7: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 15Figura 8: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 15Figura 9: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado............................................ 16Figura 10: Soma sucessiva....................................................................................................... 22Figura 11: Subtração sucessiva................................................................................................ 23Figura 12: Contagem por agrupamento................................................................................... 24Figura 13: Contagem por agrupamento................................................................................... 24Figura 14: Decomposição / algoritmo da divisão.................................................................... 25Figura 15: Resolução por tabela............................................................................................... 26Figura 16: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas.................................................... 27Figura 17: Método de tentativas............................................................................................... 28Figura 18: Método de tentativas............................................................................................... 28Figura 19: Método de tentativas............................................................................................... 28Figura 20: Método de tentativas............................................................................................... 29Figura 21: Material concreto.................................................................................................... 30Figura 22: Material concreto.................................................................................................... 31 ix
  11. 11. Figura 23: Contagem por agrupamento................................................................................... 31Figura 24: Contagem por agrupamento................................................................................... 31Figura 25: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas.................................................... 32Figura 26: Divisão com zero no quociente.............................................................................. 36Figura 27: Ábaco Oriental........................................................................................................ 39Figura 28: Ábaco Ociental....................................................................................................... 39Figura 29: Termos da divisão................................................................................................... 40Figura 30: Relação entre os termos da divisão........................................................................ 40Figura 31: Relação entre os termos da divisão........................................................................ 41Figura 32: Bingo alternativo.................................................................................................... 44Figura 33: Jogo virtual............................................................................................................. 45Figura 34: Ábaco alternativo.................................................................................................... 45Figura 35: Folha de atividade................................................................................................... 45Figura 36: Jogo virtual............................................................................................................. 46Figura 37: Material dourado.................................................................................................... 46Figura 38: Jogo virtual............................................................................................................. 46Figura 39: Adição..................................................................................................................... 47Figura 40: Subtração................................................................................................................ 48Figura 41: Subtração................................................................................................................ 49Figura 42: Multiplicação.......................................................................................................... 49Figura 43: Multiplicação.......................................................................................................... 50Figura 44: Multiplicação.......................................................................................................... 50Figura 45: Jogo virtual............................................................................................................. 58Figura 46: Jogo virtual............................................................................................................. 59 x
  12. 12. Figura 47: Jogo virtual.......................................................................................................... 59Figura 48: Jogo virtual.......................................................................................................... 59Figura 49: Jogo virtual.......................................................................................................... 60 xi
  13. 13. 1. INTRODUÇÃO O presente trabalho busca relacionar as dificuldades que os alunos dos anosiniciais do ensino fundamental apresentam na realização do algoritmo da divisão,identificadas em pesquisas no campo do ensino da matemática. Com base nessas pesquisasesperamos levantar as possíveis causas que levam esses alunos a apresentarem tal dificuldade. Atuando como estagiária por quase dois anos pela Secretaria Municipal deEducação do Estado do Rio de Janeiro através do Programa Reforço Escolar 1 no ProjetoAcelera Brasil: aceleração de aprendizagem para o corpo discente do 3° e 4° anos comdefasagem idade/ano escolar ou analfabeto funcional 2, foi possível observar algumas dasnecessidades e dificuldades dos alunos nessa etapa da vida escolar e constatar que não houvemudanças significativas na metodologia de ensino aplicada no período em que estive nacondição de discente desta mesma Unidade Escolar até os dias atuais. Por compreender aimportância desse algoritmo para a resolução de problemas e por identificar dificuldadespessoais no que diz respeito ao desenvolvimento cognitivo e à prática pedagógica, questiona-se o porquê das dificuldades quanto ao domínio pleno do algoritmo da divisão. Portanto,antes do inicio dos trabalhos de Reforço Escolar foi preciso, obviamente, conhecer os alunospor intermédio dos professores regentes a fim de identificar as características dosselecionados para o Projeto e, posteriormente, conhecer os alunos, a fim de analisar suasdúvidas no campo da matemática. Ao realizar tal investigação nota-se que quase todos osalunos desconhecem os algoritmos e o restante apenas reproduzia o método de resolução dasquatro operações fundamentais. Nesse contexto, esta pesquisa se justifica quanto à importância de seentender o que leva os alunos a terem dificuldades na compreensão do algoritmo da divisão eque implicações trazem o desconhecimento desse algoritmo, pelo aluno, para outrosconhecimentos matemáticos nas suas relações. Com isso, buscamos responder: Quais asdificuldades demonstradas pelos alunos em relação ao algoritmo da divisão? O que contribui,nas aulas de matemática, para que os alunos desenvolvam essa relação de dificuldade com o1 O Programa Reforço Escolar é composto de vários projetos que têm como objetivo proporcionar um salto dequalidade na educação carioca. O Programa Reforço Escolar se organiza com projetos e ações voltados para:realfabetização, aceleração de aprendizagem e qualificação da aprendizagem.2 Analfabeto funcional é a denominação dada à pessoa que, mesmo com a capacidade de decodificarminimamente as letras, geralmente frases, sentenças, textos curtos e os números, não desenvolve a habilidade deinterpretação de textos e de fazer as operações matemáticas. 1
  14. 14. algoritmo? O objetivo dessa pesquisa é identificar o que impede a compreensão do conteúdopor parte dos alunos e analisar a abordagem do mesmo por parte dos professores. A relevância desse tema está embasada na ampliação do conhecimentosobre esses conceitos pelo professor para que a transmissão do conhecimento não ocorra demaneira linear, mas sim, desenvolver de modo gradual as estruturas numéricas e evidenciar asrelações entre a adição e a multiplicação e entre a subtração e a divisão. Assim como, nasavaliações em larga escala que apontam para a dificuldade dos alunos na compreensão doalgoritmo da divisão e pesquisas que mostram a dificuldade dos professores para ensinar oalgoritmo. Sabemos que boas práticas pedagógicas, no ensino do sistema de numeração efatos básicos, contribuem para a compreensão do algoritmo. O algoritmo da divisão é a operação em que os alunos do EnsinoFundamental apresentam maiores dificuldades. Tal problema se agrava no 6º ano do EnsinoFundamental por não compreenderem a lógica do processo. Compreendê-lo não se resume naresolução da técnica operatória, mas sim generalizá-lo a situações cotidianas de modosignificativo. Não basta apenas saber o algoritmo da divisão, deve-se instigar o aluno a ser crítico, apontador de problemas, consciente e apto a reconhecer quando e em quais situações do cotidiano a divisão pode ser útil. “Multiplicar e dividir deve envolver situações em que os alunos possam lidar com grupos equivalentes, com a disposição retangular, com razões, comparações e produtos cartesianos. (Piano, Loureiro e Langer , 2011, apud CARVALHO e GONÇALVES, 2003, s.p.) É um algoritmo extremamente complexo tanto para quem está aprendendoe, sobretudo para quem está ensinando, pois requer várias estratégias que possibilitem que acriança vivencie as várias etapas desse algoritmo que vão desde a manipulação concreta àorganização mental das etapas. A nossa realidade escolar não atende às demandas sociais, visto que o corpodiscente não é instigado a criar estratégias, a comprovar, a justificar, a argumentar, araciocinar, a organizar, a interpretar e a tratar dados e informações. Lembramos que oconhecimento matemático é indissociável a vida cotidiana, seja para fins de integração socialcom a construção da cidadania ou para a formação profissional que possui extensos camposde aplicação como indústrias, comércios e áreas tecnológicas. Por isso, essa pesquisa fazquestionamentos e traz reflexões, especificamente voltadas para as práticas pedagógicas e aaquisição do conhecimento em função do algoritmo da divisão com os números naturais,procurando entender as dificuldades por parte de alunos e professores para que odesenvolvimento de ambos ocorra concomitantemente com a qualidade do ensino. 2
  15. 15. A origem do algoritmo da divisão data dos primórdios da própriamatemática, ou seja, nasceu da necessidade de resolver problemas cujas existênciascontinham fins práticos. Sendo assim, podemos afirmar que conceitos matemáticos foramdesenvolvidos paulatinamente ao longo do tempo e a sua aplicabilidade está historicamenteligada ao comércio, à contagem e a mensuração. Exatamente, por isso, é relevante a busca dasrelações existentes entre as operações e a contextualização dos conteúdos, não sendoconcebida exclusivamente como uma técnica operatória. Ao longo da história muito se discutiu sobre as técnicas de divisão, dentreelas a tabela da divisão, o processo longo com e sem operação inversa, o processo curto comou sem operação inversa, o processo das subtrações sucessivas, o processo da divisão pornúmeros compostos, os cálculos mentais variados e o processo por estimativas com ou semoperação inversa, no qual, alguns autores da época levantaram a necessidade da aplicaçãodessas técnicas associadas à resolução de problemas. Notamos a preocupação com aconcepção conceitual desse algoritmo na alusão de Smith (1827, apud SALVADOR, 2011,p.2), “a conveniência de fazer o estudioso compreender a natureza e a utilização da tabela dedivisão antes de fazê-lo memorizar é suficientemente óbvio”. Numa história mais recente, apartir dos anos 50, as técnicas operatórias não eram justificadas, mas sim, utilizadas técnicasde verificação de resultados e treinamentos para decorar resultados de cálculos mentais eescritos. A resolução de problemas só era utilizada para a prática das técnicas operatórias. Nofinal dos anos 60 o ensino das operações tem como base a teoria dos conjuntos não sendoexcitado o cálculo mental. Após os anos 80 questiona-se a importância da resolução deproblemas para o ensino das operações e sua relação com a realidade. Nos dias atuais, o usode resolução de problema nas aulas de matemática é muito mal interpretado e serve apenascomo exercício de fixação de conteúdos. Infelizmente, a nossa educação estacionou nos anos80, ignorando a prática dessa metodologia que tem como objetivo auxiliar a construção deconceitos, procedimentos e atitudes relacionadas ao campo das ciências exatas eespecialmente da área da Matemática. Opostamente, alguns educadores discutem as técnicas operatórias, citadasno parágrafo anterior, desenvolvidas durante o século XIX, enquanto outros se esforçam paramelhorar sua prática pedagógica. Uma tendência crescente que demonstra esse esforço é adivisão por estimativas que vem ganhando espaço por ser um método de fácil compreensão elógico, e que estimula o cálculo mental, pois se fundamenta no fato de que existem diferentesmaneiras de calcular além de auxiliar a compreensão do significado dessa operação, e ainda, 3
  16. 16. estimular a tomada de decisões por parte dos alunos. Mas para que isso ocorra é preciso que oprofessor respeite as diferentes estimativas e discuta estratégias. Diferentemente do que esperamos, a escola nos ensina a sermos obedientese darmos respostas que dizem ser certas, a fim de obter algum benefício próprio, pois sãoimpostas condições cuja intensão é conseguir alguma recompensa, evitando odesenvolvimento do pensamento lógico e da capacidade crítica das crianças. O que falar entãoda formação dos professores que receberam influência dessa educação de “méritos edeméritos” conforme disse Kamii (1990) em seu livro sobre as relações da criança com onúmero que nos informa que devemos levar em consideração a experiência intercultural e onível socioeconômico dos discentes, pois podem auxiliar o desenvolvimento lógico-matemático. Para que seja compreendido conceitualmente, o algoritmo da divisãonecessita de conhecimentos anteriores, tais como o sistema de numeração decimal, os fatosbásicos e o significado das operações. Mas, outro fator, não menos importante, deve serlevado em consideração quando falamos em desenvolvimento do raciocínio lógico eestruturação do pensamento. Os alunos trazem para a escola conhecimentos, ideias e intuições, construídas através das experiências que vivenciam em seu grupo sociocultural. Eles chegam à sala de aula com diferenciadas ferramentas básica para, por exemplo, classificar, ordenar, quantificar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os recursos, dependências e restrições de seu meio. (Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997, p.25) O ato de contar, por exemplo, é essencial para início do processo de ensino eaprendizagem conceitual do número que ocorre espontaneamente em brincadeiras docotidiano infantil, por isso, deve ser associada a palavras, símbolos e quantidades para que oensino se produza de modo satisfatório. A criança deve ser estimulada a contar nos dedos eessa atitude não pode ser considerada uma deficiência de aprendizagem, visto que são gestosnaturais e importantes para a evolução das noções numéricas. Os conhecimentos prévios que os alunos trazem das vivências cotidianassão necessários para nortearem o trabalho do professor no processo de ensino e aprendizageme servirão para incitar uma reflexão sobre a prática da resolução de problemas, que quandoexecutado de modo eficaz amplia os conhecimentos matemáticos. Nos anos iniciais do ensinofundamental, o uso do material didático concreto se faz presente em consonância com aresolução de problemas a fim de auxiliar a construção conceitual. 4
  17. 17. Não podemos afirmar qual a melhor técnica para o ensino do algoritmo dadivisão, mas dois aspectos essenciais contribuem para que boas aulas sejam dadas. Umaspecto importante é conhecer a história de vida dos alunos e o outro é conhecer de formaprofunda o conteúdo e como ensiná-lo. Após esses aspectos preliminares outros devem sertrabalhados com os conteúdos, são as tendências metodológicas como a resolução deproblemas, a história da matemática, as novas tecnologias e os jogos. 5
  18. 18. 2. REVISÃO DE LITERATURA Inicialmente essa pesquisa preocupa-se em fundamentar o estudo doalgoritmo da divisão num contexto histórico com as ideias de Salvador em seu artigorealizado para XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática (2011). Para nortear o primeiro capítulo da pesquisa utilizaremos como base o PCN– Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) de Matemática do Ensino Fundamental – 1º ao 5ºano, por ser um referencial de qualidade que visa auxiliar a prática pedagógica no qualFriederich, Kruger, Nehring (2009), no X Encontro Gaúcho de Educação Matemática com oartigo: Compreendendo os parâmetros curriculares nacionais como articulador da prática doprofessor dos anos iniciais em relação à matemática, onde destacam que o PCN “[...] propõemuma discussão em relação à importância que a Matemática desempenhe, equilibrada eindissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação dopensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas,situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção deconhecimentos em outras áreas curriculares”. Em consonância, o Plano de Desenvolvimentoda Educação (2011) – Prova Brasil3 visa possibilitar ao professor fazer uma reflexão sobre aprática e a resolução de problemas significativos. Na área de educação diversas pesquisas como as realizadas por Agranionih,Enricone e Zatti (2009/2010), Piano, Zampieri e Langer (2011) mencionam a análise do errocom a finalidade de entender as dificuldades no ensino e aprendizagem. Seguindo esseraciocínio, destaco ainda o livro: A Criança e o Número de Kamii (1990), por abordarprocessos que envolvem a construção do conceito do número pelas crianças e por ajudar odocente a entender a lógica existente nos erros. Matemática nas Séries Iniciais - O Sistema de Numeração Decimal é o livrode Golbert (2011), que evidencia a aprendizagem dos conceitos e dos procedimentosmatemáticos mediados pelo professor de forma prazerosa e com o uso de recursos didáticos.Nos artigos de Mendonça (1996), Melo, Nieradka e Lubeck (2009) complementam a abordamdo ensino do sistema de numeração decimal e algoritmos convencionais nos anos iniciais doensino fundamental essenciais ao ensino do algoritmo da divisão.3 Avaliação Nacional do Rendimento Escolar – Anresc realizada a cada dois anos com o objetivo de avaliar aMatemática (foco na resolução de problemas) aplicada somente a estudantes de 4ª série/5º ano e 8ª série/9º anode escolas rede pública de ensino com mais de 20 estudantes matriculados por série alvo da avaliação. 6
  19. 19. Lima (2010) e Moreira (2002); apontam as dificuldades dos alunos doprimeiro ciclo do ensino fundamental com relação ao ensino e aprendizagem da matemática,onde afirmam que devemos repensar as condições de aprendizagem conceitual, de maneiraque se torne mais acessível à compreensão do aluno. Ambos embasam seus estudos na Teoriade Vergnaud4, porém com orientações distintas. Lima foca o ensino do algoritmo da divisãoem torno de suas ideias de partição e cotição. Compartilham dessa ideia Carvalho e Gonçalvesque participaram do VI Encontro Nacional de Professores do 1º Ciclo — A Matemática no 1ºCiclo (2003), sobre a construção dos conceitos da multiplicação e divisão, onde exprimem anecessidade de variar os problemas com a abordagem de diferentes tipos de situações paraconduzirem a formalização do conceito. Já Moreira segue a teoria cognitivista de Vergnaudvoltado ao ensino das ciências e faz referências à aprendizagem significativa, resolução deproblemas e representações mentais. Nos capítulos subsequentes trataremos da ação pedagógica e, para talusaremos o livro: A matemática na escola – Aqui e agora de Zunino (1995), onde é relatado arelação entre o conhecimento matemático usado no cotidiano com o conhecimentomatemático escolar. A autora nos sugere inovações pedagógicas cujo foco é à operaçãointelectual, ou seja, levar a criança a pensar a respeito do que estão aprendendo. Ainda nessecontexto, as autoras Marques e Utsumi em seu artigo Quien sabe, hace...? Y quién no sabe?Enseña? Consideraciones sobre la enseñanza de la División en la escuela primaria, ondediscute a forma como é ensinado o algoritmo da divisão. Temos ainda Belfort e Mandarino (2005/2008) com O Algoritmo daDivisão: Processo Longo do livro Números naturais: Conteúdo e forma, que norteia o ensinodos algoritmos. Esses são materiais do Pró-Letramento5 em Matemática onde apontammelhorias na qualidade do ensino e aprendizagem da matemática, já que oferece suporte àação pedagógica nas séries iniciais do ensino fundamental. O Pró-Letramento é uma dasatividades do LIMC6.4 Gérard Vergnaud é um matemático, filósofo e psicólogo francês. É autor da teoria dos Campos Conceituais, umdos precursores da didática da matemática moderna e um dos principais pilares de fundamentação teórica daspesquisas na área de educação matemática em nível internacional.5 O Pró-Letramento - Mobilização pela Qualidade da Educação - um programa de formação continuada deprofessores das séries iniciais do ensino fundamental, para melhoria da qualidade de aprendizagem daleitura/escrita e matemática. O programa realizado pelo MEC, em parceria com universidades que integram aRede Nacional de Formação Continuada e com adesão dos estados e municípios. Podem participar todos osprofessores que estão em exercício, nas séries iniciais do ensino fundamental das escolas públicas.6 Atua no desenvolvendo e na aplicação de materiais didáticos, auxiliando na formação e aperfeiçoamento deprofessores da educação básica aliando, desta forma, a prática de pesquisa com a atuação na educação básica. 7
  20. 20. E finalmente, Gallego (2007) que nos traz uma definição das ideias departição e cotição presentes na divisão. 8
  21. 21. 3. AS DIFICULDADES APRESENTADAS PELOS ALUNOS NA REALIZAÇÃODO ALGORITMO DA DIVISÃO Voltando a análise preliminar feita por mim no início dos trabalhos deReforço Escolar, com o auxílio material dourado 7 disponível na própria unidade escolar, foiobservado que não houve aquisição dos conceitos do algoritmo da divisão por conta da faltade compreensão de alguns conteúdos que são indispensáveis para realizá-lo, tais como osistema de numeração decimal que junta à concepção de decomposição e composição denúmeros, noções de agrupamentos e valor posicional, e ainda, desconhecem os fatos básicos eas operações de adição, subtração e multiplicação. A manipulação do material concreto pelosalunos mediante orientação pedagógica forneceu algumas respostas corretas assim comoalguns cálculos mentais na sua maioria incorretos. Mas isso não foi o suficiente para queconseguissem executar os registros por intermédio do algoritmo da divisão. Isso ocorrequando se considera como foco no processo de ensino e aprendizagem apenas a prática datécnica operatória. [...] é fundamental que o professor, antes de elaborar situações de ensino, investigue qual é o domínio que cada criança tem sobre o assunto que vai explorar e em que situações algumas concepções são ainda instáveis, quais as possibilidades e as dificuldades de cada uma para enfrentar este ou aquele desafio. (Friederich, Kruger e Nehring, 2009, p.4) Foi a partir dessa constatação que surgiu o interesse pelo tema abordadonessa pesquisa, pois o ocorrido me fez lembrar o período em que fui aluna e tambémapresentei muitas dificuldades em compreender o algoritmo da divisão. De acordo com o Plano de Desenvolvimento da Educação – Prova Brasil(2011), o conhecimento dos números e das operações é indispensável para as situaçõesvivenciadas pelo aluno em seu cotidiano, pois esses conhecimentos estão presentes emcálculos, representações de medidas, localização, acontecimentos e pessoas. Portanto, épreciso que os alunos reconheçam as propriedades do sistema de numeração decimal, dentreelas as noções de agrupamento, troca na base 10 e o princípio do valor posicional. O alunodeve compreender que cada agrupamento de 10 requer a troca do algarismo com relação a suaposição cujo valor posicional corresponderá às unidades, dezenas e centenas. Usamos novealgarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) para a representação de qualquer número, porém em7 O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema denumeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais, ou seja, os algoritmos. 9
  22. 22. alguns números o agrupamento das unidades, das dezenas e das centenas são exatos e, quandoisso acontece, imediatamente, esse agrupamento deve unir-se à ordem seguinte, no sentido dadireita para a esquerda. A ausência de quantidade em alguma ordem deve ser preenchida pelozero (0), ou seja, devemos acrescentar um símbolo para escrever esse “vazio”. Se isso nãoocorre é porque o aluno não compreende o processo de contagem dos objetos. Sabemos que a aprendizagem da matemática é um processo contínuo, porisso a abordagem dos números na reta numérica pode auxiliar o processo de contagem vistoque na reta a representação é mais eficaz para o domínio numérico, já que mostra a posição donúmero, a sua ordenação e proporciona a comparação, assim como cálculos de adição esubtração. Trata-se de uma representação mais abstrata que requer o uso de materiaisconcretos, porém quando bem trabalhados propicia que o aluno faça a correspondência entreos números e os cálculos de modo gradual. “Os vínculos que são estabelecidos entre ascrianças e os objetos a serem conhecidos são influenciados pelos significados sociais”.(Golbert, 2011, p.16) Ao adentrarem o âmbito escolar, o aluno já elabora hipóteses acerca donúmero. Fazem comparações quando julgam que um número é maior do que o outro pelaquantidade de algarismos que possui ou, numa outra circunstância, quando os númerospossuem a mesma quantidade de algarismos conjecturam o valor numérico que o algarismo daesquerda ocupa para analisar seu tamanho em relação ao outro, isso mesmo sem ter o conceitoformalizado de valor posicional de um número. [...] as situações que as crianças observam e vivenciam (a mãe fazendo compras, a numeração das casas, os horários das atividades da família, sua idade, etc...), os cálculos que elas próprias fazem (soma de pontos de um jogo, controle de quantidade de figurinhas que possuem) e as referências que conseguem estabelecer (estar distante de, estar próximo de) serão transformadas em objeto de reflexão e se integrarão às suas primeiras atividades matemáticas escolares. (PCN Brasil, 1997, apud FRIEDERICH, KRUGER e NEHRING, 2009, p.4) A composição e a decomposição dos números em soma é uma das primeirashabilidades matemáticas a serem desenvolvidas na escola. Quando o aluno as reconhece ficamais fácil a compreensão do valor posicional em suas diversas ordens e tipos, mas desde quesejam envolvidos em atividades onde possam observar, comparar, interpretar e explorarsituações contextualizadas para que as propriedades e características do sistema de numeraçãodecimal não passem despercebidas. Caso não haja reconhecimento do valor posicional, acriança não entende a escrita do número e pensa estar faltando algarismos, como por exemplo,ao ler o número mil e vinte e quatro escreve exatamente como se fala, ou seja, escreve o 10
  23. 23. número mil, ao lado o número vinte e por fim o quatro. Estamos falando de um número comsete algarismos ao invés de quatro algarismos. O trabalho com a composição e decomposição dos números em unidade,dezena e centena não é único método, existem outros como o da calculadora “quebrada” 8 queajudam a desenvolver o cálculo mental. O domínio das estruturas do sistema de numeraçãodecimal, ou seja, a contagem por agrupamentos, a composição e a decomposição e o valorposicional são fundamentais para que a criança o utilize em cálculos e na resolução deproblemas. Para isso a abordagem deve favorecer a correspondência entre os conteúdosmatemáticos e o método revisto algumas vezes em sala de aula. O ensino dos fatos básicos pode funcionar como um aliado à composição e adecomposição de números uma vez que o trabalho seja acerca do entendimento de que amultiplicação agiliza o processo da soma. E esse é outro fator que dificulta a realização dosalgoritmos pelo aluno. Fala-se tanto em resolução de problemas e contextualização, mas oensino dos fatos básicos nas escolas parece não acompanhar essas tendências. O professordeve incentivar o aluno a contar e facilitar esse aprendizado que muitas vezes é decoradopelos alunos de forma penosa, ao invés de ser memorizado de forma natural e gradual comtrabalhos contínuos na sala de aula. Relações devem ser feitas no ensino e aprendizagem dosfatos básicos, como por exemplo, mostrar que o fato básico de dois tem como resultados osnúmeros pares. Já no fato básico de três, a multiplicação de dois números ímpares tem comoresposta números ímpares, assim como, um número par multiplicado por um número ímpartem como resultado números pares. Para o fato básico de quatro evidenciamos ser o dobro dofato básico de dois e, que a fato básico de cinco tem resultados terminados em zero ou cinco,no qual um número par multiplicado por cinco resulta num resultado terminado em zero e onúmero cinco multiplicado por um número ímpar resulta num terminado em cinco. Podemosusar também o método das somas sucessivas que apesar de ser mais trabalhosa é muitoutilizada nas escolas. Essas são formas de instigar o aluno a confirmar essas afirmações e criarcondições para que ele a compreenda, e assim, o ensino atinja o estágio da aprendizagem.Mas é claro que para o ensino dos fatos básicos de seis, sete, oito e nove é melhor utilizar ométodo de multiplicação com as mãos que estimula o raciocínio do aluno por meio do cálculomental. Este método consiste em associar cada dedo a um número que vai do seis a dez. O8 A calculadora “quebrada” consiste em usar operações matemáticas (soma, subtração, divisão e divisão) e osnúmeros disponíveis para obter os números solicitados. 11
  24. 24. dedo mínimo valerá seis, o anular sete, o médio oito, o indicador nove e o polegar dez.Quando quisermos multiplicar dois números unimos os dedos correspondentes a essesnúmeros e os dedos que estiverem na parte inferior somado aos dedos unidos serãomultiplicados por dez, e os que estiverem na parte superior, também serão multiplicados,porém a quantidade de dedos que sobrarem em cada mão será multiplicada entre si. Osresultados obtidos na parte inferior e na parte superior devem ser somados para que o cálculoseja concluído. Nos fatos básicos da divisão devemos trabalhar a ideia de medir e a ideia derepartir. Usamos situações do cotidiano e materiais concretos para que seja feito oagrupamento de quantidades que auxilia a compreensão da ideia de repartir e subtraçõessucessivas para a ideia de medir (quantos cabem?). Na verdade pouco importa o meio usadopara a resolução do problema desde que a divisão seja reconhecida pelo aluno. O trabalho docente parte do ponto que o aluno já sabe, pois já possuemrecursos de cálculo mental que podem ajuda-los a resolver os problemas, mas muitos nãosabem utilizá-los espontaneamente. Cabe ao professor acompanhar as atividades realizandointervenções particulares que favorecerão as diferentes maneiras de divisões. Diante de talreflexão afirma Golbert (2011), “a partir da observação da atividade matemática dos alunos edas interferências sobre as suas diferentes interpretações, o desafio pedagógico a serenfrentado era o de conduzir abstrações reflexivas, da atividade inicial, para uma matemáticaprogressiva”. Logicamente existem outros métodos, técnicas e recursos didáticos etecnológicos para o ensino e aprendizagem dos fatos básicos, mas os citados aqui, além deexemplos, estão ao alcance de todos os professores, ou seja, independe de recursos para a suarealização. O aluno que compreende o sistema de numeração decimal e suas relaçõesrealiza os cálculos das quatro operações fundamentais de modo rápido e eficaz. Segundo oPCN de Matemática (1997, p.78) Assim como outros procedimentos de cálculo, as técnicas operatórias usualmente ensinadas na escola também apoiam-se nas regras do sistema de numeração decimal e na existência de propriedades e regularidades presentes nas operações. Porém, muitos dos erros cometidos pelos alunos são provenientes da não disponibilidade desses conhecimentos ou do não reconhecimento de sua presença no cálculo. Isso acontece, provavelmente, porque não se exploram os registros pessoais dos alunos, que são formas intermediárias para se chegar ao registro das técnicas usuais. Quando são formalizados os primeiros procedimentos de cálculoverificamos a importância do sistema de numeração decimal. Nos algoritmos da adição e da 12
  25. 25. subtração, a criança tem muita dificuldade em compreender o que significa “vai um” ou “pedeum emprestado”, pelo fato do sistema de numeração e as operações de adição e subtraçãoserem transmitidos como algo dissociável. Assim ocorre com as expressões “pula umacasinha para esquerda” e “abaixa um” associadas à multiplicação e a divisão,respectivamente. Por isso, essas expressões “vai um”, “pede um emprestado”, “pula umacasinha para esquerda” e “abaixa um” apenas constitui uma repetição de regras onde o “um(a)” tem valor desconhecido. Por não serem instigadas a pensar, apenas reproduzem a técnicaoperatória sem ao menos entender o seu significado. A operação de adição precisa ser relacionada com o sistema de numeraçãodecimal por suas noções de agrupamento; a subtração relacionada com o sistema denumeração decimal por seu reagrupamento em ordem inferior, e com a adição por ser suaoperação inversa. O mesmo ocorre com o algoritmo da multiplicação que necessita serrelacionada com a adição para ser compreendido, haja vista que o enfoque da multiplicação éembasado na soma de parcelas iguais. Destacamos ainda que a multiplicação é a operaçãoinversa da divisão. O ensino do algoritmo da divisão, que é o objeto de estudo, tem seuprincípio relacionado à “ideia de repartir” e a “ideia de medir” por seu natural ao cotidiano dacriança. Mas não podemos esquecer que também é necessário relacioná-la com o sistema denumeração decimal, com a adição, a subtração e a multiplicação. Para ilustrar essas relaçõesvejamos o exemplo abaixo retirado do site do Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação (ICMC/USP), do Programa Educ@r 9. Essa é uma abordagem tradicional do ensino do algoritmo: Figura 1: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo Figura 2: Abordagem tradicional do ensino do algoritmo 13
  26. 26. Sem dúvidas essa é uma técnica de divisão rápida e eficiente. Porém não ébem compreendida pelos alunos. Por que dividimos 7 por 6? Por que abaixamos o 9 e não o98? Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1? Para responder a essas perguntasvejamos o esquema abaixo: Vamos representar o número 798 com o material dourado: Figura 3: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos: Figura 4: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Começaremos distribuindo as centenas. Figura 5: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agoratemos 19 dezenas. Figura 6: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado9 Curso para professores de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental à distância e gratuito. Atualmente o curso estásuspenso, mas o material está disponível no site da ICMC/USP. 14
  27. 27. Distribuímos as dezenas. Figura 7: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agoratemos 18 unidades. Figura 8: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Finalmente distribuímos as unidades. Figura 9: O ensino do algoritmo com o uso do material dourado Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é,seu resto é zero. Notamos que além da compreensão dos princípios básicos10 do sistema denumeração decimal verificamos as noções das operações de adição, subtração e multiplicação.Quando distribuímos e desagrupamos as quantidades temos a adição representada, poiscontamos e somamos para nos certificarmos da sua exatidão. Quando desmembramos o10 Mendonça (1996, p.59) refere-se às características que constituem o sistema de numeração decimal. Paraexprimir usa o número 125:Princípio de agrupamento: em 125 – 5 elementos não agrupados, 2 grupos de dez e 1 grupo de 10x10 ou 100elementos.Princípio aditivo: 100+20+5Princípio multiplicativo: 1x100 + 2x10 + 5Princípio posicional: O número assume o valor posicional de acordo com a ordem que ocupa dentro da classe. 15
  28. 28. número em unidades, dezenas e centenas nas ilustrações relacionadas ao material douradotratamos da operação de multiplicação relacionada à adição de parcelas iguais. E finalmente,usamos a subtração que possui uma relação direta com a divisão no que diz respeito aoconceito de reagrupamento em ordem inferior. Ao distribuir as 7 centenas para 6 grupos sobra1 centena e esta é “emprestada” para as dezenas para que uma redistribuição seja feita. A partir dessas ideias aqui discutidas será feito um estudo que irá analisartais dificuldades na apropriação do algoritmo da divisão com o diagnóstico das concepções. 3.1. Fundamentação Teórica O algoritmo da divisão é considerado pelos professores o assunto de maiorcomplexidade, pois além da problemática da falta de assimilação de conhecimentos préviosindispensáveis para a sua realização, há o fato de o erro ser considerado um fracasso doensino. [...] a primeira coisa que devemos examinar é a própria noção de que erro é inequivocamente um indício de fracasso. A segunda questão intrigante é que, curiosamente, o fracasso é sempre o fracasso do aluno. O que gostaria de demostrar é que a constatação de um erro não nos indica, de imediato, que não houve aprendizagem, tampouco nos sugere inequivocamente fracasso, seja da aprendizagem, seja do ensino. (Carvalho, 1997, p. 12.) Conforme Agranionih, Enricone e Zatti (2009), “ao analisar as possíveiscausas dos erros e dificuldades dos alunos na aprendizagem da matemática, há um conjuntode variáveis em jogo, que se referem à própria natureza dos conceitos matemáticos, à formade ensiná-los ou às condições do aluno para aprender”. Nesse sentido, o erro pode serentendido como uma fase do processo de ensino e aprendizagem e sua análise usada comotécnica de ensino que auxiliará o desenvolvimento da prática pedagógica. Segundo Teixeira (2006, apud ZATTI, AGRANIONIH e ENRICONE,2010, p.117), “[...] a análise de erros é um método de investigação que tem colaboradosignificativamente na compreensão da natureza dos erros referentes ao ensino e aprendizagemda Matemática”. É através da análise de um erro que podemos entender o que foi assimiladopelo aluno perante aquele conhecimento e, se possível, por meio desse erro, provocarquestionamentos que levem a uma resposta adequada e lógica. O importante é que o professor pesquise sobre as dificuldades encontradasem suas práticas pedagógicas, através da observação e da análise dos erros cometidos pelosalunos durante a resolução de um problema, que se espera ser diversificado e contextualizado,com o objetivo de atuar de maneira consciente às situações propostas para o desenvolvimentodo ensino e da aprendizagem. Pois a intenção é de investigar como se processa o 16
  29. 29. desenvolvimento de aprendizagem da criança “valorizando o erro como meio paracompreender a construção de conceitos matemáticos” (Lima, 2010, p.1). Com essa pesquisa pretende-se entender como o aluno compreende asdiferentes abordagens acerca de um mesmo conteúdo e que táticas utilizam e como asutilizam para resolver tal problema. Essa tendência educacional referente à análise do erro e aintervenção pedagógica é denominado por Gérard Vergnaud de Teoria do Campo Conceitualque vem sendo estudados por diversos teóricos aqui citados. Sua teoria trata do gerenciamento do ensino, das estratégias e das intervenções realizadas pelo professor. Essa teoria busca compreender os processos de conceitualização, situando e estudando as filiações e rupturas entre conhecimentos, do ponto de vista de seu conteúdo conceitual. (Lima, 2010, p.2) Essa teoria visa à compreensão de como um indivíduo adquireconhecimento através das experiências vividas nos âmbitos escolar e social. Ela parte doprincípio que a construção do conhecimento ocorre na medida em que os alunos pensam sobreos assuntos, vivenciam situações verdadeiras e são capazes de estabelecer relações entre osconteúdos estudados. Mas, o conhecimento deve ser entendido como a habilidade de resolverproblemas matemáticos, precisamente o conhecimento referente ao algoritmo da divisão, e acompreensão das informações contidas nos registros. Na vivência social os alunos costumamresolver situações reais, através do cálculo mental, com o uso de estratégias que lhe sãopeculiares e diferentes das técnicas ensinadas em sala de aula, através dos algoritmos. E porsua vez, o professor não compreende essas técnicas por não identificarem nelas as variedadesde conceitos existentes no algoritmo da divisão. Vergnaud (1983a, p. 393; 1988, p. 141; 1990, p. 145; 1993, p. 8; 1997, p. 6,apud MOREIRA, 2002, p.10) define conceito como um sistema de três elementos de umconjunto tomado numa ordem determinada e que são dependentes entre si: situação,representado por S; invariantes operatórios, representado por I; representações simbólicas,representado por R, ou seja, C = (S, I, R). a) No primeiro conjunto compreende-se que um campo conceitual existe quando se explora uma variedade de situações que leve o aluno a uma flexibilidade cognitiva. b) No segundo conjunto compreende-se que para resolver as situações o aluno deve distinguir os conceitos implícitos ou explícitos – é o significado do conceito, que no caso dessa pesquisa são as ideias do algoritmo da divisão, tais como a ideia de repartir e a ideia de medir, que abrangem problemas do tipo: grupos equivalentes, preços, 17
  30. 30. comparação multiplicativa e disposição retangular. Em função disso, o aluno pode utilizar operações e raciocínios diversos para resolver tal situação cujo resultado pode ser eficaz ou não. Se o esquema utilizado não for o mais adequado o aluno pode modificar sua estratégia. c) No terceiro conjunto compreende-se como a exposição simbólica do conceito do esquema – é o significante. Nesse contexto Lima (2010, p.6) nos ajuda a concluir: O professor, nesse contexto, deve assumir o papel de mediador favorecendo que a criança chegue a solução de problemas com estratégias diretas, bem como que seja capaz de fazer uso de diferentes estratégias para chegar a maturidade de seus saberes, demonstrando evolução nos conceitos matemáticos. Não é fácil transformar a prática pedagógica de um dia para o outro, massim, utilizar novas estratégias de ensino, cometer os erros que são naturais no início dequalquer trabalho e saber recomeçar. Essa é a única forma de adquirir domínio do assunto emelhorar a prática em sala de aula. E o ponto de partida para isso é não propor situações emque as crianças não consigam resolver, visto que a resolução de problemas deve possuircaráter incitativo. Caso contrário, torna-se desinteressante e a aprendizagem não ocorrerá. 3.2. Metodologia Antes da análise qualitativa dos registros cujo objetivo é entender como oaluno compreende as diferentes abordagens acerca de um mesmo conteúdo e que táticasutilizam e como as utilizam para resolver tal problema foi certificado junto aos professoresque os conteúdos já tinham sido trabalhados em sala de aula. Outra consideração a ser feita éque não há registros nas fichas individuais que indique que os alunos selecionados para aanálise possuam déficit cognitivo 11. Mas entendemos que ninguém aprende ao mesmo tempo,porém todos podem aprender. De acordo com essa abordagem Siegler (1995, apudGOLBERT, 2011, p.8), “sustenta ser praticamente impossível distinguir desenvolvimentocognitivo e acadêmico na aprendizagem, uma vez que ambos refletem influências biológicas eculturais, de modo indissociável”.11 O termo déficit cognitivo é empregado para descrever desde problemas do intelecto a distúrbios globais. 18
  31. 31. São alunos de áreas conflagradas que na sua maioria nunca saíram dela, ouseja, todas as atividades em família e de lazer são vivenciadas na própria comunidade em quevivem. A análise foi feita com 20 alunos do 4º ano da Escola Municipal Cruzada SãoSebastião localizada em Parada de Lucas onde atendem ao 1º ciclo do ensino fundamental. Aescolha por esse ano de escolaridade se justifica por serem alunos que já são avaliados pelaProva Brasil, por participarem do Projeto Acelera Brasil, do qual faço parte como estagiária aum ano e meio, e por que já possuem o algoritmo da divisão mais consolidados do que osalunos do 3º ano. O teste composto de seis questões foi aplicado durante o período de um anoe meio com os alunos dos horários matutino e vespertino e divididos em 4 grupos de 5 alunos.Assim foi possível mediar as relações entre a teoria e a prática, a fim de instigar o raciocínio ea interação entre eles. Ele abrange as ideias que envolvem a aprendizagem da divisão: a ideiade medir e a ideia de repartir, com o objetivo de diversificar a resolução de problemas. O testetem como base o artigo de Carvalho e Gonçalves (2003) intitulado “Multiplicação e divisão:conceitos em construção…” onde afirmam que o professor deve conhecer como as criançasagem diante de determinadas situações propostas e quais estratégias são utilizadas para aresolução, para assim, fazer uma breve reflexão sobre a aprendizagem dos conceitos dedivisão. Trata-se de problemas cotidianos que envolvem as ideias de partição e medição doalgoritmo da divisão nos quais terão duas horas para resolver. Essas ideias envolvem tipos deproblemas como preço, grupo equivalente, comparação multiplicativa e disposição retangular. O que queremos com essa experiência é levantar como os alunos reagemdurante uma situação em que devem utilizar seus conhecimentos sobre as ideias da divisão eque estratégias utilizarão para tal. Assim como, verificar a prática da técnica operatória. Ouseja, pretendemos perceber, com base na Teoria do campo Conceitual, a capacidade dosalunos em estabelecer relações entre o conteúdo estudado e a prática. 3.3 Análise Com a finalidade de analisar aos procedimentos registrados referentes àcompreensão dos alunos frente à resolução de problemas envolvendo as ideias da divisãoforam propostas algumas situações que serão analisadas. A princípio alguns alunos nãoentenderam o enunciado por não possuírem o domínio da escrita e da leitura. Essa situação éproveniente das aprovações automáticas, na rede pública de ensino. Como dito anteriormente,são alunos com defasagem idade/ano escolar ou analfabeto funcional na faixa etária de 11 a 19
  32. 32. 14 anos. Por isso foi necessário ler as questões de forma explicativa. Houve a preocupação empropor questões cujo problema estivesse inserido no cotidiano do aluno. Foram informados que poderiam utilizar técnica própria para a resolução eque poderiam começar pelas questões que quisessem, o que os empolgou, haja vista que amaioria deles não entende o algoritmo da divisão. Os procedimentos utilizados pelos alunosforam distintos, como veremos em seguida.Questão 1: Rui comprou vários álbuns e ficou com 120 fotos. Se cada álbum tiver 30 fotos,quantos álbuns Rui comprou? Dentre os 4 grupos foram utilizados três métodos de resolução. 1. Soma sucessiva Depois de identificada a situação problema, alguns alunos sugeriram somarde trinta em trinta até que o total chegasse a cento e vinte, porém fizeram as contas semverificar o limite da soma, que é chegar a cento e vinte. Perguntei o que o problema propuserae pedi que lessem novamente. Eles me responderam que deveriam encontrar o total de álbuns.“Então, quantos “trinta” cabem em cento e vinte?” O grupo contou quantas vezes o trinta foisomado e informou o total de quatro. Abaixo verificamos a resolução: Figura 10: Soma sucessiva Expliquei que as cento e vinte fotos tinham sido distribuídas em quatroálbuns e perguntei o que isso significava, se havia outra operação que podíamos usar pararesolver tal problema. Então uns alunos responderam: “Dividir?Ah professora! Não sei fazerconta de dividir”. Mostrei a eles a forma de resolução através do algoritmo da divisão porsubtrações sucessivas e disseram: “Professora é a conta ao contrário!”. 20
  33. 33. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de compor atravésda soma unitária das parcelas a partir do valor de referência 30 até o 120 que é o limite. Estemétodo foi utilizado por dois grupos. 2. Subtração sucessiva Oposto ao processo anterior sugeriu-se resolver o problema subtraindo trintade cento e vinte, até que essa possibilidade se esgotasse. Ao subtrair escreviam ao lado “1álbum” , e assim, chegaram a um total de quatro álbuns. Vejamos: Figura 11: Subtração sucessiva Essa resolução é muito interessante visto que essa técnica é empregada noalgoritmo da divisão por subtração sucessiva. Disse a eles que poderíamos utilizar outraoperação para resolver esse problema, no entanto, muito semelhante. Também nesse grupoapresentei a resolução pelo algoritmo da divisão por subtração sucessiva. Após essa mostrar a resolução alguns alunos perguntaram: “É assim quedivide?... É fácil!”, e também: “A professora não ensinou assim”. Esclareci que essa é outraforma de fazer a operação de divisão e que as duas formas são corretas, tanto a resolução daprofessora, quanto a que estava sendo apresentada a eles, e que a diferença estava noprocedimento. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decompor o númeroatravés da subtração a partir do valor de referência 120 até o 30 que é o limite. 21
  34. 34. 3. Contagem por agrupamento Essa é uma resolução bem comum quando se inicia o ensino da divisão coma ideia de medir, “quantos cabem?”. Pois o aluno usa a noção de agrupamento e de contagemna sua resolução ao relacionar o álbum com as fotos. Os alunos desenharam cinco álbuns eforam preenchendo-o com as fotos. Desenharam as fotos uma a uma até o total de cinquentafotos, ou seja, dez em cada álbum. Como o total são cento e vinte fotos perceberam quepodiam aumentar a quantidade para dez que resultava em cinquenta. Após colocaram maisdez. As vinte fotos restantes distribuíram nos álbuns de dois em dois. Porém, a soma dostotais em cada álbum eram vinte e quatro fotos. Conforme figura: Figura 12: Contagem por agrupamento Então, perguntei aos alunos se a quantidade de álbuns deveria aumentar oudiminuir, já que havia vinte e quatro fotos em cada álbum e de acordo com o problema essetotal deveria ser de trinta. Em função disso fiz a seguinte pergunta: “O que o problema nosinforma sobre a quantidade de fotos em cada álbum?”. Todos concluíram que deviamdiminuir a quantidade de álbuns. Quando iam desenhar novamente os álbuns, sugeri quesuprimissem um álbum e distribuíssem as vinte e quatro fotos nos álbuns restantes. As fotosforam recolocadas duas a duas. Após a nova contagem perceberam que haviam achado aresposta do problema, como visto abaixo: Figura 13: Contagem por agrupamento Propus outra resolução. Sugeri outra forma de cálculo para o problema, como cuidado de seguir o raciocínio empregado pelos alunos. Vejamos as subtrações sucessivas: 22
  35. 35. A reação dos alunos foi imediata e um comentário merece atenção: “É comose tivesse dividindo aos poucos?”. A pergunta mostra que os alunos estão começando a fazerconjecturas acerca do algoritmo. Os elucidei que conforme fôssemos estimando valores essaquantidade deveria ser diminuída do total que tínhamos. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de composiçãoaditiva por agrupamento através de quantidades fixas no qual geram subtotais e aproximaçõesde quantidades, ou seja, usaram o que chamamos de ensaio e erro. Esse esquema éenriquecido pelos procedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem àresposta.Questão 2: O Rui tem ao todo 60 fotos arrumadas igualmente em 5 álbuns. Quantas fotostêm cada álbum? Dentre os 4 grupos foram utilizados dois métodos de resolução. 1. Decomposição / Algoritmo da divisão Nessa questão, os alunos conseguiram compreender bem o enunciado. E aoperguntar-lhes qual estratégia poderíamos utilizar para resolvê-la foram decididos. “Dividir!”.Aqui está sendo abordada a ideia “de repartir”, que é o primórdio do ensino da divisão e éinerente ao cotidiano do ser humano. A resolução por intermédio do algoritmo mostrou muitas dificuldades, poisnão entendem a técnica operatória e precisaram recordá-la. Nesse momento foi preciso aorientação pedagógica. Então disse: “Como poderíamos fazer essa?”. Um aluno recordou quesessenta poderia ser decomposto de dez em dez. Disse isso porque sabia que 2x5 é igual a 10,portanto saberia dividir. O grupo aceitou a sugestão e apresentaram a resolução abaixo: Figura 14: Decomposição / algoritmo da divisão 23
  36. 36. Optaram por essa técnica por julgar ser mais fácil a divisão de dez porcinco, ao invés de sessenta por cinco. Após efetuaram a soma dos resultados. O fizeram peladivisão por subtração sucessiva, pois já compreendiam. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decomposição ede composição aditiva através de agrupamentos com 10 e pela representação direta doalgoritmo da divisão com distribuição em pequenas quantidades. Esse esquema é enriquecidopelos procedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem à resposta. 2. Tabela Os alunos criam métodos baseados em quantidades pequenas para facilitar ocálculo. Como são sessenta fotos, as separam de dez em dez na forma de tabela com cincocolunas como vemos abaixo: Figura 15: Resolução por Tabela A resolução é bem simples e rápida como o algoritmo da divisão. Por issomostrei como seria feito o cálculo pelo algoritmo da divisão por subtração sucessiva,novamente com a preocupação em manter o raciocínio empregado pelo aluno: Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decomposição ede composição aditiva através de agrupamentos com 10 e pela representação em tabela comdistribuição em pequenas quantidades com somas parciais. Esse esquema é enriquecido pelosprocedimentos de reagrupamento realizados para ajustar a contagem à resposta. Esse métodofoi utilizado por três grupos. 24
  37. 37. Questão 3: Cada caderno custa 2 reais. Quantos cadernos podemos comprar com 14 reais? Dentre os 4 grupos foi utilizado um método de resolução. 1. Raciocínio por inter-relação A resolução dessa questão foi a mais rápida, pois foi feita de imediato poreles através do cálculo mental com a associação de cada dedo da mão com o valor do cadernoque são dois reais. Todos os quatros grupos realizaram a resolução do problema por essemétodo. Como haviam somado o número dois, sete vezes, lhes perguntei em queoperação realizamos somas de parcelas iguais de modo simples, ou seja, de que outra formapodíamos representar aquela operação por meio de conta. Houve um silêncio. Entãoperguntei: “Quantas vezes repetimos o número dois?”, e responderam: “sete”. Comentei:“Então podemos dizer que o dois foi repetido sete vezes, sete vezes o dois”. Logicamente,depois desse comentário alguns alunos disseram que se tratava do fato básico de dois e que2x7 totalizava 14. Diante dessa conclusão, dois alunos me perguntaram se poderiam resolvero problema pela divisão. Então fizemos a questão pelo algoritmo da divisão por subtraçõessucessivas. Segue a resolução feita por eles: Figura 16: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas Estavam inseguros, pois haviam resolvido pelo algoritmo da subtraçãosucessiva poucas vezes e foi necessário encorajá-los, pois como já mencionamos nessapesquisa, o erro faz parte do processo de ensino e aprendizagem. Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de decomposição ede composição aditiva com o limite em 14 através de agrupamentos de 2 feitos mentalmente erelacionados com os dedos das mãos. 25
  38. 38. Questão 4: Rita comprou 5 canetas e pagou 15 reais. Se cada caneta custa o mesmo preço,quanto pagou por cada caneta? Dentre os 4 grupos foram utilizados dois métodos semelhantes de resolução. 1. Método Aleatório das Tentativas Esse método consiste em partir de uma quantidade aleatória, que no casodos alunos foi o número cinco, e verificar se houve sucesso na resolução. Caso contrário,analisa-se a questão e um novo número é escolhido. Primeiramente, disseram que a canetacustava cinco reais, provavelmente influenciados pelos números que estão no enunciado.Mesmo sabendo do erro não me opus à escolha, e sim, pedi que verificassem. Ao somaremnotaram que o valor ultrapassava o limite que o problema propusera. Então perguntei: “Ovalor deve ser menor ou maior do que cinco?”. De imediato responderam que o valor deveriadiminuir e usaram o número 2 como parâmetro. Dessa vez o valor foi menor, porém maispróximo ao valor esperado do que a primeira tentativa. Vejamos a resolução: Figura 17: Método de tentativas Figura 18: Método de tentativas Figura 19: Método de tentativas Concluíram que se cada caneta custasse dois reais seria o total de dez reais.Um aluno completou: ”Tem dez reais, se botar mais um real para cada um, dá quinze...” eatravés da tentativa e erro solucionaram a questão. O esquema utilizado foi um métodoaleatório de tentativas, que apesar de trabalhoso é essencial para a construção do raciocínioconceitual. Um grupo usou essa técnica. Uma variação dessa mesma técnica também foi apresentada pelos outrosgrupos. Ao verificar que o valor inicial de cinco reais por caneta ultrapassava o valor dequinze reais em dez reais foi sugerido por alguns alunos outra forma de resolver. O valorexcedido foi retirado de um em um real em cada uma das canetas até que a soma total fossequinze reais. Vejamos a resolução: Figura 20: Método de tentativas 26
  39. 39. Questão 5: A girafa tem 6 metros de altura. O canguru tem 2 metros. Quantas vezes agirafa é maior que o canguru? Dentre os 4 grupos foi utilizado um método de resolução. 1. Comparação entre medidas Esse é o tipo de problema que precisa do apoio de materiais concretos paraque possa ser visualizada pelos alunos. A questão foi a que apresentou a maior dificuldadepelos alunos. Pois ela lida com a ideia “de medir” da divisão pela comparação multiplicativa.No primeiro momento me deram como resposta: “Quatro”. Expliquei que o problema nãopedia a quantidade em metros de quanto a girafa era maior que o canguru, e sim, quantasvezes a girafa era maior que o canguru. Por isso perguntei: “Quantos dois cabem no númeroseis?” Para que eles visualizassem o que o problema confeccionei junto com eles tirasdividida em seis partes e tiras dividida em duas partes. “A tira com seis partes representa agirafa e a tira com duas partes, o canguru. Quantas tiras com duas partes cabem na tira comseis partes?” Sobrepuseram as tiras e responderam: “Três!”. Então perguntei: “Quantasvezes a girafa é maior que o canguru?” Resposta: “Três!”. Figura 21: Material concreto Por não compreenderem o que o problema pedia fizeram uma comparaçãoaditiva das alturas. Ao ler novamente o problema e enfatizar as expressões “quantos cabem” e“quantas vezes” os alunos ficaram pensativos, porém continuaram sem entender. Por isso foipreciso improvisar uma representação concreta do problema. Os informei que havia uma resolução mais prática e simplificada, que é peloalgoritmo da divisão. Então mostrei pela divisão por subtração sucessiva. 27
  40. 40. Ao final da resolução concluíram que: “A girafa tem o triplo do tamanho docanguru”.Questão 6: Doze crianças estão em filas. Sabendo que são 3 filas, quantas crianças estãoem cada fila? Dentre os 4 grupos foram utilizados quatro métodos de resolução, sendodois semelhantes. 1. Contagem por agrupamento Nessa questão não houve muitas dúvidas. Foram usados por eles doze lápispara representar as pessoas e feitas distribuições de quantidades um a um até o limite propostopelo problema. Veja a resolução: Figura 22: Material concreto Outros grupos resolveram com desenhos de “bolinhas” e “tracinhos”desenhados um a um até que fossem agrupadas até o limite proposto pelo problema. Veja asresoluções: Figura 23: Contagem por agrupamento Figura 24: Contagem por agrupamento Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de criaragrupamentos através de representações feitas com ilustrações e com objetos concretos numadistribuição em pequenas quantidades somadas simultaneamente. Em todos os três grupos foram lembrados o algoritmo da divisão porsubtração sucessiva e os fatos básicos, pois já haviam visto algumas vezes. Dois gruposusaram a resolução por meio de ilustrações. 2. Raciocínio por inter-relação / algoritmo da divisão Essa resolução foi semelhante à questão da compra dos cadernos, mas comerros por falta de atenção. Os dedos das mãos foram relacionados à quantidade de filasquando deveria ser relacionado à quantidade de pessoas nas filas. Essa confusão gerou umresultado correto, “quatro”, porém com entendimento incorreto do enunciado. Os elucidei: 28
  41. 41. “O problema nos propõe que são 12 pessoas distribuídas igualmente em 3 filas”. Então umaluno disse: “É conta de dividir!”. “Sim!”. Novamente verificamos o problema peloalgoritmo da divisão por subtração sucessiva: Figura 25: Algoritmo da divisão por subtrações sucessivas Nessa resolução o esquema utilizado pelos alunos foi o de criaragrupamentos mediante o desenho de doze “bolinhas” e utilizando a contagem, semelhante afigura 24. 3.3.1. O que observamos a partir dessas análises Os quatro grupos com cinco alunos continham crianças comdesenvolvimento cognitivo em estágios diferenciados, porém nenhum deles deixou departicipar das atividades. Por meio dessa análise as crianças demonstram que as estratégias usadaspara resolver problemas de tipo e de ideias diferentes estão relacionadas com asrepresentações mentais das situações propostas. Algumas respostas foram imediatas, outrasnecessitaram de manipulação concreta de recursos. A riqueza desse trabalho se dá pelo fato da criança recorrer a estratégias emétodos próprios uma vez que as ideias de partição e cotição exigem muito do nível dedesenvolvimento cognitivo por serem complexos. E isso ajuda o professor a desenvolveratividades em que seja possível o progresso no desenvolvimento dos conceitos pelos alunos.Nesse sentido, usamos o processo de divisão por subtrações sucessivas para se chegar àformalização desses conceitos e finalmente compreender a técnica operatória, ou seja, oalgoritmo. O cálculo mental e o cálculo por estimativas foram utilizados intuitivamentepelos alunos quando tratávamos de problemas cujas situações já haviam sido experimentadasem seus cotidianos. Um exemplo disso são as questões 3 e 4 que envolvem a divisão com asnoções de preço, no qual a questão 3 envolve a ideia de medição e a questão 4 a ideia departição. Como estão ligadas diretamente ao cotidiano forneceram respostas repentinas. Aquestão 3 mostra que os alunos possuem as noções de multiplicidade antes mesmo desses 29
  42. 42. conceitos serem formalizados pela escola. Nessa resolução foi possível relacionar a ligaçãoentre a multiplicação e a divisão como operações inversas com a ajuda da técnica de divisãopor subtrações sucessivas. As resoluções da questão 4 foi muito interessantes por suasconclusões. Em uma delas a segunda tentativa foi suficiente para a resolução. A relação de 1real para 1 caneta é semelhante a atribuição de cada dedo com o valor monetário de 2 reais, daquestão 3. Ainda para a questão 4, outro grupo utilizou o cálculo por estimativas, no entanto,ao verificar que o valor excedia o valor procurado em 10 reais, optaram pela subtraçãosucessiva até que chegassem ao valor encontrado. A divisão por subtração sucessiva nessasegunda resolução foi efetuada a partir de uma representação mental já existente, pois naprópria resolução do aluno o método de subtração sucessiva é usado. As questões do tipo grupos equivalentes com as ideias de medição e a ideiade partição estão presentes nas questões 1 e 2, respectivamente. A questão 1 aborda a ideia demedição que é a ideia da divisão menos ensinada pelos professores. Por isso, recorreram astécnicas da soma sucessiva, da subtração sucessiva e de agrupamentos. A alternativaencontrada para a solução desse problema, que diferentemente dos problemas do tipo preço,não foram imediatas e exigiram esquemas mentais que a princípio lhes pareceram diferentespelas representações distintas de uma mesma ideia. Já na questão 2, a ideia de repartir foirapidamente reconhecida pelos alunos por ser mais explorada em sala. Porém, a resoluçãopelo algoritmo não foi satisfatória e optaram por outras técnicas, até que fosse possível efetuara divisão com em número menor. Houve, também, a resolução por meio da distribuição dequantidades em tabela, que é a resolução mais elementar quando se inicia o trabalho com adivisão como partilha e, por isso, a mais usada pelos grupos. Esses problemas foram excelentes para ilustrar a aplicação dos conceitosque são indispensáveis para a realização do algoritmo da divisão, o reconhecimento da soma,da subtração, da multiplicação e, sobretudo, do sistema de numeração decimal pelo aluno,bem como a relação entre eles. Considerada a mais complexa, a questão 5 envolve os conceitos do campomultiplicativo, tais como dobro, triplo entre outros. A dificuldade durante a resolução de umproblema com essas características não está na falta de habilidade para efetuar operações, massim, na dificuldade em que o aluno tem para entender o enunciado e traduzi-lo em operaçõesmatemáticas adequadas. Por isso, é compreensível que as expressões “quantos cabem” e“quantas vezes” não façam muito sentido a princípio. Mas com a manipulação das tiras ficoumais fácil a representação mental do problema, que exige um desenvolvimento cognitivo alto. 30
  43. 43. Esse conceito deve ser trabalhado com muita cautela, pois já não é simples compreender aassociação das expressões “ganhar” ou “perder” com a adição e a subtração, respectivamente.Assim como, não é simples compreender a associação das expressões “vezes mais” ou “vezesmenos” com a multiplicação e a divisão. A questão 6, assim como as questões 3 e 4, também é muito presente nocotidiano. Em função disso, não ofereceu maiores dificuldades em sua resolução, senão pelofato de alguns alunos não entenderem o enunciado por falta de atenção, mas isso foi resolvidocom uma nova leitura. Essa foi a questão que mais ofereceu variedades de resoluções, foramusados objetos, ilustrações e o próprio algoritmo da divisão, o que é bastante natural apósrever a subtração sucessiva algumas vezes. Observamos que a maioria das questões foi resolvida sem a realização doalgoritmo da divisão, o que confirma o desconhecimento e a falta de compreensão pelo alunodo algoritmo. No entanto, é observável que as ideias de partição e cotição presentes na divisãoestão presentes em suas experiências cotidianas. E exatamente, nesse contexto, foi possívelapresentar a técnica operatória da divisão por subtrações sucessivas. Notamos, também, que ocálculo por estimativas está presente nas resoluções das questões 1 e 4. Com as resoluções dadivisão pelas subtrações sucessivas os alunos percebem que dividir é subtrair a mesmaquantidade até o limite do dividendo e estabelecer relações entre a multiplicação do quocientepelo divisor. Com base nos PCN de matemática (1997, p.51), essas atividades comvariedades de situações favorecem a compreensão de que diferentes problemas podem serresolvidos com uma única operação e que diferentes operações podem resolver um mesmoproblema. O procedimento usado para introduzir a divisão das subtrações sucessivasserá mostrado no capítulo 5. 31
  44. 44. 4. DIFICULDADES RELACIONADAS COM A PRÁTICA PEDAGÓGICA Tradicionalmente, a maioria das escolas do ensino fundamental concentramos trabalhos das operações com números naturais em “fazer contas”. Quando falamos noalgoritmo da divisão, que dentre as operações é a mais complexa, nos deparamos com umcálculo que exige uma compreensão sólida do sistema de numeração decimal e das demaisoperações. E para exemplificar essa complexidade chamamos a atenção quanto ao processodas operações de adição, subtração e multiplicação que são ensinadas antes da operação dedivisão, cujo início do processo é da direita para a esquerda. Entretanto, na divisão, o processoocorre no sentido contrário no qual as unidades são divididas por último. Para que possamtreinar são feitas divisões de diversas formas: divisão exata, divisão parcial exata, divisãoinexata, divisão parcial inexata, com números que possuam ordens nulas e com númerospertencentes às classes simples e de milhar. Ou então, fragmentar um número por serconsiderado grande como se dentro de um mesmo algoritmo houvesse outros algoritmos comnúmeros menores. Alguns professores acreditam que ensinar significa explicar e aprendersignifica exercitar, por isso os conteúdos são explicados e exercitados isoladamente uma vezque deveriam ser vistos como um todo integrado. Todas essas designações dão a impressão deque existem vários algoritmos que são semelhantes entre si. Isso obriga o aluno a seguirrigorosamente os “passos” da divisão, pois, caso contrário, respostas incoerentes ocorrem eestes alunos, que não compreendem o processo, não terão condições de percebê-las. Para quevisualizemos as consequências desse ensino linear que não valoriza e nem desenvolve ocálculo por estimativas e estratégias de verificação de resultado, vejamos o exemplo: Figura 26: Divisão com zero no quociente Quando as 5 unidades não foram suficientes para serem divididas por 12 não foi feito o registro no quociente de zero unidades. O resto passou a representar 50 décimos com o acréscimo do zero e, o quociente que apresentava 2 dezenas, ficou sem o algarismo das unidades e com os 4 décimos resultantes da divisão de 50 décimos por 12 (Marques e Utsumi, 2003, p. 4). É um paradoxo pensar que crianças que aprenderam técnicas operatóriasconsigam resolver problemas eficazmente, assim como, pensar que vão estabelecer relações 32
  45. 45. entre os conhecimentos cujos conteúdos são passados de forma linear. Não se pode confundirtreinar com aprender, pois apenas reproduziram algo que não compreenderam associados aexpressões sem significado. Essas expressões são as mais absurdas, tais como: “vai um”,“pede um emprestado”, “pula uma casinha para esquerda”, “abaixa um” entre outros. Além dedecodificar todas essas afirmações precisam aplicá-las em situações problemas que não sãoinerentes a sua realidade. As crianças dos anos iniciais do ensino fundamental estão numa fase da vidaem que passam por muitas transformações e descobertas, principalmente em seudesenvolvimento cognitivo, por isso temos que ter muito cuidado quando falamos dosconceitos matemáticos, visto que elas podem não estar preparadas para receber talconhecimento. Segundo Marques e Utsumi (2003) esse pode ser um motivo pelo qual ascrianças não se interessam em aprender matemática. Por isso, o conteúdo deve ser carregadode significado bem como o conhecimento do campo de atuação e o porquê de todas essastécnicas. Ao priorizarmos a resolução do algoritmo da divisão como metodologia deensino não levamos em consideração as potencialidades dos alunos para resolver problemas.Vimos no capítulo anterior que os problemas podem ser resolvidos por diferentesprocedimentos e, a partir desses procedimentos, observar se os alunos estão em condições deresolver problemas de divisão antes de aprender o algoritmo tradicional. Assim, estaremospriorizando a aquisição desse conhecimento através da percepção e, também, favorecendo aconstrução de novos conhecimentos. Sendo, assim, o domínio do algoritmo da divisãoocorrerá por consequência do trabalho com a resolução de problemas, pois quando a criançageneraliza esse conhecimento percebe que a técnica operatória não é a única forma deaprender a dividir, além de entender o papel das demais operações na construção desseconhecimento. Devemos conhecer a importância e o uso da matemática na sociedade,entender o papel do aluno, discutir práticas pedagógicas voltadas para a compreensãoconceitual e buscar novas metodologias. Para que entendamos como a matemática estápresente em nossa vida social observemos as crianças que apesar de não terem muitaconsciência demonstram muita experiência fora do âmbito escolar. “As crianças têm múltiplasexperiências relacionadas com o conhecimento matemático e estas experiências tinham queconstituir-se em objetivo de análise no meio escolar” (Zunino, 1995, p. 7). 33

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