A algebta surgiu da necessidade de representar problemas matemáticos de forma mais abstrata, utilizando símbolos em vez de objetos concretos. Isso permitiu resolver problemas cada vez mais complexos. A álgebra é basicamente o estudo de polinômios e equações algébricas, que surgiu com o trabalho do matemático persa Al-Khwarizmi no século 9.

1. i
": ,Y o,e 'abetiadìzetp,t1 momcnto
qup dp os simbolos,e a Aritmética se trdnsfomoú em
'::, iua Jatü.tào (ame'oúa uar lPt'a. Álgebra.Na wtdada Aútmétícd eÁlgebw coe-
'ott outros'tmbolos na Lu!íÌdc 4ü- r.ísteme estdúltimd é, hoje,bemsoJìsticatla.
merospara rctolvet problemas fiatefiáticosl O termo ágebra wm do título do livo
Certamente, início aleseusestudos Mate-
fio de HisabaÌ-jabrwhl-muqabalah,escríto Bagdá
em
mátíca, você Íaziã contase resolvh problemas por wlta da aúo 825,pelo mdtemátíco/irãbe
queti hãm bLlstate ligaç,1a.om seúcotidid-
o Múhommedú n Mu,a al.l(hoba4 -n ì (Meone.
t1o, que chegau po ta em que osproble-
até um Jílho de Moisés,de Khowarizm). Ueja na Íoto
mds eram mais compleuos; esse momentoío- umapágína dessa obra.
fttm i troduzidos artiÍícíos que Írci.lih:twlm a O matemático Al-Khowarízmi quem
foi
reprcsentaçãa componentes problema,
dos do prapÔsa feofg,rnizaçã.a termosque apãre-
dos
,om úo u udr14 'que5ubt'tuLa ma t 4 ' ò-8 n cem 44 equdçãop1.fa se chegdrà soluçao.A
td-édaíquerc ma Algebrusurgitia com essaf.nalicìad.e rcsolver
erpressoo "a x da equações , por isso paderiaaté serchamadã
Etestão"! PoisvidHís- h ciêncíadas equações': següúdo Baumgart em
tória tambémÍaí as- Tópìcos história Mâtemáticâ.
de da
sint. Voltandoaas.é- Dizemos bquações dlgébrícas"qua da stta
lebrespapiros egíp- campastas temos qLte
de cottêmpotências x
de
ctos,rtmos que na (oudeoutraletraqualquer indique wriaveLl;
que a
início os problemas a cpíeao qu?a a4lrm echomatla polfuómrc.
trataram de sítuít- O maior expoente x intÌicaa "gau" dopolínô-
de
ções cotidiana e
dD mio e. coú.eqü, qtmenLr.a gtnu da quaeìa.
eram resolridosde Ass|fi,dìzemas "equaúadoseguncìo qtnndo
grau"
um modosimples, o mdíofex.paente x é2 e
de qssim diante.
por
quase tentati-
par Desdeo séculoXVI são .a hecídas íórmu-
14. Mas cofi a las para a detetmifiaçãade saluções equa-
'4w
cle
tempo surgiram 1òe. 6tpqupt16
de 91íru. do 'egundo
4 g'aup
i,Ì-
jl/
.tìl.
È& l;tÉ
.'È à'
>E

2. l. Umpeq ueno .onìÊrclâ d-.gLr
ntê oselmaãproveitouoÌ-.rta
s a do
esistíahá basta te tempo nósa cotlhe-
e ATACADÂOcomproìr
€ 300 pacotes âmendoim
de toÍado
cemos.omo 'Íórmula Bhaskara,
cle embo- 5abe q]rena suâcompÍa
se hâvia tamanhos ferentes
três d de
ra elajá fosse aplícada bema tesdesua pacote (pequeno, nìédlo grande) q!e o número pacotes
e e de
epoca (Bhaskara híndue viveu o sé-
era pequenosÍo otrip o do númÊro pacotes
de grandes
a) nd cândopor x o númefo pacotes
de grandes
comprados,
culoXII), atíbuíndo-se Al-Khowa.rizmí
a
€xpresse, Tunção x:
êm de
suad,eduçã.o; a deterceiro graufoi desen' . a quantdade pacotes
de pequenosl
volvída pelonatemáticoNicolaFontana . a quantidade pa.otes
de grandes. Í
deBrescía, conhecido Tdúaglia(que
por b)Consu a tab€a abaxo -"represente, fLrnçãod€ a des'
t€ em r
signfi.ca'gago') sand,o depoís publicada
(ver
por Cardano, capítuloanteríor); a e
d.e por
quartogra.Lt Frufiçoís (no
Wète sé- AIACADAO
O F E RT A !
culÍ,XVI).
A procuracleuua fórmula quedc- AMENDOIMTORRADO
teminasse raízes uma.
as de equação po- EMPACOTE
linomial de graumaiorquequãtro que e
clependesse apenas seus
cle coertcíentese Pequeno- R$ 2,00
Médio - R$ 3,00
envolvesse seis
ãs opewções (adição, sub-
tftzção, multíplica.ção, divisao,potencia-
c) Se; despesaloÍ de RS860,00,qLrantospacotet de .acla tipo
çaoe fttdícía.ção) terminouem 1799,
só
quando Paolo Rufiì,nipublicou úmaobra
o b e . é q è o ó . p . è <o q , p è p . è è . o - ""
sobrea teoriadas equações, qual na "lL;o-.
pressão a gébricir e qLre .o lgra é a a zero vo.ê obteve rrma
mostraqae a solução a@búca (isto é, eq!ação a gébÍi.t
por meio de fórmula) de equãçoes de
2.. dm-dd"do omp,rè,!o e ^ ì o 'Ì r d o óo
grau maiorquequatroé impossível, " "d
(com .rqLrrâ.
O estudo polinômios
dos suas a) Expresse dessa emfunç;od€urna dirìensóes,
a área saLa dâs
qpl,icaçõe, tão a.mpla.me explo-
íoí te a por
lndicando A(r).
..-".'-.
radopelosma.temáticos sesegui- que D, o dô.è A pè o .no a q. o d-.
ram aos jti cìtudos seriaintetmi á-
que c) Calcu asdlnìensôe5dêa para
e 5a unìaáred 35m'
de
velettpor percurso
seu 6qui. Osdesen' 3. Asdlmensôes Lrma xadependem sua tura,.onlorrne
de cd dÊ â
volvimentos algébricos possíbilítLram o
aparecimekto de áreasmuítoavança-
d.as cálculo,
de entre a chamada
elas Aná-
lise matemátíca, prcparando cam-a
po para grantles avanços pesqaísa
n6
cíe tííica.
Estecapítuloé deelicado estudo ao
d.ospolínômíos à resolução equações
e de
algebrícas qualquergrau, Veremos
de a) Dê a expressãoalgébr que representa vô ume dessa
ca o
comoa alisaraspbssibilidades solu- de ndlcando porV(h)
caixa, o
chamad.as raízestla equaçã.o, Ic- b)Escrev. eq!.çãoalqébr q!e pernì calclrar aLt!ra
a ca t€ a da
ções, quando unì€é de 6 272ur.
caixa ovo
va.ndo co ta que n'ãod.íspomos
em d.e c) Espe.ialnìente €xercício, parliclraÍldade me
nÊÍe p€. das
fó rmula que neça ímediatam teseus
for en dldasapresentadas, é capaz det€rÍìnârâ âltura
você de da
valores, sabetldo, trctanto,queno ul1i-
e caxanas condçòes lÌemb, Exper
do mente.
verso dos úmeros complexos nenhuma Ao onqodeí€ câpítulo vorê descobr comoresov€r
rá equa
delas sem so[uçã0. çóes desseupo (quândo holver
não particuardadet.
fica

3. 134 íareÍìálkâ.(mtexto&AptiGções
Introducão
Naresolução problemas, muíto comumocorrerem
de é situaçóes que a leiturae â compreensão enun-
em do
ciadonos levama formularexpressões permitemdepoisa resoluçáo problemâpor meio de umaequação
que do
oriundadaséxpressóes porexemploque,em determinados
obtidas.lmagine problemas, enunciâdos levem
os nos
àsseguintesfÌguras dimensôes:
e suâs
Í
A primeirafiguíâé umaregiâoretangular dimensões e x + 3, cujo perímetro indicado
de x é pelâêxpressão:
2x+ 2 (x + 3 ) o u 4 x + 6
e cuja po.
área indicâda
é
+ 3) ou x, + 3x
"(x
A segunda
fÌgura umcubocomarestasde
é medidâ cuja
x, áreârotaléindicâda
por:
e cujovolumeé expresso
por:
Aterceirafiguraé outrocubo com arestãsx 2, cujaáreatotâlé:
+
6(x + 2), ou 6(x, + 4x + 4) ou 6x2+ 24x+ 24
e cujo volumêéexpresso
por:
(x + 2)i ou x3+ 6x, + 12x+ 8
.
Todâs essãsexpressóes
são chamadasexprcssões polinomioisou polinômìoJe serãoobjeto de estudo
nesteCaPitulo.
Chamâmos polinomialoupolinômiona variável
expressâo complexâ
xtoda expressão forma:
da
ânxn+an,lxn I +an rxn 2+...+a2x2+atx+ao
. an,ai_ r, an 2,-"a2,ar,aosãonúmeros
complexos denominados coeficientês;
. n é um númerointeiÍopositivoou nulo;
. o maiorexpoente x, com coeficiente
de não-nulo, o grauda expressão.
é
Veja, porexdmplo, expre5sôes
as polinomiais:
1e)4x 6:expressão
+ polinomial 1egrau(gÍâu
do 1).
Quenom€ Eáàs
se
2Ê)x'z 3x:expressão
+ polinomialdo grau(grau
2e 2).
3q)xriexpressão polinomialdo grau(grâu
3e 3). al óxs
+óx,+6x+8
44)6x'? (l - i)x+ 5:expressão
+ polinomialdo grau(grau
2e 2).

4. .
Gpítulo5 Pôllnômios 135
PeladefìniçãonáosãoexpÍessõespolinomìâìs:
. x _b podesernegâtìvo.
'z 3x:! + 1,poiso expoente variávelxnão
da
. x'+ + - , poisà vàíiávelx podeàpàíecerem
náo denominador.
. xf + 5xã + 6, poiso expoente variávelxnãopode5eÍfracionário.
da
.1Ç + o"Ç + 2, poìsavariávelxnão podeâparecersobradicâ|.
Funçãopolinomial
t
por polinomiais denominadas
As íunçôescomplexas O -t C dêíìnidas expressões
Í são polinomiais. '
funçóes
. f(x)= 2x - 1 é umafunçãopolinomialde 1.
grâu
. g(x): 3x, 2x 1 é umafunçãopolinomìalde grau2
. h(x): x3 6x'? x - I é umafunçãopolinomìaìde
+ grau3.
. p(x)= xa- ix: é umafunçãopoiinomialdegrau4.
toda funçãodefinidâpor:
Então,
í(x)= aJtd a" - 1x" ' +
+ +a,x, +a1x+q
funçáopolinomialdê
paratodo x complexo, denominada
é graun,em quê n é um númerointeiropositivoounulo
ea. ediferentede O.
Seo graude umafunçáopolinomialfor0, entãoa funçãoé definidapor f(x) - ao,com ao+ 0.
Exemplos:
19(x):s
:
2e)p(x) 2
Polinômio
A cadaíunçãopolinomial
associa um.único
se polinômio(ouexpressão vice_versa, formaque
polìnomial)e de
nãohá conÍusãoem refê rmosìndistintamente
nos àsfunçõespolinomiais aospolinômìos
ou
Exemplosl
le) p(x): 5 é um poìinômio grâu0 ou polinômioconstante.
de
2e)p(x): 2x + 1 é um polinômiodo grau
lq
3e)p(x): x')- 5x + 6 é um polinômiodo 2egrau
ìdenticamente
Polinômio nulo
o nulo (Pin)como polinômiocujoscoeficien
DeÍine-se polìnômioidenticamente o
coefi não
cient€não-nulo,
tessãotodosnulos. Assìm, :4"x" + 4" rxn-ì+ .. + arx + aoépolinômio
p(x) nulo s€d€fìnegrâupaÌãele.
se, Somente
e serai= an
r=.,,:ar:âo=0.
l. Dadoopolinômo =[m'z- 1)x3+ + ])x'1- x + 4,
p[x) lrn
comrn€ lR,discuta graìr p(xl.
o de . sem+l em+ l,opolnômoseÉdo3egÉt
. sem = t, o potinômo do 2egÉu.
será
Resolução:
. sem= t,opoinômiosetãdo tegmu..
Fazendo coefcientes rCe x2iguâ a 0,temos:
os de s
rnr_l=0=m?=1=rn=+l
Ín+1=0+m= l

5. . contexÌ0 c!ôes
Matemárkã &Ápt
2. Calcu osvaorcs â, b e c para quas o poinòrnio
e de os ReLrn Oe(D, temos:
ndo
p[x] = [a + b]x,+ (a b 4lx+[b+2c-6] [a+b=0
j
la - D = 4
Resoluçào: R esovendosi sterna,
o obtemosa=2 eb= 2
S!bsttuindob enì@, vern:
l a+b=oO b+ 2c- 6= 0ã 2+ 2c- 6= 012c= 8=
s€ p i ,l=0=1a b 4:0 O^
lb+2c 6=0 0, Logo,a= 2,b= 2ec= 4.
pÍopostos
Exercícios
Ì. V€riÍique sãopolinômos
se que
2. Em condçôes o gfau poinómìo
do
alptxl=2x3+x+4 ptxl= ia + 2lx,+ tb 3lx+ tc- tl é0?
blsr:r:."F + 2!Ç r pâÉ
3. Dscutr, m c R. gruu poinômios:
o dos
cl [x] : x'?+ 3xr + 4 al p[x]= [rn 4]x3 [m+ 2)x,+ x + ].
+
dlhtx)=x5-l b)pixl = trìì, 4lx4+ (rn 2)x+ Ín
el q[x) = 4x5 ] cl ptx)= trn,- l)xa+ lrn+ ]Jx3 x, + 3
+
rl ptx) 2
-
s ls (x )=+ 3 x
hlq[x]=x3-x':+2x-2
ffiValor numérico umpolinômio
de
ConsìdeÍe polinômio
um p(x)eum númerorealo.
O valoí numéÍìco polinômiop{x)pârax: o é o númeroque seobtémsubstituindo por o e efetuando
do x os
cálculos Indica-se p(a).
neces5ários. por
Então,p(o)éovalornumérìco p(x)para = d.
de x
Êxemolos:
1e)O valornumérico p(x): 2i(a 3x + 5 parax : 4 é:
dê
p(4)= 2(4)'1 3(4)+5:32-12+s:2s
Logo,p(4)= 25.
2-o)
Dado p(x):4xr - 3x':+ 5x 10,ovalorde
5(3)
p(x)pâra - 3 é:
x
p(3)= a(3)3 3(3)'1+ - 10 = 108- 27 + ]s 10 = 86
@ nun'*i.o
o *ro' ao
I polinómio I
Logo,p(3)= 86. I nulo 0 para
é I
quàrquer dex
v"ìoÍ .,
3q) p(x): 3x:
Se 7,então;pâra: i,ovalornumérico p(x)
x de ép(i)= -3' 7: tO. I
Assim, modo geral,dâdo polinômiol
de o
p(x): a"x"+ a" rx'_ ì + aô ,xn , + ...+ arx+ ao
ovalornumérico p(x)para cÌé:
de x:
' p(o) = aícr"+ a" Jan I + an 2dn-2+... +.arcr+ ao
Observaçóes:
le) Seo : l,ovalornuméricodep(x)éâ somadeseuscoefìcientes:
p(1)= a^. 1i + a"_ r . 1" I +ân 2.1"':+...+a1 . 1 + ao- p(1)= an+ ai +ai_2+... +ar +ao
I
2ã)Se o:0, ovalornumérico p(x) otêrmoindependente:
de é
p(0)= a" . 0" + a" r ' 0" I + a" , . 0"-, + ... + ar . 0 + ao p(0)= a0
r

6. 117
3. Dadoo polinômio = 2x3- x'z+ x + 5, cacule
p(x) Resolução:
pt2l - pt-11. S€p[x]é urnpolinôrnio2egmu, lorÍÍa
do suê é:
Resolução: p[x]=af+bx+c
Cac. a-dopí2ì F o[ 5eodÍêda-Íe pros
e Então:
p(2)= 212)3 (2)'1+ 5 = 16- 4 + 2 + 5 = 19
- 2+ =
p(21 0 = a[2]'?b[2J c= 0+
+
+
p(-r) =2i-l)3- i r)'?+[ ]l+5=-2-1 l+5=l
=4a+2b+c=0O
ASS|Tn:
p i-l)-1 2 + a t rJ ' ? + b (r) + c : 1 2 . ì
p(21
-pi-ll=rs r=18
= a b + c = l2 O
4. Dado po nônì naloÍnraíatorada
o o, Í
ptOl 6+a(01? bt0l+ c = o= c = 60
= +
p(x)= (x, + 2),tx3 215, deteÍnine:
a) a sorna seus
dos coefcientes; Substtu ndo0 em e (D,temos:
O
b)o termond€pendente. f + a + z r. = a [ 2 a + b = 3
Resolução: la b : 6 Ì a -b = 6
al PaÍa obter soma coeÍÒientes, fazer:
a dos bâsta
Resolvendo o sstema,obtemosa I e b = 5.
=
. p0) = 0, + 2t,0. 2)5:3' . t tl5 = I
Sabendo a = I,b =
qle 5ec=6,vainoses
o) Dara ootê o er_lo-depeldere bdsla ;/e .
p[o) = to'z 2]'zt03 2)s= 2'1 (-2)5 =
+ '
= 4l-32) = 128 p[x]= ax'? bx+ c = x'z 5x+6
+
5- UnìpoinôÍnio é do2egmu.
p[x] Sabendoque = 0,
p[2] Agora,varnos culaf
ca p[5]:
p[-]) : l2 e p[0J= 6,escrevapo]nòrniod€terrnì
o e pt5l = isl'?- 5t5l + 6 = 25 25 + 6 = 6
neptsl. ogo.píì-. -s oep[.ì 6.
propostos
ExeÍcí(ios
4, Dadoptx)= x4- x 3, calc!e p[-2) 9. Detemneo polinôm p[x] do lr'g|autal queptsj = l3
o
ePt3ì=7
5. Dadosp(x): -3x3+x'?+x 2eg8l:É x'z+x l,
cêcLle
of-lì gí'. I0, Calcue sonìâ coeÍcientes polinômio
â dos do
ptxl=tx 2ltsix6 x+2f
ovaor de p[x]
6. Caclrle xa .3x'z+ paÉx = 1ã.
5
- ì l Cacule temro
o independ€nte polnômop[x] obtido
do
7. Cohsderemos o poinórnio = 2x3 6x'z+mx+ n.
p(xl desenvolvendo expr€ssão
sea
Sepf2l = 0 e p( l) = -6, caclleosvaoresde e n
m lx': 3x + 2]t8x! - 8x'z ll3.
8. Sabendo pt l) = 0 cacule
que ovaoÍdea ern 12. Cons deÍeo polinômio ptxl = aÍ3 + bxs+ cx'? d
+
p[x] = 2x3 4x'?- 3x + 2a Se pill = 7€ pt0l= 2,qla ovaloÍdea b + c?
+
Fl lgualdade polinômios
de
Dìzemos dois polinômios i9uais ìdênticos e somente seusvaloÍes
que são ou se/ se, numéÍicos iguaispara
são
todo d e O.Assim:
P(x): q(x)ie P (lt) = q(o') (v d €ol
p(x)- q(x)devesero Pin A5sim,
Pà q ue issoaconteça, diferença
ra sua dois polinômios
p(x)e q{x)sáoiguars e somente tem coefi(ienLes
se, se, respectivamente (os
iguais coefi(ien
tesdostermosdemesmograusáotodosiguais).
Exêmplor
p(x): ax3+ bx'?+cx + d e q(x):2xr + 5x2 4x + 3,temos:
Dâdos polinômios
os
p(x): q(x)(ìa : 2,b : 5,c : -4ed = 3

7. r1Ìêr Íi rnrvÀd
'ddôd"
6. Determine valofes a, b, c, d e e de modo os
os de que
PonÔnr P[x]= ax4 sx'z dx b e
os + + 0=b 3=b=3
g[x) =2xr+ tb -3]x3+ t2c llx2+x+ese- 5=2c-t+2c:6=c=3
jamiguais.
Resolução: e: -b: -3
Pâm p(x)- g[x],deverÌìosteÍ:
que Logo = 2,b:3,c = 3,d: I € =
a 3
propostos
Exercícios r
'13.
Detem osvaores ae b paÍa selam
ne de que gLras
os Ì 4. Dados = [mx,+ nx+ p]txl t) e
p[x]
polinômiosp(x)=3x+2e g[x)= 2x3 3X, 2x 3,deterÍnine ores m,n
+ - osva de
qtxl = ta + b)x?+ ta + 3lx + i2 b) e p parâ setenhà = g(x).
que p[x)
4:-R
Raizde um polinômio
[r..fl
Jásabemos p{o)éovâloÍnumérico polinômio
que do p(x)parâ a.
x:
Seum númerocomplexo é tal que p(e) = 0, entãoessenúmeroa é chamado roDdo polinômiop(x).
o de
Exemplos:
I e)Dadoo polinômiop{x)= x, - 7x + 10,temos:
p(5):0i 5 é Íaizdep(x)
p(3): -2 3 3 nãoé raizde p(x)
2e)Dado polinômiop(x)= x3 3x, + 2,temos:
o
p(1)=0ã1éraizdep(x)
p(3)= 2=3 nãoé íâizdep(x)
3e)O númeroi é raìzdo polinômiop(x): x, + t, poisp(i) = -t + I = 0.
7. Sabendo -3 é razdep[x]= x3- 4x, âx+4s,
qLre Resolução:
calcul€ vâlor a.
o de Sep[x]admtea raz 6,então p[6] = 0.
Resoluçâo: p(6)= 63+ at6l, + b(6) = 0ã
Se-3 é Íaizde p[x],então 3] = 0.
p[ ì216 +36a + 6b: 0+36 + 6a+ b = 0
DaÍl Sep[x]adrnite Éiz l, entâo
â p[]J = 0
ptl) = 13 ail)'z btll = O3 r +â + b = 0
+ +
pt 3l = C-313 4[-3]'?-a[ 3]+48=0=
VarnosfoÍmar,
então, sstema:
o
= -27 - 36 + 3a + 48 : 0+3a - t5=a : 5
L090, - 5
a loa+ b=
(
ro
[a+b=-]
8.0 polnôm p[x] = x3+ ax'z bxsdrnite EÍzes e l
o + as 6 Resolvendo =
obtemosê -7 e b = 6.
o sisteÍÌra.
Cacu oscoefcentes e b.
e a Logo,a=-7eb=6.
!ry-fgo'frypo:,!gt_r
1 5- VerÍque o núÊnerc raiz polnôÍn
se 3.é do o -l7. Calcu osvalores
e de a e b no potinômo:
p[x]=f 3x,+2x-6. al p(xl = x3+ ta 2)x, + (t, 4)x 3, sabendo
que
16. Delerminevalofde nopolinômio
o I e I sàoraízes poinôrnio;
do
k
al p[x] = x3+ 7x'? kx + 3, sâbendo x = -t é
qle bl p[x)= x3+ ax,+ [b ]8lx+ I s€bendoqueté|az
do polinômiop[2] = 25
e
Íazdopolinôm o;
bl pixl = 4x4 Bx3 [k + 5)x'1+
- (3k 2]x + 5 - k I B" DêterÍnine
ovaorde pâra o númerc
a qle I rsejuraz
sab€ndo x = 2 é mz do poinôrnio.
que do poinômio = x, 2x + a.
p[x]

8. .
QpÍtulo5 Polinônrios 139
Operaçõescom polinômios
Pormeio de exemplos, vamosretomaroperaçôes no algébÍicas,
conhecidas estudode expressões como adi-
ção,subtração multiplicação polinômìos,além multìplicação um númerorealpor um polinômio. se
e de da de Em
guída, estudaremos maisdetalhadamente a divisão polinômios.
de
1 )Sep(x)=3x'z+2x l eq(x): -x3+4x'? 2x-5,temos:
p(x)+ q(x)= -x3+ (3 + 4)x7+(2-2)x+l 1 -s)= -x3 + 7x'z-6
2r)Sep(x)= 3x,- 4x + I eq(x):5x': 3x + 4,temos: sejarnl
p(x)- q{x)= 3x': 4x + 1 5x'?+3x 4:2x'z-x-3
- s{pl = grâud€p[x],
s{ql = sÌ?udeqtxl. t
3e)Dadop(x) - 2x1 4x2 5x 3.lemos:
- Então:
7 . p(x):712x3 4x7+ 5x - 3) : 14x3 28x'] 35x 21
- + . grtpl ql < maior wlor
4q)Dados p(x): 3x 4 ê q(x)= -2x + s,temos: €nÍ€ sr{pl€ grtql,
. sÍ{p . ql = gítpl + crtq}
p(x)'q(x) = (3x - 4X 2x + 5) = -6xz + I5x + 8x - 20 : 6x'+ 23x 20
9. DeÌeftnine valoÍes a, b e c pâÉ qlleseve fqu€
os de Resoluçâo:
a i0ualdad€ Como{x +'2)[x- 1] = x, + x 2,temos:
la -r2d o 2bl-c' f' 2cl'-6l - a lx -r] + b (x + 2 1 7x+8
:2x'-4. (i+ 2 li -D '+x 2
Resolução:
ax a+bx+2b 7x+8
O polinômo Íax'z+[2a + b]x + 2bl +
+ [cx,+ [3 - 2c)x- 6] pode escÍito forma:
ser na t x + 2 lf x -ll x'+x 2
[a + c]x, + (2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b - 6 t ã + b li+ t a + 2 b l = " + *, 8
7x+
Logo, temos: - r - + r x^ r l
[a + c]x'? [2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b 6 = 2x''4
+ PaÉquea igualdade vefÍque,
se devemos
tef
Vamos fomaf,então, slstema:
o
fa+ t= z
[a +c=2 a D l-a+2b=8
]z+n *:- 2"=o O qesorve doosslFrd,obenosa- ' p b r.
l2 b - 6 = 4 @ graus
I l. Seospoinôm p, q e rtêm,Íespectvâmente, 3,
os
Daeqlação vern:
@, 5 e l, delerm o gmudel
ne
2b-e,= 4=2b=2)b=1 alp+q: b)p.q; cJp Í q.
na (D,
Substituindoequâção obt€Ínosnovo
o sstemâ:
Rêsolução:
la+c=Z la+c=2 a) NasoÍnadeurn degra!3 coÍÍurndeg|a!5
polnônìio
l2a 2c= 4 la-c= 2 prerdlp
For"o gêL Logo ooaude'o I ql"5
temosa=0,b= I ec=2.
o sist€rna
Resovendo b) No produto unìpolnómo grau3 comumde
de de
i grauSorcsultadoterá 3 + 5 = L
grau
' :;.oer". clOgÍËudoprcdutop.ré3+l = 4.Nasubtração
Io.Sabenoo oue ". +_i.-
2 r-l r +r : o maior enffe g|au dep r
p.f q pÍev€lece grau o 4
Ínlne vâLorcs a e b.
os de 5 ogrâu @.f ql é 5.
eog|au deq.Asslrn, de
(ios
propostos
.l9. Dâdos nômìos = x'? 4x+3,q[x]= 2x+4
ospo p[x) 20. Dados polnômos = ax'- 8x + b e
os p[x)
e (xl - 2x3 4x + 5, calcule:
- q[x] =3x'?- bx + a c, deteÍnine b e c para
a, os
a)ptxl + (xl quais + q[x] é !m polnÒm nuo
p[x] o
bl qixl ptxl.
cl 4. r[xJ. at. ouao + 9j9
3 =
dl ptxl.qtxl. x x-3 - L.cor nx+ oexr 3,
x'-3x
e)Iqtx)l'. calcueosvaoÍes a, b e c,
de

9. ]40 . (onreÍro
MàÌematka &Âdnoes
22. Delenn osvalores dea e b pamq!e o binôrnio 24, Seospolinômiosq e Í têmgraus e 4,rcspecÍva
ne Íeas p, 2,3
2x, + l7 sejâigualàexpressão ment€, então gÍâudo poiinômio q + ré
o p.
tx'z b)'? (x'? a,ltx,- aa
+ - + al iguaÌal0
abcÌ b) iguaa 9.
cl guaa5.
23,üo" aoq-ep,.- 0 egrt 3J.. t. dJrnenor iguala
ou 5.
0 lx -., eJrnenoÍ iguala
ou 4.
delemin€ osvalores a e b pâra ptx) = gtÌ)
de q!€
Divisào polinômios
de t
Dados dois polinômiosp(x)e h(x),com h(x)não-nulo,
dìvidiíp(x)por h(x)signifÌca dois potinómios
encontrar
q(x)e r{x)que satisfaçam seg intescondiçóes:
as u
1?)p(x)- h(x).q(x) + (x)
21)ogrâude (x)não podeserigualnem maiorque graude h(x)oìr
o entâo = 0.
(x)
Assìm, dizemosque:
. p(x)éodividendo;
. h(x)éo divisor;
. q(x)éo quociente,
.(x)éoresto.
Parâefetuar divisão polinômios
a de usaremos método chave,
o da semelhante empregaoo
ao paÍanume-
ro5Interros,
Métododa chave
Consideremosseguinte
a divisão númeíosinteiros:
de
1r) 337| 8 2 À7 z") Àt 337
l-r
-32 -32 32
33:8+4 1 17 't7
4 a=32 17:8->2
(ou
Subtraindo soman- 1
do como sinaltÍocado): 2 8 =16
33 32=1 17-16:1
que:
observemos
337 : 4.42 + 1
."{",ï,".".F*"
Vamosutilizaramesmatécnicaparaa divìsão polinômios:
de
] e )x,5x+6 lx 3
lr,
2x:x: 2
x'z 5x+6 '-' x'-5x+6
x'+3x -x2 + 3x
-2 x + 6
2 x -6
Trocando
osinal: x, + 3x 2 (x -3 )= -2 x + 6
Trocando o sinâl:2x 6

10. (apítulo5.Po
iíìônioj 141
p(x) = h(x) q(x) +(x)
x,-sx+6:ix 3 )(x -2 )+ 0
'lt{{
dlvidendo
Veiamos de
outradivisão oolinômios:
]s) x4 +xr 7x'z+9x 1 x4+ xr 7x'z+9x 1
x4 3x3 + 2x':
-2xr-5x'?+9x-1
2x'+6x'-4x
x4+ x3 -7x2 +9x 1
x4 3x3+ 2x':
-2x' - 5x':+ 9x 1
xr(x, 3x 2):1+ 3x3 2x'
+ -
Trocândoosinal: - 3x3 2x2
-xa +
x4 + x3 -7x7 +9x 1 + x1 txz +9x 1
x1 3x3+ 2x':
-2x3 , x2 : 2x x':+ 5x 1
x4+ xr 7x'z+9x 1
x4 3x3+ 2x'z
2x3-5x'z+9x-l 1 (x t + 3 x -2 ): x , + 3 x -2
2xr + 6x'z 4x Trocandosìnal: x2- 3x + 2
o
-2x(x'z+ 3x - 2) : 2x3 6x2+ 4x
Trocândo sinal:2xr+ 6x': 4x
o
q
verificar ue:
Podemos
' xa+x3_1xr+9x I = (x'? 3x - 2)(x'z 2x+ 1)+ (2x+ 1)
+ -
12, Eíeiu€ divisão p[x): 2xa 2x3 ]3x'z+ lox - l
a de - qtxl .hixl + (xl = tx, 3x + rl[2x'+ 4x - 3] +
porh[x) = 2x'? 4x - 3 efaçaa ver]Íìcâção.
+ + l 3x + 2) : (2x4 2x3 l3x'z+ l3x - 31+
-
Resolução: +[ 3x+2):2x4 2x3 ]3x,+lox-I:p[x)
13. Usando método chave,
o dâ efetlea divÌsão polnô
do
2x' - 2x3 13x' 2x'z+4x 3 noprr - r b^ 8po1,l-. L.
2x' 4x' + 3x'?
6x'- l,ox'+tox l
6x' + l2x' 9x
2x'+ x 1
2x'z-4x+3 2x' 2x a
-3x+2 2x'+2x+a
Fazendo
a verÍìcação,
v€rn: Lero e-sedeque' r.r,
oìo 0.pt'Jê dMstud hhJ.
oor

11. .
lMatemálaContexto
&Aolkades
I4-0 poinómio = x3+ ax + b é,divisíve
ptxl por lo.Calculeos vâlores m e n de rnodo o Íesro
d€ que dâ
. h[xl = xz1 t" * r. *""sas condições,
ca]culeosvao dvlsão p[x) = xa+ rnx3 x, + nx + ] pof
d€
htxl= x':+ x + I sejaiguâlâ(xJx+ 2.
=
Resolução: Resolução:
O po nôÍnio : xr + ax+ b deve
p[x] seresfftocorno: Indcândo qlocentepofq[x),
o temos:
P[x)=x3+0x]+ax+b p(xl=htx).qtxl+(xl
Llsando rnétodo chave
o da temos: Corno graude p[x]é 4 e o graude h(x)é 2, então
o o
graL qhì e 2.Poldnro. - a) + b + c.
dF q,'
Daí
x"+mxr-x':+nx+t-
PIXJ
i â -rl x+(b +l o )
:[x'?+ x + ])(ax': bx+ c] +[x + 2] =
+
a obiemos: = ta llx+[b+]01
Eíetladadvìsão, f(x) htxl qixl (xl
Coroo ".oa-,".e opo noronro Lêrìos. =ax4+[a+b]x3+[a+ b + c lx ' + [ b + c ] x +
a l-0=a=l +c+x+2=ax4+[a+ b lx 3 + (a + b + c )x , +
b+10=0+b= l0 +[b+c+])x+c+2
Logo,a=leb=-10.
Peaiguâldade polinôÍnìos,
de teÍnos:
I5.0 polinômo ptxl = x3 - 4x, - x + 4 é divsÍvel
poÍ a=ro
htxl = x? 3x 4.Nessas ções,
cond rcsolvaequa
a a+b=íì(D
çãox3 4x'? x+4=0 â+b+c= tO
b+c+t=n@
Resoluçâo:
c+2= I = c=-lO
x3 4x 2 x+4 a=
Conhecdos I ec=-l,ternos:
l+t-í = r =b=-l
Substitu ern0, ternos:
ndo
I l=ÍÌì+rn=0
Então: SubsttLr ern0, temos:
ndo
xi 4x, x+4=[x,-3x 4)(x ]) t-,í+,/=n+n= I
Comox3 4x,- x + 4 = 0,vern: Logo,m=0en=-1
txl 3x-4ltx- ll:0
Poftnto,a fesoução equação recanarcsolução lT.Consldere divisão p[x] por d[x),coÍnquociente
da dada â de
deealações g êL(ìelo, e".q. eji vbp ro" àre.
de orì e'estorl.1rão-nJose o grèu p{' e / e o
de
[x: 3x-4)[x- ]l=0 = x'? 3x 4=0o! g|auded[x)é 2. o quepodemos sobfe gmu
deduzif o
x I =0 d€ q[x)e o gÍaude (x]?
Resoivendo a prirne eqlação,
É temos: Resolução:
xu 3x-4:0+x=4ex: l 0 graud€ q[x)é a dferença entrc gËu de p[x] é de
o
R€solvendo a segunda,vem: ograudeq(x)é7 2 = 5.
d[x].AssiÍn,
O graude (xl é Ínenof o gÍâude d[x], podanto
que
Logo,S={-1,l,4J

12. 143
23.SabendoqueopolnôÍnop[x)=f-6x'z+3x+]0édvsíveporh[x]=x-2,resovaâeqlação
x3_6xr+3x+10=0
Divisão x -
por prático ry+8lIig
- dispositivo de
-a
Usandoométododachave,vâmoseíetuaradivisãodep(x):3x3-5x'?+i-2poíh(x):x-2.
3x3 sx':+ x-2
-
3x3+ 6x':
f + x -2
q(x )= 3 x ' z + x + 3
(x): 4
Há,porém,umdispositivoquepermiteefetuarasdivisóespoÍpolinômiosdotipox.adeumamaneirâmâìs
simples rápidaré chamado
e o ptáticoou algo tmo deBriot-Ruffini.
dispositivo
tetmo conStante
dexdo dividendo
coeÍìcientes p(x) do dividendo
sinâltrocado p(xJ
coefìcientês quociente
do
Vejamosoroteirodesse
dispositÌvo efetuândo divisão p(x):3xr
prático, a de 5x'z+x 2 por h(x): x - 2.
r l-t
Repetimos(ou pÍìmeiío
"abaixamos")o
coefìciente dividendo
do
3 ,2:6€ 6 + (-5)=
Multiplìcâmostermorepqtido
o peìodivisor somâ
e
moso produtocomo próximotermodo dÌvidendo.
Peloquadro,
temosi q( x )= 3 x ' z + x + 3
(x ): 4
obtido pelo métododachâve.
o mesmoresultado
LOgO:
3x3 sxr+x 2 = (x- 2)(3x3 x + 3)+ 4
+

13. 144 .
ÀlatemÍG Contexto kaçÕe5
&Ap
18. Dvda ptxl = 2xr+ 7x3 4x + 5 pofh[x)= x + 3.
- =
Qlrociente:q[x] x 2
Resolução:
q. e. , r y o+ f t x ) = o
-
L0g0,2x: 5x+ 2 = [x
- 2][2x l)
-
3+0 9+( 4J t5 + 5
* -i----
l I
{t I
htxl
2l 35 -10
=
ptxl= {ax bl qtxl+ r[x]dividido à + 0:
por t
Quociente:q[x] 2x3 x'z 3x + 5
+
ptxl
Resto:(xl= lo tax blqíxl rtxì
Logo,2xr 7x3 4x+5:
+
= (x + 3l[2x3 x, 3x + 5) - ]0.
+ !14
bíÌì í bì.. flxì
19. Determ o quoc
ne ente o fesÌo d vsãocle
€ .la
a à) à
p[x] : 2x'? 5x + 2 porh[x] = 2x l
-
Resoluçâo:
que,
Obseve neste caso, coeÍciente x nobìnôrno
o de 20.Cêlcu€ valofdem de modoqueo polinôrnio
o
nãoé iguâa l; paraobÌer qlociente o Éstoped
o e p[x)= 2x3 5x'z+
+ mx+ ]2 seja v síveÌ h[x): x + 3.
d por
dos dev€rnos dirtodos coeíc
dv os entes p[x] e de
de Resolução:
h[x]por2.Assm obtemosquocente
o procurado
q(x),
enquantofesto
o Íc€OOrO p", , Í9
tambem ì.
- 2 )
nlão,-n o"
4 9 =" , 9* 11 PaÉquep[x) seja pof
dvsív€l h[x]dev€Íìros festo
ter
22
-3Íì+3:0=3m=3=m=l
lìíxl l
Logo, = l
m
22
o pfático,
Apimndo dispostvo vern: 21. Eíetleadvsãodep[x] q(x)parâ
por
p[x]=x3 [4 + 2]x'z I x + 2 e q[x] = x
+ 2i
Resolução:
I r sì
1 T-t)
2 2 0 Loso, : qtx)= x,
p(x) ax+ i
ilxe!?idgeÌii.stos-)
ji?.Ap cando disposìtvo
o pútco de Bfot-RuÍín.
carcuÌe
o quocienteo resto dvsãode:
e da
al p[x] = sx'? 3x + 2 porh[x]= x + 3.
-
bl ptxl : 2x, - rox, + 8x 3 porh[x] = x 5
cl p[x]= 2x3:3x'+x+ 2 porhtxl 2x l
=
dl p[x] =x'? 2x + I porhlx]= 3x + l
iì8. Nosesquemas ntes ap cado dspositivo
segu fo o prá 3l, Calcll€
ovalorde sabendo
a, que
ticode BÍiotRuffni;cacule, p[x],o
então, dvidendo
o p[x)= 2x3 4x, 5x+ aédvisíve
+ pof
d vsorh[x],o quocienre e o festo
q[x) (x). hix)=x-l

14. .
Gpítulo5 Polinômios 145
32. Efetued visão poinóÍnio
a do p(x) DeteÍnine resto divisão polinômo
o dã do
por[x + i]. p(x)= 6x3 2x'z+x+ I pofqtx):3x 6
-
Teorema DAlembert
de
E5teteorema
dizqueorestoda divisãode polinômio
um p(x)poÍx a é p(a).
Antesdeíazer demonstração,
a oteoremapoÍ meiode um exercício,
vamosverificar
Vamosdeterminar restoda divisão p(x)= x3 - x2- 2x + 3 porx + 2 e comparálocom p( 2),
o de
. Usandoométododa chave:
x' + 2x' x ' -3 x + 4
3x2+ 6x
4t+3
-4x 8
resto -5
--->
. Utilizandodisposìtivo
o prático Briot-Ruffrni:
de
5+resto
. Verificândo
oteorema D'Alembert:
de
p( 2)=( 2)3( 2)' 2 ( 2 )+ 3 : 8 -Á + / +3: s
AgoÍa,
fârêmos demon5tÍaçáo,
a
a divisão p(x)porx a resulta quociente
Considerandoquê de um q(x)eumresto
Ì,temos:
p(x)= (x a)q(x) r
+
Fazêndo a,vem:
x:
p(a): (a- a)q(a) r = 0. q(à)
+
22. calcue Íesto dvisão p[x] = 2x3 x, + 5x
o dá d€ 3 Resolução:
PoÍh[x]=x 4 Sep[x)é dv]síve
porh(x)o festo divisão0. EnÌão,
da é
peot€oremâ D A embefi,
de temos:
Resoluçâo:
pl2)- A L 2è3 | 512Ì ae) -2 - 0 :
De acofdo como teorcnìa DAlembeft, restoé
dê o
= l6 + 20 - 2a+ 2 = 0=2a =38+a = 19
€uala:
Logo, = 19.
a
pial = 2(a)3 (a)'? sta) - 3 =
- +
=128-16+20-3=129 24. UÍnpolinôrnio édo 2qgra! Quândo
p[x] p(x)
dìvidìnros
Logo, resto
o de'sta
dÌvisão 129.
é porx, porx - I e p0Íx + 2,obtemos
Íestos 0 e 4,
l,
respectvarnenteDeteÍm o po nôÍnio
ne p[xJ
23. Detemine vaor d€ â de modoque'o poinôrnio
o Rêsolução:
p(xl = 2x3 5x'z âx + 2 sej€divisíve
+ por De acordocomo probemâ, p[x] é unìpo inôrn do
o
htx) = x 2. 2e g|au.Então, é da forma
ele p[x] = ax'? bx + c.
+

15. 146 ,
MatemálkàtuntêxtôAolkã(õês
&
Seg!ndo oteoÍernâ D Aernbei|temos:
de Reun 0 ê (j), obtemos;
ndo
P(0) = I + a(o)'z b(01
+ +c= I=c= l O Ía+b--l
{
p[]l = 0 ea[])'z + b[1]+ c = 0 + l4a-2b=3
= a + b + r =0 (D Resolvendo stema,
os temos - e b:
â:
-
pt-2)= 4ì at-21'zbi-2)+ c = 4)
+ -
Loqo. = lr. - Zx + I
-66orxl
+4a-2b+l =4 ú)
propostos
Exercícios J Í
34, Calcue resto dvsão
o da de: 36. Calcülevalor a a Ím de queo polnôÍiì
o de o
a)ptxl=2x3 ax'?+x rpoÍhtxl=x l p(x)= x'z ax + 2sejâdivisíve h[x] = x - 2.
- pof
blptxl =xa+zx'? x sporhlx]=x+3
que
37. Detenine e c de modo o polinôÍnio
b
35, Vefíqueseo polinômio = x'? 3x + 2 é divisíve
p[x] - p(xl = x' + x' + bx + csejâdvistuel h[x] = x - 2,
pof
p o fx+ 3 mas, quando porg(x) = x + 2,dexeresto
diüdido ìgual 4.
a
i
Teorema fator
do
Se<é umaraizde polinômio degrau > 0,entáox c é umfatorde
um p(x), n - p{x).
Peloteorema D'Alemben,
de p(x)porx c resulta quociente
a divisãode um q(x)eumresto
p(c)talque:
p(x)= (x c)q(x) p(c)
+
5ecéuma p(x), p(c) 0 e temos:
raizde então
p(x):(x-c)q(x)
Portânto,- c é umÍâtordep(x).
x
Como conseqüêncìà,podemos p(x)édivisívelpor - a)e por(x- b),comã * b,se,ê somentê
dizêrquê (x se,
p(x)for
divisível (x a)(x b).
por
25.lvlostrcquex- 6 é unìfatorde = ts- 6x'z+ - 6
p[x] x Comop(2)= 0, então 2 é umiatorde p[x].
x
e calcule quociente p[x]pofx 6.
o de Então,
vaÍnos cafBÍiot-Ruff
apl ni:
Rêsolução:
o pÉtico BrotRuffni,leÍnosl
Âpicando dispostvo de
Logo, = x'z+3x- 4
q(x)
p(x)= ix - 2)[x,+ 3x 4]
Logo, = 0,q(xl= x, + I €ptxl = tx- 6)tx,+ l).
p(61
se a = +
27. VeriÍqueé€y€têdvsãodepE) x3 2x,- x - 2
por[x + 2][x+ ]).
26. Dadoptx) = x3+ x'? lOx + 8, determine para
p(xJ
x = 3,x = 2 e x ! 0.Aseg!ìr,escrevê como
p[x] pÍo- Resolução:
dutode doisíatorcs 5eoí-2) - 0pp( J - 0.a d,v.sáo eÌ€ra.
seru
p ( 2 )= l-2 )3+ 2 1 2 ), | 2 )-2 =
Resolução: = -8 + 8 + 2 -2 = 0
ptr -fl'-fì - A(3)-8-?1 c-30-8-14 p t -ll = (-l)3 + 2 t lF - i-1 ) -2 =
p(2 -(A'-(?',- 0f2l-8-8.4-2A 8-o = -1 + 2 + 1 -2 = A
pto) = (0)3 io)'z l0(0) + 8 = I
+ - Logo,âdivisãoéexata.

16. .
Gpítulo5 Polinônìios 147
28. DeÌefinine vâlofes a e b paÍaqueo polnômo
os de Sep[x)é divisír'e
pofx - 4,vern:
p[x]= x3+ ax'z+ + 20seja
bx dÌvistuel (x + ]l(x - 41.
por p[4) -- 0 + [4]3+ a[4)'? b(4) + 20 = 0 =
+
Resolução: +64+ l6a+4b+20=0 + 4â+b= 2l
Pam p(x)seja
que divisÍve (x + t)(x - 4),eledeve
poÍ Então,teÍnosi
serdivisÍvel (x + t) e por(x 4).
por
Sep(x)é divisfvelpoÍx I, temos:
+ [à b= - ]s
p(-l)=0 + ( l)3+â( l),+b( l)+20:0= [4a+b=-21
+-1 +a-b+20=0=a b= 19 Resolvendo obtemos =
o ssterna, â 8 e b = ll
Í
que
38. À,4ostrc x + 4 é fator polinômio
do 39" Dadop[x) = 2x3+ x, 5x + 2, d€teÍrn p[x) para
ne
P[x]=x3 - x'z-18x+8 ecacu oe qlocientêde
p[x] x= 2,x=-t,x=0,x= I ex = 2 AsegUìr escfe-
va osíatofes p(x).
de
polinomiais algébricas
ffii Equações ou
Denomina-se polinomìalou
equoçdo que podeseresc tâ nãforma:
alqéb catodâêquação
anxn+àn rxi r+,.. + a2x2+alx+ao= 0(coma"+0)
em que os at(an, r,.,,, ar,aJ sãoelementos conjunto
an a2, do dos números
complexos, € lN*e n é o gÍâu
n
da equação.
Exêmplos:
'ì-ô)
3x+1 =Oéumâêquaçãoalgébricadolegrau.'
2e) x'?- 3x - 4 : 0 é umãequação
ôlgébÍcado 2egrâu,
3e) x3- 2x'z+x - 2 = 0 é umaequação
algébrica 3egrau.
do
4e) 1-.2x3 + x, + 2x 2=0éumaequàçãoalg'br'cado4egráu.
5e) 3x'z 2ix + 'ì = 0 é umaequação
algébr'ca 2qgrau.
do
Raizou zero de uma equaçâopolinomialou âlgébrica
Denomina-se
rcizouzercda equaçáo lgébrìca
a
anxn an rxn I +.,. + a2x2 a1x ao= 0
+ + +
o valorc[de x que satisfaza
igualdade, sêja,
ou ovãlortalque:
ancln an 1(|n +,..+alcr+ao:0
+
Exêmplosr
le) x'? 7x + 10 = 0 admitex:5 comoraiz:
(5)' 7(s) r0: 25- 3s+ 10= 0
+
2e) x3- 3x, + 2 = óadmitêx: 1 comorôiz:
( ] t - 3 ( r f + 2 - 1 -3 2 -0
3e)x4+xl- x) 4-0ãdmitex 2 comoraiz:
(-2)1+( 2)3 ( 2)'z 4:16 I 4 4=0
4e) x, + 1 - 0admitex: i comoraiz:
iz+1:-1 +'ì =0

17. r48 . Conre{ro&Ápl(à(õe!
MatemátG
Conjuntosolução de uma equaçãoalgébrica
Denomína-se
conjuntosolução umaequação
de algébrica
oconjuntodasraízes equação:
da
Exêmplos:
] e )x': 7x+1 0 =0 3 e )x 3 + x : -4 x -4 : 0
s:i 2 ,sÌ
2 r )3 x- 5 =0 4 e )x r+ t : 0
s : {-i, i}
t3l
propostos
Exer<ícios
40, VerÍque o x ndcado razdaequação
se é dâda: 4I. EnÕonlre
o conjunto
sol!ção equação
da
al x = 2t equaçãox3 2x'z x + 2 = 0
- - x3 7x'?+ l4x I = 0,sabendo e€ é !m subcon
que
b)x = -3i€qLraçãox3 + I lx + 6 = 0
+ 6x, jlntodeA = (0,1,2,3,4).
clx= l;eqlaçãox! x3+2x, 1=0
dJx= 2 + 3iequaçãor, 4x+ 13= 0
Determinação raízes uma equaçâo
das de algébrica
Nossoobjêtivoé
determ o conjunto
inar soluçáo pelas
foímado raízes
deuma equação
algébrica, seja,
ou resof
vereqìrâçõesdâ p(x)
foÍma :0, emquep(x)é polinômio.
um
Jásabemos do1e por
resolverequàçóêse do2egrau meio fórmulas
de simples, dealgumas grau
além de maior
do que2 pormeiodefatoraçáo outroartifício:
ou
. ax+ b = 0 (com + 0)+x :,:
a (raiz equação teqrau);
da de
. ãxr+ bx + c = 0 (com + 0)J x : -n-.Ã
a : :1 (Íãizesdaequaçãodo2egrau),emque^:b2-4ac.
Durântê.muitotempo, for". Í"i,o, p"r"
êsforço, lórmulas permitissem
que quarqueÍ
resorveÍ equa-
degrau 2, por
maiordoquecomo, êxemplo: "ncontràr
çáoalgébrica
. x 3 6l'] 7 x+60:o
. x4_ 8x3_ 25x' + 44x+ 60 = 0
porfìm, o melhor
VerifÌcou-se, que meio resolvèr
de essas polinomiais fazer
equações seria estimativas pos-
de
sÍveÌssoluções.
Nestetópico, objetivo exam algunsmétodos nospêrmitam
nosso é inar que estimar oumais
uma raízesde
uma
equaçáo polinomial assìm,
e, determinartodas elas,
propostos
Exercícios
42, Caìcue ÍaÍzes seguintes
as das eqLraçôes
algébÍicas: [Srgesllies: tem a, x[x'z- 4x + 3] = 0 no teÍn b,
No
a)3x-12=0 d)lOx+5=0. x'z[x+ + l[x+ 2] = 0 .+ [x+ 2][x,+ ]l = 0.1
2]
b) J2x r=0. elx, 4x s=0.
cl xr 6x+10-0
Se prodú; é nulo, menos dosíator€snulo.
o p€lo um é
43. Ut izando íatôÉção,
a c€cue as mizes equações
dâs Exerôplo:lx - I] : 0+x + 2 : Ooux, - I = 0.
+ 2Ix,
âlgébrcas:
alx3 4x'?+3x=0. Reso aseqLraçôes
va algébricas lR:
em
blx3+2x'z+x+2=o ãì'-.7 ú-0 b.)'6 Jr' /-0
cJxs+2x'?+9x+18=0. [SugesÍõês: itern chârne de p; no item charne
No e, x2 b,
dlx3 2x'z+ = 0.
2x x3de p.)

18. (âpÍtulo5.Po
inônìios 149
em de grau
Decomposição fatores primeiro
Em1792Gauss demonst o teorcma
rcu fundomentaldo que
Álgebrc, admitÍemos demonstraçãol
sem
Toda equação p(x): Odegraun (n > 1)possui menos raiz
algébrica pelo (reaì
uma complexa ou náo).
lJtilizândo teorema
esse podemos quê
mostrar os polinômios graun > 1 podem decompostos
de ser nüm
produto fatores 1egrau,
de do
Exemplosr
2 + poisp(2): 0.
1.?)áraizde p(x)- x'z 3x - 10,
pelo de p(x) porx
Então, teordôâ D'Alemben, é dívisível - 2 e temosi
r)i
q r(x ): x + 5
Daívem:
P(x): (x 2)q,(x)= (x 2)(x+ s)
2e) Iérâizdep(x):x3 2xz x+2,poisp( 1):0.
Então,pelotêorema D'Alembert, é divisível x + 1 e temos:
de p(x) por
1-3 2 0
=
q(x) x'z- 3x+ 2
Daí vem:
P(x)- (x + ])q(x) = (x + l)(x'z 3x + 2)
3x a obtemosas raízes e 2,ou seja:
Resolvendox'?- + 2 - 0, usando fórmulâde Bhaskara, l
q(x):x'z 3x+2:(x lxx-2)
modo,podemos
Desse escrever:
P(x)=(x+1Xx-2)(x-1)
Vamosdemonstrãr todo polinômio:
que
' p(x)= anxn an rxnr+
+ +arx'z+ârx+ao(comn>1)
podeseídecomposto num produtode fatores 1egrau,
do
ConsideÍemos,então,o polinômiop(x), graun > 1.
de
PeloteoÍemaíundamentâda Álgebra,
| p(x)admiteumaraizx1.
de p(x)
Peloteorema D'Alembert, é divisívelporx- xr. Assim, temos:
p(x): (x - x,)qr(x)
em queqr(x) um polinômio graun - 1.
é de
Peloteorema Álgebra,
fundamentalda qr(x)admite raiz
uma x2
Peloteorêmâ D'Alembert,
de é por
q1(x) dìvìsível x - x2 Assim,temos:
q,(x)=(x-x,)q,(x)
em queqr(x) um pqlinômio graun 2.
é de
Logo,p(x)= (x - xr)(x xr)q,(xl
Peloteorema fúndâmentada Algêbrâ,
I qr(x)admite uma raizL
?eloteoremade D'Alembert, por x - 'Assim,temos:
qr(x)é dlvisÍvel
q,(x)=(x-x3)qr(x)
em queq3(x) um polinômiodegrau 3.
é n
Logo,p(x) = (x - xr)(x x,Xx- x3)q3(x)

19. Seguindoesseprocesso vezes,
n chegamosa:
p(x): (x - xrxx - x,Xx x3)... - x").q"(x),comq" = a"
(x
Então,
tem05:
em quêxrsãoasraízes p(x)e a" é ocoeficiente
de dex'.
29. flmadasraizes eqúçãa 2x3 4x,- 2x + 4 : 0
da -
é] R€solvâaequação.
q,(x)=x'? 2x 3
asÍaÍzes qr[x]= 0,obtemos:
D-eterminando de
À=16
Resolução:
SeI é Éz de p[x) = 0,temos ,= _ r_3er'= l
,
ptxl= tx llqrtxl.=0ìx I =0ouq,(xJ=0 Logo, = { 2 -t,1,3).
S
Obsetuândo o grcudeqr[x]é 2 esabendo veÍ
que reso
urnaeqLração 2egÉu,podemos
do :0
dizefqueqr(x) 3l, Detefinine ofes a, b e c, sabendo asÉÍzes
osva de qLte
Ìomece outÍâs
âs Eizes daequaçâo +ax, + bx + c= 0sâot, I e5.
3x3
Determnando qj[x] remos: Resolução:
Se l, -l e 5 sãoÍaízes equação = O,€nÌão
da p(xl
p[x]é dvsÁ/elpoÍ I,x+ lex 5.
x
qr(xl= 2x'z 2x - 4
-
Delenninandoraízes qr[x) = 0,vem:
as de
2x' 2x-4=A ll 3 3+a 3+a+b i 3+a+b+c
Ã-4+32=36
2!6 = 2e) =
1 Corno restos
os devern igu€is zeÍo,
ser a vem:
Logoâsoltrasraízes 2 e -1 e o conjLlnto
são solução
daequaçãoéS={I1,2} [3+a+b+c=0
13+b=0ãb= 3
ll5 + a = 0 + a = t5
Substituindoosvalores a € b ra pfmeira
de equaç]to,
ã + ( r5 l+ ( / l + c = o = c = 1 5
30. Reso a eqLração x3- 7x,+x + 6 = 0,saDenoo
va xa Logo,a= 15,b= 3ec=15.
que 2 e 1 sãoraízes equação
da
Resoluçâo:
S€ 2 e 1 sãorâíz€s p[x).temos:
de
pixl = tx + 2)tx llqltxl = 0.
Dividindo poÍ x + 2 e, eÍìrsegudâ, qlociefte
p(xl o
dessa dvsâo pofx 1,v€rn:
45. Sabendo 2 é razdaeqlaÉo + 2tr 5x+c=0, 417"Det€mìineconjunto
que x3 o sotução equâções:
das
' calcue valor c € o conjunto
o de solução equaçâo.
dâ ê) '" - 8r - 25 44 | 60 - 0.sêoeao qLe - e
&Ê. Rèsolva equações
as âbaixo: 2 sãoduas suas
d€ raízes.
. a) x 2x3 x, + 2x 2
+ = 0,sabendo duâs
que b)x3 ix, + 4x - 4i = 0, sabefdo ié umade suâs
que
de
suas raÍz€s -1 e 1i
são
bl x3- /x'?+36= 0,sab€ndo 2 é uma suas
que de rãÍzes.

20. .
QpÍiulo5 Pollnômios 't5t
Mu lt iplic ida d e r a i z
a
Nadecomposiçãode polinômiop(x)de graun > 0em um produtoden fâtores
um
do 19gmu, podemosencontrardois maisfatores
ou idênticos,
Entãoem uma equação de grau n, obtemosn raÍzes, quaisalgumâs
algébricã dãs
podemseri9uai5,ouseja,
todaequação algébricadegrau n > 0tem, no máxìmo, raÊ
n
zesdistintas.
O númeÍodevezes quê umâ mesma raizaparece indicaa multiplicidade íaí2,
da
ExemDlos:
le) No polinômiop(x)- x'? 6x + 9 : (x 3)'z (x - 3Xx- 3),há doisfâtoresidênticos x 3. Nessecâso,
- = a dìze-
mos que 3 é raiz duplo ou dê multiplìcidode2.
2-')Nopolinômio = x3- 3x 2=(x+1)(x+1)(x
p(x) 2) =(x+1)'z(x 2),há doìs fâtoresidêntìcos(x + 1)e
a
umíator(x 2).Nêssecaso, 2,e2é raizsìmplesoude
dizemosquê é rotzduploou de multiplicidade
-1 multipli
3e) Nopolinômiop(x):x5-7x4+10x3+18x'?27x-27=lx 3)3(x+lF=(x-3Xx 3Xx 3)(x+1)(x+1),
há trêsfatores ã (x - 3)e doisíatoresidênticos (x + 1).Nesse
idênticos a câso, que 3 e rrà Íiplo ou de
dizemos
multipficidade3e 1ê toizduploou de multiplicidade 2.
32. Quaé a Ínultiplicdade miz2 do polnòmio
d€ S4.Dadaa equação + ax'z 8x + b = 0, calc!€os
x3 -
P(x)= x4- 5x3 6x':+ 4x - 8?
+ valores a e b de foÍmâqu€ 2 s€jaÍâz dLrpla
de da
Resolução; equaçao.
Varnoseliminaf Íâiz2 do poinôrnlo
a sucess vezes,
vas Resolução:
atéque ssonãoseja possíve.
Ínajs E m nando Éz 2 duasvezes
a sucessvas,ternos
2a 4',4a 8+l)
Fazendo f€stos s a z€ro,
os igla v€rn:
l4a+4-o (l)
Então: { -^
pixl= tx 2F(x r)
+ laa-8+b=0 (!)
Logo, é ÉiztÍiplaoude mutp lcidade
2 3. Daequação v€rn:
O,
33- Resolvaequação 3x3 3x'? 7x + 6 = 0, sa
a * + 4a+4-0=4a- 4=a=-l
que
bendo -1 é Eiz dupla. Substitu a = -l naequação@,
ndo temos:
Resolução: -4-8+b=0+b:12
Se -l é Íaz dupa da equação, podeserescrta
esta Logo,a= leb=12.
nâforma + l)zq[x]= 0.
(x
a 35. Determine equaçâogébdca 4q
Lrma a do gÍauque
Pam dereÍn"aÍqfì, oerenos.[']]i]à da eq-ação
€Lz I duas vezessucess vas: tenha I comoraizde mutp cdâde3 e 2 como
outraraiz.
Resoluçâol
[x+ ]l[x+ ]l(x+ ll[x 2] = 0=
=[x+]13[x-2]=0=ì
+ [x3 3x': 3x + 1 tx 2l=o =
+ + ]
q(xJ=x'-5x+6 +x4+x3_3xr_5x 2=0
Caímos equação 5x + 6 = 0.
na x'z Logo, equa€o
€ pmcumdaé x3 3x'? 5x 2 = 0
x4+ -
Resolvendo-a, x' = 3 e x'= 2.
ternos ou quâqueroutm por
eqLrvaente como exemplo
a elâ,
Logo, = {- l, 2,3}.
S 2x4+2x3_6x' lox 4_0.