Cap.5 polinômios

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Cap.5 polinômios

  1. 1. i ": ,Y o,e abetiadìzetp,t1 momcnto qup dp os simbolos,e a Aritmética se trdnsfomoú em ::, iua Jatü.tào (ameoúa uar lPta. Álgebra.Na wtdada Aútmétícd eÁlgebw coe- ott outrostmbolos na Lu!íÌdc 4ü- r.ísteme estdúltimd é, hoje,bemsoJìsticatla. merospara rctolvet problemas fiatefiáticosl O termo ágebra wm do título do livo Certamente, início aleseusestudos Mate- fio de HisabaÌ-jabrwhl-muqabalah,escríto Bagdá em mátíca, você Íaziã contase resolvh problemas por wlta da aúo 825,pelo mdtemátíco/irãbe queti hãm bLlstate ligaç,1a.om seúcotidid- o Múhommedú n Mu,a al.l(hoba4 -n ì (Meone. t1o, que chegau po ta em que osproble- até um Jílho de Moisés,de Khowarizm). Ueja na Íoto mds eram mais compleuos; esse momentoío- umapágína dessa obra. fttm i troduzidos artiÍícíos que Írci.lih:twlm a O matemático Al-Khowarízmi quem foi reprcsentaçãa componentes problema, dos do prapÔsa feofg,rnizaçã.a termosque apãre- dos ,om úo u udr14 que5ubttuLa ma t 4 ò-8 n cem 44 equdçãop1.fa se chegdrà soluçao.A td-édaíquerc ma Algebrusurgitia com essaf.nalicìad.e rcsolver erpressoo "a x da equações , por isso paderiaaté serchamadã Etestão"! PoisvidHís- h ciêncíadas equações: següúdo Baumgart em tória tambémÍaí as- Tópìcos história Mâtemáticâ. de da sint. Voltandoaas.é- Dizemos bquações dlgébrícas"qua da stta lebrespapiros egíp- campastas temos qLte de cottêmpotências x de ctos,rtmos que na (oudeoutraletraqualquer indique wriaveLl; que a início os problemas a cpíeao qu?a a4lrm echomatla polfuómrc. trataram de sítuít- O maior expoente x intÌicaa "gau" dopolínô- de ções cotidiana e dD mio e. coú.eqü, qtmenLr.a gtnu da quaeìa. eram resolridosde Ass|fi,dìzemas "equaúadoseguncìo qtnndo grau" um modosimples, o mdíofex.paente x é2 e de qssim diante. por quase tentati- par Desdeo séculoXVI são .a hecídas íórmu- 14. Mas cofi a las para a detetmifiaçãade saluções equa- 4w cle tempo surgiram 1òe. 6tpqupt16 de 91íru. do egundo 4 gaup i,Ì- jl/.tìl.È& l;tÉ.È à >E
  2. 2. l. Umpeq ueno .onìÊrclâ d-.gLr ntê oselmaãproveitouoÌ-.rta s a doesistíahá basta te tempo nósa cotlhe- e ATACADÂOcomproìr € 300 pacotes âmendoim de toÍadocemos.omo Íórmula Bhaskara, cle embo- 5abe q]rena suâcompÍa se hâvia tamanhos ferentes três d dera elajá fosse aplícada bema tesdesua pacote (pequeno, nìédlo grande) q!e o número pacotes e e deepoca (Bhaskara híndue viveu o sé- era pequenosÍo otrip o do númÊro pacotes de grandes a) nd cândopor x o númefo pacotes de grandes comprados,culoXII), atíbuíndo-se Al-Khowa.rizmí a €xpresse, Tunção x: êm desuad,eduçã.o; a deterceiro graufoi desen . a quantdade pacotes de pequenoslvolvída pelonatemáticoNicolaFontana . a quantidade pa.otes de grandes. ÍdeBrescía, conhecido Tdúaglia(que por b)Consu a tab€a abaxo -"represente, fLrnçãod€ a des t€ em rsignfi.cagago) sand,o depoís publicada (verpor Cardano, capítuloanteríor); a ed.e por quartogra.Lt Frufiçoís (no Wète sé- AIACADAO O F E RT A !culÍ,XVI). A procuracleuua fórmula quedc- AMENDOIMTORRADOteminasse raízes uma. as de equação po- EMPACOTElinomial de graumaiorquequãtro que eclependesse apenas seus cle coertcíentese Pequeno- R$ 2,00 Médio - R$ 3,00envolvesse seis ãs opewções (adição, sub-tftzção, multíplica.ção, divisao,potencia- c) Se; despesaloÍ de RS860,00,qLrantospacotet de .acla tipoçaoe fttdícía.ção) terminouem 1799, sóquando Paolo Rufiì,nipublicou úmaobra o b e . é q è o ó . p . è <o q , p è p . è è . o - ""sobrea teoriadas equações, qual na "lL;o-. pressão a gébricir e qLre .o lgra é a a zero vo.ê obteve rrmamostraqae a solução a@búca (isto é, eq!ação a gébÍi.tpor meio de fórmula) de equãçoes de 2.. dm-dd"do omp,rè,!o e ^ ì o Ì r d o óograu maiorquequatroé impossível, " "d (com .rqLrrâ. O estudo polinômios dos suas a) Expresse dessa emfunç;od€urna dirìensóes, a área saLa dâsqpl,icaçõe, tão a.mpla.me explo- íoí te a por lndicando A(r). ..-".-.radopelosma.temáticos sesegui- que D, o dô.è A pè o .no a q. o d-.ram aos jti cìtudos seriaintetmi á- que c) Calcu asdlnìensôe5dêa para e 5a unìaáred 35m de velettpor percurso seu 6qui. Osdesen 3. Asdlmensôes Lrma xadependem sua tura,.onlorrne de cd dÊ â volvimentos algébricos possíbilítLram oaparecimekto de áreasmuítoavança- d.as cálculo, de entre a chamada elas Aná- lise matemátíca, prcparando cam-apo para grantles avanços pesqaísa n6 cíe tííica. Estecapítuloé deelicado estudo ao d.ospolínômíos à resolução equações e de algebrícas qualquergrau, Veremos de a) Dê a expressãoalgébr que representa vô ume dessa ca o comoa alisaraspbssibilidades solu- de ndlcando porV(h) caixa, o chamad.as raízestla equaçã.o, Ic- b)Escrev. eq!.çãoalqébr q!e pernì calclrar aLt!ra a ca t€ a da ções, quando unì€é de 6 272ur. caixa ovo va.ndo co ta que nãod.íspomos em d.e c) Espe.ialnìente €xercício, parliclraÍldade me nÊÍe p€. dasfó rmula que neça ímediatam teseus for en dldasapresentadas, é capaz det€rÍìnârâ âltura você de da valores, sabetldo, trctanto,queno ul1i- e caxanas condçòes lÌemb, Exper do mente. verso dos úmeros complexos nenhuma Ao onqodeí€ câpítulo vorê descobr comoresov€r rá equa delas sem so[uçã0. çóes desseupo (quândo holver não particuardadet. fica
  3. 3. 134 íareÍìálkâ.(mtexto&AptiGções Introducão Naresolução problemas, muíto comumocorrerem de é situaçóes que a leiturae â compreensão enun- em dociadonos levama formularexpressões permitemdepoisa resoluçáo problemâpor meio de umaequação que dooriundadaséxpressóes porexemploque,em determinados obtidas.lmagine problemas, enunciâdos levem os nosàsseguintesfÌguras dimensôes: e suâs Í A primeirafiguíâé umaregiâoretangular dimensões e x + 3, cujo perímetro indicado de x é pelâêxpressão: 2x+ 2 (x + 3 ) o u 4 x + 6e cuja po. área indicâda é + 3) ou x, + 3x "(x A segunda fÌgura umcubocomarestasde é medidâ cuja x, áreârotaléindicâda por:e cujovolumeé expresso por: Aterceirafiguraé outrocubo com arestãsx 2, cujaáreatotâlé: + 6(x + 2), ou 6(x, + 4x + 4) ou 6x2+ 24x+ 24e cujo volumêéexpresso por: (x + 2)i ou x3+ 6x, + 12x+ 8 . Todâs essãsexpressóes são chamadasexprcssões polinomioisou polinômìoJe serãoobjeto de estudonesteCaPitulo. Chamâmos polinomialoupolinômiona variável expressâo complexâ xtoda expressão forma: da ânxn+an,lxn I +an rxn 2+...+a2x2+atx+ao. an,ai_ r, an 2,-"a2,ar,aosãonúmeros complexos denominados coeficientês;. n é um númerointeiÍopositivoou nulo;. o maiorexpoente x, com coeficiente de não-nulo, o grauda expressão. é Veja, porexdmplo, expre5sôes as polinomiais:1e)4x 6:expressão + polinomial 1egrau(gÍâu do 1). Quenom€ Eáàs se2Ê)xz 3x:expressão + polinomialdo grau(grau 2e 2).3q)xriexpressão polinomialdo grau(grâu 3e 3). al óxs +óx,+6x+844)6x? (l - i)x+ 5:expressão + polinomialdo grau(grau 2e 2).
  4. 4. .Gpítulo5 Pôllnômios 135 PeladefìniçãonáosãoexpÍessõespolinomìâìs:. x _b podesernegâtìvo. z 3x:! + 1,poiso expoente variávelxnão da. x+ + - , poisà vàíiávelx podeàpàíecerem náo denominador.. xf + 5xã + 6, poiso expoente variávelxnãopode5eÍfracionário. da.1Ç + o"Ç + 2, poìsavariávelxnão podeâparecersobradicâ|. Funçãopolinomial t por polinomiais denominadas As íunçôescomplexas O -t C dêíìnidas expressões Í são polinomiais. funçóes. f(x)= 2x - 1 é umafunçãopolinomialde 1. grâu. g(x): 3x, 2x 1 é umafunçãopolinomìalde grau2. h(x): x3 6x? x - I é umafunçãopolinomìaìde + grau3.. p(x)= xa- ix: é umafunçãopoiinomialdegrau4. toda funçãodefinidâpor: Então, í(x)= aJtd a" - 1x" + + +a,x, +a1x+q funçáopolinomialdêparatodo x complexo, denominada é graun,em quê n é um númerointeiropositivoounuloea. ediferentede O. Seo graude umafunçáopolinomialfor0, entãoa funçãoé definidapor f(x) - ao,com ao+ 0.Exemplos:19(x):s :2e)p(x) 2Polinômio A cadaíunçãopolinomial associa um.único se polinômio(ouexpressão vice_versa, formaque polìnomial)e denãohá conÍusãoem refê rmosìndistintamente nos àsfunçõespolinomiais aospolinômìos ouExemploslle) p(x): 5 é um poìinômio grâu0 ou polinômioconstante. de2e)p(x): 2x + 1 é um polinômiodo grau lq3e)p(x): x)- 5x + 6 é um polinômiodo 2egrau ìdenticamentePolinômio nulo o nulo (Pin)como polinômiocujoscoeficien DeÍine-se polìnômioidenticamente o coefi não cient€não-nulo,tessãotodosnulos. Assìm, :4"x" + 4" rxn-ì+ .. + arx + aoépolinômio p(x) nulo s€d€fìnegrâupaÌãele.se, Somente e serai= an r=.,,:ar:âo=0. l. Dadoopolinômo =[mz- 1)x3+ + ])x1- x + 4, p[x) lrn comrn€ lR,discuta graìr p(xl. o de . sem+l em+ l,opolnômoseÉdo3egÉt . sem = t, o potinômo do 2egÉu. será Resolução: . sem= t,opoinômiosetãdo tegmu.. Fazendo coefcientes rCe x2iguâ a 0,temos: os de s rnr_l=0=m?=1=rn=+l Ín+1=0+m= l
  5. 5. . contexÌ0 c!ôes Matemárkã &Ápt 2. Calcu osvaorcs â, b e c para quas o poinòrnio e de os ReLrn Oe(D, temos: ndo p[x] = [a + b]x,+ (a b 4lx+[b+2c-6] [a+b=0 j la - D = 4 Resoluçào: R esovendosi sterna, o obtemosa=2 eb= 2 S!bsttuindob enì@, vern: l a+b=oO b+ 2c- 6= 0ã 2+ 2c- 6= 012c= 8= s€ p i ,l=0=1a b 4:0 O^ lb+2c 6=0 0, Logo,a= 2,b= 2ec= 4. pÍopostos Exercícios Ì. V€riÍique sãopolinômos se que 2. Em condçôes o gfau poinómìo do alptxl=2x3+x+4 ptxl= ia + 2lx,+ tb 3lx+ tc- tl é0? blsr:r:."F + 2!Ç r pâÉ 3. Dscutr, m c R. gruu poinômios: o dos cl [x] : x?+ 3xr + 4 al p[x]= [rn 4]x3 [m+ 2)x,+ x + ]. + dlhtx)=x5-l b)pixl = trìì, 4lx4+ (rn 2)x+ Ín el q[x) = 4x5 ] cl ptx)= trn,- l)xa+ lrn+ ]Jx3 x, + 3 + rl ptx) 2 - s ls (x )=+ 3 x hlq[x]=x3-x:+2x-2ffiValor numérico umpolinômio de ConsìdeÍe polinômio um p(x)eum númerorealo. O valoí numéÍìco polinômiop{x)pârax: o é o númeroque seobtémsubstituindo por o e efetuando do x oscálculos Indica-se p(a). neces5ários. por Então,p(o)éovalornumérìco p(x)para = d. de xÊxemolos:1e)O valornumérico p(x): 2i(a 3x + 5 parax : 4 é: dê p(4)= 2(4)1 3(4)+5:32-12+s:2s Logo,p(4)= 25.2-o) Dado p(x):4xr - 3x:+ 5x 10,ovalorde 5(3) p(x)pâra - 3 é: x p(3)= a(3)3 3(3)1+ - 10 = 108- 27 + ]s 10 = 86 @ nun*i.o o *ro ao I polinómio I Logo,p(3)= 86. I nulo 0 para é I quàrquer dex v"ìoÍ .,3q) p(x): 3x: Se 7,então;pâra: i,ovalornumérico p(x) x de ép(i)= -3 7: tO. I Assim, modo geral,dâdo polinômiol de o p(x): a"x"+ a" rx_ ì + aô ,xn , + ...+ arx+ aoovalornumérico p(x)para cÌé: de x: p(o) = aícr"+ a" Jan I + an 2dn-2+... +.arcr+ aoObservaçóes:le) Seo : l,ovalornuméricodep(x)éâ somadeseuscoefìcientes: p(1)= a^. 1i + a"_ r . 1" I +ân 2.1":+...+a1 . 1 + ao- p(1)= an+ ai +ai_2+... +ar +ao I2ã)Se o:0, ovalornumérico p(x) otêrmoindependente: de é p(0)= a" . 0" + a" r 0" I + a" , . 0"-, + ... + ar . 0 + ao p(0)= a0 r
  6. 6. 117 3. Dadoo polinômio = 2x3- xz+ x + 5, cacule p(x) Resolução: pt2l - pt-11. S€p[x]é urnpolinôrnio2egmu, lorÍÍa do suê é: Resolução: p[x]=af+bx+c Cac. a-dopí2ì F o[ 5eodÍêda-Íe pros e Então: p(2)= 212)3 (2)1+ 5 = 16- 4 + 2 + 5 = 19 - 2+ = p(21 0 = a[2]?b[2J c= 0+ + + p(-r) =2i-l)3- i r)?+[ ]l+5=-2-1 l+5=l =4a+2b+c=0O ASS|Tn: p i-l)-1 2 + a t rJ ? + b (r) + c : 1 2 . ì p(21 -pi-ll=rs r=18 = a b + c = l2 O 4. Dado po nônì naloÍnraíatorada o o, Í ptOl 6+a(01? bt0l+ c = o= c = 60 = + p(x)= (x, + 2),tx3 215, deteÍnine: a) a sorna seus dos coefcientes; Substtu ndo0 em e (D,temos: O b)o termond€pendente. f + a + z r. = a [ 2 a + b = 3 Resolução: la b : 6 Ì a -b = 6 al PaÍa obter soma coeÍÒientes, fazer: a dos bâsta Resolvendo o sstema,obtemosa I e b = 5. = . p0) = 0, + 2t,0. 2)5:3 . t tl5 = I Sabendo a = I,b = qle 5ec=6,vainoses o) Dara ootê o er_lo-depeldere bdsla ;/e . p[o) = toz 2]zt03 2)s= 21 (-2)5 = + = 4l-32) = 128 p[x]= ax? bx+ c = xz 5x+6 + 5- UnìpoinôÍnio é do2egmu. p[x] Sabendoque = 0, p[2] Agora,varnos culaf ca p[5]: p[-]) : l2 e p[0J= 6,escrevapo]nòrniod€terrnì o e pt5l = isl?- 5t5l + 6 = 25 25 + 6 = 6 neptsl. ogo.píì-. -s oep[.ì 6. propostos ExeÍcí(ios 4, Dadoptx)= x4- x 3, calc!e p[-2) 9. Detemneo polinôm p[x] do lrg|autal queptsj = l3 o ePt3ì=7 5. Dadosp(x): -3x3+x?+x 2eg8l:É xz+x l, cêcLle of-lì gí. I0, Calcue sonìâ coeÍcientes polinômio â dos do ptxl=tx 2ltsix6 x+2f ovaor de p[x] 6. Caclrle xa .3xz+ paÉx = 1ã. 5 - ì l Cacule temro o independ€nte polnômop[x] obtido do 7. Cohsderemos o poinórnio = 2x3 6xz+mx+ n. p(xl desenvolvendo expr€ssão sea Sepf2l = 0 e p( l) = -6, caclleosvaoresde e n m lx: 3x + 2]t8x! - 8xz ll3. 8. Sabendo pt l) = 0 cacule que ovaoÍdea ern 12. Cons deÍeo polinômio ptxl = aÍ3 + bxs+ cx? d + p[x] = 2x3 4x?- 3x + 2a Se pill = 7€ pt0l= 2,qla ovaloÍdea b + c? +Fl lgualdade polinômios de Dìzemos dois polinômios i9uais ìdênticos e somente seusvaloÍes que são ou se/ se, numéÍicos iguaispara sãotodo d e O.Assim: P(x): q(x)ie P (lt) = q(o) (v d €ol p(x)- q(x)devesero Pin A5sim, Pà q ue issoaconteça, diferença ra sua dois polinômiosp(x)e q{x)sáoiguars e somente tem coefi(ienLes se, se, respectivamente (os iguais coefi(ientesdostermosdemesmograusáotodosiguais).Exêmplor p(x): ax3+ bx?+cx + d e q(x):2xr + 5x2 4x + 3,temos: Dâdos polinômios os p(x): q(x)(ìa : 2,b : 5,c : -4ed = 3
  7. 7. r1Ìêr Íi rnrvÀd ddôd" 6. Determine valofes a, b, c, d e e de modo os os de que PonÔnr P[x]= ax4 sxz dx b e os + + 0=b 3=b=3 g[x) =2xr+ tb -3]x3+ t2c llx2+x+ese- 5=2c-t+2c:6=c=3 jamiguais. Resolução: e: -b: -3 Pâm p(x)- g[x],deverÌìosteÍ: que Logo = 2,b:3,c = 3,d: I € = a 3 propostos Exercícios r 13. Detem osvaores ae b paÍa selam ne de que gLras os Ì 4. Dados = [mx,+ nx+ p]txl t) e p[x] polinômiosp(x)=3x+2e g[x)= 2x3 3X, 2x 3,deterÍnine ores m,n + - osva de qtxl = ta + b)x?+ ta + 3lx + i2 b) e p parâ setenhà = g(x). que p[x)4:-R Raizde um polinômio[r..fl Jásabemos p{o)éovâloÍnumérico polinômio que do p(x)parâ a. x: Seum númerocomplexo é tal que p(e) = 0, entãoessenúmeroa é chamado roDdo polinômiop(x). o deExemplos:I e)Dadoo polinômiop{x)= x, - 7x + 10,temos: p(5):0i 5 é Íaizdep(x) p(3): -2 3 3 nãoé raizde p(x)2e)Dado polinômiop(x)= x3 3x, + 2,temos: o p(1)=0ã1éraizdep(x) p(3)= 2=3 nãoé íâizdep(x)3e)O númeroi é raìzdo polinômiop(x): x, + t, poisp(i) = -t + I = 0. 7. Sabendo -3 é razdep[x]= x3- 4x, âx+4s, qLre Resolução: calcul€ vâlor a. o de Sep[x]admtea raz 6,então p[6] = 0. Resoluçâo: p(6)= 63+ at6l, + b(6) = 0ã Se-3 é Íaizde p[x],então 3] = 0. p[ ì216 +36a + 6b: 0+36 + 6a+ b = 0 DaÍl Sep[x]adrnite Éiz l, entâo â p[]J = 0 ptl) = 13 ail)z btll = O3 r +â + b = 0 + + pt 3l = C-313 4[-3]?-a[ 3]+48=0= VarnosfoÍmar, então, sstema: o = -27 - 36 + 3a + 48 : 0+3a - t5=a : 5 L090, - 5 a loa+ b= ( ro [a+b=-] 8.0 polnôm p[x] = x3+ axz bxsdrnite EÍzes e l o + as 6 Resolvendo = obtemosê -7 e b = 6. o sisteÍÌra. Cacu oscoefcentes e b. e a Logo,a=-7eb=6. !ry-fgofrypo:,!gt_r1 5- VerÍque o núÊnerc raiz polnôÍn se 3.é do o -l7. Calcu osvalores e de a e b no potinômo: p[x]=f 3x,+2x-6. al p(xl = x3+ ta 2)x, + (t, 4)x 3, sabendo que16. Delerminevalofde nopolinômio o I e I sàoraízes poinôrnio; do k al p[x] = x3+ 7x? kx + 3, sâbendo x = -t é qle bl p[x)= x3+ ax,+ [b ]8lx+ I s€bendoqueté|az do polinômiop[2] = 25 e Íazdopolinôm o; bl pixl = 4x4 Bx3 [k + 5)x1+ - (3k 2]x + 5 - k I B" DêterÍnine ovaorde pâra o númerc a qle I rsejuraz sab€ndo x = 2 é mz do poinôrnio. que do poinômio = x, 2x + a. p[x]
  8. 8. .QpÍtulo5 Polinônrios 139 Operaçõescom polinômios Pormeio de exemplos, vamosretomaroperaçôes no algébÍicas, conhecidas estudode expressões como adi-ção,subtração multiplicação polinômìos,além multìplicação um númerorealpor um polinômio. se e de da de Emguída, estudaremos maisdetalhadamente a divisão polinômios. de1 )Sep(x)=3xz+2x l eq(x): -x3+4x? 2x-5,temos: p(x)+ q(x)= -x3+ (3 + 4)x7+(2-2)x+l 1 -s)= -x3 + 7xz-62r)Sep(x)= 3x,- 4x + I eq(x):5x: 3x + 4,temos: sejarnl p(x)- q{x)= 3x: 4x + 1 5x?+3x 4:2xz-x-3 - s{pl = grâud€p[x], s{ql = sÌ?udeqtxl. t3e)Dadop(x) - 2x1 4x2 5x 3.lemos: - Então: 7 . p(x):712x3 4x7+ 5x - 3) : 14x3 28x] 35x 21 - + . grtpl ql < maior wlor4q)Dados p(x): 3x 4 ê q(x)= -2x + s,temos: €nÍ€ sr{pl€ grtql, . sÍ{p . ql = gítpl + crtq} p(x)q(x) = (3x - 4X 2x + 5) = -6xz + I5x + 8x - 20 : 6x+ 23x 20 9. DeÌeftnine valoÍes a, b e c pâÉ qlleseve fqu€ os de Resoluçâo: a i0ualdad€ Como{x +2)[x- 1] = x, + x 2,temos: la -r2d o 2bl-c f 2cl-6l - a lx -r] + b (x + 2 1 7x+8 :2x-4. (i+ 2 li -D +x 2 Resolução: ax a+bx+2b 7x+8 O polinômo Íaxz+[2a + b]x + 2bl + + [cx,+ [3 - 2c)x- 6] pode escÍito forma: ser na t x + 2 lf x -ll x+x 2 [a + c]x, + (2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b - 6 t ã + b li+ t a + 2 b l = " + *, 8 7x+ Logo, temos: - r - + r x^ r l [a + c]x? [2a+ b + 3 - 2c)x+ 2b 6 = 2x4 + PaÉquea igualdade vefÍque, se devemos tef Vamos fomaf,então, slstema: o fa+ t= z [a +c=2 a D l-a+2b=8 ]z+n *:- 2"=o O qesorve doosslFrd,obenosa- p b r. l2 b - 6 = 4 @ graus I l. Seospoinôm p, q e rtêm,Íespectvâmente, 3, os Daeqlação vern: @, 5 e l, delerm o gmudel ne 2b-e,= 4=2b=2)b=1 alp+q: b)p.q; cJp Í q. na (D, Substituindoequâção obt€Ínosnovo o sstemâ: Rêsolução: la+c=Z la+c=2 a) NasoÍnadeurn degra!3 coÍÍurndeg|a!5 polnônìio l2a 2c= 4 la-c= 2 prerdlp For"o gêL Logo ooaudeo I ql"5 temosa=0,b= I ec=2. o sist€rna Resovendo b) No produto unìpolnómo grau3 comumde de de i grauSorcsultadoterá 3 + 5 = L grau :;.oer". clOgÍËudoprcdutop.ré3+l = 4.Nasubtração Io.Sabenoo oue ". +_i.- 2 r-l r +r : o maior enffe g|au dep r p.f q pÍev€lece grau o 4 Ínlne vâLorcs a e b. os de 5 ogrâu @.f ql é 5. eog|au deq.Asslrn, de (ios propostos .l9. Dâdos nômìos = x? 4x+3,q[x]= 2x+4 ospo p[x) 20. Dados polnômos = ax- 8x + b e os p[x) e (xl - 2x3 4x + 5, calcule: - q[x] =3x?- bx + a c, deteÍnine b e c para a, os a)ptxl + (xl quais + q[x] é !m polnÒm nuo p[x] o bl qixl ptxl. cl 4. r[xJ. at. ouao + 9j9 3 = dl ptxl.qtxl. x x-3 - L.cor nx+ oexr 3, x-3x e)Iqtx)l. calcueosvaoÍes a, b e c, de
  9. 9. ]40 . (onreÍro MàÌematka &Âdnoes 22. Delenn osvalores dea e b pamq!e o binôrnio 24, Seospolinômiosq e Í têmgraus e 4,rcspecÍva ne Íeas p, 2,3 2x, + l7 sejâigualàexpressão ment€, então gÍâudo poiinômio q + ré o p. txz b)? (x? a,ltx,- aa + - + al iguaÌal0 abcÌ b) iguaa 9. cl guaa5. 23,üo" aoq-ep,.- 0 egrt 3J.. t. dJrnenor iguala ou 5. 0 lx -., eJrnenoÍ iguala ou 4. delemin€ osvalores a e b pâra ptx) = gtÌ) de q!€Divisào polinômios de t Dados dois polinômiosp(x)e h(x),com h(x)não-nulo, dìvidiíp(x)por h(x)signifÌca dois potinómios encontrarq(x)e r{x)que satisfaçam seg intescondiçóes: as u1?)p(x)- h(x).q(x) + (x)21)ogrâude (x)não podeserigualnem maiorque graude h(x)oìr o entâo = 0. (x) Assìm, dizemosque:. p(x)éodividendo;. h(x)éo divisor;. q(x)éo quociente,.(x)éoresto. Parâefetuar divisão polinômios a de usaremos método chave, o da semelhante empregaoo ao paÍanume-ro5Interros,Métododa chave Consideremosseguinte a divisão númeíosinteiros: de 1r) 337| 8 2 À7 z") Àt 337 l-r -32 -32 32 33:8+4 1 17 t7 4 a=32 17:8->2 (ou Subtraindo soman- 1 do como sinaltÍocado): 2 8 =16 33 32=1 17-16:1 que: observemos 337 : 4.42 + 1 ."{",ï,".".F*" Vamosutilizaramesmatécnicaparaa divìsão polinômios: de ] e )x,5x+6 lx 3 lr, 2x:x: 2 xz 5x+6 - x-5x+6 x+3x -x2 + 3x -2 x + 6 2 x -6 Trocando osinal: x, + 3x 2 (x -3 )= -2 x + 6 Trocando o sinâl:2x 6
  10. 10. (apítulo5.Po iíìônioj 141 p(x) = h(x) q(x) +(x) x,-sx+6:ix 3 )(x -2 )+ 0 lt{{ dlvidendo Veiamos de outradivisão oolinômios: ]s) x4 +xr 7xz+9x 1 x4+ xr 7xz+9x 1 x4 3x3 + 2x: -2xr-5x?+9x-1 2x+6x-4x x4+ x3 -7x2 +9x 1 x4 3x3+ 2x: -2x - 5x:+ 9x 1 xr(x, 3x 2):1+ 3x3 2x + - Trocândoosinal: - 3x3 2x2 -xa + x4 + x3 -7x7 +9x 1 + x1 txz +9x 1 x1 3x3+ 2x: -2x3 , x2 : 2x x:+ 5x 1 x4+ xr 7xz+9x 1 x4 3x3+ 2xz 2x3-5xz+9x-l 1 (x t + 3 x -2 ): x , + 3 x -2 2xr + 6xz 4x Trocandosìnal: x2- 3x + 2 o -2x(xz+ 3x - 2) : 2x3 6x2+ 4x Trocândo sinal:2xr+ 6x: 4x o q verificar ue: Podemos xa+x3_1xr+9x I = (x? 3x - 2)(xz 2x+ 1)+ (2x+ 1) + - 12, Eíeiu€ divisão p[x): 2xa 2x3 ]3xz+ lox - l a de - qtxl .hixl + (xl = tx, 3x + rl[2x+ 4x - 3] + porh[x) = 2x? 4x - 3 efaçaa ver]Íìcâção. + + l 3x + 2) : (2x4 2x3 l3xz+ l3x - 31+ - Resolução: +[ 3x+2):2x4 2x3 ]3x,+lox-I:p[x) 13. Usando método chave, o dâ efetlea divÌsão polnô do 2x - 2x3 13x 2xz+4x 3 noprr - r b^ 8po1,l-. L. 2x 4x + 3x? 6x- l,ox+tox l 6x + l2x 9x 2x+ x 1 2xz-4x+3 2x 2x a -3x+2 2x+2x+a Fazendo a verÍìcação, v€rn: Lero e-sedeque r.r, oìo 0.ptJê dMstud hhJ. oor
  11. 11. . lMatemálaContexto &AolkadesI4-0 poinómio = x3+ ax + b é,divisíve ptxl por lo.Calculeos vâlores m e n de rnodo o Íesro d€ que dâ . h[xl = xz1 t" * r. *""sas condições, ca]culeosvao dvlsão p[x) = xa+ rnx3 x, + nx + ] pof d€ htxl= x:+ x + I sejaiguâlâ(xJx+ 2. = Resolução: Resolução: O po nôÍnio : xr + ax+ b deve p[x] seresfftocorno: Indcândo qlocentepofq[x), o temos: P[x)=x3+0x]+ax+b p(xl=htx).qtxl+(xl Llsando rnétodo chave o da temos: Corno graude p[x]é 4 e o graude h(x)é 2, então o o graL qhì e 2.Poldnro. - a) + b + c. dF q, Daí x"+mxr-x:+nx+t- PIXJ i â -rl x+(b +l o ) :[x?+ x + ])(ax: bx+ c] +[x + 2] = + a obiemos: = ta llx+[b+]01 Eíetladadvìsão, f(x) htxl qixl (xl Coroo ".oa-,".e opo noronro Lêrìos. =ax4+[a+b]x3+[a+ b + c lx + [ b + c ] x + a l-0=a=l +c+x+2=ax4+[a+ b lx 3 + (a + b + c )x , + b+10=0+b= l0 +[b+c+])x+c+2 Logo,a=leb=-10. Peaiguâldade polinôÍnìos, de teÍnos:I5.0 polinômo ptxl = x3 - 4x, - x + 4 é divsÍvel poÍ a=ro htxl = x? 3x 4.Nessas ções, cond rcsolvaequa a a+b=íì(D çãox3 4x? x+4=0 â+b+c= tO b+c+t=n@ Resoluçâo: c+2= I = c=-lO x3 4x 2 x+4 a= Conhecdos I ec=-l,ternos: l+t-í = r =b=-l Substitu ern0, ternos: ndo I l=ÍÌì+rn=0 Então: SubsttLr ern0, temos: ndo xi 4x, x+4=[x,-3x 4)(x ]) t-,í+,/=n+n= I Comox3 4x,- x + 4 = 0,vern: Logo,m=0en=-1 txl 3x-4ltx- ll:0 Poftnto,a fesoução equação recanarcsolução lT.Consldere divisão p[x] por d[x),coÍnquociente da dada â de deealações g êL(ìelo, e".q. eji vbp ro" àre. de orì eestorl.1rão-nJose o grèu p{ e / e o de [x: 3x-4)[x- ]l=0 = x? 3x 4=0o! g|auded[x)é 2. o quepodemos sobfe gmu deduzif o x I =0 d€ q[x)e o gÍaude (x]? Resoivendo a prirne eqlação, É temos: Resolução: xu 3x-4:0+x=4ex: l 0 graud€ q[x)é a dferença entrc gËu de p[x] é de o R€solvendo a segunda,vem: ograudeq(x)é7 2 = 5. d[x].AssiÍn, O graude (xl é Ínenof o gÍâude d[x], podanto que Logo,S={-1,l,4J
  12. 12. 14323.SabendoqueopolnôÍnop[x)=f-6xz+3x+]0édvsíveporh[x]=x-2,resovaâeqlação x3_6xr+3x+10=0Divisão x - por prático ry+8lIig - dispositivo de -a Usandoométododachave,vâmoseíetuaradivisãodep(x):3x3-5x?+i-2poíh(x):x-2. 3x3 sx:+ x-2 - 3x3+ 6x: f + x -2 q(x )= 3 x z + x + 3 (x): 4 Há,porém,umdispositivoquepermiteefetuarasdivisóespoÍpolinômiosdotipox.adeumamaneirâmâìssimples rápidaré chamado e o ptáticoou algo tmo deBriot-Ruffini. dispositivo tetmo conStante dexdo dividendo coeÍìcientes p(x) do dividendo sinâltrocado p(xJ coefìcientês quociente do Vejamosoroteirodesse dispositÌvo efetuândo divisão p(x):3xr prático, a de 5xz+x 2 por h(x): x - 2. r l-t Repetimos(ou pÍìmeiío "abaixamos")o coefìciente dividendo do 3 ,2:6€ 6 + (-5)= Multiplìcâmostermorepqtido o peìodivisor somâ e moso produtocomo próximotermodo dÌvidendo. Peloquadro, temosi q( x )= 3 x z + x + 3 (x ): 4 obtido pelo métododachâve.o mesmoresultado LOgO: 3x3 sxr+x 2 = (x- 2)(3x3 x + 3)+ 4 +
  13. 13. 144 . ÀlatemÍG Contexto kaçÕe5 &Ap18. Dvda ptxl = 2xr+ 7x3 4x + 5 pofh[x)= x + 3. - = Qlrociente:q[x] x 2 Resolução: q. e. , r y o+ f t x ) = o - L0g0,2x: 5x+ 2 = [x - 2][2x l) - 3+0 9+( 4J t5 + 5 * -i---- l I {t I htxl 2l 35 -10 = ptxl= {ax bl qtxl+ r[x]dividido à + 0: por t Quociente:q[x] 2x3 xz 3x + 5 + ptxl Resto:(xl= lo tax blqíxl rtxì Logo,2xr 7x3 4x+5: + = (x + 3l[2x3 x, 3x + 5) - ]0. + !14 bíÌì í bì.. flxì19. Determ o quoc ne ente o fesÌo d vsãocle € .la a à) à p[x] : 2x? 5x + 2 porh[x] = 2x l - Resoluçâo: que, Obseve neste caso, coeÍciente x nobìnôrno o de 20.Cêlcu€ valofdem de modoqueo polinôrnio o nãoé iguâa l; paraobÌer qlociente o Éstoped o e p[x)= 2x3 5xz+ + mx+ ]2 seja v síveÌ h[x): x + 3. d por dos dev€rnos dirtodos coeíc dv os entes p[x] e de de Resolução: h[x]por2.Assm obtemosquocente o procurado q(x), enquantofesto o Íc€OOrO p", , Í9 tambem ì. - 2 ) nlão,-n o" 4 9 =" , 9* 11 PaÉquep[x) seja pof dvsív€l h[x]dev€Íìros festo ter 22 -3Íì+3:0=3m=3=m=l lìíxl l Logo, = l m 22 o pfático, Apimndo dispostvo vern: 21. Eíetleadvsãodep[x] q(x)parâ por p[x]=x3 [4 + 2]xz I x + 2 e q[x] = x + 2i Resolução: I r sì 1 T-t) 2 2 0 Loso, : qtx)= x, p(x) ax+ iilxe!?idgeÌii.stos-)ji?.Ap cando disposìtvo o pútco de Bfot-RuÍín. carcuÌe o quocienteo resto dvsãode: e da al p[x] = sx? 3x + 2 porh[x]= x + 3. - bl ptxl : 2x, - rox, + 8x 3 porh[x] = x 5 cl p[x]= 2x3:3x+x+ 2 porhtxl 2x l = dl p[x] =x? 2x + I porhlx]= 3x + liì8. Nosesquemas ntes ap cado dspositivo segu fo o prá 3l, Calcll€ ovalorde sabendo a, que ticode BÍiotRuffni;cacule, p[x],o então, dvidendo o p[x)= 2x3 4x, 5x+ aédvisíve + pof d vsorh[x],o quocienre e o festo q[x) (x). hix)=x-l
  14. 14. .Gpítulo5 Polinômios 145 32. Efetued visão poinóÍnio a do p(x) DeteÍnine resto divisão polinômo o dã do por[x + i]. p(x)= 6x3 2xz+x+ I pofqtx):3x 6 -Teorema DAlembert de E5teteorema dizqueorestoda divisãode polinômio um p(x)poÍx a é p(a). Antesdeíazer demonstração, a oteoremapoÍ meiode um exercício, vamosverificar Vamosdeterminar restoda divisão p(x)= x3 - x2- 2x + 3 porx + 2 e comparálocom p( 2), o de. Usandoométododa chave: x + 2x x -3 x + 4 3x2+ 6x 4t+3 -4x 8 resto -5 --->. Utilizandodisposìtivo o prático Briot-Ruffrni: de 5+resto. Verificândo oteorema DAlembert: de p( 2)=( 2)3( 2) 2 ( 2 )+ 3 : 8 -Á + / +3: s AgoÍa, fârêmos demon5tÍaçáo, a a divisão p(x)porx a resulta quociente Considerandoquê de um q(x)eumresto Ì,temos: p(x)= (x a)q(x) r + Fazêndo a,vem: x: p(a): (a- a)q(a) r = 0. q(à) + 22. calcue Íesto dvisão p[x] = 2x3 x, + 5x o dá d€ 3 Resolução: PoÍh[x]=x 4 Sep[x)é dv]síve porh(x)o festo divisão0. EnÌão, da é peot€oremâ D A embefi, de temos: Resoluçâo: pl2)- A L 2è3 | 512Ì ae) -2 - 0 : De acofdo como teorcnìa DAlembeft, restoé dê o = l6 + 20 - 2a+ 2 = 0=2a =38+a = 19 €uala: Logo, = 19. a pial = 2(a)3 (a)? sta) - 3 = - + =128-16+20-3=129 24. UÍnpolinôrnio édo 2qgra! Quândo p[x] p(x) dìvidìnros Logo, resto o desta dÌvisão 129. é porx, porx - I e p0Íx + 2,obtemos Íestos 0 e 4, l, respectvarnenteDeteÍm o po nôÍnio ne p[xJ 23. Detemine vaor d€ â de modoqueo poinôrnio o Rêsolução: p(xl = 2x3 5xz âx + 2 sej€divisíve + por De acordocomo probemâ, p[x] é unìpo inôrn do o htx) = x 2. 2e g|au.Então, é da forma ele p[x] = ax? bx + c. +
  15. 15. 146 , MatemálkàtuntêxtôAolkã(õês & Seg!ndo oteoÍernâ D Aernbei|temos: de Reun 0 ê (j), obtemos; ndo P(0) = I + a(o)z b(01 + +c= I=c= l O Ía+b--l { p[]l = 0 ea[])z + b[1]+ c = 0 + l4a-2b=3 = a + b + r =0 (D Resolvendo stema, os temos - e b: â: - pt-2)= 4ì at-21zbi-2)+ c = 4) + - Loqo. = lr. - Zx + I -66orxl +4a-2b+l =4 ú) propostos Exercícios J Í 34, Calcue resto dvsão o da de: 36. Calcülevalor a a Ím de queo polnôÍiì o de o a)ptxl=2x3 ax?+x rpoÍhtxl=x l p(x)= xz ax + 2sejâdivisíve h[x] = x - 2. - pof blptxl =xa+zx? x sporhlx]=x+3 que 37. Detenine e c de modo o polinôÍnio b 35, Vefíqueseo polinômio = x? 3x + 2 é divisíve p[x] - p(xl = x + x + bx + csejâdvistuel h[x] = x - 2, pof p o fx+ 3 mas, quando porg(x) = x + 2,dexeresto diüdido ìgual 4. aiTeorema fator do Se<é umaraizde polinômio degrau > 0,entáox c é umfatorde um p(x), n - p{x). Peloteorema DAlemben, de p(x)porx c resulta quociente a divisãode um q(x)eumresto p(c)talque: p(x)= (x c)q(x) p(c) + 5ecéuma p(x), p(c) 0 e temos: raizde então p(x):(x-c)q(x) Portânto,- c é umÍâtordep(x). x Como conseqüêncìà,podemos p(x)édivisívelpor - a)e por(x- b),comã * b,se,ê somentê dizêrquê (x se,p(x)for divisível (x a)(x b). por 25.lvlostrcquex- 6 é unìfatorde = ts- 6xz+ - 6 p[x] x Comop(2)= 0, então 2 é umiatorde p[x]. x e calcule quociente p[x]pofx 6. o de Então, vaÍnos cafBÍiot-Ruff apl ni: Rêsolução: o pÉtico BrotRuffni,leÍnosl Âpicando dispostvo de Logo, = xz+3x- 4 q(x) p(x)= ix - 2)[x,+ 3x 4] Logo, = 0,q(xl= x, + I €ptxl = tx- 6)tx,+ l). p(61 se a = + 27. VeriÍqueé€y€têdvsãodepE) x3 2x,- x - 2 por[x + 2][x+ ]). 26. Dadoptx) = x3+ x? lOx + 8, determine para p(xJ x = 3,x = 2 e x ! 0.Aseg!ìr,escrevê como p[x] pÍo- Resolução: dutode doisíatorcs 5eoí-2) - 0pp( J - 0.a d,v.sáo eÌ€ra. seru p ( 2 )= l-2 )3+ 2 1 2 ), | 2 )-2 = Resolução: = -8 + 8 + 2 -2 = 0 ptr -fl-fì - A(3)-8-?1 c-30-8-14 p t -ll = (-l)3 + 2 t lF - i-1 ) -2 = p(2 -(A-(?,- 0f2l-8-8.4-2A 8-o = -1 + 2 + 1 -2 = A pto) = (0)3 io)z l0(0) + 8 = I + - Logo,âdivisãoéexata.
  16. 16. .Gpítulo5 Polinônìios 147 28. DeÌefinine vâlofes a e b paÍaqueo polnômo os de Sep[x)é divisíre pofx - 4,vern: p[x]= x3+ axz+ + 20seja bx dÌvistuel (x + ]l(x - 41. por p[4) -- 0 + [4]3+ a[4)? b(4) + 20 = 0 = + Resolução: +64+ l6a+4b+20=0 + 4â+b= 2l Pam p(x)seja que divisÍve (x + t)(x - 4),eledeve poÍ Então,teÍnosi serdivisÍvel (x + t) e por(x 4). por Sep(x)é divisfvelpoÍx I, temos: + [à b= - ]s p(-l)=0 + ( l)3+â( l),+b( l)+20:0= [4a+b=-21 +-1 +a-b+20=0=a b= 19 Resolvendo obtemos = o ssterna, â 8 e b = ll Í que 38. À,4ostrc x + 4 é fator polinômio do 39" Dadop[x) = 2x3+ x, 5x + 2, d€teÍrn p[x) para ne P[x]=x3 - xz-18x+8 ecacu oe qlocientêde p[x] x= 2,x=-t,x=0,x= I ex = 2 AsegUìr escfe- va osíatofes p(x). de polinomiais algébricasffii Equações ou Denomina-se polinomìalou equoçdo que podeseresc tâ nãforma: alqéb catodâêquação anxn+àn rxi r+,.. + a2x2+alx+ao= 0(coma"+0)em que os at(an, r,.,,, ar,aJ sãoelementos conjunto an a2, do dos números complexos, € lN*e n é o gÍâu nda equação.Exêmplos:ì-ô) 3x+1 =Oéumâêquaçãoalgébricadolegrau.2e) x?- 3x - 4 : 0 é umãequação ôlgébÍcado 2egrâu,3e) x3- 2xz+x - 2 = 0 é umaequação algébrica 3egrau. do4e) 1-.2x3 + x, + 2x 2=0éumaequàçãoalgbrcado4egráu.5e) 3xz 2ix + ì = 0 é umaequação algébrca 2qgrau. doRaizou zero de uma equaçâopolinomialou âlgébrica Denomina-se rcizouzercda equaçáo lgébrìca a anxn an rxn I +.,. + a2x2 a1x ao= 0 + + +o valorc[de x que satisfaza igualdade, sêja, ou ovãlortalque: ancln an 1(|n +,..+alcr+ao:0 +Exêmplosrle) x? 7x + 10 = 0 admitex:5 comoraiz: (5) 7(s) r0: 25- 3s+ 10= 0 +2e) x3- 3x, + 2 = óadmitêx: 1 comorôiz: ( ] t - 3 ( r f + 2 - 1 -3 2 -03e)x4+xl- x) 4-0ãdmitex 2 comoraiz: (-2)1+( 2)3 ( 2)z 4:16 I 4 4=04e) x, + 1 - 0admitex: i comoraiz: iz+1:-1 +ì =0
  17. 17. r48 . Conre{ro&Ápl(à(õe! MatemátGConjuntosolução de uma equaçãoalgébrica Denomína-se conjuntosolução umaequação de algébrica oconjuntodasraízes equação: daExêmplos:] e )x: 7x+1 0 =0 3 e )x 3 + x : -4 x -4 : 0 s:i 2 ,sÌ2 r )3 x- 5 =0 4 e )x r+ t : 0 s : {-i, i} t3l propostos Exer<ícios 40, VerÍque o x ndcado razdaequação se é dâda: 4I. EnÕonlre o conjunto sol!ção equação da al x = 2t equaçãox3 2xz x + 2 = 0 - - x3 7x?+ l4x I = 0,sabendo e€ é !m subcon que b)x = -3i€qLraçãox3 + I lx + 6 = 0 + 6x, jlntodeA = (0,1,2,3,4). clx= l;eqlaçãox! x3+2x, 1=0 dJx= 2 + 3iequaçãor, 4x+ 13= 0Determinação raízes uma equaçâo das de algébrica Nossoobjêtivoé determ o conjunto inar soluçáo pelas foímado raízes deuma equação algébrica, seja, ou resofvereqìrâçõesdâ p(x) foÍma :0, emquep(x)é polinômio. um Jásabemos do1e por resolverequàçóêse do2egrau meio fórmulas de simples, dealgumas grau além de maiordo que2 pormeiodefatoraçáo outroartifício: ou. ax+ b = 0 (com + 0)+x :,: a (raiz equação teqrau); da de. ãxr+ bx + c = 0 (com + 0)J x : -n-.Ã a : :1 (Íãizesdaequaçãodo2egrau),emque^:b2-4ac. Durântê.muitotempo, for". Í"i,o, p"r" êsforço, lórmulas permitissem que quarqueÍ resorveÍ equa- degrau 2, por maiordoquecomo, êxemplo: "ncontràrçáoalgébrica. x 3 6l] 7 x+60:o. x4_ 8x3_ 25x + 44x+ 60 = 0 porfìm, o melhor VerifÌcou-se, que meio resolvèr de essas polinomiais fazer equações seria estimativas pos- desÍveÌssoluções. Nestetópico, objetivo exam algunsmétodos nospêrmitam nosso é inar que estimar oumais uma raízesde umaequaçáo polinomial assìm, e, determinartodas elas, propostos Exercícios 42, Caìcue ÍaÍzes seguintes as das eqLraçôes algébÍicas: [Srgesllies: tem a, x[xz- 4x + 3] = 0 no teÍn b, No a)3x-12=0 d)lOx+5=0. xz[x+ + l[x+ 2] = 0 .+ [x+ 2][x,+ ]l = 0.1 2] b) J2x r=0. elx, 4x s=0. cl xr 6x+10-0 Se prodú; é nulo, menos dosíator€snulo. o p€lo um é 43. Ut izando íatôÉção, a c€cue as mizes equações dâs Exerôplo:lx - I] : 0+x + 2 : Ooux, - I = 0. + 2Ix, âlgébrcas: alx3 4x?+3x=0. Reso aseqLraçôes va algébricas lR: em blx3+2xz+x+2=o ãì-.7 ú-0 b.)6 Jr /-0 cJxs+2x?+9x+18=0. [SugesÍõês: itern chârne de p; no item charne No e, x2 b, dlx3 2xz+ = 0. 2x x3de p.)
  18. 18. (âpÍtulo5.Po inônìios 149 em de grauDecomposição fatores primeiro Em1792Gauss demonst o teorcma rcu fundomentaldo que Álgebrc, admitÍemos demonstraçãol sem Toda equação p(x): Odegraun (n > 1)possui menos raiz algébrica pelo (reaì uma complexa ou náo). lJtilizândo teorema esse podemos quê mostrar os polinômios graun > 1 podem decompostos de ser nümproduto fatores 1egrau, de doExemplosr 2 + poisp(2): 0.1.?)áraizde p(x)- xz 3x - 10, pelo de p(x) porx Então, teordôâ DAlemben, é dívisível - 2 e temosi r)i q r(x ): x + 5 Daívem: P(x): (x 2)q,(x)= (x 2)(x+ s)2e) Iérâizdep(x):x3 2xz x+2,poisp( 1):0. Então,pelotêorema DAlembert, é divisível x + 1 e temos: de p(x) por 1-3 2 0 = q(x) xz- 3x+ 2 Daí vem: P(x)- (x + ])q(x) = (x + l)(xz 3x + 2) 3x a obtemosas raízes e 2,ou seja: Resolvendox?- + 2 - 0, usando fórmulâde Bhaskara, l q(x):xz 3x+2:(x lxx-2) modo,podemos Desse escrever: P(x)=(x+1Xx-2)(x-1) Vamosdemonstrãr todo polinômio: que p(x)= anxn an rxnr+ + +arxz+ârx+ao(comn>1)podeseídecomposto num produtode fatores 1egrau, do ConsideÍemos,então,o polinômiop(x), graun > 1. de PeloteoÍemaíundamentâda Álgebra, | p(x)admiteumaraizx1. de p(x) Peloteorema DAlembert, é divisívelporx- xr. Assim, temos: p(x): (x - x,)qr(x)em queqr(x) um polinômio graun - 1. é de Peloteorema Álgebra, fundamentalda qr(x)admite raiz uma x2 Peloteorêmâ DAlembert, de é por q1(x) dìvìsível x - x2 Assim,temos: q,(x)=(x-x,)q,(x)em queqr(x) um pqlinômio graun 2. é de Logo,p(x)= (x - xr)(x xr)q,(xl Peloteorema fúndâmentada Algêbrâ, I qr(x)admite uma raizL ?eloteoremade DAlembert, por x - Assim,temos: qr(x)é dlvisÍvel q,(x)=(x-x3)qr(x)em queq3(x) um polinômiodegrau 3. é n Logo,p(x) = (x - xr)(x x,Xx- x3)q3(x)
  19. 19. Seguindoesseprocesso vezes, n chegamosa: p(x): (x - xrxx - x,Xx x3)... - x").q"(x),comq" = a" (x Então, tem05:em quêxrsãoasraízes p(x)e a" é ocoeficiente de dex.29. flmadasraizes eqúçãa 2x3 4x,- 2x + 4 : 0 da - é] R€solvâaequação. q,(x)=x? 2x 3 asÍaÍzes qr[x]= 0,obtemos: D-eterminando de À=16 Resolução: SeI é Éz de p[x) = 0,temos ,= _ r_3er= l , ptxl= tx llqrtxl.=0ìx I =0ouq,(xJ=0 Logo, = { 2 -t,1,3). S Obsetuândo o grcudeqr[x]é 2 esabendo veÍ que reso urnaeqLração 2egÉu,podemos do :0 dizefqueqr(x) 3l, Detefinine ofes a, b e c, sabendo asÉÍzes osva de qLte Ìomece outÍâs âs Eizes daequaçâo +ax, + bx + c= 0sâot, I e5. 3x3 Determnando qj[x] remos: Resolução: Se l, -l e 5 sãoÍaízes equação = O,€nÌão da p(xl p[x]é dvsÁ/elpoÍ I,x+ lex 5. x qr(xl= 2xz 2x - 4 - Delenninandoraízes qr[x) = 0,vem: as de 2x 2x-4=A ll 3 3+a 3+a+b i 3+a+b+c Ã-4+32=36 2!6 = 2e) = 1 Corno restos os devern igu€is zeÍo, ser a vem: Logoâsoltrasraízes 2 e -1 e o conjLlnto são solução daequaçãoéS={I1,2} [3+a+b+c=0 13+b=0ãb= 3 ll5 + a = 0 + a = t5 Substituindoosvalores a € b ra pfmeira de equaç]to, ã + ( r5 l+ ( / l + c = o = c = 1 530. Reso a eqLração x3- 7x,+x + 6 = 0,saDenoo va xa Logo,a= 15,b= 3ec=15. que 2 e 1 sãoraízes equação da Resoluçâo: S€ 2 e 1 sãorâíz€s p[x).temos: de pixl = tx + 2)tx llqltxl = 0. Dividindo poÍ x + 2 e, eÍìrsegudâ, qlociefte p(xl o dessa dvsâo pofx 1,v€rn:45. Sabendo 2 é razdaeqlaÉo + 2tr 5x+c=0, 417"Det€mìineconjunto que x3 o sotução equâções: das calcue valor c € o conjunto o de solução equaçâo. dâ ê) " - 8r - 25 44 | 60 - 0.sêoeao qLe - e&Ê. Rèsolva equações as âbaixo: 2 sãoduas suas d€ raízes.. a) x 2x3 x, + 2x 2 + = 0,sabendo duâs que b)x3 ix, + 4x - 4i = 0, sabefdo ié umade suâs que de suas raÍz€s -1 e 1i são bl x3- /x?+36= 0,sab€ndo 2 é uma suas que de rãÍzes.
  20. 20. .QpÍiulo5 Pollnômios t5tMu lt iplic ida d e r a i z a Nadecomposiçãode polinômiop(x)de graun > 0em um produtoden fâtores umdo 19gmu, podemosencontrardois maisfatores ou idênticos, Entãoem uma equação de grau n, obtemosn raÍzes, quaisalgumâs algébricã dãspodemseri9uai5,ouseja, todaequação algébricadegrau n > 0tem, no máxìmo, raÊ nzesdistintas. O númeÍodevezes quê umâ mesma raizaparece indicaa multiplicidade íaí2, daExemDlos:le) No polinômiop(x)- x? 6x + 9 : (x 3)z (x - 3Xx- 3),há doisfâtoresidênticos x 3. Nessecâso, - = a dìze- mos que 3 é raiz duplo ou dê multiplìcidode2.2-)Nopolinômio = x3- 3x 2=(x+1)(x+1)(x p(x) 2) =(x+1)z(x 2),há doìs fâtoresidêntìcos(x + 1)e a umíator(x 2).Nêssecaso, 2,e2é raizsìmplesoude dizemosquê é rotzduploou de multiplicidade -1 multipli3e) Nopolinômiop(x):x5-7x4+10x3+18x?27x-27=lx 3)3(x+lF=(x-3Xx 3Xx 3)(x+1)(x+1), há trêsfatores ã (x - 3)e doisíatoresidênticos (x + 1).Nesse idênticos a câso, que 3 e rrà Íiplo ou de dizemos multipficidade3e 1ê toizduploou de multiplicidade 2. 32. Quaé a Ínultiplicdade miz2 do polnòmio d€ S4.Dadaa equação + axz 8x + b = 0, calc!€os x3 - P(x)= x4- 5x3 6x:+ 4x - 8? + valores a e b de foÍmâqu€ 2 s€jaÍâz dLrpla de da Resolução; equaçao. Varnoseliminaf Íâiz2 do poinôrnlo a sucess vezes, vas Resolução: atéque ssonãoseja possíve. Ínajs E m nando Éz 2 duasvezes a sucessvas,ternos 2a 4,4a 8+l) Fazendo f€stos s a z€ro, os igla v€rn: l4a+4-o (l) Então: { -^ pixl= tx 2F(x r) + laa-8+b=0 (!) Logo, é ÉiztÍiplaoude mutp lcidade 2 3. Daequação v€rn: O, 33- Resolvaequação 3x3 3x? 7x + 6 = 0, sa a * + 4a+4-0=4a- 4=a=-l que bendo -1 é Eiz dupla. Substitu a = -l naequação@, ndo temos: Resolução: -4-8+b=0+b:12 Se -l é Íaz dupa da equação, podeserescrta esta Logo,a= leb=12. nâforma + l)zq[x]= 0. (x a 35. Determine equaçâogébdca 4q Lrma a do gÍauque Pam dereÍn"aÍqfì, oerenos.[]]i]à da eq-ação €Lz I duas vezessucess vas: tenha I comoraizde mutp cdâde3 e 2 como outraraiz. Resoluçâol [x+ ]l[x+ ]l(x+ ll[x 2] = 0= =[x+]13[x-2]=0=ì + [x3 3x: 3x + 1 tx 2l=o = + + ] q(xJ=x-5x+6 +x4+x3_3xr_5x 2=0 Caímos equação 5x + 6 = 0. na xz Logo, equa€o € pmcumdaé x3 3x? 5x 2 = 0 x4+ - Resolvendo-a, x = 3 e x= 2. ternos ou quâqueroutm por eqLrvaente como exemplo a elâ, Logo, = {- l, 2,3}. S 2x4+2x3_6x lox 4_0.

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