Cap.3 geometria analítica-secções cônicas

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Cap.3 geometria analítica-secções cônicas

  1. 1. Ê Geonretria anaÍff$cw* secçôes eômfems periododecerca 300a 200/t.C. um plano, e o típo d,ecurvít dependíada de foi denomínado Áurea da ld.ad.e ínclinaçâo plano,comomostram desse af.- Matemátícagregapor se destaca- gurqsabaíro.rem nessa época grandes três xoues:Euclídes,Arqwmedes Apolònio.Emboraosdorspri- emeíros tenham sidomaiscomentados, Apolô-nío,maísnovoqueeles, gM dedest1que, tevepríncipalmetate desenvolvimento con- fio dosceítos secções das cônicas, acrcscertand,oaosestutlosjá eeístentes fato de essas o curvaspoderem obtidasa parLir de um üni"o sersólído,o coneduplo (os estadosa teríorcsconsideravam-nas secções obtídas típos embeu diferentes cone), de reto oa ablíqua.Assecçoesplanaseraft cortes cone do segundo (Extra|do hftp://nsthwo d.woIíron.can/ de Conicsectian.htnl. Acessa 1 en 2/5/2A07)
  2. 2. l. A eLipsepodeseÍ€ncontrada partiÍde uÍÍìaexperlênca a até divertida. tasvezes étnbalhada ensino N4u ea no fundarnental: . FixârÍì-sedos preqos demade urnâ nun-ìêtábua íaê digtànclâ qla quer (porém malor quezero)Lrm outÍo do do . Umbarbante, comprlffrento de maÌor quea dlstánca do es é poí co hidapaíaos pr€gos, amârrado 5ua5 dades exlreÍn nesses s pregos. dooï . Comum ápls, esÌcamos barbante ÍÍìáx e,fÌncando o ao mo suâpontêna rÍìadelra descTevernos lnhâ, uma dandoLrma vota lntelra. . Asslnìfìcará in€ada € lpse mad€lra. de a na Observe af gurãa segulr ldentfÌque è ose €mentos za- e ne uu oopèèàcor -doo"-loses-geoaâ ^. stoé o èóê_ m€ntos coÍÌespond€riarÍì pregos, inhã ao baÍbante. aos à € DasobrasdeApolôníoquenãoseperderam, ma.ís a import1ntenãoAsCônicas, que aperfeiçoou suPerou eosestud,os íntefiores Sobre assufito oe íntroduzía as denominações elíp- wlklped EÍa fìguÍa extíaídê rile http://pt foi do Ìpse a.org/wlkl/Ese,pará.bola hipérbole. e Acessando o,vocêpoderá vê-aernríìov mento. Especialmente AstronomiLen a a) Denonìine e B os pontos A quecorrespondem pregos. aoscotrou, nas secções cônícas,grande llnindoos € prolongândo segírìento encontTaT esse até oaplicação.Copérníco, Kepler,Halley e contoÍno dae1p9e deterrninamos pontos,Chame-os doÌs de porNe14ton, e,.emplo, f.zeram uso de Re P,Represente M o pontodê ellpse, com indicaoo v-âr_ erÍì paro e&plícar -eo d 9L a.)Lpo do qLeo oâ bd e"eca 0. easuasconfgura,ções Íenô- dlstânc entre pregos de 8 cnì,ca a os seja culeasÍnedjdasdemenos Íísicos, como as tuajetóríLs dos Aq BP Rqe a sonìa + N,48. e AlúpLanetasou a, twjetóríL descrítapor b) O queacontecerá a e ipse apÍox conì 5e maímos mals mai9 e um projétíL ospregos do outro? uÍíì Ao seremínseridasna Geometria 2. FolKep qÌrem er deduz queasórbltas panetas u dos eram lp e geo e como osastrÔnomos o t cas nãocÌrcL.rlaÍes, acÍeditavam anter analítíca, def.nidascomo lugares e9 _ì," caoospocopeír D/-.e.è-berÍo e.sè d€ co métrícos (cofijuntos pontosqueverí- de cobertadeup stasparateorada grêvtação NewÌon a de Obrt.am uma.certqpropriedade),as sec- encontre os e ementos servandoóíbitae lptcaa seguiÍ, a nelè côfiícas haram am6.expressão ga que daelpsse vocé constrLriu. ções algebrica,ampLíando ttítda maís sua ímportânciae suaaplicabílídade. Neste capítulovamos partír dasdefníções desses lugaresgeométrícos para as equações algébricasqueas reprnefi- estudarsuaspropríedades íden-e Fiquta *t tail a de http//w /gen.iïiestÒfr /Pa LiI htt/ 536 eca i.ôf htn l. rc/ rú n tqm, l.e*aen 1ó/5/2447 tì,f,carseus elementas.Faremos ama ín troduúo 6.0assunto considerando ape- nqs as cônicas que apresentam eitíos para.lelos eíxoscoordenados, aos sendo sua complementação estudada maís l^ t6rde,emcurs6 superíores. x"-L ji- -Ot ,7
  3. 3. Matêmát Contsxro kaçõ".5 o &Ap Introducão Considere seguìntes as sltuaçóês: Â trajetóriâ umprojétil,em dê queda livre, umarco paúbola. é de tr Osplanetas giËm erntornodo Solnumatr4etória cujafoÍma umâe/ipse. é O gráfìcoque pressão rêlaciona evolume umgás de atempeÊtun constantê, como dafÌgura, uma o é áipélbole. Veja situações quêâparêcemparábola,elipsê a hipérbole: mahalgumãs em a a e ParábolaOrigem Vamosconsiderar cone um circular seccionado umplano reto por paralelogêtaÍiz, à comomostrâm osdese-nhos segulntes: -&--4h-4, Nessecaso, q dizemos ue foì obtidâumasecção côni.a.hamadapaúbola,
  4. 4. (aDítulo3 GeoÍìetdaanalítcarse(!Ões!ônkaj . 7tDefiniÇão elementos e .F consideremos, plâno papel, Inicialmente no do umaretad e um pontoF que nãoDêrtenceela. a vamos marcar,agora, série pontos êttãoa uma uma de quemesma distância pontoíìxado e da retad. NaprátÌca, do F issopodeserfeitocomo auxílio umôrégua, esquadro, de um lápìs,alfÌnete baÈante, e construìndo gráficoponto à pontoteremogl o A parábola o conjunto todosos pontos plano é de do queestão mêsma àdistância F ed. de Nafìguradevemosdestacar: p .vt= i=FD c ..- Z=. o pontoF,focodâparábolà; . Todopontodaparáboh. a retad, diretrizdapãrábola; t€messa e todo Éiiopriedad€ pontodo plano possli que. o pontoVvértice parábolã da (ponto deFD,distância F atéd); médio de pÌopri€dade €ssâ pertenceà. â retaquêpassa F,perpendicu à dhetrlz quesechama por lar d, êixodesimetrìa paráboìa. dâ parábolâ;. a medida F--D, de parâmetro (p)daparábola. definimos parábolao lugargeométrico pontosdo Assim, que é dos plano quedistam ìgualmente umaretâ defixad,chamadadileütz, deumpontofixo não e F, pertencêntê à diretíz, chamado foco,Equaçãoda parábola (d), A pôrt;rdo foco(F)e da diretriz podêmos à da formada todosos pontos chêgar equação parábola por planoP(x,y)do talqled(P, F)= d(P,d).
  5. 5. 74 Marmátio, &Aptkàçõsr conrexto Vamosdeterminar equação parábola tem comodiretriz retade equaçáo : -4 e comofocoo a da que a xpontoF(6,2)i t Ne5se ponto caso,oVérticeéo médio segmento noqualF(6;2) do FD, eD(-4,2)i (É -4 )+ ) vl _:______. | =ví] 2) :__:_: 2 2) Pêladlstância atéF encontramos deV o valor c: dê c=r/(o-t ) + (2 -2 ) 1 = 5 Ospontos da sãotalque F)= d(P, emqueQ(-4,y): P(x,y) parábola d(P, Q),d(p, = dtp, D ol.+ r,{xlÌF-I tíl zf = .,(x+ 4f + (y - + (x- 6),+ (y- 2F= (x+ 4),+ ,F+ (y- 2),= (x+ 4),- (x- 6),= / + 8x+ 16- / + tzx, za= zox zo+ (y- 2)z 20(x .ì) - : - Obseruemosquenaêquaçãoobtidaaparecemascoordênôdãsdovérticexv=têyv=2êtambém (Y- 2):=20(x 1) Y"+ V +x" 4,5 v c Reciprocamentq da da (y = a paftìr equaçáo parábolã, - Z1z 2g1t< 1),podemos - chegar véftice aovalor ao edç c(distância deVâ F oudêVà diretríz d)e,dal aofocoe à diretriz: (y 2)z 20(x 1)= 4. s(x- 1) = -e m q u e V( ].2) e c=5. Esboçando o gráfìco, veml Logo,F(6,2)ê diretrizx= -4.
  6. 6. (apílulol. 6e0melanalítkãrç.!ões a óni.as Generalizando, podemosdizerque a partirdo íoco e da diretrizé possível determinar vérticeV(Á,,y,,)e o ovalorde <e, daí,a equação pôÍábolâ posiçâo dã ea vêja correspondêntê, os casos possíveis: (y-yv)]=4c(x-Ç ( y- vv) := 4c( x- ) - estudamos Quàndo sráfìco umâ d€ fun(ão : (x- &)z 4c(y yJ (x-xv)z= -ac(y - yv) horizonial. quê? Por d .__ q_ lembrâr vale reclprocara dôequação parábola Devemos quê a partiÍ da podemos chegar vértice aovalor âo ede c e.daLao íocoe à dketriz.Observação: volumê1 dêstacoleção, No estudamosasfunçóes quadráti-casy : ax2+ bx + c, cujosgráficos foram chamados pãrábolâs. de Nãverdàdeaquelas parábolas as€studadôs e nestecapítulosãoas mesmas,poìsquôndousamos técnicade completar a quàdradospodemostrans-formarqualquêr êquâçáo tipo y = ax:+ bx + c, vìstâno volumel, em doumado tipo (x - ,)?: ì4c(y _ y,),comotemostrabalhado nêstevolume. l. DetêÍm a equação pafábo€ focof(0, -5) e ne da de Como disiâncjas g|Jâis, as são temos: = diretrizy 5. 0+ (y - 5)? xz+iy + 51z= + Rêsolüçâo: a r y av , -r-í .) x. = -2Ay F[0.-5] está exoy y = 5 é paÉlea exox e no ao V[0,0].AdistâncadeFaVé I-. ---.----= c=vu +t-5J_ =5 Usando diretarnente a fómua,temos: ix - 1z= -4c(y yv)ã ì [x - o)z=-4.5(y 0) +x?= -20y Logo, equaçãoxz= -20y. € é 2. Deler _eoocoe à o êt1z pãrabola equaçao r ca oe Usanao propredade todoponto a de P[x,y] da páÍé Y = 5x. Resolução: escÍevef = 5xcomo Pod€rnos yz o P. F - J r . o J -f)-5 Y -JJ l y |t iy o r , = 4 . ; s - o Ad srà1cdePà relry -. ê gJdã disl_cê é dePaté A distânc dovénce(0,0l aofocoé c = a [x,5], qlreé igualâ{(x - x} + iy - 5Ì
  7. 7. Obaêruação:0 vaoÍ do coeÍcÌenÌe ndcaa distân c = Looo, o)eaoretlzex-f r[9, oa oo Íoco verl.è e , o seqüe1te-ìerre, ao è concal dadedapaÉbolâ.VejacomoexemposaspãÍáboasd fesolvldo emyz 8x(c = 4),a concâvdâ- exercício 3: = deéÍnaoÍque emy= 4x[c = ]), pois4 l > 4.Deteminea equâção as coordenadas vénice e do da pafábo quetemfocono ponto 5) e a Íetadiretriz a F(1, deequaçãoy= 3. Rê3olução: 0s dados prcberna do pefrnitern urnesboço fazeÍ do ï gráÍìco ass identÍcâr tpo daequação: e, m, o3,Esboce gráÍcos parábolâs equâção os das de a) y 1= x : b)y,=4< cly,=ex. Rcsolüção: o y,=x=r. | x D 0,-ì tx xv), = aciy - y,l 00, O védceé o ponto rnédio F--D. de Então: Lr L Vl-1 .-l :-i l= Vf t tì 2 2 ) ! 12 42 Pela é c s oeVa F e_coraÌros,€ oec dis o or c= i( r D + ts- ì = Jo+ 16 = 4 rí*,1 b)y?=4x=4.]x Podemos escrcver pfocLl€dal agora equação a tx - xv),: 4cty- yv)+ [x 1), = 4. 4(y - 1),- i I L! + tx - llz= l6ty - 1) oo Logo, equação(x - l), = l6ty - 1l eVtl, ll. a é ,-|; 5. Seurna pâráboa como t€Ín equação 4 tl x, - 4x - t2y - 8 = 0, d€terrn ascoofdenaoas ne oo -t vértLce, coordenadas foco, eqlação retad- as do a da "t rctz dê paÉbola a equação e xode stmet| e do a Resolução: Competando quadÍados os perfeitos, temos: 7-4 l2v-8-o:2 t"- 2y-B- = + xz- 4x + ..1... l2y + I + ..L.-= c) = ?-4x+4 =12y+12à = lx - 2), = 12(y 1)=, [x - 2)2 4. 3(y+ ]) em + = que=2,yv- I ec=3 -èzê-ao esooço graìco, r: Ln do ve Logo, -lJ, F[2,2), d retrz = -4 e o eixo V(2, a éy de smet|aéx=2.
  8. 8. (apÍtulo3 GeometÍia . analitka:5eqõe5ón os tl 6. Deleriìe a eqJaÉo. ofocoFe a o ÍetÍz oépê àoo d Rêsolução: a comvéftrce que V(-2, -3), sabendo ofocoesté no quado quadÍante,é paÍaeaaoeixo e o peÍâmetfo, d y p,é8. Resolucâo: p = I lndica ouec= 4,ootsc r. = 2 As inlomaçôes pfoblema do evam um esboço a do gÍáÍco: tx - xv),= -4c(y - yv) t Substtu x! = 0 e yv- 4 naeq!€ção, ndo temósi / [x - o)= -4c(y a) = x?= acty- 4] Como p€rábola a passa P[2 ]l vem poÍ 2, = -4c[] 4l + 12ç=4=x-] 3 ogo d equèGo pa-àbota o. e - 1ti 3- "t. 8. Vefíqle se os poíìtosA(3, 8) Btt, al, Cta, 2l € D[ 8, - ]0) peftencern nãoà pâíábola devédc€ ou P V[4,2]e foco F[],21. R€solução: A posição paráboa dâ indicaqueê equação é Aposção pâéboe câquea dê nd equação é dafoÍnala (y yv)= actx- xvl. da foÍna (y yul = = -4ctx xvl. Daí, vem v( 2, 3l Peadistáncia V atéF de enconÌTarnos de c: o v€tof E( 2+4-3)-ç(2,-3) c = lt r 1 + I + t r r l, = Dt-2 - 4,-31 + Dt-6, -3) Sabendo c = 3, = 4 eyv = 2, a eqlação que da dretfzx= -6 paébola éi Substtu aslnformaçôêsfórrnLra, ndo na ternos 0 yvlz= actx x!1.+ 6r - yvl? 4c(x- xv)+ (y + 2), = 4. 4(x+ 3)..1 = = (y 2),= a.3tx - 4l + ty - 2),= -12(x ar = =ì (y + 2)z l6(x + 3) A paftifdâ equação, podemos verfcaÍa posçãode a tem ty = Logo, paráboa eqlação + 2)z l6tx + 31, cada dospontos rclação paÍáboa !m €m à P F(2, 3)edr€trzx= 6. At3,8l= t8 2l:l -12(3 - al =Ae P Btr, -4) = t 4-2),:-12(1 4)=BeP 7. D€tem a €quaçâo parábola exode sirneta ne da corn G[4,2] € P,pos é o véflc€da parábolâ perpendicularao x, vértice ponto eixo no V(0,4)e que D[ 8,-]01+ [ 10- 2)= -12(-8 a)= passa ponto p€lo P(2,1). /----;-;-- --- erccros l Dr000sÌ0s : Detemìne equação paúboadêfoco e d retrzd a da Í . Dadâsduas de = paúbolas, eqLraçôesx,-l2ye nosseguintescasos: x?= 2y qualdelas concavidade tem rnaor?Esboce os al F(9, e d:x = -g 0l c) F[0, e d:y - 7 7] gúfcospaÉcornprcvar Íesposta. sua b)Ft0,-6)ed:y=6 dlFt 5,0led x=5 DeÌeffnine a equação paúbola da quetern: .;1, DeterÍnineíoco, védce€ a d rctzda parábo a o o a, âl foconoponto 0] € difeviz equâção= -3; F[3, de x panir equações: das b)diferfizde = equaçãoy 3 evértceV(0, 0ll a)Y= 28x c) x, = lOy cl foconopontoF[],2l e difelriz equação= -2; de x i b)xz=-4y dlv= l6x d)difetdzdeequaçãox = 2 evértceV(-1, -3).
  9. 9. 78 À,Iâtemátkâ &Ap conÌêxto kàçÓer Ê. DeteÍm ascoofdenadasfocoe a eouacãoda ne do reta 7- A parábola equação - ôx + y + I = 0 intercecta de x, o dÌretrz parábo qle lêrnpofequação: das as exox nospontos e B. Sendo o védlce pâúbolá, A V dâ a)*=4y Lembrese, exemp]o, que2 = ,( [SugesÉo: por cl de v elx?= +)) deteÍnì ã árc€ nê 8, DêterÍnlne doÍiânguoVAB. a equaçâo paÍáboâs: â) devéftice das VC-1,4), exopáfêlelo exoye quepassâ áo 8, b)y = 2x dl p€o ponto A[3,0); b)d€véfticeV(4,2) elocoF[4,s]. !ì Êncontre coordenadas vértce, cooÍdenadas âs do as doíoco, êquação rctâd Íetrze a equação eixo a dâ do !]. Urna paráboâtenì noponto loco F[3,]l e suadreÍlzéá desirnet daspaúbolas eqLraçô€s: a de rctâ eqloqão = -l, DeteÍrnine de x a equação panábo- da a)yz-6y- 12x+21= a a e os pontos quea retadeeqLração y = 0 nter. em x- f b ) xz- 2 x- y+4=0 sectâ parábo a a. ElipseOrigem Vamos considerarum circular cone reto, Utílizândo plânoinclinâdo íelação eixoe que intersecte |]m em ao todasas geratrizes cone,taíemosum docortecomo rnostrâm desênhos os sêguintes: M Se phno o for Nessecaso,seccão a cônicaobtidaéchamã elipse. da ffi tambémuma é s€cção a-----ìDeÍiniçâoe elementos no doispontosfixos e F,talquea distânciâ inicìalmente, planodo papel, Consideremos, t, êntíe elesseja2c. i;, que lmãgìne vàmosmarcar umaséie de pontostâl quê â somade suasdistâncias pontosfixosF, e F, seja aos constante maiordoque 2c,Naprática, podeserfeitocomo auxílio um lápis,sempre e isso dê doisalfinêtes balbante, e
  10. 10. GDft/lo , GmneÌÌia 3 (ônlcs analírkarse((Ões og ponto pontotêrêmos: Construindo ráfico âAFI + AF,=BFr + BF,=CFI+CF,=..,=JFr+JF r: . . . = L F I + L F , = . . . = 2 â (c o n s t a n t e ), s e n d o 2 a > 2 c Aelipseéoconjunto dêtodos os pontosdo planoque satisíazem propriedade, essa Assim, que definimos eiipsê o lugalgeoúétrico pontos um plano é dos de tãlquea soma suas de distâncias adoispontos fÌxo,,dênominados focos, e F2,seja F1 constânter à 2aê maiorquea distância igual entreos focos(2a> 2c). NafìguÍa,temos:. Fre F,são focos elipsee distância eles a distância da a entre é focal(2c)i. ÃE éo eixo maiorda elipsee medidá ioma sua éa queconsta defnição da (2â);. õrã;é o eixomenorda elipsêcuja medidaé2b;. O é o centro elipsê da (intêrsecção eixos elipse pontomédio EE,Ã/l e EE,); dos da e de.6 6úrns16g ! ç66rn excentricìdade = a-se (O da elipse < ê < 1).ObseÌv.çõesr A excenÍicidad€ indlca quânto elipse aÍ1) E;E= õÃ;, poisambostêmmedidaa. seaproxima um sêgmento de uma de ou circunfbréncia, confonÌe vaÍor se! sê21) No notarque + c2= a2. relâção b2 Essa éfunda- aproxlmà I ou de 0, respedÍv?mente. de ^BrOFrpodêmos doselementos eìipse. mentalnà determinação daEquaçãoda elipse Vamosinicialmente consideÍar elipsecom asexremidades ado êixo maior nos pontosAÍ(-a,0) e Ar(a,0), do eixo menorem81(0, e Br{0,-b)e, consêqüentemente,centroemO(0,0). b) o Considerêmos ponto P(x,y)qualqueÍdacuruâ. um Pela definiçãoobseryamos quê: PFr+ PF,= 4F, + A,F,: A1A, 2a -
  11. 11. . contsxto lÏarsmátka &Adkãdes DaLtemosl (x c)? (y + o): (x+c) + ( y- o) +l*-.f +Y + l*+.f +y -2. *f,,+.)+y =za-.,("-.y +y+( x+c),+y,-4a, +uf* .f +l +(x - c Ì + y : = + =4a,+(x -c ),+ f -u* r f - S /-+" .Ír -.)*l -= l "nft- .f 1. =4à- I -2cx+ è -i 2<x d- .f /^J"- rf +v = /^ - /cx = afi - ç1., ç : ã2 cx+-= a,[(x- c), + y,] = (a, .- cx), a,[x, 2cx + c, + yz]: a4- 2a2.x+ c2x2 =] - _.a a2x2 2t4+ a2<2 d2y2 a4 2ekr+ czx2 d2i) - c2x2 à2y2 a4_ a2c2 + : + + : =)= (a, - c,)x, + aty, : a,(a,- c,) Naelipsetemos: a2=b2+<2 =) d2 c1=b2 Substituindo equâçáo, na obtemos: b,x2+atr=arb2 lJmavezque + 0,vem: ab bx ay ab x y) ãb àb ãb a tremquea = oAr = oAr, c = oFr = oFrebtalqueb]= az c?. Essa equôção denorÍltnada é equoçáo do rcduzidaeÍFse focosno êixox e centrona orìgem. de Vêjamos agorai í*" , seosfocosda sobreo y e o centro otigêm, elipseestáo eixo na conformêaíiguÍa,a equação reduzida elipse dada da é por: A rcciprocãverdad€ìÌ?: é y2 equações bnÌa , + da = l, b, coÌÌ â + b Íeprc9êntâm ou ellps€s, ap€nas pontos uma seja, os de elips€ stisftzem €s$ €quação.
  12. 12. GDÍh0l . Georìeíia analíue: se(çõe5 cônkas Analogamente, chegamos equações elipse às da comcentÍoqualquer. Asslm, temos sêguintès as equaçóês, o centro pontoqualquer, yJ, e oseixos considerando um O(xo, eixos e yi Êatalelosaos x le)EE é paralelo eixo a = OA,, OB,e a>b. ao I b: 2e)tE é paralelo êixo a : OA|b = OB1 a>b. ao Ì, e a í { , 9. Detem a equação elpsede focosFr[3,0) e ne da F2[ 3, 0] e vériices, sãoas exÍernidades e xô que dôI maiof,4[5, e A2[-5,0]. 0J Re8olução: Pelosdados problema, focos do os estão exo x e nor temosa=5ec=3, a, = b, + c, + 25 = b2+ I ) b, = 16 (1,0) Nesse caso, equaçìo a reduzlda é: i:++=t=:+-L=l a h 25 16 ^, € oÍocuÍsda :: + -L = L Looo. eouâcão é 25 16 ar=br+cr-ar=l+9=10 Como focos os estão localizados elxoye o vértice no é V(0,0l,temos: -. I-=t+:--L=t=t0Ì, r r=tú b a 1 l0 Looo,aeouacão oÍocuÍâdaêxz L = I oLr + 10 Ioxz+Y?: 10. tl. Dete-Írine Íocos aseKrem os e dades elo maoÍ oê do e ipse equação + 25y,= 100. de 4x, Resolução: I O. Jna e iosetenosocós oonÌos 3)eF2(0. nos Fr(0 -3) 4Ì? 25v? r00= 1 + = + !!J- = !!! Seo compÍrnenìo exomenoÍ elipse 2,deteÍm do da é t00 100 100- nea equâção dêssâelipse. R66olução: 254 Peos dados problemâ, do teÍnosl Como > 4, o eii(o 25 ÍÍ;ior esté eixo Então: no x. vto, 0l az=25+â=5 c=3
  13. 13. . ConrexÌoi(aóe5 MãremáÌl(a &Ap a, = b, + cr:+25 = 4 + c,ì Resolução: .-c=21.)c=Jà al:+ z_=1 Logo, focos ospontos os sâo 254 0J F,(v2r e F,l i2r,0l e as extrcm dades exo maÌof do são c = a2- b2= 25 - 4 = 2t = = tb 4is, 0)eA:t-5,01. "r 2. corte,.noo o^o. (0. e r. (0. J:)eae. os r, Jr e= ttt_1!9= osl ; 55 l celtÍcid;de - e , dFlerileaeoudc;odae 2 Do( v 2 Resolução: 2 d DeacoÍdo os dedos proberna, com do teÍnos 2 I 5 0 5 0 +a=2c=2.Jí IB 2 - t,8 a, = b, + c, =12J3 | =b,+lJ3 l= =12=br+3ãbr=9 bl 255 "gLrdo o. dêdos p obera osocoseslãoocê do y. lzados €ixo Assm,vem: no - - - t-l )1^-3v-36 cr=25 9=16+c=4 rL bà912 e=;_=0,8 oooa eoJacào oÍocLÉdà e -t". v 912 4x?+3yz=36 0 313.lr-na e,pse. ete-ldaoes e.oÌaor ;o os 0 3 as oo ponrosAi[6,0] e A,[-6, 0]. Sabendo a e pse qlre 5 0 p.s.apeopoÌo Pf3.2ì. dereïile { a equdçèo. 5 0 2 2,1 Resolução: 2 Pelosdados prcb€Ínatemos= 6. do a Corno eixo o maoresüsobre exox, temos: o _+j_=lì_+L=l a: b 36 b 25 t6 Corno eipsepassa ponto a peo P[3,2), temos: 941441 -l C=25-16=9+c=3 36b 4h2b 4 4 3 . t6 e=:=0.6 +-=-ã0?=- 5 SubstiÌuindoequação na original, vem: ,- 1^ -l-:: -:L- ,1-2-l- 44 ã orocuÍadaa r !4 =, o, Looo. ecuacão a li 36 16 4xz+27y 1=144 a.t4,òacue a excenfrlcidade o esboço do gúÍco decadâelipse: Êì-:-+r:l c)fi+r-t Obsêrvaçãot Ínaior Quânto o vaoÍ ce e = -, mats ma prox òe rm segmõnto a etipse é bìa+-L=l 2a I
  14. 14. CapÍtuh. CêometÍã 3 aìalltka:iêqôêscôniaj 83 15. Deteffnine â equâção elpsecorn da centfo [2, - ]1, ern Fâzendo = a? br,veÍn: c, exomaof2a= 6 € locoF1[0, -]1. c,=9 5=4=c=2 Resolução: Daítemos: dados probema Pelos do a pos identÍìcaÍìros çãoda Fli2- 2, l) = Frto, l) + F2Q 2,1).+F2(41) Logo,essa elipse centro tern O(2,tl e locosF,[0,]l e F,i4.11. 17. As equaçÕes seguintesÍepresenlam c rcuniefên- urna ca, urna paÉboae Lrma elipse. ldentÍquecadauma Daía eqmção: deas€ seltsprincpas elementos, tr x"l ty y"l ê)y- Ãy-A t 2-A r.= blx,+y,-4x 6y-12=0 Sabemos que clx,+2y,+6x+4y+7=0 2a:6=a=3 Resolução: Calculando dstância centro(2, -1) ao foco a do aly,+4y-Bx+12=0= F1[0, venìl -1], +f +4y+4=Ax 12+4.+ = +(y + 2)1 8x 8+6/+ 2l= 8(x- r- c=J(2-0).+[-]+t).=2 = .+ (y + 2)z a 2A. - ll [equação parábola) de Comoa=3ec=2,temos Dâíternos: b,=a,_c,=9_4=5 vtr,-2) SubsttLrndo dados eqlração, os na vêrn t^ *"1 ty y"l Esboçando o gúfco,vern: fx - 21l rv + tì: | ô.ô Â êô ,.Âô .lpcc, p ó ^qp lx - 2) (y+D 95 16-Aequdç;o5L or -20^ 8!- 6-0 ep eser- ta urn8 elÌpse eixo de pa€€loaoelxo Detem maiof x. - Resolução: Logo,a equação de Lrma é paÉbolacom vétc€ Como Â,4, é pameoao exo x, devemos escfever a Vl1,-2),c = 2 foco F[3, 2]edreüizx= -1. eqìJação foflÌa na b)x,+y,-4x 6y-12=o+ tx xnj- ty - y"J =x,-4x+4+yr-6y+ I = 12+4+9+ .-d ".(x-2)z+ ty 31,=25=5, Desenvolvendoa equação dadã, ternos: Logo, eqlação de urnâ a é cifcuníeÉnca centfo de 5x,+ 9y,_ 20x_ 18y _.16= 0 + C[2,3] faio e 5. + 5x, 20x+ 9y l8y = 16= c)x,+2y,+6x+4y+7=0=) + 5[xz-4xJ g(y?-2y)= ]6+ + ..1(xÌ + 6x)+ 2(rz 2y)= -7 ) + =s[x?- 4x+ 4) +901 - 2y+ ]) = 16+ 20+9+ .r l[xz 6x+ 9] + 2M + 2y + 1) = -7 + I + 2 + + 5(x 2l + 90/ rl, = 45 = =.ìl[x+3],+20/+ tl, = 4+ [x 2] ty rl Tr + ?ìz r! + rì2 95 conc que: Daequação, uírnos DaÍ, têmos centrcO[2,]l c(-3, 1l Como 2,vern: 4> 6 . -2 = )b = 1 , c r= a r-b r= 4 Z = Z = " = rE Logo,€quaÉodeurnã decentrc 3, ]) â é eipse C[ € íocos FIC-3 Jí, 1.r"1 z+..1í. D
  15. 15. 8,1 G. À,latemáÌContexto kadei &AD ilC Detemine a equação elpse dã conhecendo: X8" Detefinine€ lRpaÍa o ponto que k A[ 2, k] peilença à a)osfocos F1(3, e Fr(-3, 0) e o comprimênto 0) do gxz e ipse + 4y,+ l8x 8y - 23 = 0. . elxo or:3;. ma ^l: ^l: , b)osvéÍtices Ã(5, 0l e At(-s, 0) e a excenticidade a )k = irjf : 611=41!!1 Jb 2? 5 ^1: ! 1. Determine coordên6dâ6 íocoí âscoordeôadâs q 1 1 = 2 1 !^1: 4 l e )k = -t rjl1 6s dos 22 dasextremidsdes maior a excentcidade doeixo e das e ipsesde equâ9ão: ^t- c lt = 3 rjla 2 aì l+ ! = ì c)h,+f=2 Ì9"Aequâção9x,+4y,- t8x- t6y - | = 0édeuma eìipse.0s semi-exos maiofeÍnenofTnedêm: 25 I aj 4e3 dl3 e 2. b)4e2. el3et. i 2 0 eixo maiof umaêlpseestá de no conlido eixo Sa- x. c)4e1. bendo qle o côntro [0, 0], o comprirnento eixo é do menoré e a distâncbfocalé deterÍninea 6 10, equação 2C. A equaÉo e ipse passa ospontos da qle pe [2,0] [-2,0] 0â orpse. e [0,]l é: Ìl::" Quâlé medida exo maior (]ma e do de elipse equa- de a)x, + 4y,= 4 cão:+L=tt b lx , + ! = 1 . 3625 c )2 x , -4 y , = 1 1lr. Doisdosvértices um quadiláteÍo os focos de são da elipse equação + 5l = 20.Osoutros vérti de xz doÌs ?1. Encontreequaçào êlipse a dâ sbairo: cessãoasextremidadeseixomenor elpse. do da Cal cule áÍea quadflátero. a doÌ 5" Emumaelipse, centroé (-2, 4), um dosfocosé o l-2. 7) e umadas extremidades eixomenofé do [-3,4). Detemine equação a dessaelipse.i 4- quais asextremidâdeseixo são do menor €lpsede da equaçãox, 4y, - 4x - 8y + 4 = 0? + ll Dsdâsâsêliosês:.L = ìê + 94 ^ "r + r r - L oJa delasrem maiorex- 83 22. A reta = âx+ I intercepta y aelipsex, 4y,= 1sornen- + centricidade? tenum ponlo. Carcule 8s7 Flipérbole0rigem Vâmosaonslderôr cone um duploum plâno qualquêtque seccione e as vduasfolhas coneconforme do mostrâm i/-*â5fi9uÍas: / ,D
  16. 16. (aDítulo36e0metdaanaiílka:5ecôes.ônkõ E5 Nesse obtidaé denominadahipétbole. caso, seccáocônica a ir;içâr:; *tr*mentos r: Iniclalmente, pontosfixos, e F2,de planocuja Consideremos, dois Fr uín d(Fr,Fr)= 2.. distânciâ q lmagine uevamosmôr€ar 5ériede uma pontos planotalque no (ema diferença móduio) suas de distâncias pontos aos fixosFr e F2sejasempre constantee menorque Na2c, práticâ, pode feito isso sercomo âuxlliodêrégua,lápis, alfìnetese barbante. = ...: lTFr TF,l:2a (constânte),com< 2c - 2a O aonjunto todoi 05pontosdo planocome$a proptledâde de dama-3êhip{ròoL. |_-2.----__-j
  17. 17. Assim, definimos que hipérbole o lugârgeométrico pontosp(x,y) de um plânotal que a diferença é dos (emmódulo)desuâs dÌstâncias doispontosfìxosF1e F2é constãnte < 2c),com F,F,= 2c. â (2a NafìguÍa,temos:. Fr e Fr,osfocosda hipérbole,sendoFrF,: 2c a distâncja focal;.4, e A2, os vérticesda hipérbole, sendoArA, = ArF, AiFr = 2a (constânte da definição); de I br a eÌcentricidade,. O,o ( enFoda hiperbole tponro nèdio de E e de A 4)j. o númeroe = que é a excenÍicidade hipérbole da (notequê e > t, poisc > a). panÌelas [perp€ndcuhres ;, ao eixo rêaÌ]. sea EObservação: Considerando umâ hipérbole focosF1e F: e védces A1e A2,vimos de =queFrF: 2ce ArA,: 2a.Então, : c e OA,= a. OF: âo ÌnÍìnÌto, hÍpérbole à semtsEras oposrãs tcom . Nasmesmas condlçõ€s d€ BrexisteBr,sobrea mediatriz Ãô,taÌ de qu€ = 2b. qB, Seja81 um ponto da mediatriz ÃE tal que o triânguloBrOA,sejaretángulo de . aôe cnamaaoem O, como catetoõÃ medindoa e a hipotenusa ú- mêdindoG. Assim, chamando eixoEate , eixa in agínérlo da hipërbole.de b a medidâdo catetoõEì, temosà: + b, = c, ou b2= c2- â2.Equação hipérbole da ConsÍderemos inicialmêntea hipérboledaÍigura, naquâl05focospenencem eixox e o centroéa origêmO(0,0), ao Um ponto P(x,y) qualquerdã curvadeve sãtisfazer, acordo decom â defìnição, seguinte a condição: :2a lPF, PF,l - ComoPF,: (x+cf +(y o F (x - c)z (y o):, temos: + (x c)z+y:l=2a+ (x -c ) z + y ) (x c)r+y?t2a Elevando âmbosos membros quadÍâdo, ao vem:(x + c ) r + y z : ( xct+y,+4 a J(x-c)2 +y)+4a,.r ( x+ c) ,+ y, c|, y,- 4^,= touf , - lx- 4, + I =L{t2cx (tl { 2<x-1 y -4a, --4a,,lt <t-y-+ ccx- qa= t+aü;õt+7=." u, : t"14-ã, +I
  18. 18. (apítulo3CeonìèÌflaanaliÌG:ç((oe5dnkõ 67 novamente, doismembíos quadíado, Elevando, os ao obtemo5:crx, 2alcx+ aa= azf(x c), + tl) crx,_ 2arcx+ aa: ar[x, 2cx+ c, + yr]r+crx, aa+r+ â4 = arxz_bkr+ a2a2 a2y11Cxz_ a2x2 a2y2: a2a2 a4:- + -:+ (c, - ar)x,- aryz: ar{c, a1 cr:ar+br=cr,âr=b, (c? Substituindo - a?) equação na anterior, - : temosb11 a1yz azb1. Como *0,vem: ab br à-y abl ,l , ;b r ;b r-a ,b- - J- br - iem quea: oAr : oÁ2, oFr = oF, e bé talque b2:.2 a2. c: Essa equoção íórmulaé denominadã da quandoosfocosestáosobreo eixox e sãoeqüidis rcduzida hipéóole,tãntesda origem. Vejaagora: A rccÍprocâ veÌdadeira: é Casoosfocosestejâm reduzida hipérbole sobíeo eixoy, a equação dâ será: ÌEpÌEsent hipérbolet m satlsfâ?em êquação, esla podemos Anâlogâmente, generalìzaressaequaçáopaÍâ um centfoqualquer, Considerãndo (reâle o cenÍo da hipérboleO(xdyo)eoseixos imaginário)paraleÌos aoseixosxey,temos:1-)Eixoreaiparalelo eixoxl ao 2-)Eixorealparalelo eìxoy: ao
  19. 19. 18. Detennine equação hipérbole íocos urna da de Fr[b,0) Como focos os estão ye sobre eixo O[0,0),venì] o e F2f 0)ederérlie34,(3.01eA,í -5 3.01. Rè9oluçãor ãb97 Pelos dados proberna, do t€Ínos Logo,J-rê poLaçào lperooe e - d" - 0., a:3 7y, 9x2= 63. c, =a, + br325 = 9 + br=b, = 16 CoÍno focos os estão sobre exox, vem o 21. Uma pérbo tern h e locos pontos nos Fr(3,0) e ,_ j_= t 3_ -= t+ F,[-3,0] e passâ ponto peo Ph6,2) r + l6x ?- gy ? 1 4 4 : qualéa eqLragão h pérboe? dessa Logo. a eo -a ç ã o é h o á o o e é + ur o " ^ - o- _ l6x z gy z 1 4 4 =19. Deteffnine um€equação hipétuote da defocosFr[6 0] e F.[-6 0l e de e^centÍic dade oua a9 ? Rêsolução: Resolução: CoÍÍoos focosestãosobÍeo exo x e o cerruo eÍrì (0,01, ternos: :- l= = t Como hipérbote a passa ponto pelo p[16,2), vern: Peos dados prcblema, do temos: c=ô r-Ãr, " -, -l :1= ì3 4 _:= r fò 3 c 3 2c 2.6 a b| a b, e:-:+-=-=a=-=-=4 2a2 = C ornoc, a, + b, ec : 3,obternos: c?= a, + br336 = t6 + br+br: 20 9 = s + b r= a r= g b , (D Cqmo focos os estãosobre eixo O[0,0),vem o xe (D O, Substtuindoem temos: :. J--t-." Y- -trrÀ. /v/-80 a b t6 20 I oqo,Ln; eq-a(ão hioéooh e I -- l -5b) 36 1/o-goi -o- da 162A - I - .u - 5x?-4y?=80. +h+ú+A!í-9{ 26=o=è2O.Um€ hpérbole tocosnos pontos têm F,[0,4) e +b4-36=0+b{=36.+br:6 Ír[0, -4]. O segrnento Ã8, châÍÌìado trarìsver eixo [4âs sâl[o! real),tem coÍnpdmefto Det€rm]ne eqra 6. urna çãodessa hipéúole. az=9-br=9-6=3 Rôsolução: SubsÌitu €sse ndo valofnaequação feduzidâ hipéf. da Pelos dâdos pÍoberna, do temos bole, vern: 2â:6.+a=3, x: vz -.e -,-21 -r1 _a r > compírmeito êlxonansvêGô dÒ ; tr-,=: C:â,+b,+16=9+ br= Logo,a equação hipéÈole dâ é: -1- = 1 ou 2x2 y2:6. - 22, Determ o centro, locos osvértices h percoe ne os e da de equação - y, + t8x + 8y + 38 0. 3x, -
  20. 20. opílulol . Gúmel mãlítka:s.iôes ô (ônicaj 89 Resolução: Resolução: TÉnsíoÍmando nlciâlmente tenìos: a equação, gxz l6v: = 144+ ::_ - lil = lll + 3x, y, + l8x + 8y+ 38 = 0.ì 144 144 144 x2 = 3[xz+ 6x] - 6/z 8yl = -38 + - t6 I =3[x,+ôx+9]- [jl-8y+ ]6)= -38 + 27- 16+ Aeqmção ndic€qlreosíocosestãosobreo eixox com =3[x+3)?-]0-4)z:-27+ centrot0. 01,daí: + ][y 4)z- 3[x+ 3]z=27+ a := 16= a = 4 ty al [i + 3]? cr= ar+ br-t6+ 9= 25âc= 5 279 Daequação obtida, vern: c5 t a4 centro:o[ 3,4) Logo,Fj(5, 0l e F,[ 5, 0], 4[4, 0] e A,[-4, 0] e a ex- a=27=a=Eì:3E .5 b z = e + b = Jt=3 c, = a, + b, = 27 + I = 36.+ c = 6 25, DeteÍnineaequação hipéÍboe ceftro[3,5],com ds de umdosvéftcesem[], 5l e umdosíocos [- 1,5). eÍn Resolução: pelosdados prcblenla, exo rcalda h pérbo é do o e para o aoexoÍ clja equaçãodaÍorma: e é tx - x.l, ty y"l, Logo, hpérboe centro a tem O(-3,4), vénices dr i= i - :.. :"6ìeí 3.c 3"6ìeroLos, 3.ror . Fazendo esboço hpérboe, Lrm dâ ternos: t-3, - 21. 23. Emurna hipérboe centro de O[5,5],a disúncaíocalé 2c=6eoeixofea2a= 2 é paÊeloaoe xox. Delef- rnine equação a dessahipérbole. Resoluçãor Doenunciado,vern: CenlrciO[5, 5] a=3-1-2 2a=2=a=1 c:3-[ ]l=4 br=cr_a2=3r_tr=8 b,:c, ar=16_4:12 Seo eixo é paralelo €ixo a equação dotlpo: reaì ao x, é Slbsütuìndo d€dos fóÍnúla, os na obteÍnos: (x ly - y,) ir x,), (y y"l, ^"1 =- t r ,. ooo, eouacão a e " t ) - 1 t^ 3Ì [y s] t8 412 gx? I6yz 144 Deter- = prccurcda Logo,equ€ção a é 24" Umah páboe ternequ€ção nìne as cooÍd€nadas íocos, cooÍdenâdâs dos as dos (x 3l (v - sl vértjces a excentdcdade h péÍbo e da e 4W =
  21. 21. pÍopostos [xer(kios ] Deteffnine equação hipéúole,dados: a da :lÍ.J.NuÍnahpérboe gud deexcenÍicidade â a6, osveftrces al os locosF1 0] e F,(- 8 0l e os véd cesA, [5, 0] e [8, sãoos pontos 0] e Ar(-2, 01.Deteffnine coor as 4[2, 4i 5,ol oenadês seus de focos. bl osvátces 4(3, 0) e A,[ 3, 0] e a d stánciâ entr€ osíocos iguàla 8;. :;S Considercnrosa hipéfbole eqlação4y, - x, = 16. de cl osvéllcesAt[3, 0) e 4[ 3, 0] e a excentricidâde qualé€ equação urna de cifcunfeÉnca centro cujo coin Quata2 cde corn centrc hpérboee qlr€passa o dâ pelos focos dâ hipéÍbo e? Determ ascoordenadas focos, coofdenadas ne dos âs dosvértices excentctdêd€ hipéúolesdaseqLra::I Calcua exc€nÍic e = 9. esboce codemda ea das e dade o oráf t çÕes ãa a) 4x - 25y= 100 urna hipérboles das e reacone vaÌof e com Íes o de a pectiva Ígura: hì: l =l -t6 25 aJ -r=r cl:-l=lf cr:x:-ayz 36 = r t3l neaequação hipéfboleque peopon- da passa D€t€mì t5 P(qr,ã, e tem ós focosnos ponros sl F1[5.0) e "Jo DFle-Íriì- d equdç o ad hp. oop cLjo. rocos sao F,t 5,01. Frt3,6l €F,t3, 6l eoexo magi náfoé2b 6= Cacu o compriÍìento s€gmento los pontos e do 4,4 Quele a o,sl a ìcéocdl hoeooe c a eqra áo e AÍ e A, sãoüs védceslnumahlpéúole equaçao de " 4x ? 251 32x - t00y 136= 0? 4x-25y1=100. :3,0 centro urna de hÌpérboe o ponto[4, -3), seuexo é ,ocLle êlo demodda "êhto-oo"d-eq-aç;o o rcâlé 2a = 6 e o etxoirnagnárlo 2b = 4. Deternìine é â p(í]5, equação dessa hipérboÌeseus € focos e F2,sab€ndo Fr , " + = l passep€oponro 41. que _ârnda iF, ó pãÍâielo eixo ao x.Assíntotasda hipérbole Vamos consideraía hipérbole". l. . de cenLro origem eixoreàlhorizontà|. na e b y lsolando nessâ equação, obtemosì , y) x h À- - t-y =:rx - à:)ry=-"Jxr-à- D- A_ Vamosobservar agorao termo x, - a2que estána raizquadrada. --, poisé um valorfixonâ Nelê, é constante, ahipérbolê,masx é variável, seja, ou paracadaponto peatencente hipérbole, a xassumirá valorrealdiferente, um Então,vamosimaginârxassumindo valoresmuito aíastados centroda hipérbole. do Essesvalorescorrespon-deriamã pontosdascuívâs maise maisdistantes A. e 4.. de que À medida x assume valores cada mdiores ver rno;entido posirìvo eiro dasabscisiasl cadavezme- do ounores(no sentidonegativo), diferença a x, a?vaise aproximando cadavez maisdo própriox2,já quê â2,sendo quasedesprezívelconstante,fica pertodexr. Porexemplo, â = l, teremos: se 2 4 3 20 400 399 2 000 4000000 3 999999e assimpordiante. podemos Então, que,paravalores consideraí muitograndes, muito pequenos xfor negativo, quadra_ ou (se aodo ficdposkivoeà diferença mesmd),a b b eè equaçáo hipérbole -. dà y ,,,ç J ,.uproxima dey - - Vx, e, hportânto, y: Aax que sãoretas de qu€ passampelaorigeme têm,respectivamente, declividades:q e lq.
  22. 22. (apílülol. G-Àomêtíiianàlitkã:se.!óesónicõ A essasÍetâsdâmoso nomêdê asJírfotatque sãoas retasparaâsquaistendea curva,emboÍanuncaasto-quem (poiso pêquenoâ2sempreestârá presente). Nográfico podemos de5sa ipérbole, h facilmentedeterminâpontosdessa r reta,constÍu indoo rêtâ ulo IM PQ ng Nque passapelospontosAl42 91e Br: observequeasdiagonais desse I retángulo retasde declividades são e 9, respectiuamente. Deagoraem diante, paratraçarmosográfìcodeumatiperfotepoaenios ndo asassíntota(bâs- coïeçar trãça sta ter os valores a, b e as coordenadas centro)e depois, mão livre,conduziÍmos duascuruas de do à as que coÍn-põema hipérbole, semchegaratocaressas retas, as masaproximando cadavezmâisdelas. Generalizando, equaçoes assrntotas as das seráo: h y - yc = r:(x - xc) Geoeixorealfor horizontal) ".1 . - xc) (seo eixoreaI for vertical) 26. De.err a. eo açdes p-r asïnrorês h oeroo deeor,aÇao re oas da e - 0,5 Resolução: Daequação,vem ots,zl fcentro ]a=64=a=8 b=36+b=ô Lexo horzontal Íea Equações assíntòks: das 4y- 8 = 3x - I 5 + 3x - 4y- 7 = 0 A / v ,=+-:fr 5ì -8 - .y r- ,,. b-3r r4 )-z i-o as das assíntotas 3x - 4y - 7 = 0 € 3x + 4y - 23 = 0. Logo, equações retas são

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