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169Variável    Umaindústria automobilística pretende                               que          lançâÍum novo modelode caí...
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Gpítulo6 fJhlisrie                                                                                                        ...
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Càpíulo6       tsÌàrúÌka                                                                                  181/:-a;------- ...
182                                                                                       . conlexro&Aouoóes              ...
.QDítulo6 EÍalísÌka                                                                                183 26. ConsidefenúÍner...
184                                                                                               ,                       ...
185       propostos Exercícios  ]    Detemine ívlA, N,4oa Me a partfdastabeas             a     a   e                   de...
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  1. 1. t oletard.ados umprocedimento é fun- queseudesenvolvímento oconea devíd,o ne- a damentalemqualquer áreadei teres- cessíd.ade goveftMntesde anhecerem dos seda nossa víd,a, Fazêmos tt todn ísso aomoosrecursos bens e estalctm d,ístribaíd,os momento. Bq6ta.querermos qdqui r um beflt pela populaçãoe d.oqaedíspunhao Estutdo. quelá vartosnós pesquísarpreços qualida, e Até osdias d.ehojesã.o anheciàassuasaplí- de.Para conhecerperfl dosalunosdedeter- o cações fel6úo aos assantos em públícos,O mínatla escola, elaboramos questionáno um censo, eaemplo, por acontece peúod,icamente e saímosà cdletuí respostqs depok de .le e, eÍomeceelemektos ímportantes para o pla- cumprídaessa etapa. pod,emos sofuticarnos- ,tejamento país,De orígem do latín6, 6 pttla- sa pesqui.sa, analísandoa concmtraúo de vra ceÍso sígnirt.abonjuntodosdad,os esta- respostnsfavoráveis a ce1Íos ibitos ougostos, l tístícos ha.bítafites uma cídade, dos de utado eassímíazemos, prática,wna ânáJ$e na esta- ou naúo: O maísarrtígo queseternnotícía de t3üca.Os noi.iario. no<Ìníormam diaia- é o da China- diz-se em 2238 que a.C.o im- mente d.adosnuuérícos reprcsefitados em perador Yaomand.ou realízar um censo d,a grcífrcosabelas,formasJàceí: comunica- e de população daslavowascultívad,as. vol- e Por çàopor sercm direlas,esquemàlicas, própria.s ta de400a.C,,osromafios jáfa.zíamregular- da.linguagem matemlitica. Por ísso é coq- da menteum levantamento populagio e d.o d,a sideratlaum ramoda Matenkitíêaaplicada grau depobreza, como objetívo estabelecer de A palavra estatjstica jasta.nen- sígfitflca, tatqs deímpostos. prímeírocenso Brasil O no te.hnàlise dados. de Como ciència,.urgiu mi. íoi realízadoem 1872e, desde1936, quando Ìêníos a.ntes Crísto,se do, no ínícín,um6 de íoi criado IBGE(ln.titutoBqjleírcde Geo- o simplescompilaçao números. de Acredíta-se gwfra. Esta.tística), e aíontece cad.a. ano8 a d.ez totuando-se opevçào estatíslica a mais im- portante 1 paraadelerminaçào petfl socio- do demogni,fco país, dand.o do subsídías para a180160140 120 100 80 40 0
  2. 2. I. Segundo de para dados 2003, r€duzÌr consumo agÍotóxico, o de alguns pâíses Europa dâ cobÍam produtores dos desse mãterlalanálísed.ed.ísúíbuição tecursos de do Lrrna sobÍe vendas lzadês. gráfÌco taxa as Tea O segt] mostra nteFundodePaftícípação Munícípíos, dos essa eÍntÍêspaíses taxa Pafte aÍrecadação da para é destlnada â O gáf,co d,6pttginít ao lado, ertraído fìscalizaçãoe direclonada a pesquisã, o objetvo paneé paía comdo síteofcíal do IBGE,mostraa.popu- de promovertécn deplantio. casalternêtlvas la,çAo BMíL, em milhõesde habi- do tantes,nosúltímü censos, Í Apesarde asprímeims noções e8- tatísticasteremaparccídomaíto tem-po.t rtes Cfisto, somelúe sécu- de íoí no lo XVIII que o temo "esta.tktíca" se instituíu, por sugestão alemã.o do Gott-íried Achenwall (1719-1772), jurbta e hístofiadoti que atfibuíu à Estatísti.a um cará,tercientíf,co,consíderandoa tr RernoUn E Dinama.âE NoÍuêsã do "um conjuntodeelementos socíoecorlô- mícosepol[ticosnosqua.is asse ta o se a)Quadesses pâíses cobrarÍìaloÍtaxa asvendas agro_ sobre de Estado", tóxÌco seLrs de prodLrtores? b)Estabeleça reâçãoenÍea unìa corrTada maioT a menorÌaxa e No século XIX destacaseKarl poresses pakes. Pearson (1857- 1936)fundador doprí c) Seem senìestÍe pÍodLrÌoÍdanamarcavende to- um um D Lrra meíro departa.mento aniversítáriode- ta de l2500euÍosdasuapíoduçâo a9 quanto de rotóxicg ele dícadoà Estatktíca aplicada, tona - deve paqaraogoverno nessepeÍíodo? do-a uma disciplínacíentíf,ca indepen- d.ente,integrandoa com várias árcas 2. Vela que o professor N,,ìater.áÌica o de afìrmou respeto a das nìédiasdo 2s bimesÍeobtidas seus unosdo 3e B:No por a do conhecímento. especiaL Com interes- 29b mestÍe, todosos meus unosda 39 séÍieB,3 fÌcaram de a se,10estud,o da "bioestatktíca: contrí- comnìédia enquanto fcaram 5,5, 12 conìó,0;poÍ ado,6 ouÍo baíu, ho campo da Psicología, com a obtveÍarnmédia ouÍos9,média e os6Íestantesticaram 7,0, 8,5, pesquísa estat[stictt da evolução do comÍnéda 9,5i comportamento hurttano. a)Arr!meosdados decârâdos poresseprofessoÍnurÍìa tabea. Por fornecer dados que embasam b)Responda: ntos unos Quâ â havla 3q5érle na B? c) Nunìafolha papequâdrÌcuado,façaumgráícodebaÍat de tod,o depesqaíslr, uma dísciplína típo é plnteumaquâdÍícLra cada alunos considere o para 3 e que prcsente quase em todososcarsos supe- elxohoÍlzontal as e (y) (x) repÍesenta notas o elxovertical o riores.Nestecapítulo damoscontíïlui- oe nLrmero aLunoS. dadeao estudoda Estútktica que você já deveter iniciado em séries6.hterio- res,aprofundando-nos poucomais um ao abordarmos problemnsque envol- vemconceítos temos maísespecíficos. e Apesordaíreqüênciacomqaeaparece no nosso díaa-d,ía.uma vezquegráfi- cose tabelqs povoamjorna.ise revísta.s, 1 a.Estat^tíca pode noslevar a detalhes bastante soflstícados,que envolvem maior conhecimento técriíêo. Y+ JV a
  3. 3. 1 O usoda pesquisa bastantecomum várìas é nas ãtividades humanas. Exemplosa le) As indústrias costuma realízâr m pesq uisas entreos consumidorês antêsdo lânçamentode novo produtono um 29) As pesquisaseleitora fornecem is elementos paraque os candjdatôs dirêcionem câmpanha, a 39) A pesquisa desempenho atletas, dasequipesêm uma partidâr em um campeonato do dos ou ou interfereno planejâmento treinamentos, dos 4e) Emissoras tevêutilizam de pesquisâs mostram preferêncìa espedadores organizar programação. que a dos pân suâ r A realização uma pesquìsa de envolvemuitasetapas, como a êscolhâ amostra, coletãê org;nização da a dos dados(iníormâções),resumo o desses dados(emtabelas, ráficos, g etc,)ê a interpretação resuEados, dos A parteda Matemáticâ tratadessês que assuntos a EJÍdtÁficd, é Nêste capítulo,vamosestudar noçõês Esta- de tística, comoâ construção ã interpretação 9ráfìcos e de comoos que seguem: Intenção de voto por escolaridadedo eleitor [em0,6] An.lfãb€to!tun.i.nrii:zr$ Fundam.ntàt(.mpt.to:11cb 4r W 32 4> J,, Ábr Mâió Jun, lut. -.àndidatoB Termos uma pesquisa de estatística População amostra e 5e quisermos por saber, exemplo, qual a matérìaíavoritãentreos alunosde uma classe, pooemosconsuEar todo5osalunosda classe. No entanto,issonão é possível quândoqueremos pesquisarsobrea intenção voto doseleitoÍes estado de do de são Pãulo, poisnáopodemos consultar que todosos eleitores constituem populoçâo o unìverso a ou esíatístico, Recorremos, então,ao que se chamãde dmostld, sejã,um grupo de elêitores ou que,consultados, permitem quê5echegue resultado ao maispróximopossívelda realidâde. Écomumaparecer publicação pesquisas na das quantos eleitoresforam pois con5ultados, a escolhadâ amostra (quantosequaiseleitores)éfundamental paraoresuttado. Chamandode o universo U estatístico  umaãmostra, ede temos: ACU lndivíduo ou objeto Câdaelementoque compõea amostra um indlyíduo objefo. exemploda intenção voto, os indivi é ou No de duosdapesquisasáopessoas.Quandoseconsideramalgumasmârcasdelámpadaparatestarâdurabilidade marcâ um objetoda pesquisa, ét a
  4. 4. 169Variável Umaindústria automobilística pretende que lançâÍum novo modelode caíÍoíazuma pesquisa parasondarapreferênciâ consumidores dos sobÍetipo de combustívêI,númerode poÊas,potêncìa motor,preço,cot tama- donho,etc.Câdãumadessas é umavdri{ível pesquisa. característicâs dâ NavaÍiáveltipode combustível", escolha ã pode ser,porexemplo, entreálcoolegãsolinâ. que Dizemos essessâovalores realizacóes variável"tipo combustível". ou da de qualitativaVariável que Emumapesquisâ envolve poÍ pessoãs, exemplo, asvariáveis podemsersexo, de cabelo, consideradas coresportefavoritoe grâude instrução, Nessecâsodizemos que asvâriáveis qualitotìvas, dpresenta c9r4q sâo pois m tpo$fueiçvalorerllma qualiCadelouattib!t9).-dog pgsquisados. ìndìvíduqs Alémdisso, dizemosque ãsvariáveis podemserorditdls, uandoexÌste qualitatìvas q umaordemnosseusvalores, nomina6, ou quando nãoo(oíe, issoExêmplol "Esportefàvorito"é uma"crau de instru!ãoé uma vaìovetquolilo vaoídinolja que seusvàloÍesÈodemser wiável qulitalva nÕninàLordenadorífundàmental, médio.5uperior. etc.ì. justifique. quaìrtitativaVaÍiável Quandoasvariáveh uma pesquisa poíexemplo, de 5áo, peso,idadeem anose númeÍodeirmãos,dize- alturâ,mosque elassãoqúldrtitaÍivos, seu5possíveis pois valores númêros, são quantìtâtivas As variáveis quando5etrãtade contagem podemserdlscretds, {números inteiros), continuas, ouquandosetratade medida(números reais).Exemplos:1e) "Número irmáos" umava ávelquantitotivo de é poispodemos dÀcletd, contar(0,1,2,etc.).2e) Altuft é umava ávelquontitotìvo umavezque pode sermedida{1,55 1,80m, 1,73m, etc.) contínua, m, Quãdro resumodostiposde vàriáveldeuma pesquisd: Inomrnal Iqualitativa L. I lorornàl I A idad." anos €m exàtos Variável{ I | | dìscreta discrera 10, etc.l. Lquantitativa l t8, 17, Iconunuà pÍoposto Exercício 1, UmaconcessionáÍia autoÍnóveis cadastEdos de tern â) Qualéo unverco e qualéa arnostra estÊtístico dessa 3500clientesfezuma e pesquisa a prêieÍêrìcia sobr€ de compra reaçao "cóf {bmnco, em a v€Fnellìo ê4rD ou b)Qlaissãoasvâráve e qìraé o t po de cada s uma? pf€ço, "número pofiasi de lduas quatfoj esÌêdo ou e c) Quasos possíveis vaoÍesda vafável cor nessa de conseft€ção [novoo! usad!].FoÉmconsultâdos 21 c ientes. anÌe 0 D iníofinações, dessas rcsponda:.Freqüênciaabsolutae Íreqiiênciarelativa Suponha entreum grupo cletunstas, que participântes umaexcursão,tenha de sidofeitâuma pesquisa sobrea nacionalidade cadaum e de que o resultadodelatenha sidoo seguinte:Pedro:brasileiro; Âna:brasileirâ;Ramón: espanhol; Laura:espanhola;Cláudia: Sérgio: brasileira; Râúl: bràsileiro; argentìno;Néìson: brasileira; blo:espan brasileiro;ílviã: S Pa hol. ,
  5. 5. 170 . (ontexto MàÌemátka &Aptiaçôêr O númerodevezes que um valorda variávelécitadorepresenta freqüénard a obsolutd daquele valor. Nesse exemplo, variável "nacionalidâde" ã freqüência a é e absoluta cadâum de seusvaloíesé: brasileira, de 6;espanholâ,e argentjna, 3; 1. Existe tambéma ffeqüéncd que relativo, rcgis.Úaaírcqüêncìaabsolutâ relação totâl de citações. êm ao Nesseexemplo,temos: . fíeqüência brasÌleira:6 to ou A relativa nacionalidade da em ou I ou 0,6ou eo%; . freqüência espanhola:3 10 ou a Íelativa nacionalidâde da em ou 0,3ou 3O%; pode A feqiiência r€ÌatiYa ser expressà lmção, em . freqüência dâ argentìna: em 1O 1 relativâ nacionalidade I ou ou 0,1ou tOoÁ. r Podemos associârafreqüência relativa um eventoà probabilidade que eleocorra. o númerototaldê de de Se citaçóes r suÍiciêntêmenterande,aíreqüêncià fo g relativa estabilizâ torno de um númeroque expÍes5a pro- se em a babilìdade ocorrência de desseevento. ïabelade íreqúências A tabelâquê mostraa variável suasÍealizaçóes e (valores), asfreqüências com absoluta(FAJ íetârivâ e (FR), é .hamadade tobeladefreqüências. Assim,usandoomesmo exemplo, temos: !liqe@!d!CL FR 6 60% 30% lOYD t0 t00% i ExeÍcí(ior oÍoDosto, I ..---I .- 2.llÍngrupo a unos cons! sobfe de íoi tado otrnepa!stâdesla pr€íefênc osvotos ae íorarn fegÌstÉdos assm: Santos Patme !; Cortnth f f_] São o Z. Construa [; ras ans Pâr.r a tab€ta ífeqüéncas de correspondente a essapesquisa L fabelas Íreqüências variáveis cJe das quantitâtivas que Jásâbemos a variávelquantitativa seuspossíveh tem vâlores por indicados números.Veremos agoraque, na elaboração suas de tabelâs podemos defreqüências, depararcom duâssituaçôes. Paraisso, vamostomar comoexemploum grupo de alunosdos quaisíoram Íegistrados ìdade(em anos), a o "peso"(emquilogramad a altura(emmetÍos). e Albeno: ã,49,0 e 1,73 14 kg m; JoséLuís:14a,49,0kg e 1,74m; Alexandre: a,46,5kg e 1,66m; 14 Lúcio: a,46,5 e 1,65 14 k9 m; Carlos: à,53,0 e 1,78 16 kg m; Íúarcos:15a,48,0 e 1,63 kg m; Cláudio: a,50,0 ê 1,75 15 kg m; Í,4ário:14 â,48,5kg e 1,69mi Eduardo:14a,51,0à 1,68 kg m; MauÍcio: a,50,0 e 1,70 16 kg m; Flávio: a,49,0 e 1,70 15 kg m; Mílton: 14a,52,0 e 1,75 kg m, GeÍaldo:14a,440kg e 1,62 m; Renato: a,46,0 e 1,72 l4 k9 m; Gilberto: â,51,0 e 1,76 15 kg m; Roberto: a,47,0kg e 1,69m; 15 Hélio: â,48,3 e 1,68 14 kg m; Sâul: a,51,0 e 1,73 l4 k9 m; José Cârlos:16 a,52,0 e 1,79 kg m; sérgio:14 a,49,0kg e 1,66m.I a
  6. 6. 171PrimeiÌasituação: "idade", Ao elaborar tâbelade freqüências variável ã da quê comopossíveis notamos âpârecem valores anos, 1415anos 16anos; e ldâde(ânot Contâgêm FR(fração) FR(%) 12 ,3 14 ZZI 12 205 ì5 z 51 204 16S€9undasituaçáo: "âltura"aparecem Pàraa variável muitosvaloresdiferentes, que toÍna inviável o colocarna tabelãuma Ìinhaparacadavalor,Emcasos comoesse,agrupamos em (ou os valores ìntêrvalos classês), comoveíemos sêguir: a19)Câlculamosa diferençaentre maior a menorâltura a e registrada, obtendo amplìtudetotâl a ll,79n- 1,62m= 0,17 m).2e) Escoìhemos númerode intervalos o (geralm€ntesuperiora quatro),consideramos númeroconveniente um (um poucoacima amplitude da total)e determinamosaamplitude cadaintervãlo de (clâsse) pâra Noexemplo, fazemos 6 intervalos, 0,18m r6 = 0,03m.3e) Elaboramostâbeladefreqúências: ã FR(d€cimal) I ,65f- 1,64ín 1 ,ó 8 r- 1 ,7 1 m 1 ,7 7 t 1 ,8 0 mobseÍvâçóes:13) Asclâssês (intervalos) m obtÌdas, partirde 1,62m, fazendo adição 0,03 fora a a de (1,62+ 0,03: 1,65; 1,65+ 0,03= 1,ó8; assim clÍante). e por2c) Osímbolof ìndica íechado e5q intervãlo à ueídae abertoà dìreita. aaltura1,68 nãofoi registracla Assim, m emì,65f- 1,68 masno interuâlo m, 1,68f-l,71 m,-- ,. " . pr0p0st0| Èxerocro - "".. - pesqulsâ i{" Usando dâdos rnesma os da lpágìna eâbofea tabeade freqüéncas vafáve peso coÍnseLrs anteror], da]-..-- -:9 1 1 i 1 l! " 9" t : l: *: " " . . ,
  7. 7. Vamos agoraíetomarostermosde Estâtística vistosatéaquì,pormeioda seguintesituaçào: Emumaescolâ com 5classes 1esériedo ensino de médio,cadâumacom45alunos, foìfeitaumapesquisa paratraçaroperfildâ l4 série.Paratanto,forâmselecionadosalunosdecadaclasse, responderam um questÍoná- 5 que ario,a partirdo qualfoi elaboradâ seguinte a tabeta: ldâde cor dê (ks) le!g! .i!!!91 3ó 417 166 4a I 39 !a2T. 165 66 I 36 ta!m 17-5 63 castanho pãtinêçào 19.. r 19I !, 1 6 5 5 7 2 3!. !!!!r 64502 q4ç9 36 Domingos lú ." ---.. !!it" 16q ó0 1-r5 6 5 e!p94ç l8 1 34 Geraldo M 15a 1l m 146 0 34 José M 14atom I 38 38 Laurâ F 14âom 2 castânho di!!L 38 F 14a8m ? câíanho música 42 ]1, 4èí io À , 1 ì 5 à 4 m 165 3 rr,r"r. Àl Tr+"ìr. 163 l5 â 2 m 61 OrlarOo rrl 14a8m 94 l5alm rs8 1l 36 -.-93!çl 14 a l 1 ín 163 53 qe!ça 36 38 Renar a F 1 4 ã 3 ín 162 É!çq 3ó 38 R ober t o lv l l4 a 2 m 167 38 q?!çL 40 35 152 41 ç$!3!!9 i r!!i!a 34 A partìrdatâbeladada,podemos âfiÍmar:1e) O universo estatGtico constituído é de225 alunos.2e) A amostra dessapesquisa constituída 25 aluno5. é de3-Ô) qua "Cordecabelo"éumâvariável litatìva nominal.4s) "Número irmãos" umavariável de é quantitativa discreta.5e) "Desempenho Matemática"é em umavaíiávelqualitativa ordinal.6e) "AltuÍa"é umava.iável uantÌtativa q contínua.7") Ddnçaé um vdloÍda varlavelhobby, Íreqüèncta cuja àbsolurà 7 e cujàlreqüèncià tivae e íela ^1ou0,28ou28%.8e) Atabelâ defreqüências vâriável"número iímãoíéa s€guinte: da de - lq!elo qqr!39! 111 a
  8. 8. 1739-) A tabelade frêqüênciâsda (em vâríável"peso" quilograma), os valores classes: com em Amplitude total:66 38 - 28 Númerode intervalos:5 Amplitude = relatÌva:30:5 6 50r-- s6 i propostos Exer<ícios PaÍa exercÍcios5 e ô !t izeo quadÍo págna os 4, da FoiÍeito levantam€nto sâlários o dos dosfuncionáfosde antefot. uÍnaernprcsa em seguda, eêboÉda ïabela €, fo a de íteqüêncìas, osvaoÍes variávelern com da classes. Corn- do quais quaitatvasno- al Dasvêfáveis quadrc são bl quas sãoosvâorcsdavafiáve sexo ? cl Quaé a ffeqüência Lrtâ valof davaráv€ abso do 38 ìdnêq il " leqJr.la elal,vael raç:o de cma € poÍcentâgeml? dl Quaé o valor vafável da "corde cab€ , cuja o lÍ€ l5 qÜéncìâ atvaé 720,t? re 30 . ElâboÍetabeade frcqüéncas va áve"d€sernp€ a da nhoemMatemática". . . Construaa tabela ÍfeqÜêncas varáveâltuÉlern de da (c 960r- t050 centÍrnetrosl, osvaorcseÍì 6 nteÍvalos asses) com a é de pesqu sobrc A iabela seguif rcs!tânte urna sa os gêrìefos mLrscas rnaìsv€ndidos !rna ojadeCDs em dq€nte!m diâ.Cornp€te espãços. os NâCopa lvlundo do daÁlemanha [2006], B|asldisputou o oss€gu ntesjogos:Bras1 x 0Àrstrála; lx 0Crorica;Brasl2 FA FR FR FR Bms4xlJâpão;BÉsl3x0Gana;Brasi I FËnça. 0x ..../. ;:;.:.7 íoq ïesulia al Construatabela frcqúêncas varável a de da I,4P8 tt t ....t;["j /,... 6 25 dos, consÌderando valoÍes viÌórias, empa tese asderÍotas. como as os bl Eabor€ tabela írcqüêncas varáv€lgos rnaÍ a de da ,,/./ 50 ,/ :r17 cados partida", por 3gose5gols. lsandocomovaorcs gol,2Oos Iffi&rtesergssectrles g A íepÍesentaçãoráíica forneceumavisãode conjuntomais A dri anoxxxxxxxrápidâque ã obseÍvação diretàdos dadosnumérìcos. isso, Por os Leti ci a xxxxxxxmeiosde comunicãção comíreqúêncìa es- oferecem informãção atatística meiode gráficos. por MaÍi no xxxxxx Consideremos situação que,na votaçâopararepre- uma emsentante evicê{epresentânteda sériedo ensinomédio, alu- 1a umnoanotaosvotoscom umxao ladodo nomedo candidato, enquantoseus colegasvotam.Aoterminar votaçáo, âpodemos observar "desenho"ao o lado,t
  9. 9. 174 . Conterto Màtemáka &ÂDlkacôer Não precisamos contaros votos parâsabêÍquem foi eleito.Pelosxis",notamosque AdrianoÍoi o escolhidopaíârepresentanteeLucjana paravice, Com uma simples olhâda, obtemosa informação que necessitamos, é uma característjca de Essâ importantedosgráfìcos estatísticos,Gráficode segmentos Atabelaque seguemostraa vendade livÍosem umalivraria segundo no semestÍe dêdeterminado ano. i A situaçãodo exemploestabelece uma coíespon-dênciaque podeserexpressa paíesordenados por úulho, (agosto,3O0),etc.350), Usândoe;xosèartesianos, localiza-mosos seispâresordenados construímos gráfìco e um desegmentos, Os gráficosde segmentossão utilizadospÍincipal-menteparamostÍara evolução freqüências vãlo das dosresde umavariáveldurante certoperíodo. um sd. Out, Noú Oez A posição cadasegmento de índìcacrescimento, decréscimo êstabilidade. a inclinâçáo segmento ou Já do si-nalirà inienrdade a docrescimento dodecÍe,(imo. ou Pelográficoanterior, vemosque:. dejulho paraagostoâsvendas caíram; O gráfìco segmento! de. de setèmbro parãoutubroasvendas permaneceÍamestáveis; sráfìco linhas. de. o crescimento agostoparasetembro mâior que ode outubroparanovembro; de foi. o mêscom rnaiornúmerode vendas dezêm foì bro;. no mêsde oulubro foíamvendidos livÍos. 400 O qu€ìndica saldo o daExêmplos:r-r Crescimento populàçáobrasil€irad€ l94Oa 2O0O da 2q) satao latança da comêrdâl brâsllêirâ 2006 êm En US$nithó6 E I a
  10. 10. . (àGpÍtulo6 EstàÌút 175 ; ;.- pÍ0p0sr0s Èxercrcros - , ,l . Ut izeo Sáí co d€segnìentos exernplo (venda livrosl págnaanref e fesponda: do dado de na or a) Eín peÍodos segundo qle do sefiestrc asvendas Ém? sub bl EÍnqua destes meses vendâs dos as forâÍìr mâiorcs:ju ou outubrc? iro que cl ËÍn Ínês sem€strc do asvendasfoÉrìr menoÍes? que O Em Ínêsíoram dos450livÍos? vend Umallnoaprcsentou du|ante €no etvoo seguinte o aproveLtamento PÍirneirc bimestre: 7;segundo m€stre: 6; nota b nota terceÍobimesÍe:nota birnestre: 8. Construa gúÍco desegÍn€ntos 8;€ quarto nota urn coffespondenÌe stuação a ess6 e, a parlfdeletrc alg|Jmas Lrsôes conc : An6lise gÉfcosda introdução capilu Cpágina os do o I681efesponda: i Intençãodê voto poÍ *colaridade do eleitor (emooì Anàrab€tos ftin.lonak25% 4 v ÍF AbÍ, Maio lun. quâlocandidato â) Eml!nho, preferido oseeiÌores ensino entfe corn íundamenta completo? bl Em I,qual poÍcentagerncand abÍ â do dato entr€ e etorcsde níves! peÍoÍ? A os cl Emquemés porcenkgem quenãosab€Ín q!€rnvotar a dos ern atngiuI60,tentre anafabetos? osGráÍicode barras A panir do "desempenho Química" em demonstrado pelos DesemDenho Químicâ em FRalunos umaclasse, de um professor elâborou seguinte a tabela: 6 t5% t0 25% 35% t0 25% 40 100% Comos dàdosda tàbelaé possivel construir 9íáÍicode ba[as: o O gráficodebanas poderia rcÌacionado ter a
  11. 11. Qpílulo6 . tstàtííiG 177 GráÍicode setores Emumrl,oppng center trêssalas há decinemâ, númeÍode espectadores cadaumâdelasnum determi eo em nado dasemanô dia foide300nasala 200nâ B ê 500na C. A, Veja essa situação representâdâ umatabeladefreqüências depoisem gÍáficos setores: êm e de Sala FA fR 300 3 300 30% 1000 10 21 B 200 20% t0 5 5l i c 500 to 50% 2 Emcadagráfìcodesetores círculotodoindicao total {l 000espectadores I00%)ecadasetorindicaa ocu- o ou pàçãode uma saìa. construçáo gráíicode setores, Na do determÍnâ-se ângulocorrespondente cadasetorpor o a Íegrade três.vejâ comoexemploo da salaAl Usando freqüência â absoluta,vem: !91 - --L 1s6s* rosooo. r08. - rx- I OOO 3600 - ângulos s€tores dos das Usandofrêqüência â relôtiva(em%),temos: salasBec.Useum l l ---L - 1s9" tosoo ì08 naÍÌsura ángulos os de t00 3600 - - x- . A,Bec. Exemplos: 1-)Leitores umjornal de avaliam manchete a dodiâ anterior: 2e) Númerode cheques compensados de caftões crédito(Í 991 2006): e de /- .v Fonlet O E tado deS.Pdulo,10 jun. 2OO7 3-) Remunera(ão médiaêm maiode 2007por ramodeâtìvidade: jun.2047. Fo Ìe.OE tododeS,Paulo,10: a
  12. 12. 178 i.latemát contexto G &apLiGçóèj propostos Exer<ícios 16, Em uma eeiçãoconcorferam carddatos B e C€, 17, os A, LuÍsa nì! to organìzâdapaÍâínostraÍ é ê quantotempo apurada prmeìÍa â uma, votos os foÉÍìros s€guintes: gasÌacoÍnsuâs constÍuiu gráfcode seto aUvìdâdes Lrm A: 50votos; 80 votos;C: votost B: 60 brancos nulos e res.Observegráf e responda: o co (BN):l0votos. al quantas poÍ horâs diaLuísa estuda casâ? erÍ b) queporcentagem diseâ gastâ do paÉ doÍm ? A partirdesses dados constÍua: aJâ tâbe delÍeqúênc dessa â as vaÍiáve: ouÍ* àrvrdàdêr êmG5à b)o gráíco baÍras, de rclaconando valofes vará- os da velcoÍn rcspêct freqüèncias !tas; as vas abso 1,*ffi..-", ----l%"eíud cl o gÍáfco desetores, Íea í---Ë9 f conanoo0s vâores ca I "* / dom,rrrràë@,a vanavecorn sLrâs por também gráÍco baÍras ConsÍus o de coffespondenteHistograma Quandoumavariáveltem indicâdos seusvâlores (interualos),é porclàsses comumo usode um tipo de gráficoconhecido h,5rodrdmo. DorExemDlo: Consideremos "altura"(em centímetros)dos a alunosde umâ classe, Alturâ(cnì) FA FRagrupâda interualos, a seguiroshistogramas em e correspondentes fre- às 140 r- 150 6 15%qüênciâs absolutâs íelatìvâs: e r- 150 I60 10 25% r- 160 I70 l2 30% 170 r- 180 8 20% 180 r- 190 10%. histograma (interua relacionadas freqüências com asclâsses los) às absolutaS:. histograma relaciondddsàs com as(lasses Íreqüênciàs (em Ìelativas porcentageml: a
  13. 13. Gpítulo6 fJhlisrie 119 Às vezesusamos j55 repre- como representante cadaclâsse vãlor médíocoÍrespondente exemplo, de o (porsenta classe a 150Ê- 160). Os s€gmentos que ligamem seqüência pontosmédiosdas osbases formamum gráficodesegmentos superiores conhecidocomopolígono histogramo, e seÍáusadoem assuntos do qu posteriores. r / ì40 rso 160 r70 130 ÍsoExemplo: Gol5 momentos umapanida, quatro mãrcad emvários os de nas primeiras íodadasdeum campeonato brasileÈío defutebol. pr0p0Í0l Èxercrqo I FâzendoolevantamentodossaláÍiosdosvint€funconãfosde!mescftófo,Íoramobtidososseguntesvalo 650. aAO, 624. 720. 7AA,750,78A 720,600, 680, 846 770. 630,740. 640, 0,250, e 690A panif es.construê: 680, 7I 680 de al a tabeadefreqüèncias 5 cassesi coÍn bl q histogÉrna coÍf€spond€nte feacionandoxasalaÍia freqüència Ía e absouta Vimosos váriostìpos gráficos de utilizadospararepresentare interpretãrdadosestãtísticos,importante É quesêescolhasempÍe qudldeÍe, o mars ê adequàdoá situaçãoanalisàda. Écomum,em publicações como revistasejornais,ilustraÍ vários os tipos de gráficos com fìgurâsíelacìonãdasao assunto, Esses os gráficos toÍnandoos maisatraentes, são pictótìcoslou pìctogramas).Exemplos:1ï 2e) 3ï o cusÌoDÀcpMF BÍãsleìÍolÌabalhâ,êm s poÍãno médiâ,ieiediàsútê sópàk pâgâr .onr burção. à 9 Dilsútêlslrâbalhâdoe rno póÌ Clà$êhâin Clr$€médla Cl*rêálh (rendafamiliaÌ (Íêndâfamiià,enÍe (rêndaíàmiÌia, ni eÌi oÍaR $3000) R S 1.000e $l 0mi l aci mâdêR $r0mi ) úÌíõido de: FolhÒ S.Paula,tT )r.,2007 , de o
  14. 14. 180 o . ÀlatÊmiiÌ tonrqro&Aplkaçõej l. Construâtabela lÍeqüênciasosgúÍcos de baf- a de e Então: ms e de setofesparaa vafávelh.bbydarÂbe da pá- a + + = l15 2 + 86.4 43,2 100,8 14,4 360,0 + gna172. Resolução: CoÍtâg€m FA FR I = espoÍte[B ZL-) 25 0 3 2 32qn 2. Nâ realização urnaprova anotado tenìpo de foi o qle i 6 cada lJno a gastou conc a [eÍnm nutos]:56t51 pam mús tlúl ca Z 6 uÊ 25 57;49i5l | 5l; 46;50;50;47;44:57:53t 4t 551 sat 48i561 5t; 47;46;54t52;55;45;49r50:48i5l. Â 49r 3 patnêção [P] 12qi padrdesses dadosconstrual 25 al a tabela freqüéncias osvalores 5 classesi de corn em 7 blo histogranìa Íeacionando classes suâsfre as e dança tDl ZI 25 28lh qüéncìas utas. abso Resoluçâo: l : âl Subtra o menorva do rnaiorva a ampliÌude ndo or or. 004 25 totalseÉ: 57 43=14 25 r00qt que Sabendo são5 câsses escolhendo e o núÍnerc 15,a ârnplitud€ câda de clâsseserá: 1= L31ss1= l5:5:3 1440.ãx= j4,4. 100 360 Tempo nl im Contaqem FA FR A cada coÍresponde setor 14,4. 40ó urn de 43r 46 r 0q6 Z 20q,! 49t 52 ZZI 12 52f 55 55f- 58 ZI 2Aqr 30 r 000,6 = E : 32s b 8. 4% )- 8 . 1 4 ,4 " 1 1 5 ,2 " ( M : 24% ( 6. 40 ,t)* = 6 1 4 ,4 " 8 6 ,4 " +)3 .1 4 ,4 4 = 4 3 ,2 o P : 120k 13. 4 q 0 Ú 2A%(7 4%) -7 14,4 = 1AA,8a
  15. 15. Càpíulo6 tsÌàrúÌka 181/:-a;------- -:--- proporÌosI rxeÍcrcros J l rnáxima d a emLrmadade anotáda c íoI $. A tenìpeÍEtura do; durant€ dias apresentou vnte e ossegu dados: ntes 30Ct 32C; 3l C; 3l "Cr33 "Ci28,5Cì 5C; 33 27 "Cì30C;34C;30,5 "C;28C;30,5C; 29,5C; "Cr 26"C;3lC; 3l "C;29C:32 31.5C. ConstruahislogÉrìra o coÍespondente osvaorcs com davaÍiáve 5 intevalos. ern :J" 0s qlarentáal!nos unìâ de casse pelo optararn estLrdo de umaíngua estrange entÍ€espanho |a, , fÍancês, in glèsou ta ano.Vejao gÉfco d€ baÍasao lado, qle fegstÍaa escoha a patf dele construatabeade e. a Íreqüéncias gráÍco setoÍes. eo de| "jMedidasde tendênciacentral A pârtiÍ da.ìdadedas pessoas um grupo,podemos de estabeleceruma únicaidadeque caracteriza ogrupotodo. Considerândotempeíatura várÌos a de momentos um mêsquâlquer, em podemos determinarumasótempe-raturaquefornec€ umaidéiaâproximada detodo o peÍíodo. Avaliando notasdosváriostrabalhos um alunono bimestre, âs de podeÍnos Íegistrarcomâpenas umanotaseu noaproveitamento bimestÍe. Em situaçóes como essas, númeroobtido é a medida tendência o do central dosváriosnúmerosusados. médiooftmética A é à maisconhecida entfe as medidas detendêncÌàcentral.Alémdelâ,vamosestudartambémà mediona moda. ea modâ O usoda média,daMédia aritmética(MA) Considerando grupode pessoas 22,20,21,24 20 anos, um com e observamosque: 22 20-21 2a )O tO/ ^,. - "-- 5 5 então,que a médìâaÍitmética simplesmente médiade idadedo gÍupo é 21,4anos. Dizemos, ou a Se, medirde hoÍaem horaâ temperatura determinado ao em locã|,regisúaram l4"C às6h,15C às7h, se15"Càs8h,18Càsth,20 "c às10he 23 "Càs11h, que: observamos 14+15+1 5 + 1 8 + 2 0 + 2 3 Dizemos, quenopeÍíodo 6hàs11h tempeíatura Íoi 17,5 então, das a média "c. Nocaso urnaluno de querealizou diversos durante bimestre obteve notãs trabalhos o e ãs 7,5;8,5; e 7,0, 10,0 7.5 8 . > I 0 , 0- 7 . 0 tt . U, r, MA_ 44 então,que nesse Dìzemos, bimestre alunotevemédiâ8,25. o Assim,genera ndo,podemos lìzá que,dadosos n valores x:, x3,..., de umavariável, médìaaritmé- afirmar x| x" aticae o numeroobtido segLrintefoímal da s, xr+xr+xr+,.,+xn u s mDoro rsnÌÍKàr Àx somatória nümeros dos x,, que sabendo I varia I a n. de a
  16. 16. 182 . conlexro&Aouoóes Matèmatie Média aritmética pondeÍada Vejamos, agora,o casode um âlunoque realiza váriostrabâlhos com pesosdiferentes, é, com grausde isto importância diÍerentes. nodecoÍerdo bimestre obteve6,5na provà(peso2),7,0 pesquisa Se ele na (peso3),6,0no debâte(peso1)e 7,0no trabalhode equipe(peso2),a suamédia,que neste<àso chàmadà é médjaaitméticopon 2.6,5+3 7,O+1 6, 0 + 2 . 7 . O 13+21+6+t4 ^^^ -- :t:"4 5" -_ - 2+3+t+2 I Quândocalculamosamédiâaritmética númerosquese de repetem,podemossimplifìcar. Dessa para maneira, obter média a aritmética de7,7,7,9,9,9,9,9,11 11,observamos e ouei 37 59 211 21-45 22 88 8,8 r 3+5+2 t0 10 Dizemos, então, que 8,8é a médiaaritmética números e 1], comfreqüêncìâs e 2, respectivamente. dos 7,9 3,5 que Observe esse tâmbémé um exemplo médiaponderada, de com os pesossendoasfreqüências e2. 3,5 Á médiaaritméticâ usàda é comomedidade tendência central, seja, ou comoformade, poÍ meiode um único número, umâ ìdéiadascaracterísticas determinado dar de grupo de números, entanto,é ìmportante No ressaltar que em algumas situaçóes presença um valorbem maiorou bem menorque os demais com que a média a de faz aritmética consiga não traçaro peífilcoíeto do grupo. Considerernos, por exemplo, grupo de pessoas um com idâdes 2,3, 2, 1,2 e 50 ânos. médiade idade, de A que è de l0 anos,não demonstÍã característìcas a5 desse grupo êm termosde idade,Emcasos como essesãousâdas outrasmedidas detendência central,comoa modoe âmediano. 21. Umt mede futebol zoualglrnas rca partidâs os fe- e 24, CacLrle rnédia Ìmética â a pondeÍada Lrm de âlunoqle sultadosíoÉrn3al,4a2. t,0 â 0,3 â 2,2 â I e la ooLe!"o b nedre8 0 â proa(poso 0 -€ pesqusd 2)., I a 0.Sab€ndo o tme nãoperde!nenhuÍna que pa{i- [peso3],9.0 no debate[peso1) e 5,0 no t%b€tlìo de afÌtÍnética gos da,calcue média â dos €quipe lpeso 2]. bl sofridos. 25, A méd dasida.l€s I I funcionáfos unìa a dos de e0prcsa 22. Se um aunojá lez dos traba e obteve e 5,0, hos 8,5 eÉ d€ 40 anos. dosfuncionários aposenÌou L,Ín se coÍìl qualdeves€ra notâdo t€rceÌrctÉbalhopamquea 60 anos, ndodâ €rnpfesa. rnédade idâde sa  dos t0 rnédia aritméUca Íês seja dos 7,0? Íunconários passou ser: Íestantes a 23, Qualé a médâ de idadede um grupoernque há al40 anos. dl38ânos. 6 pessoas l4 ânos,Ipessoas 20€ 5 pessoas d€ de de bl39,8ânos. el37,8anos l6 anos? cl38,9anos. Moda (Mo) Em Estatística, modaé a medidade tendência centraldeíinidacomo o vãloÍ maisíreqúentede um grupo de valoresobservados. No exemplo grupo de pessoâs do com idades 2,3,2, 1,2 e 50 anos, modaé 2 anos(Ìúo: 2) e demonstra de a maisefìciênciâparâcaÍacterizarogrupo â médiaaritmética. que 5eâ temperatura medidâ horaem hora, 6h às11h, de das apresenrou resultados os 14.C,I5.C, j 5 "C,18.C, 20C e 25C, entáodizemosque nesseperíodo modafoi 15C,ou seja, = ì5 "C. a Mo Nocasodeumalunoqueanotou,durantedezdias,otempogâ5toeú parair de suâcâsa escola minutos à e cujosregistrosforâm15 min,14 min,18 min,15 min,14 min,25min,I6 min,t 5 min,j5 min e I6 min,a modaé 15 min,ou seja, : 15min. À4o Seasnotasobtidasporum alunofoÍam6,0,7,5;7,5; e 6,0,d;zemos a moda 5,0; que é6,0e 7,5equea distribuiçãoé bimodat. ObsêÌvaçáo: Quandonão há repêtição números, de como,por exemplo, paraos nú- Comoé umadistÍbuição., ríetos7,9,4,5 8,náohá moda. e a
  17. 17. .QDítulo6 EÍalísÌka 183 26. ConsidefenúÍneros I30,I26e 102 calcule: os 126, e al â Ínédia aritmética [N4A)l bla Ínédiaaritmóïjca 0VlPl, pesos I e 2, rcspectvamente; pondetada corn 2,3. cJa Írodâ (À4o)Mediana(Me) A mediana ouüa medidadetendência é central. dâdosn números ordemcíescenteou AssÌm, em decrescente,â medianaserá: i. o número ocupaía que posiçáo cenúâlse foí impar; n. a médiaâritmética doisnúmeros dos queestìverem centrosên for par. no Numâ clâsse, foram as durânte período 15dias:3,5,2,o,2,1,3,4,5,7,0,2,3,4 anotadas faltas um de e7. Emordemcrescente,temos: o,o,1,2, 2 , 2 , 3 , 3,4,4,5,5,7,7 3, Como15é Ìmpar,otermo médioé o 8e. mente,Me = 3. Logo,a medìana 3.simbolica é Asidades alunos umaequipe I2, 16,14 12,13,16,16e 17anos. dos de são Pârâdeterminaramediana vâlores, dessês coloca na (ou mosinìciâlmente ordemcrescente dêcrescente)l 12,12,13,14,16,16,16,17 ;ì; pos4õ6 .êôtãis um (8),íazemos médiaaritmética Comotemos númeropardêvalores ã que enüeos doiscêntrâis, sãoo 49eo59termos, Logo,â mediana dadapor: é 30 ".^_ì4+16 _ 22 Simbolìcamente, 15anos. Me: propostos ExeÍcí(ios 27. Durante setepflrneÌoslogos LrÍÌr os de carnpeonato, 28. DesegundaJeifa a sábado, gastos os comaiÍìrenta- umtimemaÍcou, l, 1.4,3 e fespecÌvarnente,3,2, çãod€ uma pessoa íomrnl5 13,I2,10,t4 e l4 reâis. 2 gos. Determin€: DeteÍrnine: êJá Ínédia gos porpartida de [MA)i diáiade gasros al a nìédia [À/]Âll bl â moda[tulo); bl a moda (lvlol; c) a medj€n€tMel cl â medìana (Me).Média aritmética,moda e medianaa paÍtir das tabelas de Íreqüências Utilizando valores os (números intervalos) âsfreqúências ou e absolutas tâbelas freqüências variá- dâs de dasveìsquantitativas, podemoscalcularaMA,a ívìo a lvlede seusvaloÍes, e FÂExeÌnplor: 0 8 sobrenúmêro irmãos"de19) Pesquisa de alunodeumaclasse: cada l 15 Médiaaftmétìco: 2 12 8.0+ì5.ì 12-2 53 O+15t2415 54 3 5 MA - lllrmao 40 40 40 totàl 40 a
  18. 18. 184 , Mãtenátjcconrexro &Aptkaçóes Observaçâo: Embora1,7irmãoaparentemente um absurdo, corretoum valor desse seja é tipo, assimcomo 3,5golspor partìda,7,2 porOlimpíada, poÌsa médiaaritmética uma medidadetendência. medalhas etc., é A mâiorfreqüência 15,que corresponde valor1 irmão.Logo,Mo : 1 irmão. é âo Comoo total de freqüências (númeropar),osvalores é40 centrais o 20ee o 21-. são l4o Ir:=20e20+1=21 | 2 ) Secolocados ordemcrescente,viÍãoosgvaÍoÍescorrespondentesa0irmão,seguidosdos na 15valoresde por âmbos,1irmão.Logo,Me = 111 : I irm;o I ìrmãoe assim diante.Então, 20ee o 21evaloíesserão, o r2e) Pesquisa sobrepeso(emquilograma)de grupo de pessoâs. um P€5o(kq) 44t_ 4A l 44t 52 O cálculo media da d€ 52t 56 6 5 6f 60 3 umadivisãoque podenão 20 A pârtirdatabelôem que os pesos estãoagrupâdos clâsses, em consideramos,em classe, sêuvâlormé- cada o dio (VM)e ànexamos umanovacolunaà tabelâ. As$m,temos: 44 40-4a-44 -52-4A-56 52-60 56 4 :=2 2 40+2=42(freqúêncial) 44+2=46(fíeqüência3) 48 + 2: 50 (fÍeqüência 7) 52 + 2: 54 (freqüênciã 6) 56 + 2 :58 (freqüência 3) 42 46 44r 52 50 52f 56 6 54 56f_- 60 3 58 2A podemoscalcular Mo e lúe usando Agora, MA, valores médiose suasfreqüências, t 42 3 46+7.50 |6.54 3.58 42 138.350 t 324-174 1028 = : _ 51,4kg 20 20 20 Afreqüênciamãiot 7, indicao intervalo48r poÍ 52,representado 50,queéo ponto médio. Logo,Mo : 50 kg. Comoo totaldas freqüências 20 (númeÍopar),os dois valores é centrais o 10ee o 11-.. são Colocados valo os res médiosem ordem crescente de acordocom suasÍreqüências, 10eé 50 kg e o 11-também.Logo, e o Ìúe= - -- =sotd 2 a
  19. 19. 185 propostos Exercícios ] Detemine ívlA, N,4oa Me a partfdastabeas a a e de O hlstograma a ção (em mostÉ distrbu salarial reaisl dos Íreqüèncias. funcioná de umaemprcsa os Usando vaoresmédos os âl ldade[ernanos] urngrupo l0 pessoas: ern de dosinterva constma poígono histograrnade os, o do e, pos,cac! e a lVlA, À,40a Me. a e ldade tem€nosl t3 i !. Uma pÍova 5 testes corn folaplcada uÍìra ern classe. Le- O a Ì€r p .oecrdr.o do5 erto,íoreg d. sÌ"do no"eg. n- ? t5 le gÉfcol (eÌrô o.êr b AllLÍE ìgÍ podê2 pÊ<soês Âltun tml FA tqt.-.r,9q. ? 1, 65f 1, 69 6 1, 69f 1. 73 1 ,1 1 t 117 1 ,7 7 t 1 ,4 1 Deterrninea paftir gÉfco: do al o número alunos classe; de da blâ pofcentagem casse acedou 5 testes da que os cJa porcentagemclâsse acertou ou mâs testes; dâ qu€ 3 dla í44. Mo e a [,4e acedos pessoa a de porLlnneqide!_q9_qEp9Ee9 Jáestudamos medidas as detendênciãcenüalmaisusadas,comoa médiââritméticã,a modaê ã mediâna, Elas em de qtêm como objetivoconcentrar um úniconúmeroos diversosvalores umavariável uantitãtìva. Nesteitem estudaremos casos que elassãoinsuficientes- em Vejamos seguinte a situação: O cíitériode apíovação um concurso em que estabelece o candidâto deve realizar provas obter,com suâs 3 enotas,médiaigualou maiorque6,0.Nesse câso, informação queo candidato ã de obtevemédìa7,5é suficienteparaconcluiroue eleestáaorovado, Consideremos agoraoutrasìtuação: Umapessoa encarregada organizaratividades lazerparaum grupode6 pessoas recebe informação é de de e ade que a médíade idadedo gíupo é 20 anos.Nesse caso,apenas informação médianáo é suficìente a da pârapla-nejarasatividades,poispodemos gruposcom médiade idadede20anose ter caracteÍísticas totalmentedifeíentes, Obseruemos algunsgíupospossíveis:. GÍupo A:20anos;20 ano5;20 anos;20 anosi20 anos;20ânos. 20 20-20+20-20-20 t20 --. GíupoB:22anos;23anos; ânos; anosj anosj anos, l8 l9 20 18 .. 22+ 2 3+ 18+ r 9 + 20+ r 8 -- 120-2 0 a n o s M A-)

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